控制系统根轨迹的绘制
根轨迹绘制习题及答案
根轨迹绘制习题及答案根轨迹绘制习题及答案根轨迹是控制系统理论中的重要概念，它可以帮助我们分析和评估系统的稳定性和动态响应。
在学习根轨迹绘制的过程中，练习习题是必不可少的。
本文将为大家提供一些根轨迹绘制的习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 习题一：考虑一个开环传递函数为G(s) = K/(s^2 + 2s + 1)的系统，请绘制其根轨迹，并分析系统的稳定性。
解答一：首先，我们需要确定系统的极点和零点。
对于给定的传递函数G(s)，我们可以将其分解为G(s) = K/(s+1)^2的形式，其中极点为-1，零点为无穷远处。
接下来，我们可以根据根轨迹的特性来绘制图形。
根轨迹是极点随着增加K的值而移动的轨迹。
当K趋近于无穷大时，根轨迹会趋近于极点的位置。
根据根轨迹的性质，我们可以得出以下结论：- 当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点移动。
- 当K为负实数时，根轨迹从极点开始，逐渐向零点移动。
- 当K为纯虚数时，根轨迹会绕过零点和极点，形成一个闭合的曲线。
因此，在本例中，当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点-1移动。
系统的稳定性取决于根轨迹是否穿过虚轴。
根据根轨迹的绘制，我们可以发现根轨迹没有穿过虚轴，因此系统是稳定的。
2. 习题二：考虑一个开环传递函数为G(s) = K/(s^2 + 3s + 2)的系统，请绘制其根轨迹，并分析系统的稳定性。
解答二：首先，我们需要确定系统的极点和零点。
对于给定的传递函数G(s)，我们可以将其分解为G(s) = K/(s+1)(s+2)的形式，其中极点为-1和-2，零点为无穷远处。
接下来，我们可以根据根轨迹的特性来绘制图形。
根轨迹是极点随着增加K的值而移动的轨迹。
当K趋近于无穷大时，根轨迹会趋近于极点的位置。
根据根轨迹的性质，我们可以得出以下结论：- 当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点移动。
- 当K为负实数时，根轨迹从极点开始，逐渐向零点移动。
控制系统的根轨迹分析
实验四 控制系统的根轨迹分析一. 实验目的:1. 学习利用MATLAB 语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。
二. 实验内容:1. 应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。
2. 求出系统稳定时，增益K 的范围。
3. 实验前利用图解法画出系统的根轨迹，算出系统稳定的增益范围，与实测值相比较。
4. 应用SIMULINK 仿真工具，建立闭环系统的实验方块图进行仿真。
观察不同增益下系统的阶跃响应，观察闭环极点全部为实数时响应曲线的形状；有共轭复数时响应曲线的形状。
（实验方法参考实验二）5. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。
三. 实验原理:根轨迹分析法是由系统的开环传递函数的零极点分布情况画出系统闭环根轨迹，从而确定增益K 的稳定范围等参数。
假定某闭环系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 利用MATLAB 的下列语句即可画出该系统的根轨迹。
b=[1 1]； ％确定开环传递函数的分子系数向量a1=[l 0]； ％确定开环传递函数的分母第一项的系数a2=[l -1]； ％确定开环传递函数的分母第二项的系数a3=[l 4 16]； ％确定开环传递函数的分母第三项的系数a=conv(al ，a2)； ％开环传递函数分母第一项和第二项乘积的系数 a=conv(a ，a3)； ％分母第一项、第二项和第三项乘积的系数 rlocus(b,a) ％绘制根轨迹，如图（4-l ）所示。
p=1.5i ； ％ p 为离根轨迹较近的虚轴上的一个点。
[k ，poles]=rlocfind(b ，a ，p) ％求出根轨迹上离p 点很近的一个根及所对应的增益K 和其它三个根。
K=22.5031， poles= -1.5229+2.7454i -1.5229-2.7454i0.0229+1.5108i 0.0229-1.5108i再令p=1.5108i ，可得到下面结果:k=22.6464， poles=-1.5189+2.7382i -1.5189-2.7382i0.0189+1.5197i 0.0189-1.5197i再以此根的虚部为新的根，重复上述步骤，几步后可得到下面的结果： k=23.316， poles=-1.5000+2.7040i -1.5000-2.7040i0.0000+1.5616i 0.0000-1.5616i这就是根轨迹由右半平面穿过虚轴时的增益及四个根。
线性系统的根轨迹-自动控制原理实验报告
自动控制原理实验报告实验题目：线性系统的根轨迹班级：学号：姓名：指导老师：实验时间：一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、实验内容同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
2．1绘制下面系统的根轨迹曲线)136)(22()(22++++=s s s s s Ks G程序：G=tf([1],[1 8 27 38 26 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-12-10-8-6-4-20246-10-8-6-4-20246810Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s0204060801001201400.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K>28.74252．2绘制下面系统的根轨迹曲线)10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([1 12],[1 23 242 1220 1000]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-100102030-50-40-30-20-1001020304050Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s01234560.0020.0040.0060.0080.010.012Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围： K>1.1202e+032．3绘制下面系统的根轨迹曲线)11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([5 100],[0.08568 1.914 17.14 100 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-10010203040-60-40-200204060Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s012345670.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K> 7.8321根据实验结果分析根轨迹的绘制规则：⑴绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值的大小无关。
第四章控制系统的根轨迹法
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
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[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
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例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
用直接求解闭环特征根绘制根轨迹的方法
用直接求解闭环特征根绘制根轨迹的方法根轨迹是控制系统分析和设计中常用的一种图形工具，通过绘制系统的根轨迹可以直观地了解系统的稳定性和动态性能。
在控制系统的闭环传递函数中，根轨迹是由系统的特征根或极点的轨迹形成的。
那么，如何使用直接求解闭环特征根的方法来绘制根轨迹呢？我们需要了解控制系统的闭环传递函数。
控制系统的闭环传递函数是指系统输出与输入之间的关系，它包含了系统的控制器、传感器和执行器等组成部分。
闭环传递函数常用的表示形式是分子多项式与分母多项式的比值，即G(s) = N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是闭环传递函数的分子和分母多项式，s是复变量。
接下来，我们可以通过直接求解闭环传递函数的特征根来绘制根轨迹。
特征根是闭环传递函数的分母多项式的根，它决定了系统的稳定性和动态性能。
我们将闭环传递函数的分母多项式D(s)表示为(s+z1)(s+z2)...(s+zn)的形式，其中z1、z2、...、zn是特征根。
然后，我们可以通过将特征根代入根轨迹的极点条件来求解根轨迹的方程。
对于给定的特征根z，根轨迹的方程为|G(s)| = 1，其中G(s)是控制系统的开环传递函数。
根轨迹的方程可以进一步化简为|N(s)| = |D(s)|，即分子多项式N(s)与分母多项式D(s)的模相等。
通过求解根轨迹的方程，我们可以得到根轨迹的形状和位置。
根轨迹的形状取决于特征根的实部和虚部，而根轨迹的位置取决于特征根在复平面上的分布。
在绘制根轨迹时，我们可以通过改变特征根的值来观察系统的动态响应。
当特征根的实部或虚部发生变化时，根轨迹的形状和位置也会相应改变。
通过绘制根轨迹，我们可以判断系统的稳定性和动态性能。
如果根轨迹的所有点都位于左半平面，则系统是稳定的；如果根轨迹与虚轴相交，则系统是振荡的；如果根轨迹与实轴相交，则系统是不稳定的。
通过根轨迹还可以估计系统的动态性能。
根轨迹的形状越接近虚轴，系统的动态响应越快；根轨迹的形状越远离虚轴，系统的动态响应越慢。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
参数根轨迹的matlab绘制原理
参数根轨迹的matlab绘制原理参数根轨迹是控制系统分析和设计中非常重要的概念，可以帮助我们分析控制系统的稳定性和动态响应特性。
在Matlab中，可以通过一些简单的指令实现参数根轨迹的绘制，从而更好地理解控制系统的行为。
本文将简要介绍参数根轨迹的概念和Matlab中绘制参数根轨迹的原理，以及具体的绘制方法。
一、什么是参数根轨迹？我们知道，在控制系统中，控制器的传递函数通常是由若干个参数构成的，例如比例控制器的传递函数为$K_p$，积分控制器的传递函数为$\frac{K_i}{s}$等。
参数根轨迹是指控制器参数变化时，系统极点和极点轨迹的变化关系。
在某些情况下，通过控制器参数的设计和调节，我们可以使得系统的极点轨迹穿过我们所期望的点（通常是一条直线），从而使系统的性能和稳定性得到改善。
参数根轨迹的绘制是一种基于控制理论的分析方法，它可以用来分析控制系统的动态响应特性，包括稳态误差、阻尼比、过渡过程时间等。
参数根轨迹的概念适用于各种类型的控制系统，包括比例控制、积分控制、微分控制、比例积分控制、比例微分控制等。
二、参数根轨迹的Matlab绘制原理Matlab提供了许多用于控制系统分析和设计的工具箱，包括控制系统工具箱、优化工具箱等。
在控制系统工具箱中，可以使用“rlocus”指令绘制参数根轨迹。
rlocus指令的使用形式为：```rlocus(num,den,k)```num和den是控制器的分子和分母系数向量，k是控制器参数的范围，通常选择在0到一个较大的数之间。
对于一个比例控制器，可以使用以下代码绘制参数根轨迹：```num=[1];den=[1 10];k=0:0.1:10;rlocus(num,den,k)```这个代码将绘制一个比例控制器$G(s)=k$的参数根轨迹，其中控制器的分母为$s+10$。
在绘制出来的图像中，可以看到参数$k$的变化对系统极点轨迹的影响。
通常我们会选择一个合适的$k$值，使得系统极点轨迹经过我们期望的稳定位置。
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-1 Real Axis
0
1
2
7
[例4-7]设开环系统传递函数为：Gk ( s) 试绘制根轨迹。
k g ( s 1) ( s 0.1)(s 0.5)
[解]：⑴开环零点 z1 1 ，开环极点 p1 0.1, p2 0.5, 根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。 一支在无穷远处。
k g ( s 2)
p z 重心：
i
i
4 1
03 2 2 1 3
⑶实轴上根轨迹区间 (,3],[2,0]
⑷实轴上无分离点和会合点。
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⑸出射角： 1 j1点：1c 180 pi z j
5
30.75 s Thursday,kOctober g
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⑥会合点与分离点（重根点）：分离角为 d 2 3 2 4s 24s 74s 50 0 由 N ' (s) D(s) N (s) D' (s) 0 得：
由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用 下述近似方法：
kg (s 4 8s3 37s 2 50s)
我们知道，分离点在负实轴[-2，0]区间上，所以当s在实 数范围内变化时， k g 最大时为分离点。
s
-0.2 8.58 -0.4 14.57 -0.6 18.28 -0.8 20.01 -1.0 20.0 -1.2 18.47 -1.4 15.59 -1.6 11.49 -1.8 6.28 -2.0
n 利用前几步得到的信息绘制根轨迹。
注意：
后两步可能不存在； 在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。
分离角 d
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3
一、 单回路负反馈系统的根轨迹 前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反 馈系统的。 kg Gk ( s) [例]开环传递函数为： ，画根 2 s( s 2)[(s 3) 16] 轨迹。 3 j 4。有四条根轨迹。 [解] ：①标出四个开环极点：0，-2， ②实轴上根轨迹区间是：[-2，0]；
( tg 1 tg 1 4 90 ) 141.9
1
2
j4
根据对称性，可知-3-j4处的出射 角 2 为： 2 141.9 ⑤与虚轴的交点：闭环特征方程为： s 4 8s3 37s 2 50s kg 0 劳斯阵为：
（从其他零点到该极点的 矢量幅角 ） 入射角 （从各个极点到该零点的 矢量幅角 ） （从其他零点到该零点的 矢量幅角 ）
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2
计算根轨迹和虚轴的交点； 由N'(s)D(s)- N(s)D' (s) 0求解 计算会合点和分离点：
(,1],[0.5,1] ⑵实轴上根轨迹区间：
⑶分离点和会合点： 例4-4中已求得，分别为分离点=
-0.33,会合点=-1.67，分离角 d
⑷绘制根轨迹。
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2
1
0 .5
A 0.1
8
[例4-8]设系统开环传递函数为：Gk ( s) 2 s ( s 3 )( s 2s 2) 试绘制系统的根轨迹。 [解]：开环零，极点分别为： z1 2 , p1 0, p2 3, ⑴根轨迹有四支。 p3, 4 1 j (2k 1) 5 , , ⑵渐近线倾角 4 1 3 3
0 i 1 j 1
n 1
m
1800 (tg 1 0.5 900 1350） （450） 26.60
对 1 j1点， 2c 26.60 ⑹与虚轴的交点：
s 4 5s3 8s 2 (6 kg )s 2kg 0 闭环系统的特征方程为： 劳斯阵列： 1 8 2k g 劳斯阵有一行全为0，表示 4 s 有共轭虚根。令： 5 6 kg 0 3 50k g s 34 k g 6 kg 0, k g 7 2k g 0 2 s 34 k g 5
第四节 控制系统根轨迹的绘 制
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前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ ”和零点○ “ ”； 确定实轴上的根迹区间； 画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分 别为： p j zi (2k 1) ; , k 0,1,2,3... nm nm 计算极点处的出射角和零点处入射角： 出射角 （从其他极点到该极点的 矢量幅角 ）
k gd
可见分离点在-0.8~-1.0之间，近似取-0.9。
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⑦绘制根轨迹，如下图所示。
5 4 3 2
141.9 j 2.5
1
Imag Axis 0 -1 -2
0.9
j 2.5
-3
-4 -5 -4
-3
-2
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s4 s3 s2 s1
0
4 3
3
ห้องสมุดไป่ตู้
2
0
1
3
j4
1 8 30.75 1537 .5 8k g
37 k g 50 0 kg 0 0 0 0 0
当劳斯阵某一行全为零时，有共 轭虚根。这时，k g 192.2 。 辅助方程为：30.75s 2 192.2 0 ， 解得共轭虚根为：s1, 2 j 2.5 即为根轨迹与虚轴的交点。
(2k 1) 3 , ,与实轴的交点为： ③渐进线倾角： nm 4 4
p z
j
i
nm
026 2 4
4
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④-3+4j处的出射角 1 ： 1 ( 1 2 3 )