根轨迹
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根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
根轨迹的基本规律及绘制
i 1
m
(s zj ) 0
j1
K* = s j = z j(j = 1,2, ,m)
根轨迹终止于开环零点。
讨论：
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同步，根轨迹 旳起点与终点均为有限旳值。
2．当m<n时，即开环零点数不大于开环极点数时，除 有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有 n-m条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。
3．当m>n时，即开环零点数不小于开环极点数时，除 有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有 m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。参数根轨迹
2024/10/9
结论：
根轨迹起始于开环极点(K*→0)，终止于 开环零点(K*→∞)；假如开环极点数n不小 于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止 于s平面旳无穷远处，假如开环零点数m不 小于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始 于s平面旳无穷远处。
s
as a
a
渐近线与实轴旳交点：
0
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
渐近线与实轴正方向旳夹角：
a
2k1
n m
2024/10/9
k 0,1, 2, , n m1
例 已知系统旳开环传递函数如下，试画出该
系统根轨迹旳渐近线。
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
G(s) H(s) Kr (s 2) s2 (s1)(s 4)
j 1
j 1
ji
所以 同理得：
m
n
pi (2k 1) ( zj pi ) pj pi
j 1
j 1
m
(s zj ) 0
j1
K* = s j = z j(j = 1,2, ,m)
根轨迹终止于开环零点。
讨论：
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同步，根轨迹 旳起点与终点均为有限旳值。
2．当m<n时，即开环零点数不大于开环极点数时，除 有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有 n-m条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。
3．当m>n时，即开环零点数不小于开环极点数时，除 有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有 m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。参数根轨迹
2024/10/9
结论：
根轨迹起始于开环极点(K*→0)，终止于 开环零点(K*→∞)；假如开环极点数n不小 于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止 于s平面旳无穷远处，假如开环零点数m不 小于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始 于s平面旳无穷远处。
s
as a
a
渐近线与实轴旳交点：
0
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
渐近线与实轴正方向旳夹角：
a
2k1
n m
2024/10/9
k 0,1, 2, , n m1
例 已知系统旳开环传递函数如下，试画出该
系统根轨迹旳渐近线。
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
G(s) H(s) Kr (s 2) s2 (s1)(s 4)
j 1
j 1
ji
所以 同理得：
m
n
pi (2k 1) ( zj pi ) pj pi
j 1
j 1
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
根轨迹
第四章
根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念 所谓根轨迹就是指当系统中某个 参量由零到无穷大变化时， 参量由零到无穷大变化时，其闭环特 征根（极点） 征根（极点）在s平面上移动的轨迹
方法1:解 方法1:解方程法 1: 开环传递函数 ∗ K G( s) = s( s + 1)( s + 2)
1 1 1 1 = + + ∑ s− p s s+1 s+ 2 = 0 j =1 j
3
方法3:极值法 方法3:极值法 3:
dK ∗ =0 ds
K ∗ = − s 3 − 3s 2 − 2s dK ∗ = −3s 2 − 6s − 2 = 0 ds ds
m 1 1 =∑ ∑ d − p i =1 d − z j =1 j i n
重根法求解d 2 、重根法求解d
f ( s ) = A( s ) + K ∗ B( s ) = 0
A( s ) B′( s ) − A′( s ) B( s ) = 0
3、由极值点求解d 由极值点求解d dK ∗ = 0 坐标值由
4-2 绘制根轨迹的基本法则
设控制系统的开环传递函 数为 m
G(s)H ( s) = K
*
jω
∏ (s − z )
i =1 n i j =1 j
∏ (s − p
)
K =∞ 1 −1
K*(s − z1)L (s − zm) = (s − p1)(s − p2 )L (s − pn )
K =0 −6
• K = 35, ω =1.35
根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念 所谓根轨迹就是指当系统中某个 参量由零到无穷大变化时， 参量由零到无穷大变化时，其闭环特 征根（极点） 征根（极点）在s平面上移动的轨迹
方法1:解 方法1:解方程法 1: 开环传递函数 ∗ K G( s) = s( s + 1)( s + 2)
1 1 1 1 = + + ∑ s− p s s+1 s+ 2 = 0 j =1 j
3
方法3:极值法 方法3:极值法 3:
dK ∗ =0 ds
K ∗ = − s 3 − 3s 2 − 2s dK ∗ = −3s 2 − 6s − 2 = 0 ds ds
m 1 1 =∑ ∑ d − p i =1 d − z j =1 j i n
重根法求解d 2 、重根法求解d
f ( s ) = A( s ) + K ∗ B( s ) = 0
A( s ) B′( s ) − A′( s ) B( s ) = 0
3、由极值点求解d 由极值点求解d dK ∗ = 0 坐标值由
4-2 绘制根轨迹的基本法则
设控制系统的开环传递函 数为 m
G(s)H ( s) = K
*
jω
∏ (s − z )
i =1 n i j =1 j
∏ (s − p
)
K =∞ 1 −1
K*(s − z1)L (s − zm) = (s − p1)(s − p2 )L (s − pn )
K =0 −6
• K = 35, ω =1.35
第4章 根轨迹法
，即系统的开环极点。
时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为
，即系统的开环零点。
但是，当
时，
条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点），还有
条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点）。
如果出现
的情况，必有
条根轨迹的起点在无穷远处。
规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支 数等于 ， 根轨迹对称于实轴并且连续变化。
由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。
规则3 根轨迹的渐近线 当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹 趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为 ， 渐近线与实轴正方向的夹角(倾角)为
例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为
规则10 根之积 根据特征方程根和系数的关系，得
第1章 引 论
例：系统的开环传递函数为
开环极点为
渐近线于实轴的交点为
渐近线的倾角为
与虚轴的交点为
第1章 引 论
根轨迹的分会点：
第1章 引 论
第1章 引 论
第1章 引 论
例：系统的开环传递函数为
开环极点为
渐近线于实轴的交点为
4.6 MATLAB绘制系统的根轨迹 对于比较复杂的系统，人工绘制根轨迹十分复杂和困难，MATLAB绘制系统根轨迹是十分方便的。 通常将系统的开环传递函数写成如下形式
分别为分子和分母多项式。
采用MATLAB命令： pzmap(num,den)可以绘制系统的零、极点图； rlocus(num,den)可以绘制系统的根轨迹图； rlocfind(num,den)可以确定系统根轨迹上某些点的增益。
渐近线的倾角为
与虚轴的交点为
时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为
，即系统的开环零点。
但是，当
时，
条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点），还有
条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点）。
如果出现
的情况，必有
条根轨迹的起点在无穷远处。
规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支 数等于 ， 根轨迹对称于实轴并且连续变化。
由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。
规则3 根轨迹的渐近线 当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹 趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为 ， 渐近线与实轴正方向的夹角(倾角)为
例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为
规则10 根之积 根据特征方程根和系数的关系，得
第1章 引 论
例：系统的开环传递函数为
开环极点为
渐近线于实轴的交点为
渐近线的倾角为
与虚轴的交点为
第1章 引 论
根轨迹的分会点：
第1章 引 论
第1章 引 论
第1章 引 论
例：系统的开环传递函数为
开环极点为
渐近线于实轴的交点为
4.6 MATLAB绘制系统的根轨迹 对于比较复杂的系统，人工绘制根轨迹十分复杂和困难，MATLAB绘制系统根轨迹是十分方便的。 通常将系统的开环传递函数写成如下形式
分别为分子和分母多项式。
采用MATLAB命令： pzmap(num,den)可以绘制系统的零、极点图； rlocus(num,den)可以绘制系统的根轨迹图； rlocfind(num,den)可以确定系统根轨迹上某些点的增益。
渐近线的倾角为
与虚轴的交点为
根轨迹法基本概念
KG0 (s)
则闭环特征方程为:
1 K num 0 den
特征方程旳根随参数K旳变化而变化,即为闭环根轨迹.
项目1:已知系统旳开环传递函数模型为：
K Gk (s) s(s 1)(s 2) KG0(G)
利用下面旳ＭＡＴＬＡＢ命令可轻易地绘制出系统旳根轨迹 >>G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);
引言
A.闭环系统旳稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程旳根。
B.当待定参数变化时特征根随之变 化，这个根旳变化轨迹就形成根轨迹。
C.用来研究根轨迹旳变化规律以及 和闭环系统性能间旳关系旳措施，称为 控制系统根轨迹分析法。
§4.2 根轨迹旳概念
要求： 1)掌握根轨迹旳概念 2)掌握根轨迹幅值条件和相角条件
2)相角条件是决定根轨迹旳充要条件， s平面上一点若满足相角条件,即为根轨迹 上旳一点。
3)幅值方程用于拟定根轨迹上一点旳K值;
根轨迹点
幅值方程
四. 根轨迹与系统性能
1.稳定性 假如系统特征方程旳根都位于S平面 旳左半部，系统是稳定旳，不然是不稳定旳。若
根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交
另一种问题是，经过解方程求得旳闭环 极点，是在系统参数一定旳情况下求得旳。 但当系统中旳参数变化时，如开环增益K变化 时，又得重新解方程求根，因而很不以便。
为了处理以上问题，1948年，伊万斯提 出了控制系统分析设计旳根轨迹法。
这种措施是根据反馈控制系统旳开环、闭 环极点传递函数之间旳关系，根据一定旳准 则，直接由开环传递函数旳零、极点，求出 闭环极点。从而，比较轻易旳得到系统旳性能.
要点： 1)根轨迹旳概念 2)闭环系统旳特征根旳根轨迹与开环 传递函数旳关系
根轨迹的特点
根轨迹是指在复平面上描述线性系统的特征根（或者特征值）随时间变化而形成的轨迹。
根轨迹的特点如下：
根轨迹是一个连续曲线，由系统的特征根在复平面上连续移动形成。
通常情况下，根轨迹是闭合的，也就是形成一个或多个闭合的环。
每个特征根对应于根轨迹上的一个点。
根轨迹与系统的传递函数有关，不同的传递函数对应不同的根轨迹。
因此，通过观察根轨迹，我们可以了解系统的稳定性、阻尼比、超调量等性能指标。
在根轨迹上，特征根距离原点越远，表示系统对外部扰动和输入信号的影响越强。
因此，从根轨迹中可以看出系统对不同频率的输入信号的响应情况。
根轨迹的形状受到系统阻尼比的影响。
当阻尼比越小时，根轨迹的形状越接近圆形；当阻尼比较大时，根轨迹的形状会变得扁平。
根轨迹上的点代表系统的特征根，在复平面上的位置反映了特征根的实部和虚部。
实部表示系统的稳态响应，虚部表示系统的振荡特性。
总之，根轨迹提供了一种可视化的方法来分析和设计线性系统。
通过观察根轨迹的形状和位置，我们可以判断系统的稳定性和性能，并进行系统控制的设计和调整。
第八章 根轨迹法
nm =3
p3 -2
p2 -1
σα
0
p1
故三条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线与实 -60° 轴交点的坐标为 (0) +(1) +(2) (0) σα = =1 3 (2k + 1)π 取 k = 0, α = 60° α = 渐近线与实轴正方向的夹角 3 k = 1, α = 180° k = 1, α = 60° 三条渐近线如图所示。
自动控制原理
利用以上原则求例 8-1 的根轨迹图： 已知开环极点为0，-2。首先应用幅角条件，即
(∠s + ∠(s + 2)) = ±180°(2k + 1)
用试探的方法可找出满足上述条件的 s 点。 由幅角条件分析可知，实轴上根轨迹位于（-2，0）区间，实 轴之外根轨迹为0，-2两点的中垂线。 用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的 K* 值。 如对(-1+j) 点，有 K = s i s + 2 / 2 = ( 2i 2)/ 2 = 1 得 K* = 2
自动控制原理
五、根轨迹的渐近线
* 如果开环零点数 m 小于开环极点数 n，则K → ∞ 时，趋向无 穷远处的根轨迹共有 (n-m) 条，这些根轨迹趋向于无穷远处的方向 角可由渐近线决定。
渐近线与实轴交点坐标公式 该式的分子是开环极点之和减零点之 和，分母是开环极点数减零点数。
∑ p ∑z
σα =
i =1 i j =1
∏ (s z )
由根轨迹方程知，
m
∏ (s p )
j =1 i
i =1 n
i
=
1 K*
K * → ∞ 时，s – zi = 0
所以，根轨迹终止于开环零点。 又，若 n>m ，则 s →∞ 时，上式可写成 即有 (n-m) 条根轨迹趋向于无穷远处。
p3 -2
p2 -1
σα
0
p1
故三条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线与实 -60° 轴交点的坐标为 (0) +(1) +(2) (0) σα = =1 3 (2k + 1)π 取 k = 0, α = 60° α = 渐近线与实轴正方向的夹角 3 k = 1, α = 180° k = 1, α = 60° 三条渐近线如图所示。
自动控制原理
利用以上原则求例 8-1 的根轨迹图： 已知开环极点为0，-2。首先应用幅角条件，即
(∠s + ∠(s + 2)) = ±180°(2k + 1)
用试探的方法可找出满足上述条件的 s 点。 由幅角条件分析可知，实轴上根轨迹位于（-2，0）区间，实 轴之外根轨迹为0，-2两点的中垂线。 用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的 K* 值。 如对(-1+j) 点，有 K = s i s + 2 / 2 = ( 2i 2)/ 2 = 1 得 K* = 2
自动控制原理
五、根轨迹的渐近线
* 如果开环零点数 m 小于开环极点数 n，则K → ∞ 时，趋向无 穷远处的根轨迹共有 (n-m) 条，这些根轨迹趋向于无穷远处的方向 角可由渐近线决定。
渐近线与实轴交点坐标公式 该式的分子是开环极点之和减零点之 和，分母是开环极点数减零点数。
∑ p ∑z
σα =
i =1 i j =1
∏ (s z )
由根轨迹方程知，
m
∏ (s p )
j =1 i
i =1 n
i
=
1 K*
K * → ∞ 时，s – zi = 0
所以，根轨迹终止于开环零点。 又，若 n>m ，则 s →∞ 时，上式可写成 即有 (n-m) 条根轨迹趋向于无穷远处。
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k 0时 s1 0 0 k 1 2时 k 1/2时
k 1/2时
s2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点 相同 s1, s2均为负实数 s1 s2 -1 s1,2 -1 j 2k - 1,实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直 线上
k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 远.
G(S)H(S)
K S(S 4)(S2 4S 20)
试绘制该系统的根轨迹的草图.
解 : (1)开 环 极 点 为P1 0, P2
(2)实 轴上 的根 轨迹[0,-4]
-4, P3
-2
j4, P4
p-22 -
j4
(3)渐 近线
-4
a
422 4
2
(2l 1)
a
4
l0
a
4
45
l 1
a
3 4
增 益; 对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 系 统 根 轨 迹 的 增 益就 等 于 开 环 系统 根 轨 迹 的 增 益.
(2)闭 环 零 点 由 开 环 前 向 通路 传 递 函 数 的 零 点 和 反馈 通 路 传函的 极 点 所 组 成;对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 零 点 就 是 开 环 零点
(2)渐近线 180 一条 (3)无分离点 (4)出射角,入射角
p4 -2.5
p2 180 - 56.5 19 59 - 108.5 - 90 - 37 79 z1 180 63.5 153 199 121 - 90 - 117 149.5
19 °
37 ° -2
56.5 ° -1
1 0.423
2 1.577(舍)
-2
-1
0
7.根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点
(1)把s j代 入1 G(s)H (s) 0得 1 G(j )H(j ) 0
令Re[1 G(j )H(j )] 0, Im[1 G(j )H(j )] 0 解 得及K c
(2)应 用Routh判 据 接 上 例,可 求 得 根 轨 迹 与 虚 轴 的交 点
3 3
180
a
(2l 1) nm
5 3
300
(l 0) (l 1) (l 2)
-4 -3
-2 -1
5.实 轴 上 的 根 轨 迹
实 轴 上 的 某 一 区 域,若 其 右 边 开 环 零 极 点 个数 之 和 为 奇 数
则该区域必是根轨迹
6.根 轨 迹 与 实 轴 的 交 点(分 离 点 与 会 Pi
)
m
ds ( i1
S
Zi
)
S
0
dk 0 ds
例.已 知 某 负 反 馈 系 统 开 环传 函 为G(S )H (S )
k
S(S 1)(S 2)
试 画 出 其 根 轨 迹.
解 : a 1
a 60, 180, 300
d ds
[s(s
1)(s
2)]s
s n a n-1s n-1 a1s a 0 0 设 根 为s1 , s 2 , , s n , 则 有
(s - s1 )(s - s 2 ) (s - sn ) 0 由 代 数 方 程 根 与 系 数 的 关 系, 有
n
si -an-1
i 1
n
(si ) a0
i 1
n
对于稳定系统
G(s)H(s)|
K | i 1 n
s
zi
|
|
i 1
s
pi
|
m
n
G(s)H(s) (s - z i ) - (s - pi )
i 1
i 1
§ 2 绘制根轨迹的基本规则
一.180根 轨 迹 的 绘 制 规 则
1. 根轨迹分支数
根 轨 迹 的 分 支 数 等 于 闭环 极 点 数 或 等 于 特 征 方程 的 阶 数
(3)闭 环 极 点 与 开 环 零 点,开 环 极 点 以 及 根 轨 迹 增益 均 有 关 根 轨迹 法 的 基 本 任 务:
如 何 由 已 知 的 开 环 零 极点 的 分 布 及 根 轨 迹 增 益, 通 过 图 解 的 方 法找 出 闭 环 极 点.
4.根 轨 迹 方 程
根 轨 迹 是 所 有 闭 环 极 点的 集 合.
第四章 根轨迹法
§ 1 反馈系统的根轨迹
1.根 轨 迹 的 概 念 开 环 系 统 某 一 参 数 从 零到 无 穷 变 化 时,闭 环 系 统 特 征 方 程
式 的 根 在S平 面 内 变 化 的 轨 迹 称 根轨 迹 。(root locus)
例. 设 有 一 单 位 反 馈 系 统 如图 所 示G(S ) 2k s(s 2)
- j 3 - 3 2 j2 k 0 - 3 2 k 0 - 3 2 0
由此解得
1 0 2,3 2 (rad/S) K C 6
8.根 轨 迹 的 出 射 角 与 入 射角 出 射 角: 根 轨 迹 离 开 开 环 复 数 极点 处 的 切 线 方 向
与实轴正方向的夹角
入 射 角: 根 轨 迹 进 入 开 环 复 数 零点 处 的 切 线 方 向 与实轴正方向的夹角
a
i 1
i 1
nm
渐 近 线 与 实 轴 的 交 角:
a
2l 1
nm
(l 0,1, , n m 1)
例.设控制系统的开环传函为
G(S)
K(S 1) S ( S 4)( S 2 2 S 2)
试根据目前所知的法则确定根轨迹的有关数据
解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1- j
m
n
Pl 180 (Pl Z j ) (Pl Pj )
j1
j1
jl
n
m
Zl 180 (Z l Pj ) (Z l Z j )
j1
j1
jl
p1 A
θp1
∠（p1-z1） z1
∠（p1-p3） p3
∠（p1-p2）
p2
( p1 z1 ) p1 ( p1 p2 ) ( p1 p3 ) 1800 i3600 p1 (1800 i3600 ) ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) ( p1 p3 )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) -1
G(s)H(s) K(s - z1 )(s - z 2 ) (s - zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
| G(s)H(s)| 1
幅值条件
G(s)H(s) 180 i360 (i 0,1,2, ) 相 角 条 件
m
|
p3
180 tg 1
4 2
(180 tg 1
4 2
)
90
90
p4 90
(6)根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点
S4 8S3 36S2 80S k 0
S4
1
36 k
S3
8
80 0
S2
26 k
S1
2680-8k 26
0
S0
k
0 2680-8k 26
26S2 260 0
k 260 得 S j 10
例.设系统开环传函为
G(S) K(S 1.5)(S 2 j)(S 2- j) S ( S 2.5)( S 0.5 j1.5)( S 0.5 j1.5)
试绘制系统的概略根轨迹
解:
(1)起始点 p1 0 p2 -0.5 - j1.5 p3 -0.5 j1.5 实轴上的根轨迹 [0,-1.5] [-2.5,-]
K
s1 -1 1 - 2k s2 -1 - 1 - 2k
-2
0
K
2.根 轨迹 与 系统 性能
稳 定性: 根 轨迹 若 越过 虚轴 进 入s右 半平 面,与 虚轴 交 点处 的
k 即为临界增益
稳 态性 能: 根 据坐 标 原点 的根 数,确 定系 统 的型 别,同 时可 以
确 定对 应 的静 态误 差 系数
(7) A点 的 增 益 K A (4 2.5) (4 2.5) 22 2.52 22 2.52 1.5 6.5 (4 6.25) 100
例2.
G(S)H(S)
S(S
K 3)(S2
2S
2)
解:
(1) a 1.25 a 45,135
(2)分 离 点
-2.3
(3) pi -71.6
动 态性 能: 过 阻尼 0 k 0.5
临界阻尼 k 0.5
欠阻尼
k 0.5
3.闭 环零 极 点 与开 环 零极点 之间 的 关 系
如 图所 示 系 统的 闭 环传函 为
(S)
G (S) 1G (S)H(S)
R(s)
G(s)
一般开环传函可以写成
H(s)
f
G(S)
KG
(S
i 1 q
Zi )
0
3 2 6 2 0
1 0.423
2 1.577(舍)
例.已 知 某 负 反 馈 系 统 开 环传 函 为G(S )H (S )
k
S(S 1)(S 2)
试 画 出 其 根 轨 迹.
解 : a 1
a 60, 180, 300
d ds
[s(s
1)(s
2)]s
0
3 2 6 2 0
θ1=108.5°
59 °
90°
p2 180 56.5 19 59 108.5 90 37 79
199 °
63.5 ° 117 °
153 °
90 °
121 °
z1 180 63.5 153 199 121 90 117 149.5