参数根轨迹的画法规则
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绘制根轨迹的一般规则
n
s
p
j
2h
1180所规定
i 1
j 1
相角条件的,即开环传递函数的共轭复数极点和零点,
对实轴上根轨迹的位置没有影响.实轴上的根轨迹仅
取决于实轴上的开环极点和零点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
2如果实数开环零点z3位于s1的左方，则向量
s1 z3 0，这说明左侧实数零点的存在并不影响
第三节 绘制根轨迹的一般规则
渐近线与实轴交点
p 1
p 2
p n
z 1
z 2
z m
0
1
2
1
a
nm
3
渐近线与实倾角 2h 1 2h 1 h 0,1,2
a nm
3
h 0时， 180 180 60
1 nm 3
N
s
Ds
N s
Ds
0
显然解方程可求出根轨迹的分离点和会合点。
这个方程怕记混淆，为便于记忆，dGsH s 0 1
ds
对特征方程1 GsH s 0求导，
第三节 绘制根轨迹的一般规则
d1 GsH s dGsH s kNsDs NsDs
当n>m时，有n-m条根轨迹随着k的增大 而趋向无穷，这些趋向无穷远处的根轨迹， 将随着k的无限增大而接近于n-m条直线， 这些直线称为根轨迹的渐近线。渐近线的位 置由以下两个参数确定，即渐近线倾角和渐 近线与实轴的交点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
1.渐近线倾角 a
a
2h 1 h
jw
根轨迹的绘制法则
注意：分离点、会合点一定在实轴上
▼
a
6、 根轨迹的渐近线 ——有独立的(n-m)条
渐近线包括 ⑴ 渐近线的倾角 设在无穷远处有特征根sk ，则s平面上所有开环有限零点 渐近线的倾角 渐近线的交点 两方面内容
-zi和极点-pj到sk的矢量辐角都相等，即：i=j=
代入幅角条件，得：
本 节 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
本 章 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容： (9项) 起点、终点、根轨迹数、实轴上的根轨迹、
分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射
本 节 返 回
角和入射角、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。 注意：实际绘制根轨迹时应根据具体情 况有选择性地考虑以上9项内容。
本 节 返 回
本 章 返 回
4.2 根轨迹的绘制方法
5、分离点与会合点
D' (s) N(s) N' (s)D(s) 0
注意：
求出s=-d后，应把它代入特征方程计算Kd， 只有Kd为正值， s=-d才是分离点或会合点。 6、根轨迹的渐近线
本 节 返 回
180 (1 2 ) 渐近线的倾角： nm
本 节 返 回
N (s) D(s)
j 1 i 1 n
m
( s zi )
sm sn
i 1 n j 1
m
zi s m 1
z
i 1 n j 1
m
i
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(s p j )
p j s n 1
p
▼
a
6、 根轨迹的渐近线 ——有独立的(n-m)条
渐近线包括 ⑴ 渐近线的倾角 设在无穷远处有特征根sk ，则s平面上所有开环有限零点 渐近线的倾角 渐近线的交点 两方面内容
-zi和极点-pj到sk的矢量辐角都相等，即：i=j=
代入幅角条件，得：
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根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
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根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容： (9项) 起点、终点、根轨迹数、实轴上的根轨迹、
分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射
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角和入射角、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。 注意：实际绘制根轨迹时应根据具体情 况有选择性地考虑以上9项内容。
本 节 返 回
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4.2 根轨迹的绘制方法
5、分离点与会合点
D' (s) N(s) N' (s)D(s) 0
注意：
求出s=-d后，应把它代入特征方程计算Kd， 只有Kd为正值， s=-d才是分离点或会合点。 6、根轨迹的渐近线
本 节 返 回
180 (1 2 ) 渐近线的倾角： nm
本 节 返 回
N (s) D(s)
j 1 i 1 n
m
( s zi )
sm sn
i 1 n j 1
m
zi s m 1
z
i 1 n j 1
m
i
本 章 返 回
(s p j )
p j s n 1
p
绘制根轨迹的基本法则
4.2 绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益*K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。
熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=*K 和∞→时的根轨迹点。
将幅值条件式（4-9）改写为∏∏∏∏==-==--=--=mi inj j mn m i i nj jsz sp sz s ps K 1111*|1||1||)(||)(|(4-11)可见当s=j p 时，0*=K ；当s=i z 时，∞→*K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→*K 。
法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。
因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。
实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。
所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。
实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。
因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。
特征方程中的某些系数是根轨迹增益*K 的函数，*K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。
法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。
图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ϕ是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。
绘制根轨迹图的规则
K *的表达式为
K*
j 1 m
(s zi )
iห้องสมุดไป่ตู้1
则在分离点处有
dK* 0 ds
分离点坐标d是以下方程的解。
m 1
n1
i1 d zi j1 d p j
在一般情况下，绘制多回路系统的根轨迹时，首先根据内反馈回路的开环传递 函数，绘制内反馈回路的根轨迹，并确定内反馈回路的极点分布；然后由内反馈回 路的零、极点和内反馈回路外的零、极点构成整个多回路系统的开环零、极点；再 按照单回路根轨迹的基本规则，绘制出系统总的根轨迹。但这样绘制出来的根轨迹 只能确定多回路系统极点的分布，而多回路系统的零点还需要根据系统的闭环传递 函数来确定。
(z j
zi )
l 1
( zi
pl
)
，为开环零点（除
zi 外）和开环极
(i j)
点往零点 引zi 出向量的相角净值。
规则9 根轨迹的分离点。两条或两条以上的根轨迹分支，在s平 面上某处相遇后又分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。 可见，分离点就是特征方程出现重根之处。重根的重数就是会合到 （或离开）该分离点的根轨迹分支的数目。
坐标及相应的 K值* 可由劳斯判据求得，也可在特征方程中令 s j，然
后使特征方程的实部和虚部分别等于零而求得。根轨迹与虚轴相交，表明系 统在相应 K值* 下处于临界稳定状态。此处的根轨迹增益 K*称为临界根轨 迹增益。
【例 3-2】
设系统的开环传递函数为
Gk
(s)
s(s
K* 1)(s
2)
，求根轨迹与
时的根轨迹方程则有
m
K* (s zi )
i 1
≈
K*
n
参数根轨迹
得
（1）起点：s1 ＝ 0，s2 ＝-1， s3 ＝-5 （2）终点： （3）实轴上根轨迹存在的区间为[-5,-1],(0,+∞) （4）计算分离点：N(s) ＝1， D(s) ＝ s(s＋1)(s＋5)代入计算公式解 s1 ＝－3.52 s2 ＝－ 0.48 由于 －0.48不在根轨迹上，所以根轨迹的分离点为－3.52 （5）根轨迹的渐近线 ①倾角
180 2 0 ,120 ,120 n-m
②交点
- a
p z
j 1 j i 1
n
m
i
nm
0 1 5 0 2 30
根据以上几点，可绘出系统的零度根轨迹如下图所示。
例4：设某正反馈系统的开环传函为
K ( s 2) G( s) H ( s) 试绘制该系统的根轨迹图，确定临界增益 KC。 ( s 3)(s 2 2s 2)
（4）会合点：据公式 N′(s) D(s) － N(s)D′(s) ＝ 0可解得 s 2 因为 s ＝＋2不在根轨迹上，所以 s ＝ －2为会合点。
（5）复平面上的根轨迹：可以证明根轨迹在复平面上为半圆，方程为
2 2 22
根据以上几点，以p为参变量的根轨迹如下图所示。
j
j2
s
2
1
1 s 4 4 1 当α ＝1时，Routh表的s1行元素全为零，辅助方程为 A( s ) s 0
1
2
4
解得
s1 , 2
1 j 2
4
作系统参数根轨迹如下图所示。
j
1 2 1 6
1 2
0
1 2
二、零度根轨迹
简述绘制根轨迹的规则
简述绘制根轨迹的规则
1.确定系统的传递函数，通常为开环传递函数。
2. 求出传递函数的特征方程，并确定系统的极点和零点。
3. 根据特征方程的根的实部和虚部的符号，确定根轨迹的起点
和方向。
实部为负时，起点在左侧无穷远点；实部为正时，起点在右侧无穷远点。
如果有根在虚轴上，起点在最靠近虚轴的点。
4. 根据特征方程的根的虚部和实部的大小，确定根轨迹的曲线
形状。
虚部相同时，曲线形状取决于实部的大小。
实部相同时，曲线形状取决于虚部的大小。
5. 根据系统的零点，确定根轨迹离开或逼近的方向。
如果零点
是实数，离开或逼近方向与实轴上的零点位置有关。
如果零点是虚数，离开或逼近方向与虚轴上的零点位置有关。
6. 根据根轨迹的数量和方向，确定系统的稳定性和性能。
在根
轨迹穿过虚轴时，系统发生振荡。
在根轨迹趋近无穷远点时，系统响应速度较慢，稳定性较好。
绘制根轨迹需要一定的数学基础和图像分析能力。
在实际应用中，通常使用计算机软件进行绘制和分析。
- 1 -。
绘制根轨迹的基本法则
虚根。故可在闭环特征方程中令 s = jω ，然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得 交点的坐标值及其相应的 K ∗ 值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应 K ∗ 值下处于临 界稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的 K ∗ 值。此处的根轨迹
增益称为临界根轨迹增益。
例 4-4 某单位反馈系统开环传递函数为
1221)π n−m
⎨ ⎪
n
m
∑ p j − ∑ zi
⎪σ ⎩
a
=
j =1
i =1
n−m
（ k =0，±1，±2，… n − m − 1）
（4-12）
证明 （1）渐近线的倾角ϕa ：假设在无穷远处有闭环极点 s* ，则 s 平面上所有从开 环零点 zi 和极点 p j 指向 s* 的向量相角都相等，即 ∠(s* − zi ) = ∠(s* − p j ) = ϕa ，代入相角
件式（4-9）改写为
∏ ∏ K * =
n
| (s −
j =1
pj)|
=
s n−m
n
|1−
j =1
pj s
|
m
∏| (s − zi ) |
i =1
∏m | 1 − zi |
i =1
s
(4-11)
可见，当 s = p j 时，K * = 0 ；当 s = zi 时，K * → ∞ ；当| s | → ∞ 且 n ≥ m 时，K * → ∞ 。 法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数 m 、开环
（4-16） （4-17）
于是有
∑ ∑ n
1
m
=
1
j=1 s − p j i=1 s − zi
增益称为临界根轨迹增益。
例 4-4 某单位反馈系统开环传递函数为
1221)π n−m
⎨ ⎪
n
m
∑ p j − ∑ zi
⎪σ ⎩
a
=
j =1
i =1
n−m
（ k =0，±1，±2，… n − m − 1）
（4-12）
证明 （1）渐近线的倾角ϕa ：假设在无穷远处有闭环极点 s* ，则 s 平面上所有从开 环零点 zi 和极点 p j 指向 s* 的向量相角都相等，即 ∠(s* − zi ) = ∠(s* − p j ) = ϕa ，代入相角
件式（4-9）改写为
∏ ∏ K * =
n
| (s −
j =1
pj)|
=
s n−m
n
|1−
j =1
pj s
|
m
∏| (s − zi ) |
i =1
∏m | 1 − zi |
i =1
s
(4-11)
可见，当 s = p j 时，K * = 0 ；当 s = zi 时，K * → ∞ ；当| s | → ∞ 且 n ≥ m 时，K * → ∞ 。 法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数 m 、开环
（4-16） （4-17）
于是有
∑ ∑ n
1
m
=
1
j=1 s − p j i=1 s − zi
绘制根轨迹的基本法则
1.重根法 由于根轨迹上的分离点或会合点就是特征方程的重根点，因此 可用求重根的方法确定它们的位置。 2.极值法 对于某些较复杂的系统，最终得出的方程可能是三阶、四阶或 更高阶的方程，求解比较困难。若出现这种情况，可改用试探法或 用牛顿余数定理去求解分离点。 3. 牛顿余数定理的用法 从绘制根轨迹的角度出发，只要作一次试探求出s2就已经充分 满足要求了。
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
渐近线与正实轴的夹角为
2k 1 nm
七、 根轨迹的分离和会合点
(k 0,1,2,, n m 1)
两条根轨迹分支在s 平面上的某点相遇，然后又立即分开点， 叫做根轨迹的分离点（或会合点）。这个点对应于特征方程的二重 根。由于根轨迹具有共轭对称性，故分离点与会合点必然是实数或 共轭复数对。在一般情况下，分离点与会合点多出现于实轴上。 求取分离点的方法较多，常见的有重根法、极值法、试探 法等几种。
目的要求：通过本次课程掌握绘制根轨迹的基本法则 知识要点：1. 根轨迹的连续性 2. 根轨迹的对称性 3. 根轨迹的分支数 4. 根轨迹的起点和终点 5. 实轴上的根轨迹 6. 根轨迹的渐近线 7. 根轨迹的分离点和会合点 8. 根轨迹的出射角和入射角 9. 根轨迹与虚轴的交点 10. 闭环极点的和与积 教学步骤：首先介绍根轨迹图及根轨迹方程，然后介绍幅值条件方 程和相角条件方程和幅值条件方程和相角条件方程。
根据这一法则，绘制根轨迹时只需画出s平面上半部和实轴上 的根轨迹即可，下半部的根轨迹可用镜象原理求得。这样即可省一 半功夫。
三、根轨迹的分支数 由n阶微分方程所描述的n阶系统，对于任一增益值都有n个特 征方程的根。当增益由0变化到无穷大时，n个根在复平面的连续变 化就形成了n支根轨迹。 结论：根轨迹的分支数等于系统的阶数。
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零度根轨迹（3）
K K * 27 v0
(2) 绘制 0º 根轨迹 ① 实轴轨迹：[-∞,-3], [-1，＋∞] ② 出射角： 3 180 2k
③ 分离点：
3 1 d 3 d 1
( 2k 1) 60, 180 3
整理得： 3d 3 d 3
i 1 i j
m
(s p )
j 1
n
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s ) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
K * s z1 s zm G( s ) H ( s) K* s p1 s p2 s pn
n m (s p ) (s z ) 2k i j i1 j1
法则 8 根之和
i 1
n
i
C
( nm 2 )
§4.3.2
零度根轨迹（1）
例 系统结构图如图所示，K*= 0→∞, 变化,
试分别绘制 0°、180°根轨迹。 K ( s 1) K ( s 1) Kk K 2 解. G ( s ) 2 s 2 s 2 ( s 1 j )( s 1 j ) v0 (2) 0º 根轨迹 (1) 180º 根轨迹
§4.3
广义根轨迹
K
*
§4.3.2 零度根轨迹 —系统实质上处于正反馈时的根轨迹
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
F( s ) 1 G( s ) G( s ) H ( s )
(s z )
(s a) 4 ，a=0→∞ 变化，绘制根轨迹；x1时， F(s)? 2 s ( s 1)
4
构造 “ 等效开环传递函数 ”
4 G* ( s)
① 实轴根轨迹：[-∞,0]
② 渐近线： ③ 分离点： 整理得：
a4 a4 s 3 s 2 s 4 s( s 0.5) 2
a 1 3
m n
1
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i m
1
— 模值条件 — 相角条件
G( s ) H ( s ) ( s zi ) ( s p j ) 2k
i 1 j 1
绘制零度根轨迹的基本法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
★ 法则 3 ★ 法则 4 实轴上的根轨迹 渐近线
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
a 2k
nm
法则 5 分离点 法则 6 与虚轴交点
★ 法则 7 出射角/入射角
m 1 1 d p i 1 j 1 d z j i
ReD( j ) ImD( j ) 0
绘制根轨迹的法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则 3 实轴上的根轨迹 法则 4 渐近线 法则 5 分离点 法则 6 与虚轴交点
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
பைடு நூலகம்
a
( 2k 1) nm
m 1 1 d p i 1 j 1 d z j i
ReD( j ) ImD( j ) 0
n m (s p ) (s z ) (2k 1)π i j i1 n j1
i i 1 i
法则 7 出射角/入射角
n
法则 8 根之和
p
i 1
C ( nm 2 )
自动控制原理
§4 根轨迹法
d 2 2d d (d 2) 0
d 1 j d 1 j K d1 d 1
d1 2
d2 0
d 2
2
K d2
d 1 j d 1 j d 0 2 d 1
§4.3.2
零度根轨迹（2）
K * ( s 1) 例 系统开环传递函数 G( s ) ,分别绘制 0º 、180º 根轨迹。 3 ( s 3) K * ( s 1) K K * 27 解. G ( s ) ( s 3) 3 v0
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
§4.3
§4.3.1 参数根轨迹 —
广义根轨迹
除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹
例 单位反馈系统开环 G( s )
传递函数 1 1 解. (1) D( s ) s 3 s 2 s a 0
④
d 1 6 2 ad 4 d d 0.5 2 27 与虚轴交点： D( s ) s 3 s 2 s 4 a 4 0
1 2 0 d d 0.5
a 60, 180
3d 0.5 0
ImD( j ) 3 4 0
ReD( j ) 2 a 4 0
1 2
a 1
§4.3.1
参数根轨迹（1）
解. (2) x1 时，对应于分离点 d ，ad=2/27
1 1 2 ( s a ) ( s ) a 2 27 a4 * 4 4 27 G ( s) G( s ) 2 s( s 0.5) 2 s ( s 1) s 2 ( s 1) 1 2 1 2 (s ) (s ) 4 27 27 F( s ) 4 1 2 1 2 s 2 ( s 1) ( s ) ( s ) 2 ( s ) 4 27 6 3
(1) 绘制 180º 根轨迹
① 实轴上的根轨迹：[-3, -1] ② 出射角：
3 3 3 1 4 ③ 渐近线： a 2 ( 2k 1) a 90 2
3 (2k 1) 2k 1 0, 120
§4.3.2
K * ( s 1) 解. G ( s ) ( s 3) 3
d 0
d 0
K d3
* d
3
d 1 27
④ 渐近线：
a (3 3 1) 2 4 a 2k 2 0, 180
课程小结
§4.3 广义根轨迹
§4.3.1 参数根轨迹
— 构造等效开环传递函数
§4.3.2 零度根轨迹
— 注意与绘制180º根轨迹不同的3条法则
① 实轴轨迹：[-∞, -1] ② 出射角： [-1, ∞]
90 90 180
90 90 0
180
③ 分离点： 整理得： 解根：
0
1 1 2(d 1) 1 2 d 1 j d 1 j d 2d 2 d 1