自动控制原理 第四章 根轨迹小结
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自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
(自动控制原理)第四章根轨迹(06改)
j j 1
i 1 n
A( )e
j ( )
1 Kg
满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件为：
由于Wk ( s )是复数，上式可写成：Wk ( s ) | Wk ( s ) A( )e j ( ) 1 | 或 A( )
| ( s z ) | li 1 | (s p j ) |
N z N p 1 2 ( 0,1,2,)
由此，满足幅值条件：
i j N z N p 180 (1 2 )
i 1 j 1
m
n
[例]： 已知系统开环零极点的分布如图示，判断z 2 和p2 之间的实轴是否存在根轨迹？
p4
p3
例题 4-1 已知开环系统的传递函数为：
K k (1s 1) Wk ( s) s(T1s 1)(T2 s 1)
求s=s0 时的放大系数K g 0。
解：改写传递函数为 K g ( s z1 ) K k 1 ( s 1 1 ) Wk ( s) T1T2 s( s 1 T1 )(s 1 T2 ) s( s p1 )(s p2 ) K k 1 K k p1 p2 Kg —— 根轨迹放大系数 T1T2 z1 K g z1 Kk —— 开环放大系数 p1 p2 可将系统的三个极点和一个有限零点画在复平面上如图：
1) 在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示开环有限 值零
点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“ ” 表
示根轨迹上的点。
2）在绘制根轨迹时，令S平面横轴和纵轴比例尺相同。
g 3）绘制根轨迹的依据是幅角条件。
k
4）利用幅值条件计算
的值。
i 1 n
A( )e
j ( )
1 Kg
满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件为：
由于Wk ( s )是复数，上式可写成：Wk ( s ) | Wk ( s ) A( )e j ( ) 1 | 或 A( )
| ( s z ) | li 1 | (s p j ) |
N z N p 1 2 ( 0,1,2,)
由此，满足幅值条件：
i j N z N p 180 (1 2 )
i 1 j 1
m
n
[例]： 已知系统开环零极点的分布如图示，判断z 2 和p2 之间的实轴是否存在根轨迹？
p4
p3
例题 4-1 已知开环系统的传递函数为：
K k (1s 1) Wk ( s) s(T1s 1)(T2 s 1)
求s=s0 时的放大系数K g 0。
解：改写传递函数为 K g ( s z1 ) K k 1 ( s 1 1 ) Wk ( s) T1T2 s( s 1 T1 )(s 1 T2 ) s( s p1 )(s p2 ) K k 1 K k p1 p2 Kg —— 根轨迹放大系数 T1T2 z1 K g z1 Kk —— 开环放大系数 p1 p2 可将系统的三个极点和一个有限零点画在复平面上如图：
1) 在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示开环有限 值零
点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“ ” 表
示根轨迹上的点。
2）在绘制根轨迹时，令S平面横轴和纵轴比例尺相同。
g 3）绘制根轨迹的依据是幅角条件。
k
4）利用幅值条件计算
的值。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
自动控制原理第四章
2003.6
第二节 绘制根轨迹的基本法则
前面介绍了求根轨迹的分析法和试探法。对于高 阶系统来说，采用这两种方法绘制系统的根轨迹的过程 仍是十分麻烦的。但是，只要掌握根轨迹的一些共性及 某些特征点，就可以不用或少用试探法而又较快地绘制 出复杂系统的根轨迹，从而达到事半功倍的效果。 本节将根据根轨迹方程讨论根轨迹与开环系统零、 极点的关系，讨论根轨迹的特征点、渐近线和其它的某 些性质，从而归纳出绘制根轨迹的十条基本法则。现分 述如下：
Kg
(s p )
j
n
(s z )
i i 1
j 1 m
s p1 s p2 s pn s z1 s z2 s zm
(4 11)
2003.6
式中，分子为各开环极点至测试点s所形成的向量长度之积； 分母则为各开环零点对测试点s所形成的向量长度之积。
k = 0，1，
(s z )
Kg
2003.6
m
(s p )
j 1 j
i 1 n
i
1
(4 9)
相角条件方程为
(s zi ) ( s p j ) 1800 2k+1
i 1 j 1 m n
k = 0,1,2,
(4 10)
比较式（4－9）、（4－10）可看出，幅值条件方程（4－9） 与根轨迹增益Kg有关，而相角条件方程（4－10）却与Kg无关。 所以，s平面上的某个点，只要满足相角条件方程（4-10），则 该点比在根轨迹上。换言之，它就是根轨迹上的一个点。至于该 点所对应的Kg值，可从幅值条件方程求解得出。这意味着：s平 面上满足相角条件方程的一切点，都是对应于Kg取不同数值时的 闭环特征根，即根轨迹。总之，在s平面上满足相角条件的点， 必定也同时满足幅值条件。因此，相角条件是确定根轨迹的充分 而必要条件。
自动控制原理第四章根轨迹小结
2kπ
5
实轴上某段右侧零、极点个数之和为 奇 数，则该段是根轨迹
偶
6
根轨迹的分离点
j=1
m
∑
i=1
n
∑
d-pi
1
1
d-zj
=
k= 0,1,2, …
λL=
(2k+1)π
L
,
不变！
不变！
7
与虚轴的交点
8
起始角与终止角
变了
举例说明
利用根轨迹分析系统的性能
要求：
概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。
如果改变反馈通路传递函数使 H(s) = 1 + 2S 试判断 H(s) 改变后系统的稳定性，研究 H(s) 改变 所产生的效应。
根轨迹方程
特征方程 1+G（s）H ( s ) = 0
1
+
K*
=
0
j=1
m
∏
s
pi
(
-
)
pi
开环极点“×”, 也是常数！
开环零点“”,是常数！
Zj
i=1
n
∏
根轨迹增益K* ，不是定数，从0 ~ ∞变化
这种形式的特征方程就是根轨迹方程
s
zj
(
-
)
根轨迹的模值条件与相角条件
j=1
m
n
1
+
K*
3 分离角定义
实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹
j=1
m
∑
i=1
n
∑
d-pi
1
1
d-zj
=
k= 0,1,2, …
λL=
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不变！ ) ,终止于开不环零变点！( ∞
)
不变！
nm
∑pi-∑zj
∏︱s - z︱ 4
∣n-m∣条渐近线对称m于实轴,起点 σa
渐近线方向:
φa=
(22kk+π1)π
jn=-1m
k=j0,1,2,
=
i=1 j=1∣n-m∣ Nhomakorabea…
1 * = 5 实轴上某段右侧零、极点个数n之和为 奇偶 数，则该段是根轨迹
根轨迹方程
特征方程 1+G（s）H ( s ) = 0
Zj 开环零点“○”,是常数！
m
∏
1+K* j=1 n
(
s
-
zj )
=
0
∏ ( s-pi)
p i=1
开环极点“×”,
根轨迹增益K* ，不是定数i ，也从是0常~数∞！变化
这种形式的特征方程就是根轨迹方程
相角条件: 根轨迹的模值条件与相角条件
m
系统闭环特征方程为:
D(s) S 4 7S3 10S 2 2K * S K* 0
列劳斯表 S4
1
10
K*
S3
7
2K*
70 2K *
S2
K* 7
K *(91 4K*)
S
70 2K *
当 K* = 22.75 时，劳斯表 S 行的元素全为零。 由辅助方程：
A(s) (70 2K*)S 2 7K* 24.5S 2 159.25 0
17 与根虚轨轴迹的的交条点数就可是由特劳征斯根表的求个出数或 令s=jω解出
28 起根始轨角迹与对终称止于角实轴 3 根轨迹起始于开环极点 (0 ,)终止于开环零点(∞ )
4 ∣n-m∣条渐近线对称于实轴,均起于σa 点,方
K1**∏=︱s∏- ︱z︱s - =z︱1 j j 向56 由实实 根轴(φn举≠上a轴 轨m确例?某)上迹定段的的右: 根会σ侧a零=轨合jm=n、1迹 与∣i∑极=n1pn分点i--m个∑离jjmm==∣nz数11j之1 说和φ明a为什=么奇(22数dnk的-+推m，1导)则π3该分段k离=角是定0义,根1,轨2,迹…
根轨迹概念
常规根轨迹：在负反馈系统，开环系统根轨增益K*由0 变化到∞，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。 根轨迹与系统性能（稳定性）密切相关。
广义根轨迹：除根轨增益K*以外的其他情况下的根轨 迹称广义根轨迹。
参数根轨迹：在负反馈系统，以非根轨增益K* 为可变参数绘制的根轨迹。
零度根轨迹：在正反馈系统，开环系统根轨增益 K*由0变化到∞，闭环特征根在s平 面上移动的轨迹。
K ∏︱s∏-p︱︱s -p︱ n
∑ i=1
1 d-pi
m
=∑
j=1
i1=1 d-zj
,
λiL==1
i(2k+1)πi
L
k= 0,1,2, …
无零点时右边为零
L为来会合的根轨迹条数
根轨迹示例1
j
j
j
j
00
00
同学们，头昏了吧？
j
jj
0
0
0
j j
00
j j
0
根轨迹示例2
j
j
jj
jj
00
0 0
0 0
要求：
（1）概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。 （2）如果改变反馈通路传递函数使 H(s) = 1 + 2S 试判断 H(s) 改变后系统的稳定性，研究 H(s) 改变 所产生的效应。
解：（1）系统无开环零点，开环极点 为： P1 = P2 = 0 , P3 = – 2 , P4 = – 5
实轴上根轨迹区间为：[– 5 ，– 2]，[0 ，0]
模值条件: 相角条件:
K = *
∏n︱s -p︱i
i=1
∏m︱s
j=1
-
z︱j
π m
n
∑j=1∠(s-zj) －∑i=∠1 (s-pj) = (2k2+1k) π
k=0, ±1, ±2, …
绘制零度根轨迹的基本法则
1 根轨迹的条数就是特征根的个数 不变！
2 3
根轨迹对称于实轴 根轨迹起始于开环极点 (0
n=[n1=21];d=conv([1 2 05],[1[12621])0;]r)l;orcloucsu(ns,(dn),d)
j
j
j
j
jj
00
00
0
0
参数根轨迹
变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹
解题关键：要将开环传函变形，将非开环增
益的参数变换到开环增益的位置。
注意：该变形是在等效变换的基础上得来的
解得根轨迹与虚轴的交点为： S 1,2 = ± j2.55 .
–5
–2
由右图可知 ， 当 0 < K* < 22.75 时， 闭环系统稳定
– 0.5 0
例二、已知系统开环传递函数，试应用根轨迹法 分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点 具有阻尼比 ζ = 0.5 时的性能指标。
n
∑j=1∠(s-zj) －∑i=∠1 (s-pj) = (2k+1) π
k=0, ±1, ±2, …
1+K K = = -011 模值条绘件制:根*∏∏轨jmi==n1︱1迹︱(*(s的s--充pz∏︱∏︱要jijmi==n))1︱1条︱ss件--pz︱︱ji
确定根轨迹上某点对应的K*值
绘制根轨迹的基本法则
根轨迹渐近线条数为：4，且： a 1.75 a 450,1350,2250,3150
由分离点方程： 2 1 1 0
d d 2 d 5
得： (4d 5)(d 4) 0
d 4
–5
–2 0
无论 K* 取何值，闭环系统恒不稳定
• （2）当H(s) = 1 + 2S 时，系统开环传递函数为：
G(s)H (s)
K1 * (S 0.5) S 2(S 2)(S 5)
其中 K1* = 2K* . H(s) 的改变使系统增加了一个 开环零点。
实轴上的根轨迹区间为： [– ∞ ，– 5] ，[– 2 ,– 0.5 ],[ 0 , 0 ]
根轨迹渐近线条数为：3 且：
a 2.17 a 600 ,1800 ,3000
“等效”仅在闭环极点相同这一点上成立。
零度根轨迹
特征方程为以下形式时，绘制零度根轨迹
m
K * (s zj )
1– 1、
j1 n
0
(s pi )
i1
K*:0 ~ +
m
K * (s zj )
1+ 2、
j1 n
0
(s pi )
i1
K*:0 ~ –
零度零度根轨迹的模值条件与相角条件
K ∏︱s -p 6 根轨迹的分离点
︱ n
7∑
8i=1
与 起d1-虚 始pi 轴 角=的与∑jm=交终1 d点止1-z角j
,
不变！ λ变不L=i了变=1！(2kL+1)π
i
k= 0,1,2, …
利用根轨迹分析系统的性能
举例说明
例一、设反馈控制系统中
G(s)
K*
, H(s) 1
S 2 (S 1)(S 5)