第四章 根轨迹方程
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
第4章 根轨迹法
• 4.4
应用MATLAB绘制根轨迹图
• 使用rlocus命令可以得到连续的单输入单输
出系统的根轨迹。 • （1）Rlocus（num，den）或rlocus（num，
den，k）
• （2）sgrid或sgrid(zeta，wn)
• 解 在图4.11中画出ξ=0.5的射线，与根轨 迹相交得闭环极点的要求位置s0。再画出 Gk(s)的极点到s0的三个向量——
• 得 • 由向量幅值
• 换句话说，如果取K*的值为65，则1+Gk (s) 的一个根将位于s0，另一个根当然是和s0共 轭的。第3个根在何处呢？由根轨迹知道， 第3条根轨迹在负实轴上，在一般情况下， 可以取一试探点，计算相应的K*值，然后 修正试探点直到找出和K*=65相应的点为止。
• ②方法2 根据式(4.14)，求出闭环系统特 征方程。
• 由上式可得
• ③方法3
根据式(4.15)有
• d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根 轨迹上，则舍弃。此系统根轨迹如图4.4。
图4.4
• 以上介绍了9条绘制根轨迹的一般规则。为 了熟练应用上述9条规则，并能绘制复杂系 统根轨迹，下面再举一例说明如何绘制一 个复杂系统的完整根轨迹图。
第4章
• 4.1
• 4.1.1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根轨迹法
根轨迹的基本概念
根轨迹的定义
• 系统参数（如开环增益K *）由零增加到∞ 时，闭环特征根在S平面移动的轨迹称为该 系统的闭环根轨迹。
• 4.1.2
根轨迹方程
• 既然根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，
则描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨 迹方程。 • 则根轨迹方程（系统闭环特征方程）为： （4.2）
第四章根轨迹法.
9
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则 法则 1 根轨迹的分支数和对称性 : 1. 根轨迹对称于实轴(实数根或者复数根) 根轨迹对称于实轴(实数根或者复数根) 2. n阶系统有 条根轨迹 阶方程有 个确定的根,当根由始点 阶系统有n条根轨迹 阶方程有n个确定的根 阶系统有 条根轨迹(n阶方程有 个确定的根, 向终点移动时,必定形成一条根轨迹) 向终点移动时,必定形成一条根轨迹)
24
法则 8 根之和 : 当 n m ≥ 2 时 , 特征方程第二项系数与 K* 无关 , 无论 K* 取 何值 , 开环 n 个极点之和总是等于闭环特征方程 n 个根之和
∑s = ∑ p
i =1 i i =1
n
n
i
(4-25)
25
画出了几种常见的开环零, 在图 4-15 中 , 画出了几种常见的开环零,极点分布及其相应 的根轨迹 , 供绘制概略根轨迹时参考 .
3
4.1.1 根轨迹概念 一, 根轨迹概念 根轨迹简称根迹 , 它是开环系统某一参数从零变到无穷时 , 闭 环系统特征方程的根(闭环极点 在 环系统特征方程的根 闭环极点)在 s 平面上变化的轨迹 . 闭环极点 设控制系统如图4-1所示 设控制系统如图 所示 , 其 闭环传递函数为 C ( s) 2K φ ( s) = = 2 R( s ) s + 2 s + 2 K 显然 , 其特征根为 s1, 2 = 1 ± 1 2 K 其特征根变化如图4-2所示 令 K = 0 → ∞, 其特征根变化如图 所示 . "×"---------表示开环传递函数的极点 × 表示开环传递函数的极点 "°"---------表示开环传递函数的零点 表示开环传递函数的零点 箭头的指向-------表示 增大是根的移动方向 表示K增大是根的移动方向 箭头的指向 表示
第四章：根轨迹法
j=1
确定根轨迹上某点对应的K*值
闭环零、极点与开环零、极点的关系
比较开环传递函数与闭环传递函数：
G (s) H (s) K G K H
( S Z ) ( S Z
i i 1 q j 1 h i i 1 j 1
f
l
f l m j
) K
(S Z
j 1 i i 1
j
)
( S P ) ( S P )
j
qhn
(S P )
Φ(s)=
* KG ∏(s-zi ) ∏(s-pj )
i=1
j=1 * * ∏(s-pi ) ∏(s-pj ) + kG kH ∏(s-zi )∏(s-zj ) i=1 j=1 i=1 j=1 q h f l
相角条件:
m
根轨迹的模值条件与相角条件 n
∑∠(s-zj) －∑∠(s-pj) = (2k+1) π j=1 i=1
k=0, ±1,
±2, … m 绘制根轨迹的充要条件 i=1 m
模值条件:
1+K K = = -1 0 1 n (s ) ∏︱ -p︱
i=1
) ∏︱ - z︱ s -p ( s jn ∏︱ ︱ j=1 i * *
第四章：根轨迹法
教学目的
对于低阶控制系统，我们可以用求解微分方程方法来分析控制 系统，而对于高阶系统，用微分方程的方法求解就比较困难。根轨
迹方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用起来比较
简便，因此在工程设计中获得了广泛应用。 通过本章内容学习，要使学生懂得根轨迹的概念，根轨迹的作 图方法，以及根轨迹与系统性能之间的关系。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
第四章 根轨迹法
nm
0 (1) (2) 30
1
a
(2k 1)
nm
、 、
33
例2
单 位 反 馈 系 统 的G ( s )
s(s2
K* 2s
2)
m
n
pk (2k 1) pk z j pk pi
j1
i 1
ik
p2
(2k
1)
0
2
3 4
4
n
m
σ a
pi zi
i1
i1
nm
j 1
i 1
ik
n
m
o终止角： zk (2k 1) (zk pi ) (zk z j )
i1
j1
jk
• 法则7: 分离点（会合点）坐标d：
o 几条根轨迹在[s]平面上相遇后又分开的点，称为分离点。
o 分离点的坐标d可由方程 dKg (s) 0
例3
D`(s)
N
(s)
N
`(
ds
s)D(s)
j
s1
0
s2
4.3 广义根轨迹
在负反馈系统中， K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他情 况下的根轨迹称广义根轨迹。通常有参数根轨迹和零度根轨迹。
4.3.1 参数根轨迹
• 变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹叫参数根轨迹。将
开环传函变形让变化的参数处于开环增益的位置就可以采用绘制常
规根轨迹时的法则。
1 G(s)H(s) 0即(s3 3s2 2s K* ) 0 s j
j 3 3 2 2j K* 0
ω 2,K * 6 • 开环增益为 K=K＊/2 ，K的稳定域为 0<K<3 .
第4章 根轨迹法
m n
sk
s+
jω
s+p
s
j=1 n
=
1 ； K gk
−z j
z
j
i
αj
βi
σ
0
∑ α jk − ∑ βik = ±180 (1 + 2k) (k = 1, 2,⋯)
j=1 i =1
−p i
幅值条件为：
∏ s + zj ∏ s + pi
i =1 j=1 n
m
1 = Kg
幅角条件：
∑ α j − ∑ βi = ±180 (1 + 2k)
j=1 i =1
m
n
(k = 1, 2,⋯)
三、应用幅值条件确定 K g 值
jω
△
某控制系统的开环传递函数为
1 K g (s + ) K(8s + 1) 8 G(s)H(s) = 2 = s (2s + 1) s 2 (s + 1 ) 2
-0.5 L3
sk L 1,2 l 60° σ
1 8 1 p1 = − 2 z1 = −
可见，闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成， 闭环零极点放大系数等于前向通道零极点放大系数 K Gg 。
一、根轨迹的连续性 第二节 绘制根轨迹的一般规则 二、根轨迹的分支数 三、根轨迹的对称性 四、根轨迹的起点和终点
m m
j=1 lim n s→∞ i =1
∏ s + zj ∏ s + pi
六、根轨迹的分离点和会合点
D(s) K g (s) = − N(s)
dK g (s) ds
=0
D' (s)N(s) − N ' (s)D(s) = 0
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
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第四章 根轨迹法4-1 根轨迹的基本概念一． 根轨迹概念：闭环系统的动态性能与闭环极点在s 平面上的位置密切相关,系统的闭环极点也就是特征方程式的根.当系统的某一个或某些参量变化时,特征方程的根在s 平面上运动的轨迹称为根轨迹.根轨迹法: 直接由开环传递函数求取闭环特征根的方法.例： 设控制系统如图4-1所示()()15.0+=s s Ks G()()2220+=+=s s K s s K ,开环极点： 01=p , 22-=p ()()()0202K s s K s R s C s ++==Φ；式中K K 20= 此系统的特征方程式可写为：()02,1121102K s K s s s -±-=⇒=++=∆ 讨论： 200210-===s s K ，时，111210-=-==s s K ，时， j s j s K --=+-==112210，时， ∞--=∞+-=∞=j s j s K 11210，时，令k 为0 ∞.可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值图4-1 控制系统的结构图R (s )C (s )K s(0.5s+1)标住在S 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。
图上，粗实线就称为系统的根轨迹。
分析:1.0K 变化时,根轨迹均位于左半s 平面,系统恒稳定.2.根轨迹有两条,两个起点2,021-==s s3.100<<K 时,闭环特征根为负实根,呈过阻尼状态.4.10=K 时,闭环特征根为一对重根,响应为单调上升的指数曲线.5.10>K 时,闭环特征根为共轭复根,响应为衰减振荡.6.开环增益K 可有根轨迹上对应的0K 值求得.0K 为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹.二、根轨迹的幅值条件和相角条件设单闭环控制系统框图如图：通常有两种表示形式： A ．时间常数形式：∏∏==++=ni imj j s T s K s H s G 11)1()1()()(τ图4-3 控制系统的结构图R (s )C (s )H(S)G(S)B ．零、极点形式：∏∏==--=ni imj j p s z s K s H s G 110)()()()(则，系统特征方程:1+G(s)H(s)=0 ⇒ G(s)H(s)= -1 ⇒ 幅值条件: |G(s)H(s)|=1相角条件: ∠G(s)H(s)=±(2k+1)π, k=0,1,2,…考虑开环传递函数一般形式：∏∏==--=ni imj j p s z s K s H s G 110)()()()( ,因此幅值条件:1||||110=--∏∏==ni imj j ps z s K 或 ∏∏==--=mj jni izs p s K 110||||相角条件:)()(11∑∑==-∠--∠mj ni j jp s zs =±(2q+1)π, q=0,1,2,…说明：幅值条件与K 0有关，而相角条件与K 0无关。
因此，凡能满足相角条件的点必然满足幅值条件；而满足幅值条件的点不一定满足相角条件！因此，绘制根轨迹的一般步骤是：先找出S 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K 值。
例子：P107，例4-1。
4-2 绘制根轨迹的基本规则闭环特征方程：1)()(110-=--∏∏==ni imj j p s z s K上式表明了系统闭环极点和开环零、极点的关系。
基于这种关系，就可以根据开环零、极点的分布确定闭环极点的位置了。
根轨迹是根据系统的开环零、极点去绘制的。
在下面的讨论中，假定所研究的变化是根轨迹增益值K 0，但是当可变参数为系统的其他参数时，这些基本法则仍然适用。
这些基本法则绘出的根轨迹，其相角遵循 1800+2k π条件的称为1800 根轨迹；其相角遵循00+2k π条件的，称为00 根轨迹。
规则1：（对称性法则）根轨迹对称于S 平面的实轴。
规则2：根轨迹的分支数、根轨迹的起点和终点：分支数等于特征方程的阶数，为n 条；根轨从n 个开环极点出发，其中m 条终于开环零点，(n-m)条终点在无穷远处。
∏∏==--=mj jini zs p s K 110||||, K 0=0为根轨迹的起点 s = p i∏∏==--=n i imj jps zs K 110||||1， K 0→∞为根轨迹的终点j 或s →∞规则3：根轨迹在实轴上分布：实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时, 这些线段就是根轨迹的部分。
规则4：根轨迹的渐进线n-m 条趋向无穷远的根轨迹可由渐进线决定：渐进线的倾角为: ,2,1,0)12(=-+±=q mn q a πϕ渐进线与实轴的交点为:开环零点数开环极点数开环零点的实部之和开环极点的实部之和--=--=∑∑==mn zp n i mj ji a 11σ例1：设控制系统的开环传递函数为)22)(3()2(3)()(2++++=s s s s s K s H s G ,求渐进线和与实轴的交点。
解 （1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j )和(－1－j ),它们是根轨迹上各分支的起点。
共有四条根轨迹分支。
有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。
（2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为14180)12()12(-︒⨯+=-+=q m n q a πϕ 取式中的q =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。
渐近线与实轴的交点为114)2()1130(111-=-----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==j j z p m n m i i nj j a σ规则5：根轨迹的分离点、会合点、分离角：两条以上根轨迹的交点。
分离点和会合点必须满足方程00=dsdK ----必要条件 分离角----根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角分离角=rq π)12(+ ， r 为重根数，q=0,1,2… 例2：已知控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(20++-+=s s s s s K s H s G ，确定根轨迹的分离点。
解 ：系统的特征方程式为：0)1()164)(1(02=++++-s K s s s s即：1)164)(1(20+++--=s s s s s K利用0/0=ds dK ,则有0)1(16242110322340=+-+++-=s s s s s ds dK 解之可得，分离点d 1=0.46 和 d 2=－2.22。
规则6：根轨迹的出射角和入射角：出射角:从复数极点出发的角度。
入射角:到达复数零点的角度。
P116， 图4-13:取靠近4P 的点i s ,由相角条件:()()()()()() ，，，，2101243211=+=-∠--∠--∠--∠--∠q q p s p s p s p s z s i i i i i π 4p s i →时，则：()()()()()()143424144412z p p p p p p p q p s i p -∠+-∠--∠--∠-+=-∠=πθ一般情况，出射角：()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-∠--∠+=∑∑≠==nk i i i k m j j k pkp p z p 11πθ同理，入射角：()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-∠--∠-=∑∑=≠=ni i k m k j j j k zkp z z z 11πθ规则7：根轨迹与虚轴的交点两种方法: (1).用劳斯判据求(2).将ωj s =带入特征方程求解例3：设系统的开环传递函数为：)2)(1(2)()(++=s s s Ks H s G ，试绘制系统的根轨迹。
解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。
（1）系统的开环极点为0，1-，2-是根轨迹各分支的起点。
由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。
（2）系统的根轨迹有3=-m n 条渐进线渐进线的倾斜角为3180)12()12(-︒⨯+=-+=q m n q a πϕ 取式中的q =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为： 13)210(111-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==m i i nj j a z p m n σ 三条渐近线如图4-13中的虚线所示。
（3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图的粗实线所示。
（4）确定分离点： 系统的特征方程式为：022323=+++K s s s即：)23(2123s s s K ++-= 利用0/=ds dK ，则有：0)26(2123=++-=s s ds dK解得：423.01-=s 和 577.12-=s由于在－1到－2之间的实轴上没有根轨迹，故s 2=－1.577显然不是所要求的分离点。
因此，两个极点之间的分离点应为s 1=－0.423。
（5）确定根轨迹与虚轴的交点 方法一 利用劳斯判据确定劳斯行列表为 3s 1 2 2s32K 1s326K-s2K由劳斯判据，系统稳定时K 的极限值为3。
相应于K =3的频率可由辅助方程0632322=+=+s K s 确定。
解之得根轨迹与虚轴的交点为2j s ±=。
根轨迹与虚轴交点处的频率为41.12±=±=ω方法二 令ωj s =代入特征方程式，可得：02)(2)(3)(23=+++K j j j ωωω 即：0)2()32(22=-+-ωωωj K令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即：0322=-ωK ，022=-ωω 所以 ：2±=ω 3=K 系统的根轨迹如图所示：规则8：闭环极点的和与积.系统特征方程(n>m 时)为 闭环极点的和：()开环极点之和和∑==ni i p 1闭环极点的积：()()∏∏==+=mj i ni i z K p 101积可利用此性质判闭环极点i s 的分布情况 一些i s 变化后,另一些i s 会做相反变化.例4：在例3中，确定根轨迹各分支上每一点的K 值S 平面σωj根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与－1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点－2出发的根轨迹分支一定向左移动。
当前两条根轨迹分支和虚轴在K =3处相交时，可按式3)41.10()41.10(-=-+++j j x σ（开环极点0，-1，-2之和；即和为定值）求出后一条根轨迹分支上K =3的点为οx =－3。
由（4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为－0.423±j 0。
因此，后一条根轨迹分支的相应点为3)423.0()423.0(-=-+-+x σ所以 ，οx =－2.154。