第四章根轨迹
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第四章 根轨迹
求得
s 1 = − 0 . 422 , s 2 = − 1 . 578
法2： D ( s ) N ′( s ) − D ′( s ) N ( s ) = 0 可得 3 s 2 + 6 s + 2 = 0
s1 = −0.422, s2 = −1.578
§4-2根轨迹的绘制法则
验证：由于 s 2 ∈ [ − 2 , − 1] ，不存在根轨迹，故不 是分离点。而 s1不仅属于[-1，0]且能使 K g > 0 ，s2 使 Kg < 0 注：此方法对求复平面上的分离，会合点也有 效。 5、根轨迹的渐近线
§4-2根轨迹的绘制法则
２.根轨迹数（分支数）和它的对称数 根轨迹数（分支数） 分支数等于开环极点数n（特征方程阶数）。 由实系数特征方程知，特征根不是实根，就是共 轭复根，故根轨迹一定对称于实轴。 ３.实轴上的根轨迹 由轴上某个区段，若它的右侧开环零极点总 数 为奇数，则该区段为一根轨迹分支 由辐角条件可知：
K g → ∞时系统有n-m条根轨迹趋于无穷远处
，成为一条直线，即根轨迹渐近线。
§4-2根轨迹的绘制法则
（1）倾角：开环有限零点极点到无穷远特征 根矢量辐角都相等 α i = β i = ϕ ，即由辐角条件
∑α − ∑ β
i =1 i j =1
m
n
j
= m ϕ − n ϕ = ( 2 k + 1)π , k ∈ Z
§4-2根轨迹的绘制法则
设闭环系统特征方程为：F(s) = Kg (s)N(s) + D(s) = 0
Kg > 0 若有重根将使 F ′ ( s ) = 0 ∴ K g N ′( s ) + D ′( s ) = 0
第四章根轨迹
s=-5.12, s=-0.48
j b
7。出射角：约为-116.5
e
c -55..0125
4
d 2
2j 1.71 j
4
2 1
1
a0
-00.4.588
1/ 3
3
1.71 j
d'
2 j
b'
练习
• A4-1, A4-5(1) (3)(5)(7)(9) • A4-6
j
Kr
2 j
4．2 绘制根轨迹的基本规则
1. 根轨迹的起点和终点 由于
(szi)(spj) （ 21） (szi) 1 (spj) Kr
当Kr=0时，
(s p j) 0 ， s p j
根轨迹起源于开环的极点（正好n个）。当Kr=时，
(s z i) 0 ， s z i
• 这一章考虑如下的反馈系统。
R(s)
G(s)
C(s)
H(s)
• 设开环传递函数为（zi,pj可能复数）：
G(s)H(s)kr (szi) (spj)
其中的Kr称为根轨迹增益。 注意：与开环增益不同！
4.1 闭环系统的根轨迹
•闭环系统的特征方程为
( s p j) k r ( s z i) 0 ， 或( ( s s 者 p z ij) ) K 1 r
s3 : 5 8 K
s 2 : 52 K 20 K (乘以5)
416 56 K K 2 s:
52 K
4．2 绘制根轨迹的基本规则
6. 分离点和汇合点
D ( s ) N ( s ) N ( s ) D ( s ) 3 s 4 2 6 s 3 7 2 s 2 9 6 s 3 2 0
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
第四章根轨迹法
系统得闭环根轨迹图。
j
已知负反馈系统开环零极点 分布如图示。
2 p2
在s平面找一点s1 ,
1
画出各开环零、极点到 z1
s1
1
p1 0
s1点得向量。
3
检验s1就是否满足相角条件: p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
= 1 1 2 3 = (2k+1) ？？
点,称为根轨迹得分离点(会合点)。
Kg=0 p1
j
j1
Kg A
Kg z1
0
p2 Kg=0
分离点得性质:
1)分离点就是系统闭环重根; 2)由于根轨迹就是对称得,所以分离点或位于实轴上,或 以共轭形式成对出现在复平面上; 3)实轴上相邻两个开环零(极)点之间(其中之一可为无穷 零(极)点)若为根轨迹,则必有一个分离点;
n
m
(s p j ) K g (s zi ) 0
j 1
i 1
d
ds
n j 1
(s
pj)
Kg
d ds
m
(s zi ) 0
i 1
d n
ds j1
n
(s
pj)
dm
ds i1
m
(s zi )
(s pj ) (s zi )
j 1
i 1
(lnV ) V V
n
m
d ln (s pj ) d ln (s zi )
如果s1点满足相角条件,则就是根轨迹上得一点。寻找
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
在s 平面内满足相角条件得所有s1 点,将这些点连成光滑曲 线,即就是闭环系统根轨迹。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
第4章根轨迹PPT
轨迹
第四章 根 轨 迹 法
4.1 根轨迹的概念 4.2 绘制根轨迹的依据 4.3 绘制根轨迹的基本法则
4.4 参数根轨迹和多回路系统根轨迹
4.5 正反馈根轨迹 4.6 滞后系统的根轨迹 4.7 根轨迹的应用 4.8 计算机绘制根轨迹
小结
轨迹
§4—1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义 如图所示一般闭环系统的闭 环传递函数为
另外，必须指出，用上式求出的点不一定都是分离点或 会合点，还必须满足特征方程或用相应的规则来检验。
轨迹
例4.1的分离点和汇合点
s( s 4)( s 2 2s 2) kg ( s 5)
dk g ds 0
得到-5.93,-3.38,-0.67+j0.46,-0.67-j0.46
轨迹
§4—4
一、参数根轨迹
参数根轨迹和多回路根轨迹
＊参数根轨迹：系统闭环极点随Kg以外的参数变化而变化的
轨迹。
＊绘制方法：把特征方程作等效处理，把要研究迹的绘制方法，进行绘制。
例4.2 单位反馈系统开环传递函数为
＊
绘制以a为变量的根轨迹。并分析a与系统性能的关系。
＊
软实验
轨迹
§4—5 正反馈系统的根轨迹
一、正反馈系统的特征方程 传递函数
Y ( s) G1 ( s) G( s) X ( s) 1 G1 ( s) H ( s)
X(s)
G1(S) H(S)
Y(s)
特征方程
1 G1 (s) H (s) 1 G0 (s) 0
简写为
G0 ( s) 1
轨迹
§4—2 绘制根轨迹的依据和条件
根轨迹的绘制依据是特征方程，根据特征方程可以得出比
第四章 根 轨 迹 法
4.1 根轨迹的概念 4.2 绘制根轨迹的依据 4.3 绘制根轨迹的基本法则
4.4 参数根轨迹和多回路系统根轨迹
4.5 正反馈根轨迹 4.6 滞后系统的根轨迹 4.7 根轨迹的应用 4.8 计算机绘制根轨迹
小结
轨迹
§4—1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义 如图所示一般闭环系统的闭 环传递函数为
另外，必须指出，用上式求出的点不一定都是分离点或 会合点，还必须满足特征方程或用相应的规则来检验。
轨迹
例4.1的分离点和汇合点
s( s 4)( s 2 2s 2) kg ( s 5)
dk g ds 0
得到-5.93,-3.38,-0.67+j0.46,-0.67-j0.46
轨迹
§4—4
一、参数根轨迹
参数根轨迹和多回路根轨迹
＊参数根轨迹：系统闭环极点随Kg以外的参数变化而变化的
轨迹。
＊绘制方法：把特征方程作等效处理，把要研究迹的绘制方法，进行绘制。
例4.2 单位反馈系统开环传递函数为
＊
绘制以a为变量的根轨迹。并分析a与系统性能的关系。
＊
软实验
轨迹
§4—5 正反馈系统的根轨迹
一、正反馈系统的特征方程 传递函数
Y ( s) G1 ( s) G( s) X ( s) 1 G1 ( s) H ( s)
X(s)
G1(S) H(S)
Y(s)
特征方程
1 G1 (s) H (s) 1 G0 (s) 0
简写为
G0 ( s) 1
轨迹
§4—2 绘制根轨迹的依据和条件
根轨迹的绘制依据是特征方程，根据特征方程可以得出比
第四章：根轨迹法
第四章：根轨迹法第四章根轨迹法本章⽬录4.1 根轨迹的⼀般概念4.2 绘制根轨迹的数学依据及其性质4.3 绘制根轨迹的⼀般规则4.4 *绘制根轨迹的MATLAB函数介绍4.5 例题4.6 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹4.7 正反馈回路和⾮最⼩相位系统根轨迹——零度根轨迹⼩结本章简介从前章得知闭环极点在根平⾯上的分布，反映着系统的固有性能。
故为了获得较好性能，就希望极点在根平⾯上有较好的分布。
亦即，为了研究系统的动态性能，就可以通过闭环极点在根平⾯上的分布来进⾏。
闭环极点是系统特征⽅程的根sb。
若其特征⽅程中，各系数变化，则⽆疑，其根sb也在变化。
各系数的变化往往相应着系统的许多实际参数的变化⽽形成。
在根迹中，⼀般总是以增益 (当然也可其它参数,如时间常数 )的变化⽽导致各系数的变化,即sb的变化。
如果连续变化,则sb也连续变化。
相应于由0连续变化到∞时, sb在根平⾯上的连续变化⽽形成的轨迹,即闭环系统特征根的根轨迹--若⼲条曲线。
这样,相应于各个值下的闭环极点在根平⾯上的分布就⼀⽬了然了。
这对系统的分析、设计带来了极⼤的⽅便.。
所谓根轨迹法，就是⽤图解的⽅法确定出闭环特征根的⼀种⽅法。
先在复数平⾯上画出系统某⼀参数的全部数值下的特征⽅程的所有根，即根轨迹。
然后⽤图解的⽅法确定出该参数某⼀特定数值时的闭环特征根。
从⽽分析出系统所具有的性能。
或反之，在根迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根。
从⽽⽤图解的⽅法求出相应的系统应具有的参数值。
相对时域法，很直观，且避免了求解系统⾼阶特征⽅程的困难。
现在计算机科学有了飞速发展，特别是MATLAB语⾔及其相应⼯具箱，有强⼤的数值计算和图形绘制功能。
所以利⽤MATLAB语⾔相关函数绘制系统根迹及求根等均是轻⽽易举的事。
这就给根迹法的应⽤开辟了更好的前景。
本章在介绍传统的根轨迹法及其⽰例的同时，有机结合介绍MATLAB语⾔相关的根轨迹函数及相应⽰例的解题程序。
第4章 根轨迹
3
例：
R(S) -
K S ( 0 . 5 S + 1)
C(S)
K →∞
2K 闭环传递函数 Φ ( s ) = 2 S + 2S + 2K
特征方程式
K＝0.5 K＝0
S + 2 S + 2 K ＝0
2
×
-1
× 0
K＝0
S 1，＝－ 1 ± 1－ 2 K 2
K＝0 → ∞
解析法 全部闭环极点，标注在S 全部闭环极点，标注在S 平面上， 平面上，连成光滑的曲线
1+ K
∏（ ∏（
j =1 i=1 n
m
s z i） s p j）
= 0
11
法则1 根轨迹起于开环极点， 法则1 根轨迹起于开环极点，终于开环零点
证明
（ s－ p j） K ∏ s－ z i） 0 + （ = ∏
j =1 i =1
n
m
K ＝0
s = pj
K ＝∞
s = zi
大部分开环传递函数的极点多于零点，即n>m，可以认 大部分开环传递函数的极点多于零点， n>m， 为在s平面的无限远处有（ 个零点。 n， 为在s平面的无限远处有（n-m）个零点。若m > n，必 个极点在s平面的无限远处。 有（ m - n ）个极点在s平面的无限远处。
4
θ
2
×
θ
×
2 s0
× 0
1
1
σ
由图可见, 点左边开环实数零极点到s 由图可见, s0点左边开环实数零极点到s0点的向 量相角为0, 点右边开环实数零极点到s 量相角为0, s0点右边开环实数零极点到s0点的向 量相角均为π 量相角均为π, s0位于根轨迹上的充要条件是下列 相角条件成立: 相角条件成立:
例：
R(S) -
K S ( 0 . 5 S + 1)
C(S)
K →∞
2K 闭环传递函数 Φ ( s ) = 2 S + 2S + 2K
特征方程式
K＝0.5 K＝0
S + 2 S + 2 K ＝0
2
×
-1
× 0
K＝0
S 1，＝－ 1 ± 1－ 2 K 2
K＝0 → ∞
解析法 全部闭环极点，标注在S 全部闭环极点，标注在S 平面上， 平面上，连成光滑的曲线
1+ K
∏（ ∏（
j =1 i=1 n
m
s z i） s p j）
= 0
11
法则1 根轨迹起于开环极点， 法则1 根轨迹起于开环极点，终于开环零点
证明
（ s－ p j） K ∏ s－ z i） 0 + （ = ∏
j =1 i =1
n
m
K ＝0
s = pj
K ＝∞
s = zi
大部分开环传递函数的极点多于零点，即n>m，可以认 大部分开环传递函数的极点多于零点， n>m， 为在s平面的无限远处有（ 个零点。 n， 为在s平面的无限远处有（n-m）个零点。若m > n，必 个极点在s平面的无限远处。 有（ m - n ）个极点在s平面的无限远处。
4
θ
2
×
θ
×
2 s0
× 0
1
1
σ
由图可见, 点左边开环实数零极点到s 由图可见, s0点左边开环实数零极点到s0点的向 量相角为0, 点右边开环实数零极点到s 量相角为0, s0点右边开环实数零极点到s0点的向 量相角均为π 量相角均为π, s0位于根轨迹上的充要条件是下列 相角条件成立: 相角条件成立:
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第四章 根轨迹法
§4-1 反馈系统的根轨迹 §4-2 绘制根轨迹的基本规则 §4-3 广义根轨迹
§4-1 反馈系统的根轨迹
R(s)
２K
ห้องสมุดไป่ตู้
C(s)
S(S ２)
例. 设有一单位反馈系统如图所示G(S) 2k s(s 2)
该系统的闭环传函为
(s)
C(s) R( s )
s2
2k 2s
2k
系统的特征方程为
(3)n- m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 远,其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 点为
a
0
(4)
(1 j) 41
(1
j)
(1)
1.67
与实轴的交角为
a
(2l 1) nm
1 3
60
a
(2l 1) nm
3 3
180
a
(2l 1) nm
5 3
300
(l 0) (l 1) (l 2)
m
|G(s)H(s)|
K| i 1 n
s
zi
|
|
i 1
s
pi
|
m
n
G(s)H(s) (s-zi )- (s-pi )
i 1
i 1
闭环极点和那些参数有关？
两类根轨迹： • 增益根轨迹 • 参数根轨迹
§ 4-2 绘制根轨迹的基本规则
180o根轨迹的绘制规则
1. 根轨迹分支数
根轨迹的分支数等于闭环极点数或等于特征方程的阶数
s2 2s 2k 0
两闭环极点为 : s1 -1 1-2k
s2 -1- 1-2k
下 面 分 析 参 数k从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭 环极 点 分 布 的 影 响:
k 0时 s1 0 0 k 1 2时 k 1/2时
k 1/2时
s2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点 相同 s1, s2均为负实数 s1 s2 -1 s1,2 -1 j 2k - 1,实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直 线上
试画出其根轨迹.
解: a 1
a 60o, 180o, 300o
k= S(S 1)(S 2)
d d
[S
(
S
1)(S 2)]s
0
3 2 6 2 0
1 0.423， 2 1.577(舍)
-2
-1
0
7.根轨迹与虚轴的交点
(1)把s j代入1 G(s)H (s) 0得 1 G(j )H(j) 0
G(S)
K(S 1) S ( S 4)( S 2 2 S 2)
试根据目前所知的法则确定根轨迹的有关数据
解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1- j
终 止 于 Z1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 于实 轴
2. 根轨迹的连续性与对称性
根轨迹是连续的且对称于实轴的曲线
3. 根轨迹的起点与终点
根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点或无穷远点
4. 根轨迹的渐近线
渐近线与实轴的交点: 渐近线与实轴的交角 :
n
m
Pi Zi
a
i 1
i 1
nm
a
2l 1
nm
(l 0,1,L , n m 1)
例.设控制系统的开环传函为
与实轴正方向的夹角
入射角:根轨迹进入开环复数零点处的切线方向 与实轴正方向的夹角
m
n
Pl 180o (Pl Z j ) (Pl Pj )
j1
j1
jl
n
m
Zl 180o (Zl Pj ) (Zl Z j )
j 1
j 1
jl
p1
A
θp1
∠（p1-z1） z1
∠（p1-p3） p3
令Re[1 G(j )H(j )] 0, Im[1 G(j )H(j )] 0 解得及Kc
上例中,可求得根轨迹与虚轴的交点
-j 3 -3 2 j2 k 0 -3 2 k 0 - 3 2 0
由此解得
1 0 2,3 2 (rad/s) KC 6
(2)应用Routh判据
8.根轨迹的出射角与入射角 出射角:根轨迹离开开环复数极点处的切线方向
-4 -3
-2 -1
5.实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域,若其右边开环零极点个数之和
为奇数，则该区域必是根轨迹(按幅角条件分析)
6.根轨迹与实轴的交点(分离点与会合点)
n
i 1
S
Pi
ｋ= m
i 1
S
Zi
S
dk 0
d
例.已知某负反馈系统开环传函为G(S )H (S )
k
S(S 1)(S 2)
临界阻尼 k 0.5
欠阻尼
k 0.5
根轨 迹法的基本任务: 如 何 由 已 知 的 开 环 零 极点 的 分 布 ,通 过 图 解 的
方法找出闭环极点.
根轨迹的概念 开环系统某一参数从零到无穷变化时,闭环系统特征方程
的根在S平面内变化的轨迹。
R(s)
C(s)
G(s)
3.根轨迹方程
根轨迹是所有闭环极点的集合.
H(s)
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) -1
幅值条件： |G(s)H(s)| 1
相角条件：G(s)H(s) 180o i360o (i 0, 1, 2,L )
G(s)H(s) K(s-z1 )(s-z2 )L (s-zm ) (s p1 )(s p2 )L (s pn )
试绘制系统的概略根轨迹
解: (1)起始点 p1 0 p2 -0.5-j1.5 p3 -0.5 j1.5 p4 -2.5
实轴上的根轨迹 [0,-1.5] [-2.5,-] (2)渐近线 180o 一条 (3)无分离点 (4)出射角 , 入射角
p3 180o-56.5o 19o 59o-108.5o-90o-37o 79o z1 180o 63.5o 153o 199o 121o-90o-117o 149.5o
∠（p1-p2）
p2
( p1 z1 ) p1 ( p1 p2 ) ( p1 p3 ) 1800 i3600 p1 (1800 i3600 ) ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) ( p1 p3 )
例.设系统开环传函为
G(S) K(S1.5)(S2 j)(S2-j) S ( S 2.5)( S 0.5 j1.5)( S 0.5 j1.5)
k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 远.
K
s1 -1 1 - 2k s2 -1 - 1 - 2k
-2
0
K
2.根轨迹与系统性能
稳定性:根轨迹若越过虚轴进入s右半平面, 与虚轴交点处的
k 即为临界增益
稳态性能:根据坐标原点的根数,确定系统的型别,同时可以
确定对应的开环增益
动态性能:过阻尼 0 k 0.5
§4-1 反馈系统的根轨迹 §4-2 绘制根轨迹的基本规则 §4-3 广义根轨迹
§4-1 反馈系统的根轨迹
R(s)
２K
ห้องสมุดไป่ตู้
C(s)
S(S ２)
例. 设有一单位反馈系统如图所示G(S) 2k s(s 2)
该系统的闭环传函为
(s)
C(s) R( s )
s2
2k 2s
2k
系统的特征方程为
(3)n- m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 远,其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 点为
a
0
(4)
(1 j) 41
(1
j)
(1)
1.67
与实轴的交角为
a
(2l 1) nm
1 3
60
a
(2l 1) nm
3 3
180
a
(2l 1) nm
5 3
300
(l 0) (l 1) (l 2)
m
|G(s)H(s)|
K| i 1 n
s
zi
|
|
i 1
s
pi
|
m
n
G(s)H(s) (s-zi )- (s-pi )
i 1
i 1
闭环极点和那些参数有关？
两类根轨迹： • 增益根轨迹 • 参数根轨迹
§ 4-2 绘制根轨迹的基本规则
180o根轨迹的绘制规则
1. 根轨迹分支数
根轨迹的分支数等于闭环极点数或等于特征方程的阶数
s2 2s 2k 0
两闭环极点为 : s1 -1 1-2k
s2 -1- 1-2k
下 面 分 析 参 数k从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭 环极 点 分 布 的 影 响:
k 0时 s1 0 0 k 1 2时 k 1/2时
k 1/2时
s2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点 相同 s1, s2均为负实数 s1 s2 -1 s1,2 -1 j 2k - 1,实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直 线上
试画出其根轨迹.
解: a 1
a 60o, 180o, 300o
k= S(S 1)(S 2)
d d
[S
(
S
1)(S 2)]s
0
3 2 6 2 0
1 0.423， 2 1.577(舍)
-2
-1
0
7.根轨迹与虚轴的交点
(1)把s j代入1 G(s)H (s) 0得 1 G(j )H(j) 0
G(S)
K(S 1) S ( S 4)( S 2 2 S 2)
试根据目前所知的法则确定根轨迹的有关数据
解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1- j
终 止 于 Z1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 于实 轴
2. 根轨迹的连续性与对称性
根轨迹是连续的且对称于实轴的曲线
3. 根轨迹的起点与终点
根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点或无穷远点
4. 根轨迹的渐近线
渐近线与实轴的交点: 渐近线与实轴的交角 :
n
m
Pi Zi
a
i 1
i 1
nm
a
2l 1
nm
(l 0,1,L , n m 1)
例.设控制系统的开环传函为
与实轴正方向的夹角
入射角:根轨迹进入开环复数零点处的切线方向 与实轴正方向的夹角
m
n
Pl 180o (Pl Z j ) (Pl Pj )
j1
j1
jl
n
m
Zl 180o (Zl Pj ) (Zl Z j )
j 1
j 1
jl
p1
A
θp1
∠（p1-z1） z1
∠（p1-p3） p3
令Re[1 G(j )H(j )] 0, Im[1 G(j )H(j )] 0 解得及Kc
上例中,可求得根轨迹与虚轴的交点
-j 3 -3 2 j2 k 0 -3 2 k 0 - 3 2 0
由此解得
1 0 2,3 2 (rad/s) KC 6
(2)应用Routh判据
8.根轨迹的出射角与入射角 出射角:根轨迹离开开环复数极点处的切线方向
-4 -3
-2 -1
5.实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域,若其右边开环零极点个数之和
为奇数，则该区域必是根轨迹(按幅角条件分析)
6.根轨迹与实轴的交点(分离点与会合点)
n
i 1
S
Pi
ｋ= m
i 1
S
Zi
S
dk 0
d
例.已知某负反馈系统开环传函为G(S )H (S )
k
S(S 1)(S 2)
临界阻尼 k 0.5
欠阻尼
k 0.5
根轨 迹法的基本任务: 如 何 由 已 知 的 开 环 零 极点 的 分 布 ,通 过 图 解 的
方法找出闭环极点.
根轨迹的概念 开环系统某一参数从零到无穷变化时,闭环系统特征方程
的根在S平面内变化的轨迹。
R(s)
C(s)
G(s)
3.根轨迹方程
根轨迹是所有闭环极点的集合.
H(s)
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) -1
幅值条件： |G(s)H(s)| 1
相角条件：G(s)H(s) 180o i360o (i 0, 1, 2,L )
G(s)H(s) K(s-z1 )(s-z2 )L (s-zm ) (s p1 )(s p2 )L (s pn )
试绘制系统的概略根轨迹
解: (1)起始点 p1 0 p2 -0.5-j1.5 p3 -0.5 j1.5 p4 -2.5
实轴上的根轨迹 [0,-1.5] [-2.5,-] (2)渐近线 180o 一条 (3)无分离点 (4)出射角 , 入射角
p3 180o-56.5o 19o 59o-108.5o-90o-37o 79o z1 180o 63.5o 153o 199o 121o-90o-117o 149.5o
∠（p1-p2）
p2
( p1 z1 ) p1 ( p1 p2 ) ( p1 p3 ) 1800 i3600 p1 (1800 i3600 ) ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) ( p1 p3 )
例.设系统开环传函为
G(S) K(S1.5)(S2 j)(S2-j) S ( S 2.5)( S 0.5 j1.5)( S 0.5 j1.5)
k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 远.
K
s1 -1 1 - 2k s2 -1 - 1 - 2k
-2
0
K
2.根轨迹与系统性能
稳定性:根轨迹若越过虚轴进入s右半平面, 与虚轴交点处的
k 即为临界增益
稳态性能:根据坐标原点的根数,确定系统的型别,同时可以
确定对应的开环增益
动态性能:过阻尼 0 k 0.5