根轨迹的概念
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理第四章 根轨迹
① ∵有三个极点，根轨迹 有三条分支 ② ∵n=3, m=2 ∴有３－２＝１条根 轨迹→∞， ２条终止于开环零点。 ③在实轴上不同段上取试 验点
-4 -3 -2 -1
jω
×
o
×
o ×
σ
§４－２绘制根轨迹的基本规则
五．根轨迹的渐近线
１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处的分支的 渐近线的倾角为
1 1
在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现 虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚 轴的交点。可以用 s j 代入特征方程求解， 或者利用劳斯判据确定。
§４－２绘制根轨迹的基本规则 续例４－２，将 s j 代入特征方程。
j ( j 1 )( j 2 ) K j ( j
§４－１根轨迹的基本概念 将开环传递函数写成下列标准的因子式
K1 G (S )H (S )
j 1 n
m
(s z
j
)
i 1
(s pi )
注意这个形式和求 稳态误差的式子不 同，需变换成这种 形式．
z j －开环零点．
p i －开环极点．
此时，幅值条件和相角条件可写成
K
1
j 1 n
s 2 .3
2 . 3 0 . 7 1 . 64 1 . 64 4 . 33
６．求根轨迹在
p3
的出射角
p 180 ( 135 90 26 . 6 ) 431 . 6
( 减去 360 ，为 71 . 6 ）
§４－３反馈控制系统的根轨迹分析 ７．求根轨迹与虚轴的交点．
K1=6
第四章课件根轨迹
经整理得： 2 s3 1s2 1 2s 0 8 0 s0.55
法则6 根轨迹的起始角和终止角：
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹 角，称为起始角，以 p i 表示；
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹 角，称为终止角，以 z i表示。
起始角、终止角可根据下式求出：
pi
(2k1)
m
j1 zj
法则3 根轨迹的渐近线：
当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交a 点为 的一组 a 渐近线趋向于无穷远处，且有
a
(2k1)
nm
n
m
pi zj
σa
i1
j1
nm
(k0,1,2,,nm1)
证明：根轨迹方程式可写成如下形式：
m
G(s)H(s) K*
(s zj )
设系统的开环传递函数为： G(s)H(s)K* P(s)
系统的特征方程式为：
Q(s)
D (s) 1 G (s)H (s) 1 K * P (s) Q (s) K * P (s) 0 Q (s)
对上式求导，得到： D ( s ) Q (s ) K * P ( s ) 0
由以上两式消去 K *得到
Q (s )P (s ) Q (s )P (s ) 0
点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 证明：
设s0为实轴上的某一测试点； j是各个开环零点到s0点向量的相角； i是各个开环极点到s0点向量的相角。
因为复数共轭零、极点到实轴上的任一点
的向量相角之和为2 ，因此在确定实轴上
的根轨迹时，可以不考虑它们的影响。
由图可见,s0点右边开 环实数零极点到s0点的向量 相角均为。
第四章 控制系统根轨迹分析法
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
根轨迹法的基本概念
K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
根轨迹
根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念 所谓根轨迹就是指当系统中某个 参量由零到无穷大变化时， 参量由零到无穷大变化时，其闭环特 征根（极点） 征根（极点）在s平面上移动的轨迹
方法1:解 方法1:解方程法 1: 开环传递函数 ∗ K G( s) = s( s + 1)( s + 2)
1 1 1 1 = + + ∑ s− p s s+1 s+ 2 = 0 j =1 j
3
方法3:极值法 方法3:极值法 3:
dK ∗ =0 ds
K ∗ = − s 3 − 3s 2 − 2s dK ∗ = −3s 2 − 6s − 2 = 0 ds ds
m 1 1 =∑ ∑ d − p i =1 d − z j =1 j i n
重根法求解d 2 、重根法求解d
f ( s ) = A( s ) + K ∗ B( s ) = 0
A( s ) B′( s ) − A′( s ) B( s ) = 0
3、由极值点求解d 由极值点求解d dK ∗ = 0 坐标值由
4-2 绘制根轨迹的基本法则
设控制系统的开环传递函 数为 m
G(s)H ( s) = K
*
jω
∏ (s − z )
i =1 n i j =1 j
∏ (s − p
)
K =∞ 1 −1
K*(s − z1)L (s − zm) = (s − p1)(s − p2 )L (s − pn )
K =0 −6
• K = 35, ω =1.35
线性系统的根轨迹法
法则7. 根轨迹与虚轴的交点
交点和临界根轨迹增益的求法：
解： 方法一
例8.
，试求根轨迹与虚轴的交点。
K*=0 w =0 舍去(根轨迹的起点)
与虚轴的交点:
闭环系统的特征方程为：
s=jw
劳斯表：
01
s2的辅助方程：
02
K* =30
03
当s1行等于0时，特征方程可能出现纯虚根。
04
等效的开环传递函数为：
参数根轨迹簇
二、附加开环零、极点的作用
试验点s1点
例1.设系统的开环传递函数为： 试求实轴上的根轨迹。
解：
零极点分布如下：
p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2
实轴上根轨迹为：[-1，0]、[-3，-2]和 (- ∞ ，-4]
jw
-2
-1
1
2
-1
-2
s
.
.
.
.
.
.
.
.
三、闭环零极点与开环零极点的关系
反馈通路传函：
前向通路传函：
典型闭环系统结构图
KG*--前向通路根轨迹增益 KH*--反馈通路根轨迹增益
K*--开环系统根轨迹增益
1
闭环传递函数：
2
开环传递函数：
01
04
02
03
闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。 对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。
(5)用(s-s1)去除Q(s)，得到余数R2 ；
(6)计算s2 =s1-R1/R2 ；
(7)将s2 作为新的试探点重复步骤(4)~(6)。
例4.试用牛顿余数定理法确定例3的分离点。
根轨迹的基本概念
0.1
0.113
0.887
0.25
0.5
0.5
0.5 j0.5
0.5 j
0.5
0.5 j0.5
0.5 j
由于系统的闭环极点是连续变化的，将它们表示在s平面上就是该系统的根 轨迹，如图所示
图中箭头方向表示当开环增益K增大时闭环极点移动的方向，开环极点用
“ ”来表示，开环零点用“ ”来表示（该系统没有开环零点），粗实线即
设系统的开环传递函数为 m
K* (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s pj )
j 1
式中 K* ——根轨迹增益；
zi ——开环零点；
p j ——开环极点。
则系统的根轨迹方程（及闭环特征方程）为
1 G(s)H (s) 0
所以 G(s)H (s) 1 ，即根轨迹方程为
m
K* (s zi )
例如，系统的特征方程为 (0.5s 1)(Ts 1) 10(1 s) 0
即
Ts(0.5s 1) (11 9.5s) 0
方程的两边除以其中不含T的项，得
1 Ts(0.5s 1) 0 11 9.5s
该方程可进一步改写成
1 T *s(s 2) 0 s 11 9.5
其中，T *
i 1 n
1
(s pj )
j 1
显然，满足上式的复变量s为系统的闭环特征根，也就是根轨迹上的点。当 K*
从0到 变化时，n个特征根将随之变化出n条轨迹。这n条轨迹就是系统的根轨迹。
根轨迹方程可分解为相角方程和幅值方程，其中相角方程为
m
n
(s zi ) (s p j ) (2k 1)180 (k 0 ，1，2 )
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根轨迹的概念特征方程<见传递函数）的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。
我们先看下面的例子。
设单位反馈系统的开环传递函数为：当开环放大系数K从零到无穷大变化时，系统的特征根在s平面上怎样分布？解系统有两个开环极点系统的闭环传递函数为系统的特征方程为特征方程的根可见特征根在s平面的位置与K有关。
K=0时，,与开环极点的位置相同。
0<K<1/4时，,均为负实数，分布在0到-1之间，随K从零开始逐渐增大，和也从开环极点的位置开始逐渐接近。
K=1/4时，==-0.5，两个闭环极点重合。
K>1/4时，和都成为共轭复数。
b5E2RGbCAP具有相同的负实部，且为常数，而虚部则随K的增加其绝对值也增加。
图3.28给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时，相应位置的变化情况。
这种放大系数K从零到无穷大变化时，特征方程的根在s平面上相应变化的轨迹，称为根轨迹。
根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。
根据图3.28的根轨迹图，我们可以知道，在K<1/4时，系统的单位阶跃响应中含有两个指数项函数。
在K=1/4时，两个指数项函数合二为一。
在K1/4时，根轨迹进入复平面，说明系统的单位阶跃响应由单调变化转变为振荡。
从图还可以看出，不论K怎样变化，系统始终是稳定的。
因为全部根轨迹都分布在s平面左半边。
p1EanqFDPw图3.28 特征根随K的变化情况根轨迹的基本条件控制系统的特征方程为(3.145>式中为系统前向通道传递函数，H(s>为系统反馈通道传递函数。
上式可改写为(3.146>将系统的开环传递函数写成零极点形式(3.147>式中K称为根轨迹放大系数或根轨迹增益。
称为开环零点，称为开环极点。
将<3.147）式代入<3.146）式得DXDiTa9E3d(3.148>式<3.148）是一个复数方程，可以用复数的幅值和幅角分别表示为(3.149>, (3.150>式中是矢量与实轴正方向的夹角，是矢量与实轴正方向的夹角。
我们称式<3.149）为根轨迹的幅值条件，式<3.150）为根轨迹的幅角条件。
凡在根轨迹上的点都是系统特征方程的根，都必须同时满足根轨迹的幅值条件和幅角条件。
这两个条件统称为根轨迹的基本条件。
RTCrpUDGiT根轨迹的绘制规则根轨迹法是分析控制系统的一种图解方法，正确地绘制出根轨迹图是进行根轨迹分析的基础。
根轨迹图的绘制，并不要求求解特征方程，而是根据根轨迹的基本条件，导出一些简单实用的法则，画出根轨迹图形。
绘制根轨迹的规则有：1.根轨迹的分支n阶系统的特征方程是关于s的n次代数方程，方程有n个解，所以系统的根轨迹有n条。
也就是说，根轨迹有n条分支。
2.根轨迹的起点与终点将式<3.148）写成5PCzVD7HxA(3.151>当K=0时，上式右边为无穷大，左边只有当s趋于时才会是无穷大。
根轨迹的起点是K=0时的根轨迹，所以说根轨迹起始于开环极点。
K趋于无穷大时的根轨迹，称为根轨迹的终点。
从式<3.151）可以看出，时，方程右边为零，而方程左边只有在时才会为零。
所以可以说根轨迹终止于开环零点。
控制系统中，若n>m，m条根轨迹终止于开环零点，还有<n-m>条根轨迹则终止于无穷远处。
这时因为，当时，由于n>m,同样有jLBHrnAILg3.根轨迹的渐近线终止于无穷远处的<n-m>条根轨迹，在时，沿渐近线变化。
渐近线确定了终止于无穷远处的根轨迹的变化方向。
渐近线与实轴正方向的夹角为xHAQX74J0X(3.152>渐近线与实轴的交点为(3.153>式<3.153）可以表述为<所有开环极点之和-所有开环零点之和）/n-m4.根轨迹的对称性特征方程的根不是实数就是共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。
在绘制根轨迹时，只需绘出上半平面的部分，根据对称性，下半平面的部分很容易绘制出来。
LDAYtRyKfE5.实轴上的根轨迹实轴上的开环零点和开环极点把整个实轴划分为若干线段。
这些线段是不是根轨迹的一部分，可以根据幅角条件来判断。
只有其右边开环零极点总数为奇数的线段，才能满足根轨迹的幅角条件。
所以说，实轴上的根轨迹是那些右边开环零极点个数为奇数的线段。
6.根轨迹的分离点与会合点两支根轨迹从开环极点出发后相遇又分开的点称为根轨迹的分离点。
两支根轨迹相遇后又分开各自趋向终点的点称为根轨迹的会合点。
在分离点或会合点上，特征方程必有重根。
分离点或会合点可用下面的方法求取。
系统的特征方程为Zzz6ZB2Ltk即上式可简化为式中A(s>和B(s>是不含可变参数K的表达式。
解方程(3.154>即可求出分离点或会合点。
但方程<3.154）的解不一定都是分离点或会合点。
经检验，这些点若在根轨迹上，则为分离点或会合点。
若不在根轨迹上，此时对应的K一般为负值，则不是分离点或会合点。
绝大多数分离点或会合点都分布在实轴上。
实轴以外的分离点或会合点则以共轭复数形式成对出现。
7.根轨迹的出射角与入射角系统存在复数开环零点和开环极点时，必须知道根轨迹从开环复数极点出射的方向或进入到开环零点的方向。
出射角<入射角）是根轨迹在开环复数零极点上切线的方向角，可以根据根轨迹的幅角条件求出。
根据式<3.150）可得dvzfvkwMI1(3.155>(3.156>上两式中为出射角，为入射角，和是所有开环零极点<不包括所求的零极点）指向所求开环复数极点或开环复数零点的矢量与实轴正方向的夹角。
8.根轨迹与虚轴的交点s平面的虚轴是控制系统稳定与不稳定的分界线。
根轨迹通过虚轴，系统的稳定性就会发生变化。
所以，确定根轨迹与虚轴的交点非常重要。
根轨迹在虚轴上，则s=j,将其代入特征方程rqyn14ZNXI再令特征方程的实部和虚部都为零，可以得到两个方程：实部方程和虚部方程。
求解这两个方程，可得到根轨迹与虚轴的交点和对应的K值。
利用上述8条绘制根轨迹的规则，可以较方便地做出系统的根轨迹图。
下面，通过一些实例，进一步了解根轨迹的作图规则。
例17 控制系统的开环传递函数为EmxvxOtOco试绘制K从零到无穷大变化时系统的根轨迹。
解<1）系统为三阶系统，根轨迹共有3条分支。
<2）根轨迹的起点为0，-2，-4，图3.29中用表示开环极点。
根轨迹无开环零点，三支根轨迹均终止于无穷远处。
<3）终止于无穷远处的根轨迹的三条渐近线与实轴正方向的夹角和与实轴的交点为SixE2yXPq5<4）根轨迹在实轴上的部分是，两个线段。
<5）分离点。
特征方程求得：不在根轨迹上，不是分离点。
分离点为s=-0.85。
<6）系统无复数零极点，因而无出射角、入射角问题。
<7）根轨迹与虚轴的交点6ewMyirQFL得实部方程虚部方程解得图3.29是该系统的根轨迹图。
图3.29 例17的根轨迹例18 控制系统的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。
解<1）系统为四阶系统，根轨迹共有4条分支。
<2）根轨迹的起点：0，-3，-1j1。
根轨迹终点：-2，有3条根轨迹终止于无穷远处。
<3）渐近线与实轴的交角和交点kavU42VRUs<4）根轨迹在实轴上的部分是0到-2，-3到负无穷大。
<5）分离点：无根轨迹分离与会合。
<6）出射角：开环极点-1j为共轭复数极点。
开环零点分布入图3.30所示。
y6v3ALoS89图3.30 开环零极点的分布将图3.30各角的值代入式<3.155），根据根轨迹的对称性，复数开环极点-1-j的出射角为。
图 3.31 例18的根轨迹<7）与虚轴交点，将S=j代入特征方程。
特征方程为代入S=j并整理后得实部方程虚部方程解此方程组，得图3.31是系统的根轨迹图。
图3.32 控制系统的根轨迹图3.33 附加零点的作用根轨迹法分析系统性能根轨迹法是一种图解方法。
运用根轨迹法能够分析系统的稳定性和动态特性、稳定特性。
根轨迹法在对高阶系统的分析中，可以根据闭环零极点的位置，较方便地确定参数变化对系统动态过程的影响，利用闭环主导极点的概念对系统进行近似分析计算。
因此是一种很实用的工程方法。
下面，我们通过一些实例说明根轨迹法在系统分析中的应用。
例设某控制系统的开环传递函数为M2ub6vSTnP分析该系统的稳定性并利用根轨迹法校正系统的稳定性。
解按照根轨迹的绘制规则，系统的根轨迹图如图3.32所示。
由图可见，系统的两支根轨迹位于s平面右半边，无论K怎样变化，系统始终是不稳定的。
若在系统中附加一个开环零点，该开环零点是位于0到-10之间的一个负实数，则系统的根轨迹就变成图3.33所示的形状。
显然，无论K怎样变化，系统始终是稳定的。
图3.32和图3.33说明，在适当位置上引入附加零点，可以使控制系统的性能得到有效改善。
图3.33还表明，在s平面原点有两个开环极点，系统是型系统，对单位阶跃和单位斜坡输入函数响应的稳态误差为零。
系统的单位阶跃响应，是衰减振荡过程。
例20 单位反馈控制系统的传递函数为0YujCfmUCw求使系统稳定的范围。
解：本例给出的传递函数是典型环节形式，将其改写为零极点形式：式中K称为开环放大系统，称为根轨迹放大系数二者相差一个比例常数，比例常数是由时间常数和零极点的数值决定的。
可以证明，二阶开环系统在其开环极点左边有一个开环零点时，其根轨迹有一部分是圆，圆心为开环零点，半径为开环零点到分离点的距离。
分离点<会合点）eUts8ZQVRd系统根轨迹如图 3.34所示。
根轨迹与虚轴的交点，通过s=j代入特征方程，可求得由可计算出系统的开环放大系数所以，当开环放大系数K的范围为系统是稳定的。
图3.34 系统根轨迹图申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。