自动控制原理(第三版)第4章根轨迹法(2)
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自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
第四章 线性系统的根轨迹法-4-2——【南航 自动控制原理】
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程，有
m
n
K (s zi )+ (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹起点 K =0 s pi , i 1, , n n个开环有限极点
由根轨迹方程，又有
m
n
(s zi )+(K )1 (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹终点 K s zi , i 1, , m m个开环有限零点
a
(2k 1)
nm
， k 0, 1,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
=
(a1 n
b1 m
)
由多项式的根与系数关系
n
n
a1 pi b1 zi
i 1
i 1
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
例4.2-1 已知单位反馈系统的开环传递函数为
K G(s)
s(s 3) (s )2 2
0, 0
试分析开环极点参数变化时渐近线。
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
分离点处相邻两条根 轨分迹离分点支处切一线共之有间多的少
夹条角根等轨于迹分支/？l
分离点处根轨迹的分离角d 为
d (2k 1) / l k 0,1,
分离点处，根轨迹进
侧的开环实有限零极点数为奇数。
系统的开环零极点分为 两类：实数零极点和复数 零极点，且复数零点或复 数极点必共轭成对。
系统开环零极点的分布为
图示，取实轴任一点 s=s1
·对复共轭开环极点
p4 j, p5 p4 j,
(s1 j)+(s1 +j)=2
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
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第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
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第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理第4章(2)
j
1 1 1 + = ( d + 1 + j ) ( d + 1- j ) d + 2
d1 = - 3.414, d 2 = - 0.586(舍去）
2
0
5、起始角：
pi (2k 1) （所有开环零点到起始点相角之和-所有开环极点到起始点相角之和）
qp1 = 180? ? ( 2 + 1- j) - 90? 135?, qp 2 - 135
绘制系统的根轨迹，并求系统有超调响应时K*的取值范围。(P153) 解：1、一个开环零点z1=-2，两个开环极点p1=-1+j,p2=-1-j； 两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。 2、实轴上根轨迹（-，-2]。 3、渐近线与负实轴重合。 4、求分离点：
j = (2k + 1)p , k = 0, j 1 = p 2- 1
• 法则4：实轴上根轨迹
在实轴上某区域右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数， 则该区域为根轨迹。
• 法则5：根轨迹分离点
m 1 1 设分离点坐标为d,则 j 1 d p j i 1 d zi n
6、根轨迹的起始角和终止角： 根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处切线与 正实轴的夹角：
=1
Ta = 0.8
作业
• P180 4-3(1) • P183 4-21
=0.5,cos=0.5, =60°
s1 = - 0.5+j 3 / 2 s2 = - 0.5 - j 3 / 2
等线
j
0
Ta | - 0.5 + j 3 / 2 | | - 0.5 + j 3 / 2 + 0.1+ j 0.995 || - 0.5 + j 3 / 2 + 0.1- j0.995 |
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
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dK * (4 s 3 24 s 2 72 s 80) 0 ds b1 2 b2, 3 2 j 2.45
p3、p4的连接线上
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自动控制原理
规则6
根轨迹的出射角和入射角
入射角 根轨迹进入开环复 数零点处的切线方向与实 轴正方向的夹角
i 1 i 1
d m d n ln (s1 pi ) ln (s1 zi ) ds1 i 1 ds1 i 1
或
m d d ln( s p ) ln(s1 zi ) 1 i ds ds i 1 i 1 1 1
n
即得
G( s) K ( s 1) s( s 4)(s 2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4
一个开环零点：-1
渐近线与实轴交点：
a＝ i 1
n-m=4-1=3
p z
i i 1
n
m
i
nm
(0) (1 j) (1 j) (4) (1) 5 4 1 3
n m
或
(s
i 1
n
1
pi ) K ' ( s1 zi )
i 1
m
m d n ' d ( s p ) K (s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1
两式相除
d n d m ( s p ) ( s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1 n m (s1 pi ) (s1 zi )
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自动控制原理
根轨迹的终点是指当根轨迹增益K 时根轨迹的位置。
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1 m 1 n ( s pl ) ( s z i ) 0 K l 1 i 1
n
m
当 K 时，它将蜕化成为m次方程，而m≤n。
自动控制原理
例
G (s) K s(s 1)(s 2)
由 极值点求解
s1 0.42 s 2 1.58
[-1，-2]区间无根轨迹舍去
b 0.42
180 180 b 90 l 2
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自动控制原理
规则1、2、3 根轨迹对称于实轴， K* G( s ) H ( s ) 有四条根轨迹分支，分别起始 s( s 4)( s 2 4s 20) 于极点0，－4和－2±j4，终止于 无限远零点。 实轴上0～－4区段为根轨迹。
i 1 i 1 1 5
？ G( s1 ) H ( s1 )＝ (2k 1)180
每对共轭复数极点所提供 的幅角之和为360°；
s1右边所有位于实轴上的每一个极
点或零点所提供的幅角为180°； 点或零点所提供的幅角为0°。
s1左边所有位于实轴上的每一个极
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自动控制原理
系统的闭环传递函数
n m
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1
根轨迹的起点是指当K=0时，根轨迹的位置。由上式 可知，当K=0时，该方程便蜕化为开环特征方程，即
(s p ) 0
l l 1
n
2,,n) 就是开环传 上式表明了根轨迹的起点 s pl (l 1, 递函数的极点。
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1
n
m
一般来说，由于n≥m，所以特征方程是n次的。当K 取任何数值时，它总有n个根，由此便知根轨迹共 大连民族学院机电信息工程学院 有n条分支。
自动控制原理
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若 n > m，还有n-m 条根轨迹终止于s平面无穷远处。
a＝
n
一个开环零点：-4
m
p z
i 1 i i 1
i
nm
(0) ( 1) ( 5) ( 4) 1 31
渐近线与实轴正方向的夹角：
a
(2k 1)180 nm
a 90 、 270
-1
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例 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。
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规则2
根轨迹的分支数、起点和终点
根轨迹的分支数等于开环极点数目与开环零点数目 大者。
系统的开环传递函数
K ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn ) 系统的闭环传递函数
n 1 1 i 1 s1 zi i 1 s1 pi
m
解出s1，即为分离点d
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自动控制原理
2、由重根法求解d
G( s) H ( s) KB ( s) A( s)
A( s) B ' (s) A' (s) B(s) 0
由代数方程式解的性质可知，特征方程式出现 重根的条件是s值必须满足下列方程，即
计算入射角的表达式
j 1 j l
D(s) A(s) KB(s) 0
D ' (s) A' (s) KB ' (s) 0
3、由极值点求解d
dK ds 0
dK A( s) B ' ( s) A' ( s) B( s) ds [ B( s)]2
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A( s ) K B( s)
已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。
K ( s 1)( s 4)( s 6) G( s ) s 2 ( s 2)( s 3)2
[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
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规则4
根轨迹的渐近线
(s p1 ) (s p2 )
(s p4 ) / 2
(s p3 ) / 2
n i i 1 i
(s z ) (s p ) (2k 1)
i 1
m
根据规则5求根轨迹的分离点
K* 0 2 s( s 4)( s 4s 20) 2 K* s( s 4)( s 4s 20) ( s4 8s3 36s2 80s) 1 G( s ) H ( s ) 1
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例 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。
G( s ) K (0.25 s 1) K *( s 4) s( s 1)(0.2 s 1) s( s 1)( s 5)
三个开环极点：0、-1、-5
n-m=3-1=2 渐近线与实轴交点：
n 1 1 d z i 1 i 1 d pi i m
解析法 试凑法
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坐标值d由分式方程解出 (s z )
m
G ( s) H ( s) K
i
*
(s p )
i i 1
i 1 n
D( s) ( s pi ) K
n q 将两端同乘以 ，便得
1 (1 qp1 ) (1 pq n ) q n m (1 qz1 ) (1 qz m ) 0 K
当 K 时，它化为
q nm (1 qz1 )(1 qzm ) 0
1 , zm
这仍是n次方程，它有n个根：
1 q 0(n m重)， , z
i 1
n
'
(s z ) 0
i i 1
m
根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中 的重根条件，有
D( s1 ) ( s1 pi ) K ' ( s zi ) 0
i 1 i 1 n m
d d D(s1 ) (s1 pi ) K ' (s1 zi ) 0 ds1 ds1 i 1 i 1
自动控制原理
第四章 根轨迹法
Chapter 4 ROOT LOCUS
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自动控制原理
4.2
绘制根轨迹的基本法则
根轨迹的连续性和对称性 根轨迹分支数、起点和终点
实轴上的根轨迹
2. 渐近线与实轴的交点
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(2k 1) ＝ nm
a＝ i 1
p z
i i 1
n
m
i
nm
1）当k值取不同值时，a 有（n－m）个值，而a不变； 2）根轨迹在s∞时的渐近线为 （n－m）条与实轴交点为a 、倾角a为的一组射线。
若m < n ,当 k →∞时有 n-m 条根轨迹沿着 n-m 条渐近线趋于s平面无穷远处。
1. 渐近线的倾角
(2k 1) ，k 0,1, 2, , (n m 1) nm
m n ( pl ) ( zi ) i 1 l 1 nm
(s z ) 0
i i 1
m
通常m < n , 还有n-m 条根轨迹终止在什么地方？
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p3、p4的连接线上
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规则6
根轨迹的出射角和入射角
入射角 根轨迹进入开环复 数零点处的切线方向与实 轴正方向的夹角
i 1 i 1
d m d n ln (s1 pi ) ln (s1 zi ) ds1 i 1 ds1 i 1
或
m d d ln( s p ) ln(s1 zi ) 1 i ds ds i 1 i 1 1 1
n
即得
G( s) K ( s 1) s( s 4)(s 2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4
一个开环零点：-1
渐近线与实轴交点：
a＝ i 1
n-m=4-1=3
p z
i i 1
n
m
i
nm
(0) (1 j) (1 j) (4) (1) 5 4 1 3
n m
或
(s
i 1
n
1
pi ) K ' ( s1 zi )
i 1
m
m d n ' d ( s p ) K (s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1
两式相除
d n d m ( s p ) ( s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1 n m (s1 pi ) (s1 zi )
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根轨迹的终点是指当根轨迹增益K 时根轨迹的位置。
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1 m 1 n ( s pl ) ( s z i ) 0 K l 1 i 1
n
m
当 K 时，它将蜕化成为m次方程，而m≤n。
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例
G (s) K s(s 1)(s 2)
由 极值点求解
s1 0.42 s 2 1.58
[-1，-2]区间无根轨迹舍去
b 0.42
180 180 b 90 l 2
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规则1、2、3 根轨迹对称于实轴， K* G( s ) H ( s ) 有四条根轨迹分支，分别起始 s( s 4)( s 2 4s 20) 于极点0，－4和－2±j4，终止于 无限远零点。 实轴上0～－4区段为根轨迹。
i 1 i 1 1 5
？ G( s1 ) H ( s1 )＝ (2k 1)180
每对共轭复数极点所提供 的幅角之和为360°；
s1右边所有位于实轴上的每一个极
点或零点所提供的幅角为180°； 点或零点所提供的幅角为0°。
s1左边所有位于实轴上的每一个极
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系统的闭环传递函数
n m
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1
根轨迹的起点是指当K=0时，根轨迹的位置。由上式 可知，当K=0时，该方程便蜕化为开环特征方程，即
(s p ) 0
l l 1
n
2,,n) 就是开环传 上式表明了根轨迹的起点 s pl (l 1, 递函数的极点。
(s p ) K (s z ) 0
l i l 1 i 1
n
m
一般来说，由于n≥m，所以特征方程是n次的。当K 取任何数值时，它总有n个根，由此便知根轨迹共 大连民族学院机电信息工程学院 有n条分支。
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根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若 n > m，还有n-m 条根轨迹终止于s平面无穷远处。
a＝
n
一个开环零点：-4
m
p z
i 1 i i 1
i
nm
(0) ( 1) ( 5) ( 4) 1 31
渐近线与实轴正方向的夹角：
a
(2k 1)180 nm
a 90 、 270
-1
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例 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。
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规则2
根轨迹的分支数、起点和终点
根轨迹的分支数等于开环极点数目与开环零点数目 大者。
系统的开环传递函数
K ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn ) 系统的闭环传递函数
n 1 1 i 1 s1 zi i 1 s1 pi
m
解出s1，即为分离点d
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2、由重根法求解d
G( s) H ( s) KB ( s) A( s)
A( s) B ' (s) A' (s) B(s) 0
由代数方程式解的性质可知，特征方程式出现 重根的条件是s值必须满足下列方程，即
计算入射角的表达式
j 1 j l
D(s) A(s) KB(s) 0
D ' (s) A' (s) KB ' (s) 0
3、由极值点求解d
dK ds 0
dK A( s) B ' ( s) A' ( s) B( s) ds [ B( s)]2
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A( s ) K B( s)
已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。
K ( s 1)( s 4)( s 6) G( s ) s 2 ( s 2)( s 3)2
[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
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规则4
根轨迹的渐近线
(s p1 ) (s p2 )
(s p4 ) / 2
(s p3 ) / 2
n i i 1 i
(s z ) (s p ) (2k 1)
i 1
m
根据规则5求根轨迹的分离点
K* 0 2 s( s 4)( s 4s 20) 2 K* s( s 4)( s 4s 20) ( s4 8s3 36s2 80s) 1 G( s ) H ( s ) 1
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例 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。
G( s ) K (0.25 s 1) K *( s 4) s( s 1)(0.2 s 1) s( s 1)( s 5)
三个开环极点：0、-1、-5
n-m=3-1=2 渐近线与实轴交点：
n 1 1 d z i 1 i 1 d pi i m
解析法 试凑法
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坐标值d由分式方程解出 (s z )
m
G ( s) H ( s) K
i
*
(s p )
i i 1
i 1 n
D( s) ( s pi ) K
n q 将两端同乘以 ，便得
1 (1 qp1 ) (1 pq n ) q n m (1 qz1 ) (1 qz m ) 0 K
当 K 时，它化为
q nm (1 qz1 )(1 qzm ) 0
1 , zm
这仍是n次方程，它有n个根：
1 q 0(n m重)， , z
i 1
n
'
(s z ) 0
i i 1
m
根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中 的重根条件，有
D( s1 ) ( s1 pi ) K ' ( s zi ) 0
i 1 i 1 n m
d d D(s1 ) (s1 pi ) K ' (s1 zi ) 0 ds1 ds1 i 1 i 1
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第四章 根轨迹法
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绘制根轨迹的基本法则
根轨迹的连续性和对称性 根轨迹分支数、起点和终点
实轴上的根轨迹
2. 渐近线与实轴的交点
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(2k 1) ＝ nm
a＝ i 1
p z
i i 1
n
m
i
nm
1）当k值取不同值时，a 有（n－m）个值，而a不变； 2）根轨迹在s∞时的渐近线为 （n－m）条与实轴交点为a 、倾角a为的一组射线。
若m < n ,当 k →∞时有 n-m 条根轨迹沿着 n-m 条渐近线趋于s平面无穷远处。
1. 渐近线的倾角
(2k 1) ，k 0,1, 2, , (n m 1) nm
m n ( pl ) ( zi ) i 1 l 1 nm
(s z ) 0
i i 1
m
通常m < n , 还有n-m 条根轨迹终止在什么地方？
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