根轨迹的基本概念.
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理第四章 根轨迹
① ∵有三个极点，根轨迹 有三条分支 ② ∵n=3, m=2 ∴有３－２＝１条根 轨迹→∞， ２条终止于开环零点。 ③在实轴上不同段上取试 验点
-4 -3 -2 -1
jω
×
o
×
o ×
σ
§４－２绘制根轨迹的基本规则
五．根轨迹的渐近线
１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处的分支的 渐近线的倾角为
1 1
在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现 虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚 轴的交点。可以用 s j 代入特征方程求解， 或者利用劳斯判据确定。
§４－２绘制根轨迹的基本规则 续例４－２，将 s j 代入特征方程。
j ( j 1 )( j 2 ) K j ( j
§４－１根轨迹的基本概念 将开环传递函数写成下列标准的因子式
K1 G (S )H (S )
j 1 n
m
(s z
j
)
i 1
(s pi )
注意这个形式和求 稳态误差的式子不 同，需变换成这种 形式．
z j －开环零点．
p i －开环极点．
此时，幅值条件和相角条件可写成
K
1
j 1 n
s 2 .3
2 . 3 0 . 7 1 . 64 1 . 64 4 . 33
６．求根轨迹在
p3
的出射角
p 180 ( 135 90 26 . 6 ) 431 . 6
( 减去 360 ，为 71 . 6 ）
§４－３反馈控制系统的根轨迹分析 ７．求根轨迹与虚轴的交点．
K1=6
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
第四章 根轨迹法(1)
第四章 根轨迹法
（1）当 K * = 0时，s1 = 0、s2 = －2， 此时闭环极点就是开环极点。 （2）当0＜ K * ＜1时， s1 、 s2 均为负 实数，且位于负实轴的（－2，0） 一 段上。 （3）当K * = 1时，s1 = s2 = －1，两 个负实数闭环极点重合在一起。 （4）当1＜ K * ＜∞时， s1， 1 1 k * 2 两个闭环极点变为一对共轭复数极点。 s1 、 s2 的实部不随K * 变化，其位于过 （－1，0）点且平行于虚轴的直线上。 （5）当K * ＝∞时， s1 = －1+ j∞、 s2 = －1－j∞，此时s1、s2将趋于无限 远处。
第四章 根轨迹法
② 位于s1左边的实数零、极 点： (S1 – P4 ) 、(S1 – Z1 ) 、 向量引起的相角为0°
∴ 判断 s1是否落在根轨迹 上，位于s1左边的零、极点不 考虑。
③ 位于s1右边的实数零、极点： 每个零、极点提供180°相 角，其代数和为奇数，则满足相角条件。
第四章 根轨迹法
a
(0) (1 j1) (1 j1) (4) (1) 5 4 1 3
60 180 2k 1 180 2k 1 a 180 nm 3 300
k 0 k 1 k 2
第四章 根轨迹法
五、法则五 根轨迹分离点和分离角
K G( s) H ( S )
* i 1 n j 1
(s z )
i
m
S (s p j )
-1
m个开环零点 n个开环极点 K *根轨迹增益
∴在s平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、…、 s∞，都 是闭环特征根，即闭环极点。
第四章 根轨迹法
第四章课件根轨迹
经整理得： 2 s3 1s2 1 2s 0 8 0 s0.55
法则6 根轨迹的起始角和终止角：
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹 角，称为起始角，以 p i 表示；
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹 角，称为终止角，以 z i表示。
起始角、终止角可根据下式求出：
pi
(2k1)
m
j1 zj
法则3 根轨迹的渐近线：
当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交a 点为 的一组 a 渐近线趋向于无穷远处，且有
a
(2k1)
nm
n
m
pi zj
σa
i1
j1
nm
(k0,1,2,,nm1)
证明：根轨迹方程式可写成如下形式：
m
G(s)H(s) K*
(s zj )
设系统的开环传递函数为： G(s)H(s)K* P(s)
系统的特征方程式为：
Q(s)
D (s) 1 G (s)H (s) 1 K * P (s) Q (s) K * P (s) 0 Q (s)
对上式求导，得到： D ( s ) Q (s ) K * P ( s ) 0
由以上两式消去 K *得到
Q (s )P (s ) Q (s )P (s ) 0
点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 证明：
设s0为实轴上的某一测试点； j是各个开环零点到s0点向量的相角； i是各个开环极点到s0点向量的相角。
因为复数共轭零、极点到实轴上的任一点
的向量相角之和为2 ，因此在确定实轴上
的根轨迹时，可以不考虑它们的影响。
由图可见,s0点右边开 环实数零极点到s0点的向量 相角均为。
根轨迹的基本概念之根轨迹
根轨迹的基本概念之根轨迹
闭环系统时间响应的基本特性与其闭环极点(即闭环特征方程的根)的位置密切相关。
其中，系统的稳定性由闭环极点唯一确定，而过渡过程的基本特性也与闭环极点和零
点在
s平面上的分布位置有关。
所以对控制系统进行分析和设计时，都需要获得有关系统闭环
极点的信息。
为避免直接求解高阶特征根的困难，伊文思(w．R．Evans)于1g48年提出了一种求解
特征方程根的简单方法，即根轨迹法。
这是一种图解求根法，它简洁、有效地以图解
方式
给出了当系统某一参数(例如开环增益)变化时，系统特征方程的根在‘平面上的变化
轨
迹，故称之为根轨迹法。
尽管现在利用一些计算机软件(如MATLAB)可以非常方便地绘制系统的根轨迹，但
是，采用手工方法绘制根轨迹钽电容是应用计算机软件绘制根轨迹的基础，也能迅速
获得概赂根
轨迹。
根轨迹法是一种分析和设计控制系统的间接方法，它不适合于非线性系统
根轨迹
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从军变化到无穷时
在‘平面上变化的轨迹。
下面以图1为例说明根轨迹的概念。
图1所示系统的闭环传递函数为
如果令开环增益x由零连续变化到无穷大，就可以用解析的方法求出闭环极点的全
部数值。
表41是部分数值，将这些数值标注在，平面上并连成光滑曲线，此曲线即为系
统的根轨迹。
团中，根轨迹上的箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化
趋势。
而标AVX钽电容注的数值则代表与闭环极点位置相对应的开环增益x的数值。
cjmc%ddz。
根轨迹法的基本概念
K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
根轨迹
根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念 所谓根轨迹就是指当系统中某个 参量由零到无穷大变化时， 参量由零到无穷大变化时，其闭环特 征根（极点） 征根（极点）在s平面上移动的轨迹
方法1:解 方法1:解方程法 1: 开环传递函数 ∗ K G( s) = s( s + 1)( s + 2)
1 1 1 1 = + + ∑ s− p s s+1 s+ 2 = 0 j =1 j
3
方法3:极值法 方法3:极值法 3:
dK ∗ =0 ds
K ∗ = − s 3 − 3s 2 − 2s dK ∗ = −3s 2 − 6s − 2 = 0 ds ds
m 1 1 =∑ ∑ d − p i =1 d − z j =1 j i n
重根法求解d 2 、重根法求解d
f ( s ) = A( s ) + K ∗ B( s ) = 0
A( s ) B′( s ) − A′( s ) B( s ) = 0
3、由极值点求解d 由极值点求解d dK ∗ = 0 坐标值由
4-2 绘制根轨迹的基本法则
设控制系统的开环传递函 数为 m
G(s)H ( s) = K
*
jω
∏ (s − z )
i =1 n i j =1 j
∏ (s − p
)
K =∞ 1 −1
K*(s − z1)L (s − zm) = (s − p1)(s − p2 )L (s − pn )
K =0 −6
• K = 35, ω =1.35
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本章主要内容
根轨迹的基本概念
根轨迹的绘制准则
特殊根轨迹
利用根轨迹分析闭环系统 用MATLAB绘制根轨迹
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根轨迹意义
概述
我们知道，闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布， 其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分 布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文思提出了一种在复 平面上由开环零、极点确定闭环极点的图解方法—根轨迹法。 将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特 征根的关系表示在一张图上。
[讨论]：① kg 0时，s1,2 0和-1，是开环系统的极点；
② kg 时，s1从0沿负实轴向左移动 ，s2从 -1沿负实轴向右移动。
1 1 1 ③ k g 时，s1, 2 - ，重根。可见当 0 k g 时，s1, 2 在负实轴上。 4 2 4 1 1 ④ k g 时，s1, 2为复根。在 - 点处分成两支，沿平行 于虚轴的 4 2 1 直线移动。 ⑤ k g 时， s1, 2 - j
开环传递函数为： Gk (s) G(s) H (s)
Gk ( s) k g 将 Gk (s)写成以下标准型，得：
式中： k g - 传递系数，或称为跟轨
-z i， -p j 为开环零极点。
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
迹增益；
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根轨迹定义
kg
j1
A
A'
B
A2
-1
0 .5 0 k g 0
A1
kg
复平面上满足相角条件的点应在根轨迹上。上例中， - j1 A点在根轨迹上吗？向量s和s+1的相角分别为 A1和 A2 根据相角条件(试探法)： kg -s - ( s 1) - OA- BA A1 A2 (2k 1) s( s 1) A1 A2 ，A点在 显然，只有三角形OAB是等腰三角形时， ' 根轨迹上。 A点显然不在根轨迹上。
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根轨迹解析法绘制
[例4-1]如图二阶系统， 绘制系统的根轨迹。 当kg从0 时， kg kg R( s ) [解]闭环传递函数： (s) 2 s s kg s( s 1) 特征方程和特征根：
C (s)
s s k g 0，s1, 2
2
1 1 - 1 - 4k g 2 2
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[定义]：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。 同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在 某一增益的情况下绘制的）。 180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨 迹方程，每一点对应一个 k g 。由于180度等相角根轨迹上的任意 一点都可通过幅值条件计算出相应的 k g值，所以直接称180度等 相角根轨迹为根轨迹。 在根轨迹上的已知点求该点的 k g 值的例子。上例中，若A点的坐 标是0.5+j2，则根据幅值条件：
称Gk ( s) -1或：k g
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
-1为根轨迹方程。
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根轨迹的幅值和相角条件
由于Gk ( s )是复数，上式可写成： | G k ( s ) | Gk ( s ) - 1 或k g
| (s z ) |
利用根轨迹法，可以：
分析系统的性能
确定系统的结构和参数 校正装置的综合
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第一节 根轨迹的基本概念
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根轨迹基本概念
系统的结构图如下：
R( s )
-
G (s)
C (s)
闭环传递函数为： ( s)
G( s) 1 G( s) H (s)
H (s)
2
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根轨迹解析法绘制
[总结]当 k g 从0变化到 时，系统的根 轨迹是连续的。 k g 0 的点称为起点， k g 的点称为终点。本例中有两个分 支，终点都在无穷远处。 这里是用解析法画出的根轨迹，但对于 高阶系统，求根困难，需用图解法画图。
kg 0
s 1 s
i
m
| (s p ) |
j j 1 n j 1
i 1 n
1
( s zi ) - ( s p j ) (2k 1) , k 0,1,2...
m
上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
i 1
”表示开环极点，“ ”表示 [一些约定]：在根轨迹图中，“ 开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的 方向。“ ”表示根轨迹上的点。 我们先以根轨迹增益 k g （当然也可以用其它变量）作为变化量 来讨论根轨迹。
1 Gk (s) 0 的根。 闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：
换句话说，满足： Gk ( s) -1或：k g 的极点，闭环特征方程 的根。
(s z )
i i 1 n j j 1
m
(s p )
-1的点就是闭环系统
[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系 统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
kg s ( s 1) s -0.5 j 2
1， k g 4.25
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小结
根轨迹定义 根轨迹的幅值条件和相角条件 180度等相角根轨迹，等增益根轨迹 相角条件的表示，幅值条件的使用 用解析法画根轨迹的方法
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