根轨迹绘制的基本原则

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绘制根轨迹的一般规则

n

s

p
j

2h

1180所规定
i 1
j 1
相角条件的,即开环传递函数的共轭复数极点和零点,
对实轴上根轨迹的位置没有影响.实轴上的根轨迹仅
取决于实轴上的开环极点和零点。
第三节绘制根轨迹的一般规则
2如果实数开环零点z3位于s1的左方，则向量
s1 z3 0，这说明左侧实数零点的存在并不影响
第三节绘制根轨迹的一般规则
渐近线与实轴交点

p 1

p 2

p n
z 1

z 2
z m

0
1
2

1
a
nm
3
渐近线与实倾角 2h 1 2h 1 h 0,1,2
a nm
3
h 0时， 180 180 60
1 nm 3

N
s
Ds
N s
Ds

0
显然解方程可求出根轨迹的分离点和会合点。
这个方程怕记混淆，为便于记忆，dGsH s 0 1
ds
对特征方程1 GsH s 0求导，
第三节绘制根轨迹的一般规则
d1 GsH s dGsH s kNsDs NsDs
当n>m时，有n-m条根轨迹随着k的增大而趋向无穷，这些趋向无穷远处的根轨迹，将随着k的无限增大而接近于n-m条直线，这些直线称为根轨迹的渐近线。渐近线的位置由以下两个参数确定，即渐近线倾角和渐近线与实轴的交点。
第三节绘制根轨迹的一般规则
1.渐近线倾角 a
a

2h 1 h
jw

绘制根轨迹的基本原则

9.闭环极点的和与积
sn a n-1sn-1 a1s a 0 0 设根为s1, s2 , , sn , 则有 (s - s1)(s- s2 ) (s - sn ) 0 由代数方程根与系数的关系, 有
n
si -an-1
i1
对于稳定系统si 0,
n
(si ) a0
i 1
n
故有
i 1
σa
4 1
1.67
jω
与实轴的交角为
φa
180(1 2 μ) nm
1 3
π
60
(μ 0)
φa
180(1 2 μ) nm
3 3
π
180
(μ 1)
1
。
-4 -3 -2 -1 0
σ
-1
例2．已知某负反馈系统的开环传函为试画出其根轨迹。
G(s) K (s 1) s(s 2)(s 3)
解：(1)根轨迹始于 p1 0, p2 -2, p3 -3; 终于z 1和无穷远点； (2)有3条根轨迹且对称于实轴；
可以解得s －2.47满足题意。
。1
-3
-2 -1
0
σ
最后画出系统的概略根轨迹如图所示。
-1
270
7、根轨迹与虚轴的交点当根轨迹增益K增加到一定数值时，根轨迹可能越过虚轴进入右半s平面，出项实部为正的特征根，系统将不稳定。
例：开环传递函数为G (s)
K
, 试求根轨迹和虚轴的交点，
3s2 K 0
将KC＝6代入上式解得
sj 2
8、根轨迹的出射角与入射角
(1)出射角: 根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角

4-2根轨迹绘制的基本法则

0
0
0
0
0
同学们，头昏了吧？
j
j
j
0
j j 0 0
14
0
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
作业
• • • • 4 －1 4－3（1）（2） 4—4（1） 4-8(1)
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
15
4 3 2 * s 5 s 8 s 6 s k 0 2）渐近线。由于n m 4 ，故有四条渐近线， a 1.25 a 45 , 135 应用劳思判据
3）确定分离点。
1 0 i 1 d pi
n
s4 1 s3 5 s 2 34 / 5 s1 (204 25 K * ) / 34 s0 K*
R( s )
K * ( s 1) s( s 2)( s 3)
C ( s)
j
a (2k 1)180o / (3 1) 90o
a (0 2 3) (1) / (3 1) 2
（4）分离点（用试探法求解）
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3 d 2.47
5)利用模值条件，可得分离点的根轨迹增益
2 4 . 75 7 . 25 K d* i 1 16.37 |d z| 15 .25 i
| d p |
3
所以，当
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K * 16.37
系统输出产生振荡
4-2根轨迹绘制的基本法则 13
根轨迹示例
j
j j 0
j
j j
4-2根轨迹绘制的基本法则
12
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3, K * (s 20) G( s) z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2 s ( s 24 s 144 ) 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线. 180 12 12 (20) 90 2 2 2 1 2 1 4）确定分离点。 d d 12 d 20 试探法：d=-4.75

4-2 绘制根轨迹的基本法则.

6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)

a

(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为

(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
135
根轨迹的复平面部分是以零点到分离点距离为半径的圆周的一部分
Imaginary Axis
例4.2.3 2.5
2
1.5
1
135°
0.5
d=-3.414
p1=-1+j
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
23
法则7：根轨迹与虚轴的交点
j
j 1
i 1
s z1 s z2 360 或0 s z1 s p1
s p1 s p2 360 或0
z1
p1
s p3 180 s z3 0
z3
z2
s
p3 0
s p2
s z2 p2
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j

180根轨迹绘制法则

s(s 2.5)(s 0.5 1.5 j)(s 0.5 1.5 j)
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
K1 K1 0
K1 0
m
1
n

1
j1 d z j i1 d pi
K1
分分离点离点
分离角： (2k 1) / l
K1
K1 0
K1
会合? 点? ?
K1 0
式中，zi , pj 分别为开环系统的零点和极点; l 为在s平面上相遇又立即分开的根轨迹的条数，k 0,1, , l 1。
称为终值角，以 zi 标志。
根轨迹的
j
起始角 [s]
p1 p1
p3
0

p2
p2
根轨迹的j 终止角
p1
z1
p1
z1
z1
0
z2
z2 p2 z2源自p2j[s] p1
p1
[s]

0

p2 p2
出射角对(a)复极点，
(b入) 射角对复零点。
法则6：根轨迹起始角和终值角。
用试探法得d≈-2.3。
由法则6，确定起始角和终止角。
p3 (2k 1) (135o 90o 26.6o ) 71.6o p4 71.6o 本题无须确定终止角。
由法则7，确定根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程为：s4 5s3 8s2 6s K* 0

自动控制原理根轨迹法总结

自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。

它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。

【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。

-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。

2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。

-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。

【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。

-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。

2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。

-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。

【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。

-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。

【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。

-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。

【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。

-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。

编制人：_____________________
日期：_____________________。

42 绘制根轨迹的基本原则

例：开环传递函数为 GK ( s ) 并计算临界开环增益。 K ,试求根轨迹和虚轴的点交， s( s 1)(s 2)
解：（ 1）把s j代入1 G ( s ) H ( s ) 0得1 G （ j ） H ( j ) 0 令 Re[ 1 G （ jω） H（jω） ] 0， Im [ 1 G ( jω)H ( jω)] 0解得及K c jω 3 3ω 2 j 2ω K 0 K 3ω 2 0 ω 3 2ω 0 由此解得 ω1 0 ω2 3 2 rad S K C 6
s1 4 2 2 1.172 分离点
s1 4－2 2 6.828
会合点
(s 4) - s - (s 2) 180
在复平面上，s j ，于是得
( j 4) - ( j) - ( j 2) 180
即
9.闭环极点的和与积 s n a n -1s n -1 a1s a 0 0 设根为s1 , s 2 ,, s n , 则有 (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n ) 0 由代数方程根与系数的关系, 有
s
i 1
n
i
-an -1
( si ) a 0
K K GK ( s) s(0.5s 1) s( s 2)
解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为
s1 ＝0 ，s2 ＝－2 。
（2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。（3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］。
（4）计算分离点：将 N(s) ＝ 1，D(s)＝s(s＋2) 代入分离点计算公式

自动控制原理4.2 绘制根轨迹的基本法则

§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则（续）
根轨迹在s平面上的分支数=闭环特征方程的阶数。即:分支数=闭环极点数=开环极点数n(n≥m) 或=开环零点数m(m>n)。
二、根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若n>m，则有(n-m)条终止于无穷远处。若m>n，则有(m-n)条起始于无穷远处。
同理可得 :
zk
2k 1

n

z
k
i 1

pi
m

zk
j 1
zj
jk
共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，
实数开环零极点不用计算，一般为：0°, 180°,
±90°, ±60°与±120°, ±45°与±135°等.
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
sd sd
1 2

0.473
3.527舍
j
-5
sd2
sd1
-1
0
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
六、根轨迹与虚轴的交点：
根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根±jω, 系统处于临界稳定。
1、将s j，代入1 G( j)H( j) 0
3
2

Kg

0
Kg

6,
Kc 3
2、用劳斯判据：
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
s3 1
2
s2 3
Kg
s1 6 K g
0
3
s0 K g
当 s1 行等于0时，可能出现共轭虚根，令

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N ( D(s) N (s) D(s) 0 求得
分离角为 a 180 / k 7 8 根轨迹与虚轴的交点根轨迹出射角与入射角
s j 代入特征方程求解，或用劳斯判据确定
开环复数极点处
px 180 (2k 1) ( px zi ) ( px p j )
根轨迹绘制的基本原则
序号 1 2 3 4 内容根轨迹的连续性和对称性根轨迹的分支数根轨迹的起点与终点根轨迹的渐近线 n 阶系统根轨迹分支数是 n 根轨迹 n 条分支从 n 个开环极点出发，其中的 m 条趋向 m 个开环零点，另外 n－m 条趋向无穷远处 L＝n－m 条趋向无穷远处分支的渐近线与实轴的交点和夹角为规则根轨迹是连续的，并且对称于实轴
a
p j zi
j 1 i 1
n
m
L
a
5 6 根轨迹在实轴上分布根轨迹分离与会合点
2k 1 L
(k 0,1, 2,..., L -1)
实轴上某一区域，若其右方开环实数零极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹分离会合点由
n dD ( s ) 1 1 d z j 1 d p 或 ds 0 或 i 1 i j m
i 1 i 1 jx
m
n
px 1 px
开环复数零点处
zx 180 (2k 1) ( z x zi ) ( z x p j )
i 1 i x j 1
m
n
zx 1 zx