根轨迹和根轨迹方程
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
根轨迹方程
证明：根轨迹方程
m
∏ (s − zi )
i =1
=−
1
n
∏ (s − pi )
K*
∏ i =1
n
s − pi
模值方程
K * = i=1 m ∏ s − zi
i =1
根轨迹起点： K*= 0(K = 0)
要使模值方程成立，则 s = p i 所以pi是根轨迹起点。
(i = 1, , n )
根轨迹终点 K* = ∞(K = ∞)
= −1
i =1
∏ ⎧
⎪
K
* G
m
s − zi
⎪
i =1
∏ ⎪⎪
⎨
n
s − pi
=1
⎪ i=1
⎪m
n
∑ ∑ ⎪
⎪⎩ i =1
∠(s −
zi ) −
i =1
∠(s −
p i ) = (2 k + 1)π
k = 0,±1,±2
模方程 相方程
（1）相方程是决定闭环根轨迹的充要条件；
（2）由模方程决定根轨迹上各点相应的 K * 值。
−
pi )
=
−K
*
d ds
m
(s − z j )
j =1
将式（1）除式（ 2）得
（2）
d ds
n
d
(s − pi ) ds
i =1
=
m
(s − z j )
j =1
n
m
(s − pi )
(s − z j )
i =1
j =1
n
m
d ln
( s − p i ) d ln
(s − z j )
根轨迹定义及根轨迹方程
第四章根轨迹法（第一讲）根轨迹定义及根轨迹方程引言•分析和设计系统时确定闭环极点（即特征根）在复平面的位置是十分有意义的:1）闭环系统的极点在复平面的位置决定了系统的稳定性；2）系统的性能指标也主要由闭环极点的位置决定；•通过求解高阶代数方程确定闭环极点是困难的；•闭环系统的极点与系统的参数有关，如开环增益等；•希望找到一种不用求解代数方程，就能确定当某个参数变化时极点的位置的方法。
•1948年伊文思（Walter R.Evans)提出了根轨迹法；•根轨迹方法能够确定当某个参数变化时，闭环极点在特征方程2220s s K ++=特征根1,2112s K =−±−120 0 2K s s ===−120.5 1K s s ===−1,21 11K s j ==−±∞±−=∞→j s K 1 2,1K 1(0.51)s s +0-21-1j-1根轨迹K1(0.51)s s+根轨迹定义根轨迹是指当系统开环的某个参数（如开环增益）从零变化到无穷大时，闭环特征方程的根在复平面上移动的轨迹。
0 -21-1j-1根据所绘制的根轨迹图可知：K>0时，系统稳定；0<K<0.5时，过阻尼状态，阶跃响应为单调衰减过程；K=0.5时，临界阻尼状态，阶跃响应为单调衰减过程；K>0.5时，欠阻尼状态，K 1(0.51)s s +0-21-1j-1根轨迹方程)(s G ()H s )(s R )(s C 开环传递函数分别为开环零、极点；i p j z 0K *≤<∞n m ≥为开环根轨迹增益，并假设。
特征方程0)()(1=+s H s G 由于闭环极点就是特征方程的根，该方程又称为根轨迹方程。
11()()()()mj j ni i s z G s H s K s p =*=−=−∏∏j=11||1||mj n i i s z K s p *=−=−∏∏π)12()()(11+=−∠−−∠∑∑==k p s z s ni i m j j )(s G ()H s )(s R )(s C 根轨迹方程可分解为模值方程和相角方程：11()()()=1()mj j ni i s z G s H s K s p =*=−=−−∏∏（1）由于，所以任何复数s 均满足模值方程；（2）相角方程是确定复数s 是否为根轨迹上的点的充分必要条件；0K *≤<∞例4-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为2()(2)KG s s *=+试证明复平面上点是该系统的闭环极点。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
第4章 根轨迹
m
(s p
j 1
n
1
j
)
因ｓ为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程和相 角方程。 幅值方程为
K r (s zi )
i 1 m
(s p
j 1
n
1 或
(s z )
i
m
j
)
(s p
j 1
i 1 n
j
)
1 Kr
相角方程为
(s z ) (s p ) (2k 1)
设p3的出射角为θ3，如图所示。
假设s1为根轨迹上的一点，则s1应 满足相角方程
(s
i 1
1
1
z i ) ( s1 p j ) (2k 1)
j 1
4
由此可推得出射角的一般表达式
l ( pl zi ) ( pl p j ) i j
例4-6 已知系统的开环传递函数为
K r (s 1.5)(s 2 4s 5) G( s) H ( s) s(s 2.5)(s 2 s 1.5)
试绘制系统的根轨迹图。
18
7. 根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常 常需要求得这一交点和相应的Kr值。 设与虚轴相交的闭环极点为ｓ=jω，代入闭环特征方程得：
根为两个复数根，系统呈欠阻尼 状态，即输出呈衰减振荡形式。 特征根的实部σ为衰减系数，虚 部ω为振荡频率。
4
4.1.2 根轨迹方程
设系统的结构如图所示。 系统的闭环传递函数为
C ( s) G(s) R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
开环传递函数的一般表达式为
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
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3
闭环传递函数决定控制系统的性能：
稳定性（取决于闭环极点） 快速性（动态性能，取决于闭环极点和零点） 准确性（静态误差，取决于增益）
闭环极点难以计算，尤其对于高阶系统，因此需要探索不解 高次代数方程，也能求出系统闭环特征方程的根，进而求出 系统闭环动态特性的有效方法。
根轨迹分析法就是利用开环零、极点确定闭环极点的一 种图解方法。
K
*
K
1 2 L
T1 T2 L
m
Tnv
,
z1
1
1
,
p1
1 T1
,L
根轨迹增益 时常数增益
2
R(s)
C(s)
-
Go (s)
Go (s)
K (1s 1)( 2s 1)L
sv (T1s 1)(T2s 1)L
( ms 1)
(Tnv s 1)
K*(s sv (s
z1)(s z2 )L (s zm ) p1)(s p2 )L (s pnv )
Go (s)
C(s) 开环传递函数为： Go (s) 闭环传递函数为： (s) Go (s)
1 Go (s)
将 Go (s)写成以下标准型：
m
Go (s)
K*(s (s
z1)(s z2 )L (s zm ) p1)(s p2 )L (s pn )
K*
n
(s
i 1
(s
zi ) pj)
☆充要条件11
[一些约定]：在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示
开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的
方向。“ ”表示根轨迹上的点。
我们先以根轨迹增益 K （* 当然也可以用其它变量）作为变化量
来讨论根轨迹。
[定义]：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。 同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在 某一增益的情况下绘制的）。
j 1
根轨迹方程
根据复变函数的概念 Go (s) Go (s) Go (s) 1
m
K * | s zi |
Go
(
s
)
i 1 n
1
| s pj |
幅值条件
j 1
m
n
Go (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1) , k 0, 1, 2...
相角条件
i 1
j 1
180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨
迹方程，每一点对应一个K *。由于180度等相角根轨迹上的任意
一点都可通过幅值条件计算出相应的K *值，所以直接称180度等
相角根轨迹为根轨迹。
1948，美国, W. R. Evans, Control system synthesis by root locus method. Trans. Amer. Institute of Electrical Engineers, 69, pp.66-69, 1950
4
25 seminal papers in control (20c)
2K
闭环特征方程： s2 2s 2K 0
闭环极点（特征根）： s1,2 1 1 2K
6
特征根 s1,2 1 1 2K 随K的变化：
讨论：
① 当K=0时，s1=0,s2=-2,
（也是开环传递函数的极点：开环极点）
② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6
③ 当K=0.5时，s1=s2=-1
j
-1
0
j
B
z p2 A p1
❖ [根轨迹定义]：开环系统传递函数中某个参数由零到无穷
大变化时，其闭环极点在s平面上移动的轨迹。
❖ 根轨迹图：s平面上由根轨迹形成的图。
❖ 根轨迹法：不用求解闭环特征方程的根，而利用开环零、
极点求出闭环极点的轨迹，研究系统性能的方法。
9
二、根轨迹方程
R(s) -
利用根轨迹法，可以： 分析系统的性能 确定系统的结构和参数 校正装置的综合
5
一、根轨迹的基本概念 例1：如图所示二阶系统，开环传递函数为：
Go (s)
K s(0.5s
1)
2K s(s 2)
R(s) -
K
C(s)
s(0.5s 1)
闭环传递函数：(s)
Go (s) 1 Go (s)
s2
2K 2s
j
K 5
K 1
K 0
2
1K 0
0
④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j
⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j
特征根的轨迹
⑥ 当K=∞时，s1=-1+j∞,s2=-1- j∞
7
二阶系统的根轨迹图
二阶系统的闭环瞬态响应曲线
显然，K变化时，s1,s2的位置不同，相应的闭环瞬态响应特性 也是不同的。
4.1 根轨迹和根轨迹方程
R(s) -
Go (s)
C(s) 闭环传递函数为：(s) Go (s)
1 Go (s)
R(s)
C(s)
G(s)
-
H (s)
闭环传递函数为：(s) G(s)
1 G(s)H (s)
R(s)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱG(s)H (s)
-
1 C(s) (s) G(s)H (s) 1
H (s)
1 G(s)H(s) H(s)
j 1
式中：K * 称为根轨迹增益；
zi，p j为开环零、极点。
10
闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：1 Go (s) 0 的根。
m
Go (s)
K*(s (s
z1)(s z2 )L (s zm ) p1)(s p2 )L (s pn )
K*
n
(s
i 1
(s
zi ) pj)
1
(s)
C(s) R(s)
Go (s) 1 Go (s)
sv (s
K *(s z1)(s p1)(s p2 )L
z2 )L (s K*(s
zm ) z1)(s
z2 )L
结论：对单位负反馈控制系统：
（1）闭环根增益＝开环根增益；
（2）闭环零点＝开环零点；
（3）闭环极点与开环零极点、及根轨迹增益均有关。
1
R(s)
C(s)
-
Go (s)
Go (s)
K (1s 1)( 2s 1)L
sv (T1s 1)(T2s 1)L
( ms 1)
(Tnv s 1)
K*(s sv (s
z1)(s z2 )L (s zm ) p1)(s p2 )L (s pnv )
时常数形式（尾1）
零极点形式（首1）
闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布， 其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的 零极点分布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文 思提出了一种在复平面上由开环零、极点确定闭环极 点的图解方法—根轨迹法。将系统的某一个参数（比 如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示 在一张图上。