【VIP专享】第1讲 根轨迹的基本概念
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1第一节根轨迹的基本概念
将 Gk (s )写成以下标准型，得： k ( s ) = k * ⋅ G
∏ (s − z ) ∏ (s − p
j =1 i =1 n i j
m
)
式中：k g − 传递系数，或称为根轨迹增益； z i，p j 为开环零极点。
2011-5-25
7
根轨迹定义
1 闭环传递函数的极点就是闭环特征方程： + Gk ( s ))
i
m
∏ (s + p )
j j =1
i =1 n
= −1为根轨迹方程。
2011-5-25
8
根轨迹的幅值和相角条件
由于Gk ( s )是复数，上式可写成：Gk ( s ) | ∠G k ( s ) = −1 | 或k * ⋅
∏ | (s − z ) | ∏ | (s − p
j =1 i =1 n i j
换句话说，满足：Gk ( s ) = −1或：k ⋅
*
∏ (s − z )
i =1 n i j j =1
∏ (s − p
= −1的点就是闭环系统
)
的极点，闭环特征方程的根。
[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系 统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
称Gk ( s ) = −1或：k g ⋅
2011-5-25
3
第一节 根轨迹的基本概念
2011-5-25
4
根轨迹定义
[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系 统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。 例：如图所示二阶系统， K R (s ) C (s ) 系统开环传递函数为： s (0.5s + 1) K Gk ( s ) = s (0.5s + 1)
根轨迹的概念
根轨迹的概念特征方程<见传递函数）的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。
我们先看下面的例子。
设单位反馈系统的开环传递函数为：当开环放大系数K从零到无穷大变化时，系统的特征根在s平面上怎样分布？解系统有两个开环极点系统的闭环传递函数为系统的特征方程为特征方程的根可见特征根在s平面的位置与K有关。
K=0时，,与开环极点的位置相同。
0<K<1/4时，,均为负实数，分布在0到-1之间，随K从零开始逐渐增大，和也从开环极点的位置开始逐渐接近。
K=1/4时，==-0.5，两个闭环极点重合。
K>1/4时，和都成为共轭复数。
b5E2RGbCAP具有相同的负实部，且为常数，而虚部则随K的增加其绝对值也增加。
图3.28给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时，相应位置的变化情况。
这种放大系数K从零到无穷大变化时，特征方程的根在s平面上相应变化的轨迹，称为根轨迹。
根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。
根据图3.28的根轨迹图，我们可以知道，在K<1/4时，系统的单位阶跃响应中含有两个指数项函数。
在K=1/4时，两个指数项函数合二为一。
在K1/4时，根轨迹进入复平面，说明系统的单位阶跃响应由单调变化转变为振荡。
从图还可以看出，不论K怎样变化，系统始终是稳定的。
因为全部根轨迹都分布在s平面左半边。
p1EanqFDPw图3.28 特征根随K的变化情况根轨迹的基本条件控制系统的特征方程为(3.145>式中为系统前向通道传递函数，H(s>为系统反馈通道传递函数。
上式可改写为(3.146>将系统的开环传递函数写成零极点形式(3.147>式中K称为根轨迹放大系数或根轨迹增益。
称为开环零点，称为开环极点。
将<3.147）式代入<3.146）式得DXDiTa9E3d(3.148>式<3.148）是一个复数方程，可以用复数的幅值和幅角分别表示为(3.149>, (3.150>式中是矢量与实轴正方向的夹角，是矢量与实轴正方向的夹角。
根轨迹法的基本概念
K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
根轨迹的基本概念
j 1 j i 1 i
m
n
上述两式称为满足根轨迹方程(kg>=0)的幅值条件和相角条件。
当根轨迹增益kg<0时：
根轨迹方程可写为：
| kg | s z j
j 1
m
s p
i 1
m j 1
n
e
n m j ( s z j ) ( s pi ) i 1 j 1
的旁边。
根轨迹的两种类型：
180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0)
的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的 点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨
称 Gk (s) 1 或 k ×
g
(s z ) (s p )
j1
j
m
i1 n
i
1
为负反馈系统根轨迹方程
4.1.2
根轨迹的幅值和相角条件
当根轨迹增益kg>=0时： 根轨迹方程可写为：kg s Nhomakorabea z j
j 1
m
kg
1
(s z )
i
m
s p
i 1
不满足相角条件，所以点B不是根轨迹上 的点。
Im
B A
A2
p2
s2
s
A1
p1
Re
利用幅值条件在根轨迹上确定特定点的根轨迹增益kg
上例中，若A点的坐标是-1+j1，则根据幅值条件：
kg s( s 2) s 1 j1
1 ， kg 2
m
n
上述两式称为满足根轨迹方程(kg>=0)的幅值条件和相角条件。
当根轨迹增益kg<0时：
根轨迹方程可写为：
| kg | s z j
j 1
m
s p
i 1
m j 1
n
e
n m j ( s z j ) ( s pi ) i 1 j 1
的旁边。
根轨迹的两种类型：
180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0)
的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的 点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨
称 Gk (s) 1 或 k ×
g
(s z ) (s p )
j1
j
m
i1 n
i
1
为负反馈系统根轨迹方程
4.1.2
根轨迹的幅值和相角条件
当根轨迹增益kg>=0时： 根轨迹方程可写为：kg s Nhomakorabea z j
j 1
m
kg
1
(s z )
i
m
s p
i 1
不满足相角条件，所以点B不是根轨迹上 的点。
Im
B A
A2
p2
s2
s
A1
p1
Re
利用幅值条件在根轨迹上确定特定点的根轨迹增益kg
上例中，若A点的坐标是-1+j1，则根据幅值条件：
kg s( s 2) s 1 j1
1 ， kg 2
自动控制原理4 第一节第二节根轨迹绘制的基本准则1
对如下结构图的系统：
R(s)
C(s)
G(s)
-
(s) G(s) G(s) 1 G(s)H (s) 1 Gk (s)
令闭环传递函数的分母为零，
得闭环系统的特征方程
H (s)
1 Gk (s) 0
若用开环传递函数来讨论，则满足 Gk (s) 1 的点就是闭环系 统特征方程的根。也就是说满足 Gk (s) 1的s值必定是根轨迹 上的点，故称 Gk (s) 1为根轨迹方程。若令
渐近线与实轴的交点： pi zi 1 5 2
nm
30
渐近线与实轴的倾角： q (2k 1) 60,180
nm
零极点分布和渐近线（红线）
如图所示。
5
规定：相角逆时针为正，顺时针为负。
18
180
60
2
1
0
60
4.2 根轨迹绘制的基本准则
实轴上的根轨迹
6、实轴上的根轨迹：
实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开 环系统的零点数和极点数的总和为奇数。
z1
p3
q3
q1
[证明]：例如在实轴上有两个开环极点-p1、-p2， 复平面上有一对共轭极点-p3、 -p4和一对共轭零
点-z1 、 -z2 。
先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点-p3、 -p4对实轴上任意试 探点构成的两个向量的相角之和为0°；
p2
s2
s1
p 1
q4
z2
q
2
p4
迹8 上各点的Kg值时，才使用幅值条件。
4.1 根轨迹的基本概念
例：如图所示二阶系统，
R(s) -
K
C(s)
s(0.5s 1)
闭环传递函数：
(1) 根轨迹的基本概念 (2) 根轨迹的绘制方法(3) 运用闭环特征方....ppt
可变参数为根轨迹增益 K *
相角条件： 180o相轨迹
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
i 1
(2k 1)180o , (k 0,1,2,)
规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于 开环零点。
简要证明：
1 G(s)H (s) 0 K* 0
G(s)H (s)
K*
s(s 3)(s 2 2s 2)
试绘制闭环系统大致的根轨迹。
解（1）无开环零点，开环极点
在实轴上根轨迹[-3，0]。 p1 0 , p2 3 , p3,4 1 j
（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点
a
(2k 1)180o
4
45o
, 135o
a
0 31 4
（3）分离点
2021/6/16
Automatic Control Theory
17
1 1 1 d 2 d 1 j d 1 j d 2 4d 2 0 d1 3.414
d 3.414
d2 0.586
（4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心 为（-2，j0)，半径为 2
m
(1)
1
n
1
j1d z j i1 d pi
1 G(s)H (s) 1 K *M (s) 0 N (s)
(2)
dG(s)H (s) ds
sd
0
(3)
dK* ds
sd 0
2021/6/16
Automatic Control Theory
14
说明：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。 （2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点） 或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。
根轨迹的基本概念
0.1
0.113
0.887
0.25
0.5
0.5
0.5 j0.5
0.5 j
0.5
0.5 j0.5
0.5 j
由于系统的闭环极点是连续变化的，将它们表示在s平面上就是该系统的根 轨迹，如图所示
图中箭头方向表示当开环增益K增大时闭环极点移动的方向，开环极点用
“ ”来表示，开环零点用“ ”来表示（该系统没有开环零点），粗实线即
设系统的开环传递函数为 m
K* (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s pj )
j 1
式中 K* ——根轨迹增益；
zi ——开环零点；
p j ——开环极点。
则系统的根轨迹方程（及闭环特征方程）为
1 G(s)H (s) 0
所以 G(s)H (s) 1 ，即根轨迹方程为
m
K* (s zi )
例如，系统的特征方程为 (0.5s 1)(Ts 1) 10(1 s) 0
即
Ts(0.5s 1) (11 9.5s) 0
方程的两边除以其中不含T的项，得
1 Ts(0.5s 1) 0 11 9.5s
该方程可进一步改写成
1 T *s(s 2) 0 s 11 9.5
其中，T *
i 1 n
1
(s pj )
j 1
显然，满足上式的复变量s为系统的闭环特征根，也就是根轨迹上的点。当 K*
从0到 变化时，n个特征根将随之变化出n条轨迹。这n条轨迹就是系统的根轨迹。
根轨迹方程可分解为相角方程和幅值方程，其中相角方程为
m
n
(s zi ) (s p j ) (2k 1)180 (k 0 ，1，2 )
根轨迹的基本概念
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：kg称为根轨迹增益； zi，p j为开环零 、极点。
绘制根轨迹图的基本方法是根据系统的开环零点、极点以 及根轨迹增益kg来获得系统闭环极点的轨迹 。
闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：1 Gk (s) 0 的根。
m
(s zi )
换句话说，满足：Gk (s) 1或：kg
说明： 根据幅值条件和相角条件画出的曲线分别称为等幅值根轨迹 和等相角根轨迹。 等幅值根轨迹与等相角根轨迹是正交的。 每一个交点表示了相应的根轨迹增益对应的闭环特征根。 绘制根轨迹时，一般先用相角条件绘制出等相角根轨迹图， 然后利用幅值条件计算出根轨迹上各点对应的值，并标在该点 的旁边。
根轨迹的两种类型： 180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0) 的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的点 连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
根轨迹的幅值和相角条件:
系统的方块图如下：
R(s)
Y (s)
G(s)
-
H (s)
闭环传递函数为：(s) G(s)
1 G(s)H (s)
开环传递函数为：Gk (s) G(s)H (s)
将 Gk
(s)写成开环零、极点形式
m
得：
(s zi )
Gk (s) kg
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨迹 应满足的相应幅值和相角条件，完全可以确定s平面上的根轨 迹和根轨迹上各点对应的kg值。
4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点
利用试探法确定根轨迹上的点: 由于根轨迹上的点满足相角条件，所以可利用相角条件来判
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第四章 根轨迹法
8
假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：
GsH s
K s s
z1 s z2 p1 s p2
s s
zm pn
,
n
m
式中K 0;z1,z2
z
为开环零点,在s平面用“o”表示,
m
p1, p2 pn为开环极点,在s平面用“x”表示。
令s zi pie ji , i 1,2, m
第四章 根轨迹法
1948年伊凡思提出求解闭环特征方程的根的图解方 法——根轨迹法。
考虑到开环零极点更易获取，在开环零、极点分布已 知的情况下，可绘制闭环极点随系统参数变化（如 放大系数）而在s平面上移动的轨迹（根轨迹）。
用途：① 对系统的性能进行分析；
② 确定系统具有的结构、参数；
③ 进行设计和综合。
s pl rle jl , l 1,2, n
则上式改写为：
m
G s H s K
m
n
i
i
j
i
e
i1
l1
e n
2020/6/1
r 第四章 根轨迹法
l
9
l 1
m
G s H s K i
i
j
m
i
n
e
e i1 l 1
n
rl
l 1
GsHs 1
于是得： 幅值条件 相角条件
13
相角条件: 根轨迹的幅值条件与相角条件
m
n
∑j=1∠(s-zj) －∑i=∠1 (s-pj) = (2k+1) π
k=0, ±1,
±2, …绘制根轨m迹的充要条件
1+KK = ∏j=1∏(jm=s1︱- szj-)z︱j n
幅值条件: ∏i=1∏(ns︱-psi-)p︱i
=-011
i=1
2020/6确/1 定根轨迹上某第四点章 对根轨应迹法 的K值
3
当K由0→∞变化,特征根s1和s2相应的变化关系如下表所示。
K
0 0.25
0.5
1
…
∞
s1
0
-0.5 -0.5+j0.5 -0.5+j0.87 …
0.5+j∞
s2
-1
-0.5
-0.5-j0.5 -0.5-j0.87 …
-0.5-j∞
根轨迹简称根迹,它是开环系统 某一参数从零变到无穷时,闭环 系统特征方程式的根在s平面 上变化的轨迹.是闭环极点的集 合.
由上式可知，凡是满足方程
GsHs 1
的s值，就是该方程的根，或是根轨迹 上的一个点。由于s 是复数，故有：
G s H s e j{argGsH s} 1e j2k1 , k 0,1,2,
于是得：
GsHs 1 根轨迹幅值条件
argGsHs 2k 1,k 0,1,2, 根轨迹相角条件
2020/6/1
0.707 由于 arccos 45o，在图4-2上过坐标原点
作与负实轴夹角为45°和射线，它与根轨迹的 交点S= -0.5±j0.5，这就是所求的希望闭环极点。
2020/6/1
第四章 根轨迹法
图4-2 系统的根轨迹
6
根轨迹概念 特征方程： S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
s1, 2
1 2
1 2
1 4K
2020/6/1
第四章 根轨迹法
4
s1, 2
1 2
1 2
1 4K
对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态:
1) 0≤K＜¼， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状态） 2) K=¼， s1、 s1为两相等实根，s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼） 3) ¼＜K＜∞， s1 、s2为一对共轭复根（欠阻尼）
2020/6/1
第四章 根轨迹法
12
根轨迹方程
特征方程 1+GH = 0
Zj 开环零点“○”,是常数！
m
1+K
∏
j=1
(
s
-
zj)
n
=
0
∏ ( s-pi)
p i=1
开环极点“×”,
根轨迹增益K ，不是定数i，从也是0 常~ 数∞！变化
这种形式的特征方程就是根轨迹方程 2020/6/1
第四章 根轨迹法
( 3)2 2 (4K)2
满足相角条件：实轴（-∞，-3）
2020/6/1
第四章 根轨迹法
11
结论：
根轨迹就是s 平面上满足相角条件点的集合。由于 相角条件是绘制根轨迹的基础，因而绘制根轨迹的一 般步骤是：
➢找出s 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线 ➢根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值
2020/6/1
第四章 根轨迹法
5
对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态:
1) 0≤K＜¼， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状态） 2) K=¼， s1、 s1为两相等实根，s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼） 3) ¼＜K＜∞， s1 、s2为一对共轭复根（欠阻尼）
➢如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为4%。 由超调量公式求得
14
例3 求如图所示系统的根轨迹
解：
1）用相角条件绘制根轨迹
Gs
K
ss
1
arg s args 1 2k 1 , k 0,1,2,
用试探法寻求S平面上满足相角条件的点
2020/6/1
第四章 根轨迹法
15
arg s args 1 2k 1 , k 0,1,2,
2020/6/1
第四章 根轨迹法
2020/6/1
第四章 根轨迹法
1
本章主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制准则 利用根轨迹分析闭环系统
2020/6/1
第四章 根轨迹法
2
4.1 根轨迹法的基本概念
一:根轨迹图
例 1 闭环特征方程式
s2 s K 0
方程式的根为
s1, 2
1 2
1 2
1 4K
K从0到无穷时
2020/6/1
第四章 根轨迹法
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根
k=0.5 时，s1=s2=－1
0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1
j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变；
-2
-1
0
2020/6/1
K一停，一组根第停四章； 根轨迹法
7
演示rltool
二:根轨迹的幅值条件与相角条件
特征方程： 1 GsHs 0
用试探法确定根轨迹16
Gs
K
ss
1
arg s arg s 1 2k 1 , k 0,1, 2,L
m
i
GsH s K
i 1 n
rl
l 1
m
n
i l 2k 1 , k 0,1,2,
i 1
l 1
相角条件是点在根轨迹上的充分必要条件。
2020/6/1
第四章 根轨迹法
10
例2:设一控制系统的框图如图所示，由根轨迹的幅值条件得： 4K 1 s3
即
4 1 s3 K
（4-10）
令 s j,则式(410)可化为