试绘制闭环系统的根轨迹
第四章 根轨迹法 习题
第四章 根轨迹法4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()()()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02+=++=4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()()2411+-+=s s s Ks G 的根轨迹。
4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()()()1,42)1(2=+++=s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。
4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。
()()()()1,4122=++=s H s s Ks G4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()()5284)2(2+++++=s s s s s s K s H s G 对应-∞<K<∞的根轨迹。
指明所有根轨迹上的相应特征。
4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数 ()()()()()90020040)4(2++++=s s s s s K s H s G a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。
b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？ c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。
4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K 的范围。
()()()()1,41)6(=+++=s H s s s s K s G4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K 的范围：a) 具有负反馈的系统。
b) 具有正反馈的系统。
习题4-10图4-11 已知反馈系统的开环传递函数*()()(1)(2)K G s H s s s s =++ 试绘制系统的根轨迹图，详细列写根轨迹的计算过程，其中包括零点、极点、渐近线及与实轴交点，根轨迹分离点及与虚轴的交点、渐近线与实轴夹角。
自动控制原理第4章 习题及解析
4-2 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。
1）*()(1)(3)K G s s s s =++ 2）*(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++解：（1）()(1)(3)*K G s s s s =++① 由G (s )知，n =3，m =0，p 1=0，p 2=–1，p 3=–3。
② 实轴上[0，–1]、[–3，∞]是根轨迹段。
③ 有n –m =3条渐近线,交点3403310-=---=a σ， 夹角︒±=60a ϕ、180°。
④ 实轴上[0、–1]根轨迹段上有分离点d 。
由0)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ds s G ds d 求d ：03832=++s d 解得 45.0-=d （分离点） 3742j d --=（舍去） ⑤求根轨迹与虚轴交点，令jw s =代入0)(=s D ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=03)(Im 04)(Re 312ωωωωωj j j D K j D 解得3±=o ω 20412*K ω==临根轨迹图见图4-2（1）（2） *(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++①由 G (s )知， n =3，m =1，p 1=0，p 2=–2，p 3=–3，p 4=–5②实轴上[-2、0]，[-5、-3]是根轨迹段 ③有n-m=2条渐近线：0a σ=，夹角ϕa =±90°④实轴上 [-2、0] 根轨迹段上有分离点d ， 由1[]0()s dd ds G s ==求d ：3232556300s s s +++=，试凑得 s 1=-0.88 是其解，且是分离点。
根轨迹图见图4-2（2）。
4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。
1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++- 2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++解：（1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++-根轨迹图见图4-3（1）（2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++① n =4，m =0，p 1=0，p 2=–4，p 3、4=–2±j 4② p 1、p 2连线中点正好是p 3、p 4实部，开环极点分布对称于垂线s=–2，根轨迹也将对称于该垂线。
东北大学自动控制原理考研真题(二)2008-2015
2������
+
2)
试画出根轨迹草图，并用根轨迹法确定使闭环主导极点的阻尼比
ξ = 时0.���5���������值。
五、（20 分）已知系统的开环传递函数为：
������������ (s) = ������(0.25������
6 + 1)(0.06������
+
1)
试绘制伯德图，求相位裕度及增益裕度，并判断闭环系统的稳定性。
图 3 所示，求微分时间常数τ。
Xr(s)
-
Kk s(s+1)
Xc(s)
图 2. 题三原系统结构图
Xr(s)
-
E(s)
-
4 s(s+1)
τs
Xc(s)
图 3. 题三改善后系统结构图
四、（20 分）已知单位负反馈系统的开环传递函数为：
������������ (s) = (������
+
������������ 16)2(+������
东北大学 2008 年初试试题 考试科目：自动控制原理 一．简要回答下面问题： 1.对于一般的控制系统，当给定量突然增加时，输出量的暂态过程有哪几种情况？ 2.画图说明当系统处于衰减振荡过程时暂态性能指标。 二．试绘制图 1 所示 RC 无源网络的动态结构图，并写出传递函数
C
R2
ur
R1
uc
三．1．试述减小稳态误差的措施。
六、（20 分）试写出串联引前（微分）校正装置的传递函数，并说明
其作用和适用范围。
七、（20 分）
（1）试说明用描述函数法分析非线性系统的基本思想：
（2）设继电气特性为：
y(x) =
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
控制理论作业二答案
第三章3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 369362++=s s G B 。
试求单位阶跃响应的t r , t m ,δ% , t s 的数值？解：[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。
解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出n ω参数，而后把n ω代入性能指标公式中求出r t ，m t ，%δ，s t 和N 的数值。
上升时间 t r峰值时间t m 过度过程时间t s 超调量δ％3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。
解：[题意分析]这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。
在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(ζ,n ω)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。
根据题目给出条件可知闭环传递函数为与二阶系统传递函数标准形式2222nn n s s ωζωω++相比较可得12,12==n n ζωω，即n ω=1,ζ=0.5。
由此可知，系统为欠阻尼状态。
故，单位阶跃响应的性能指标为3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量%δ=25%，峰值时间m t =0.5秒，试确定K 和τK,τ与ζ,n ω的关系；%δ,m t 与ζ,nω 由系统结构图可得闭环传递函数为 与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得由题目给定： %25%100%21=⨯=--ζζπδe即 25.021=--ζζπe两边取自然对数可得 依据给定的峰值时间： 5.012=-=ζωπn m t （秒）所以 85.615.02=-=ζπωn （弧度/秒）3-4 已知系统的结构图如图2所示，若)(12)(t t x ⨯= 时，试求：(1) 当τ=0时，系统的t r , t m , t s 的值。
(2) 当τ≠0时，若使δ％=20%，τ应为多大。
求出可得 )/(07.750秒弧度==n ω 由于ss X 2)(=输出的拉氏变换为 则拉氏反变换为(2) 当τ≠0时，闭环传递函数由 %20%100%21=⨯=--ζζπδe两边取自然对数 61.12.0ln 12-==--ζζπ， 可得故 73.85.)107.746.0(2=-⨯=o τ3-5(1) 什么叫时间响应答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。
信息工程大学821自动控制原理2015-2016年考研专业课真题试卷
s(s+1)
Ks
（1）求系统稳定时 K 的取值范围；
（2）求输入为
r(t)
1 2
t2 时，系统的静态加速度误差系数
Ka
；
（3）分析系统的局部反馈 Ks 对系统稳态误差 ess 的影响。
四、（25 分）已知控制系统结构图如下图所示：
R(s) +
_
K 0.5s+1
1
C(s)
s(s+1)
（1）绘制系统的根轨迹图； （2）采用根轨迹法分析系统的稳定性。
as
（1）当 a = 0 时，求系统的阻尼比 、无阻尼自振频率n 和单位斜坡函 数输入时的稳态误差；
第1页 共3页
（2）当 = 0.7 时，求系统中的 a 值和单位斜坡函数输入时系统的稳态误 差。
三、（20）已知具有局部反馈回路的控制系统结构图如下图所示：
R(s) +
_
s+1
+
1
C(s)
s
_
信息工程大学2016年考研专业课真题试卷（原版）
821 自动控制原理
（共八题，满分 150 分）
一、（20 分）已知 RC 网络电路图如下图所示，其中 Ur 为网络输入量，
Uc 为网络输出量。
i2
C1
Ur
R1
R2
Uc
C2
（1）采用复数阻抗法画出系统结构图； （2）求取网络传递函数 Uc(s)/Ur(s)。 二、（15 分）已知二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如下图所示，
八、（15 分）已知闭环离散系统结构图如下图所示，
R(s) + E(s)+
_
_T
自动控制原理简明教程 第四章 根轨迹法 习题答案
方程求得。
k* 2 3 3
2
1
2 3 2 2 3 1
解得： k* 3(3 3)
1 3
特征根s=0处对应的 k * 值也利用模值方程求得：
k* 3 2 2 1
1
k*
4 3
满足稳定性时，k* 4 要使系统的三个根均为负
实根，则：
3
k* 4 3
0 k* 3(3 3) 1 3
0 k*
另一个闭环极点为 S3 ，则
(S S3 )(S 1)2 S (S 3)2 4
则解得：
(S S3 )(S 1)2 S (S 1)2 4(S 1)2 (S 4)(S 1)2
则 (S S3) S 4 S3 4 （另外一个闭环极点） 临界阻尼时的闭环传递函数为
(S)
(S
4(S 1) 4)(S 1)2
(2
j) (2 3
j)
4 3
渐近线与实轴正方向夹角
a
(2k 1)
nm
,
3
分离点： 1 1 1 0
d d 2 j d 2 j
整理得：3d 2 8d 5 0
解得：d1,2
8 6
2
d1 1 d2 1.67
分离角
l
180 l
180 2
900
把 S j 代入特征方程：
1
k*
n
m
a
i 1
Pi Zi
i 1
nm
(3) (3) 3
2
渐近线与实轴正方向夹角：
a
(2k 1)
nm
, ,
33
分离点： 1 1 1 0
d d 3 d 3
解得：d 1, a S (S 3)2 (1) 4 4
自控控制原理习题 王建辉 第4章答案
4-1 根轨迹法使用于哪类系统的分析?4-2 为什么可以利用系统开环零点和开环极点绘制闭环系统的根轨迹?4-3 绘制根轨迹的依据是什么?4-4 为什么说幅角条件是绘制根轨迹的充分必要条件?4-5 系统开零环、极点对根轨迹形状有什么影响？4-6 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。
(1))2)(1()3()(+++=s s s K s W g K (2))2)(3()5()(+++=s s s s K s W g k (3) )10)(5)(1()3()(++++=s s s s K s W g k解：第（1）小题 由系统的开环传递函数)2)(1()3()(+++=s s s K s W g K 得知1． 起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 11-=-p 、22-=-p2． 终点：=∝g K 时，终止于开环零点，31-=-z3． 根轨迹的条数，两条，一条终止于开环零点，另一条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为3~-∝-和1~2--5． 分离点与会合点，利用公式0312111=+-+++d d d ()()()()()()()()()0321213132=+++++-+++++d d d d d d d d d 即：0762=++d d解上列方程得到：586.11-=d ，414.42-=d根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（2）小题 由系统的开环传递函数)2)(3()5()(+++=s s s s K s W g K 得知1． 起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 00=-p 、21-=-p 、32-=-p2． 终点：=∝g K 时，终止于开环零点，51-=-z3． 根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为3~5--和0~2-5． 分离点与会合点，利用公式05131211=+-++++d d d d 8865.0-=d6． 根轨迹的渐进线 渐进线倾角为：0009013)21(180)21(180 =-+=-+=μμϕm n 渐进线的交点为：01352311=--+=---=-∑∑==m n z p m i in j j k σ 根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（3）小题 由系统的开环传递函数)10)(5)(1()3()(++++=s s s s K s W g K 得知1． 起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 10-=-p 、51-=-p 、102-=-p2． 终点：=∝g K 时，终止于开环零点，31-=-z3． 根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远。
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LC
d 2u2 dt 2
RC
du2 dt
u2
u1
m
d2y dt 2
f
dy dt
Ky
Fi
LC
Байду номын сангаас
d 2u2 dt 2
RC
du2 dt
u2
RC
du1 dt
u1
R1R2C
du2 dt
(R1
R2 )u2
R2u1
自动 控制原理上部
2.2传递函数：
2.2.1 传递函数的定义
系统的动态方程：
控制器
被控对象
输入量
控制器
被控对象
输出量
测量元件
反馈控制原理：利用负反馈产生的偏差所取得的控制作用 去消除偏差的控制原理
School of Automation Engineering
自动 控制原理上部
1.3.2 伺服系统、定值控制系统和程序控制系统 1.3.3 线性系统和非线性系统
数字控制系统和模拟控制系统 运动控制系统和过程控制系统 时变系统和定常系统
F(s)
R(s)
E(s) G1(s)
Y (s)
G2 (s)
C(s)
H (s)
School of Automation Engineering
自动 控制原理上部
系统框图的绘制方法：
R1
R2
u1 (t )
C1 C2
u2 (t)
拉氏 变换
R1 U3 (s) R2
U1(s) I1(s)
1
I
2
(
s
)
1
C1s C2s
时域
频域
针对线性定常系统
初始条件为零
反映固有特性，与输入信号形式无关，与位置有关
如有复数零极点，必共轭出现
G(s) M (s) D(s)
m
n
一般
mn
School of Automation Engineering
自动 控制原理上部
2.2.3 传递函数的基本环节
放大环节（比例环节）、惯性环节、积分环节、振荡环节 纯微分环节、一阶微分环节、二阶微分环节、延迟环节
1.4 控制系统的组成及对控制系统的基本要求
1.4.1 控制系统的基本组成
执行元件、放大元件、测量元件、补偿元件
1.4.2 对控制系统的基本要求
稳定性、准确性、快速性与平稳性
School of Automation Engineering
自动 控制原理上部
第二章 系统的数学模型
数学模型
运动方程式、传递函数、方框图
并且输入输出信号的初始值为零，则对输入输出信号做拉氏 变换得到
G(s)
C(s) R(s)
sn
b0sn b1sn1 bn1s bn a1sn1 a2sn2 an1s
an
School of Automation Engineering
自动 控制原理上部
2.2.2 传递函数的一些特点 运动方程式 一一对应 传递函数
第一章 自动控制概述
1.1 引言 1.2 自动控制系统的初步概念
自动控制系统
指令 输入
参考输入元件
控制器
执行元件
扰动 信号
被控对象
输出 信号
School of Automation Engineering
测量元件
自动 控制原理上部
1.3 自动控制系统的分类
1.3.1 开环控制、闭环控制、反馈控制原理
2.2.4 电器网络的运算阻抗与传递函数
RL
u1
C u2
LC
d 2u2 dt 2
RC
du2 dt
u2
u1
G(s)
U 2 (s) U1(s)
LCs 2
1 RCs
1
School of Automation Engineering
自动 控制原理上部
2.3 控制系统的框图和传递函数
2.3.1 框图的概念和绘制
x1 G(s) x2
x3 x2
G(s)
x1 G(s)
x1 G(s) x2 G(s)
x2
1 x3 x1
G
x3
()
x1
G(s) x3
()
1 x2
自 G动 控 制 原 理 上 部
2.3.3 闭环系统的传递函数
F(s)
R(s)
E(s) G1(s)
Y (s)
G2 (s)
C(s)
H (s)
U 2 (s)
1. 列写系统方程组 从输出量开始写，以系统输出量作为第一个方程左边的量 每个方程左边只有一个量。从第二个方程开始，每个方程左边的量是前面方 程右边的中间变量 列写方程时尽量用已出现过的量 输入量至少要在一个方程的右边出现；除输入量外，在方程右边出现过的中 间变量一定要在某个方程的左边出现。
C(s)
Y (s)
H (s)
(s) C(s) G1(s)G2 (s) G(s) R(s) 1 G1(s)G2 (s)H (s) 1 G(s)H (s)
2. 按着方程组的顺序，从输出量开始绘制系统框图
School of Automation Engineering
自动 控制原理上部
2.3.2 框图的变换规则
1. 串连环节的简化 2. 并联环节的简化 3. 反馈回路的简化
R(s) E(s)
G
C(s)
Y (s)
H
(s) C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
2.1 运动方程式
确定输入量、输出量 列写各元件运动方程 消除中间变量 化为标准形式
School of Automation Engineering
自动 控制原理上部
RL
u1
C u2
Fi
K
m
f
y
L
C
u1
u2
R
R1
u1
C
R2 u2
School of Automation Engineering
c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) an1 c(t) anc(t)
b0r (n) (t) b1r (n1) (t) bn1 r(t) bnr(t)
其中，ai 、bi 是常数，r(t) 是输入信号，c(t) 是输出信号
前向通道 反馈通道 开环传函
G(s) G1(s)G2 (s)
H (s)
G(s)H
(s)
G1 ( s)G2
(s)H
(s)
Y (s) E(s)
School of Automation Engineering
自动 控制原理上部
输出对于参考输入的闭环传递函数
R(s)
E(s) G1(s)
G2 (s)
School of Automation Engineering
自动 控制原理上部
4. 相加点和分支点的移动
x1 G(s)
x2 x3 x2
x1
G(s)
x2 x3 x1
x1
G(s) x3
x () 2
x1 G(s) x3
x () 2
School of Automation Engineering