根轨迹法的基本概念
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
4-1 根轨迹法基本概念
4.4.2 根轨迹与系统性能 1.稳定性 稳定性 当开环增益K从 变化 当开环增益 从0变化 到无穷时，根轨迹均在s 到无穷时，根轨迹均在 左半平面变化， 左半平面变化，不会进入 s右半平面，因此，对任 右半平面， 右半平面 因此， 均稳定。 意K值，系统均稳定。 值 2.稳态性能 稳态性能 因为开 因为开环系统只有一个 极点位于原点， 极点位于原点，所以系统 型系统， 为I型系统，其静态速度 型系统 误差系数为K。 误差系数为 。
i =1 1 j =1
比较开环传递函数与闭环传递函数可得： 环传递函数与闭环传递函数可得 比较开环传递函数与闭环传递函数可得： (1)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通 闭环系统根轨迹增益， 闭环系统根轨迹增益 道根轨迹增益 道根轨迹增益。 对单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于 对单位反馈系统 闭环系统根轨迹增益等于 开环系统根轨迹增益 开环系统根轨迹增益。 (2)闭环零点由开环传递函数中前向通道传递函 闭环零点由开环传递函数中前向通道传递函 闭环零点由开环 数的零点和反馈通道传递函数的极点组成。 数的零点和反馈通道传递函数的极点组成。 对单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。 对单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。 (3)闭环极点与开环零、极点及开环系统根轨迹 闭环极点与开环零、极点及开环系统根轨迹 闭环极点与开环零 增益K*有关 有关。 增益 有关。
第4章 线性系统根轨迹法 章
平顶山学院计算机科学与技术学院
根轨迹法是一种图解方法， 根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制 理论中对系统进行分析和综合的基本方法之 一。由于根轨迹图直观地描述了系统特征方 程的根（即系统的闭环极点） 平面上的分 程的根（即系统的闭环极点）在s平面上的分 因此， 布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十 分方便， 分方便，特别是对于高阶系统和多回路系 应用根轨迹法比用其他方法更为方便， 统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便， 因此在工程实践中获得了广泛应用 中获得了广泛应用。 因此在工程实践中获得了广泛应用。本章主 要介绍根轨迹的概念， 要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规 则和用根轨迹分析自动控制系统性能的方法 能的方法。 则和用根轨迹分析自动控制系统性能的方法。
自动控制第五章根轨迹法
15
绘制根轨迹的规则
【例5-2】已知负反馈系统的开环传递函数为：
解：(1)根轨迹的分支数和对称性 开环极点分别为： 系统的根轨迹有三条分支 (2)根轨迹的起点与终点 起始于系统的三个开环极点，并趋向于无穷远处
K1 Kb
j Kc
K1
(3)根轨迹的渐近线
Kc K1
16
绘制根轨迹的规则
闭环特征根s1，s2 随着K1值得 改变而变化。
(1) K1= 0：s1 = 0，s2 = 2，是根轨迹的起点，用“”表示。 j K1 (2) 0 < K1<1 ：s1 ，s2 均是负实数。 K1 s1 ，s2 。 s1从坐标原点开 始沿负实轴向左移动； s2从（2， K1= 0 K1= 0 K1=1 j0）点开始沿负实轴向右移动。 1 0 2 (3) K1= 1： s1 = s2 = 1，重根。
+
﹣
K s(0.5s+1)
C(s)
式中，K为系统的开环比例系数。 K1 = 2K 称为系统的开环 根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为：
K1 ( s) 2 s 2s K1
系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + 2K1 = 0
4
一、根轨迹
用解析法求得系统的两个闭环特征根为：
s1,2 1 1 K1
K1
分离角为：
Kb
Kc K1
17
绘制根轨迹的规则
一般情况下，如果根轨迹位于实轴上相邻的开环极点之间， 则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根 轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可在 无穷远处），则这两个零点之间至少存在一个汇合点。
根轨迹法的基本概念
K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
根轨迹的基本概念
m
n
上述两式称为满足根轨迹方程(kg>=0)的幅值条件和相角条件。
当根轨迹增益kg<0时：
根轨迹方程可写为：
| kg | s z j
j 1
m
s p
i 1
m j 1
n
e
n m j ( s z j ) ( s pi ) i 1 j 1
的旁边。
根轨迹的两种类型：
180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0)
的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的 点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨
称 Gk (s) 1 或 k ×
g
(s z ) (s p )
j1
j
m
i1 n
i
1
为负反馈系统根轨迹方程
4.1.2
根轨迹的幅值和相角条件
当根轨迹增益kg>=0时： 根轨迹方程可写为：kg s Nhomakorabea z j
j 1
m
kg
1
(s z )
i
m
s p
i 1
不满足相角条件，所以点B不是根轨迹上 的点。
Im
B A
A2
p2
s2
s
A1
p1
Re
利用幅值条件在根轨迹上确定特定点的根轨迹增益kg
上例中，若A点的坐标是-1+j1，则根据幅值条件：
kg s( s 2) s 1 j1
1 ， kg 2
根轨迹法基本概念
KG0 (s)
则闭环特征方程为:
1 K num 0 den
特征方程旳根随参数K旳变化而变化,即为闭环根轨迹.
项目1:已知系统旳开环传递函数模型为：
K Gk (s) s(s 1)(s 2) KG0(G)
利用下面旳ＭＡＴＬＡＢ命令可轻易地绘制出系统旳根轨迹 >>G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);
引言
A.闭环系统旳稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程旳根。
B.当待定参数变化时特征根随之变 化，这个根旳变化轨迹就形成根轨迹。
C.用来研究根轨迹旳变化规律以及 和闭环系统性能间旳关系旳措施，称为 控制系统根轨迹分析法。
§4.2 根轨迹旳概念
要求： 1)掌握根轨迹旳概念 2)掌握根轨迹幅值条件和相角条件
2)相角条件是决定根轨迹旳充要条件， s平面上一点若满足相角条件,即为根轨迹 上旳一点。
3)幅值方程用于拟定根轨迹上一点旳K值;
根轨迹点
幅值方程
四. 根轨迹与系统性能
1.稳定性 假如系统特征方程旳根都位于S平面 旳左半部，系统是稳定旳，不然是不稳定旳。若
根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交
另一种问题是，经过解方程求得旳闭环 极点，是在系统参数一定旳情况下求得旳。 但当系统中旳参数变化时，如开环增益K变化 时，又得重新解方程求根，因而很不以便。
为了处理以上问题，1948年，伊万斯提 出了控制系统分析设计旳根轨迹法。
这种措施是根据反馈控制系统旳开环、闭 环极点传递函数之间旳关系，根据一定旳准 则，直接由开环传递函数旳零、极点，求出 闭环极点。从而，比较轻易旳得到系统旳性能.
要点： 1)根轨迹旳概念 2)闭环系统旳特征根旳根轨迹与开环 传递函数旳关系
根轨迹法根轨迹法
看出：模值方程与K*有关，而相角方程 与K*无关。因此，相角方程是决定闭环 根轨迹的充分必要条件，而模值方程是 用来确定根轨迹上各点对应的K*值。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.2 绘制根轨迹图的基本法则 法则1 根轨迹的分支数：
n 阶系统根轨迹有 n 条分支。
法则2 根轨迹的对称性： 根轨迹是关于实轴对称的。
K
j
K=2.5
2
K=1
1
K=0
K=0.5 K=0
-2 -1
K=1
-1
K=2.5
-2
K
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
二、根轨迹与系统的性能
稳 定 性 ： 只 要 K>0， 则根轨迹在s平面的左
K
j
K=2.5
2
半平面，因此，系统 是稳定的。
K=1
1
稳态性能：有一个开
K=0
K=0.5 K=0
法则3 根轨迹的起点、终点： 根轨迹起于开环极点 pi， 终止于开环零点 zj (m条)， 或趋于无穷
远点(n-m条)。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得
m
j1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
i 1
令K* =0，得
m
j1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。
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(s z )
i 1 i
m
n m d ln ( s p j ) d ln ( s zi ) j 1 i 1 ds ds
j 1
n
d ln(s p j ) ds
n
i 1
m
d ln(s zi ) ds
m 1 1 s p j 1 i 1 s zi j
2 10Biblioteka 6、根轨迹的起始角和终止角： 根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处 切线与正实轴的夹角：
p1 (2k 1) ( p1 zi ) ( p1 p j )
证明：
m n
F ( s) K
*
(s z ) (s p ) 0
i 1 i j 1 j
n dF ( s) d * m K ( s zi ) ( s p j ) 0 ds ds i 1 j 1
(s p ) K (s z )
1 0 若无开环零点，则： i 1 d zi
m
注意：
一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这
两相邻极点之间必有分离点；
如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）
之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。
如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们
之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会 合点。
（3）由于K*连续变化，故根轨迹具有连续性。
3、根轨迹的渐近线： n-m条根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处，渐近线与实轴交 点和夹角为：
n m pi z j j 1 a i 1 nm (2k 1) a nm
4、实轴上的根轨迹
实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点数的总 和为奇数，该区域为根轨迹。
渐近线与实轴夹角为： 渐近线与实轴交点为：
j = (2k + 1)p p 3p , k = 0,1j 1 = , j 2 = 3- 1 2 2
0- 2- 3+ 1 =- 2 3- 1
s =
4、求分离点：
1 1 1 1 = + + d+1 d d+ 2 d+ 3 d = - 2.47
j
2.47
3
1 2 3 [1 2 3 4 5 ]
0 3600 [1800 3600 0 0] 1800
5、根轨迹的会合点和分离点：
若干根轨迹在复平面上相遇后又分开的点称为分离点或会 合点。
n 1 1 分离点坐标d的求解： d z i 1 j 1 d p j i m
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 绘制根轨迹的基本法则
4-3 广义根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
根轨迹是开环系统的某一参数从零变化到无穷时， 闭环系统特征方程式的根在S平面上变化的轨迹。
举例：
R( s )
-
K s (0.5s 1)
C (s)
( s )
K
*
s pn s zm
起点：
终点：
K * 0 s pi
i 1, 2,
K * s zi
n m0
j 1, 2,
m
K
*
lim
s
s p1 s z1
s pn s zm
lim s
s
nm
2、根轨迹的分支数及对称性和连续性 （1）根轨迹分支数＝特征根个数。 （2）由于闭环特征根是实根或共轭复根，故根轨迹对 称于实轴。
二、根轨迹方程
1 G( s)H ( s) 0
G( s ) H ( s ) K
*
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
K*
( s zi ) (s p )
j 1 j
m i 1
m
i 1 n
1
模值条件： ( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1)
特征方程的根 性、系统性能）
运动模态
系统动态响应（稳定
因此利用根轨迹，可以分析系统稳定性、稳态性能和动态性 能。 （1）稳定性：根轨迹都在S左半平面，闭环系统稳定。
2 （2）稳态性能：ess * K
（3）动态性能：0<K*<1，两个不等负实根，过阻尼系统； K*＝1，两个相等负实根，临界阻尼系统； K*>1，一对共轭复根，欠阻尼系统；
* j 1 j i 1 i m d n * d (s p j ) K (s zi ) ds j 1 ds i 1
n
m
(1) (2)
(2) (1)
d n (s p j ) ds j 1
(s p )
j 1 j
n
d m ( s zi ) ds i 1
K* s 2 2s K *
s1,2 1 1 K *
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K * 0, s1 0, s2 2 K * 1, s1 1, s2 1 K * 5, s1 1 2 j , s2 1 2 j K * 2, s1 1 j , s2 1 j
j 1
n
相角条件： K
*
s p sz
i 1 j 1 m
n
j
i
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º 根轨迹。
4-2
绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
s p1 s z1
n
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
G( s) H (s) = 例题：单位反馈系统的开环传递函数为：
K *( s + 1) s( s + 2)( s + 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。 2、实轴上根轨迹为[-3,-2]，[-1，0] 3、求渐近线：