第4章根轨迹分析法习题解答
自动控制原理简明教程 第四章 根轨迹法 习题答案
(S S3 )(S 1)2 S (S 3)2 4
则解得：
(S S3 )(S 1)2 S (S 1)2 4(S 1)2 (S 4)(S 1)2
则 (S S3) S 4 S3 4 （另外一个闭环极点） 临界阻尼时的闭环传递函数为
(S)
(S
4(S 1) 4)(S 1)2
d d 2 d 1 j d 1 j
n
(
1
m
1 ) 求分离点的坐标公式
i1 d Pi i1 d Zi
解得：d 1
分离角： l
180 l
180 2
900
此时对应为T值：
（应使用模值方程求得）
T S S2 1T 1
S 1 j S 1 j
P1(-1,j)
T=0
Z2
Z1
-2
-1
0
T=∞
传递函数（写成零极点乘积形式） 解：系统结构图如下：
R(S) -
G(S)
C(S)
如果没有特别强调是正反馈，则单位反馈系统都 是单位负反馈系统。该题为参量根轨迹。 根轨迹方程：1 G(S) 1 4(S k) 0
S(S 1)(S 5)
特征方程：
D(S) S 3 6S 2 9S 4k 0
等效开环传递函数为：
G开 (S)
4k S(S
3)2
1
4k S (S 3)2
0
开环零点： m 0
开环极点： n 3, P1 0, P2 3, P3 3 则根轨迹有3条分支，有3条渐近线。
根轨迹与实轴的交点：
n
m
a
Pi Zi
i 1
i 1
nm
3 3 2 3
渐近线与实轴正方向夹角
根轨迹法习题及答案
第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G *+++=试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。
对于31j s +-=，由相角条件=∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0=++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(ππππ-=---632满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：143j 123j 113j 1K s H )s (G *11=++-⋅++-⋅++-=）（解出 ： 12K *= ， 238K K *==4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。
（1）)b s )(4s (02)s (G ++=（2）)b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=解 (1) )4j 2s )(4j 2s ()4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++=' 28s 6s 20)s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ(2) )10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 22++++='=)3j 1s )(3j 1s (s )19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40s 14s 4s )4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+=Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)b s )(4s (s2)s (G ++=，试绘制参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。
解 )6s (s )4s (b )s (G ++='根轨迹如图。
第四章 根轨迹法 习题
第四章 根轨迹法4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()()()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02+=++=4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()()2411+-+=s s s Ks G 的根轨迹。
4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()()()1,42)1(2=+++=s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。
4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。
()()()()1,4122=++=s H s s Ks G4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()()5284)2(2+++++=s s s s s s K s H s G 对应-∞<K<∞的根轨迹。
指明所有根轨迹上的相应特征。
4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数 ()()()()()90020040)4(2++++=s s s s s K s H s G a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。
b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？ c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。
4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K 的范围。
()()()()1,41)6(=+++=s H s s s s K s G4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K 的范围：a) 具有负反馈的系统。
b) 具有正反馈的系统。
习题4-10图4-11 已知反馈系统的开环传递函数*()()(1)(2)K G s H s s s s =++ 试绘制系统的根轨迹图，详细列写根轨迹的计算过程，其中包括零点、极点、渐近线及与实轴交点，根轨迹分离点及与虚轴的交点、渐近线与实轴夹角。
根轨迹法 例题和习题
s j
代入上方程，令
Re( D( j )) 4 8 2 2K 0
Im(
D(
j
))
(6
K
)
5 3
0
解得：
K
0 0
1.61
第4章 根轨迹分析法
(1948年美国Evans伊文思 提出)
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本方法 4.3 广义根轨迹 4.4 用根轨迹法分析系统性能 4.5 MATLAB用于根轨迹分析
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法则 1 根轨迹的起点和终点
法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
s( s 10 j10 )( s 10 j10 )
解 ⑴ G( s )
K*( s 2 )
( s 1 j2 )( s 1 j2 )
根轨迹绘制如下：在s平面上标注零极点
① 实轴上的根轨迹： ,2
② 分离点与汇合点：
1 1 1 d 1 j2 d 1 j2 d 2
解之得： d 4.23
从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、 极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。
定理: 若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹， 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。
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n
m
pi zi
法则4 渐近线： 渐近线交点
a
i 1
j 1
nm
K*1ຫໍສະໝຸດ 1 j 3 1 1 j 3 2 1 j 3 4
解出 ： K* 12
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K K* 3 82
自动控4制-4原已理知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。
第4章 控制系统的根轨迹分析
绘制根轨迹如图4-13所示。
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-13 例4-5系统的根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
图中根轨迹与虚轴的交点可从系统临界稳定的条件
得到τ=1。τ=1时系统的特征方程为
得与虚轴交点的坐标为jω=±j。从根轨迹得到系统稳定时τ
的取值范围为0<τ<1。
第4章 控制系统的根轨迹分析
θj(j=1,2,3,4)。选取实轴上一点s0,若s0为根轨迹上的点,必满足
相角条件,有
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-5 实轴上根轨迹相角示意
第4章 控制系统的根轨迹分析
下面分别分析开环零、极点对相角条件的影响,进而分
析对实轴上根轨迹的影响。
(1)共轭复数极点p4和p5到点s0的向量的相角和为
φ4+φ5=2π,共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π。
(2)实轴上,s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2到点s0所
构成的向量的夹角φ3和θ2均为零度。
(3)实轴上,s0点右侧的开环极点p1、p2和开环零点z1到点
s0 所构成的向量的夹角φ1、φ2和θ1均为π。
第4章 控制系统的根轨迹分析
第4章 控制系统的根轨迹分析
若系统稳定,由劳斯表的第一列系数,有以下不等式成立:
得0<K* <78.47。
由此可知,当 Kc* =78.47时,系统临界稳定,此时根轨迹穿
过虚轴。K* =78.4ω 值由以下辅助方程确定:
将 K* =78.47代入辅助方程,得
解得s=±j2.16。
第4章 控制系统的根轨迹分析
对于例4-1,其在实轴上的根轨迹一条始于开环极点,止于
开环零点(根轨迹位于-2到-5之间),另两条始于开环极点,止于
自控-第四章根轨迹法习题课
1 已知系统的开环传递函数为()()()()21++=s s s ks H s G ，（1）试绘制该系统的概略根轨迹图；（2）利用根轨迹图分析系统稳定时K 的取值范围。
解：（1）根据绘制根轨迹的基本法则，可知： ① 实轴上的根轨迹区域为：（－∞，－2]和[0.－1]。
② 根轨迹总共有三条，其中二条将趋向无穷远处，其渐近线为： a 与实轴的交点坐标（a δ，0j ）()()1321011-=-+-+=--=∑∑==mn zp n i mj ji a δb 与实轴的夹角：()⎪⎩⎪⎨⎧-=-===+=-+=1601180060318012180)12(0000k k k k m n k o a ϕ③ 根轨迹的分离点()()()()()(){}()423.0,578.121210211)(121-=-=⇒++-=⇒++-=⇒=+++=+s s dss s s d ds dk s s s k s s s k s G g g g舍去④ 根轨迹与虚轴的交点()()()()0,6,0,20210211)(1=±=⇒=+++⇒=⇒=+++=+g g gk k j j j j s s s k s G 对应的代入上式：令s ωωωωω系统稳定的充要条件为所有的闭环极点都要复平面的左半平面，根据以上绘制根轨迹的第4点，系统稳定时K 的取值范围为60<<K 。
2 已知系统的开环传递函数为)3)(2()5()(*+++=s s s s K s G ，（1）试绘制该系统的概略根轨迹图；（2）利用根轨迹图分析系统稳定时K*的取值范围。
（1）根据根轨迹的绘制法则，可知：① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2--1-2j② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点： 5131211+=++++d d d d 用试探法可得886.0-=d 。
第四章 根轨迹法
四 根轨迹分析法2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。
题2-4-1图【解】：题2-4-1解图2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： （1）)1)(5.0)(2.0()(+++=s s s Ks G （2）)12()1()(++=s s s K s G（3）)52()2()(2+++=s s s K s G （4）)136)(5)(1()(2++++=s s s s Ks G试绘制K 由+∞→0变化的闭环根轨迹图。
【解】：（1）系统有三个开环极点 1,5.0,2.0321-=--=--=-p p p 。
① 0,3==m n ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。
② 实轴上的根轨迹在区间]][2.0,5.01,(----∞。
③ 渐近线 ()()2,1,0180,6031801257.0315.02.0=︒︒±=︒⋅+=-=---=-k k θσ ④ 分离点。
方法一 由0)()()()(='-'s Q s P s Q s P 得33.0,8.008.04.332,12--=⇒=++s s s8.01-=s 不在根轨迹上，舍去。
分离点为33.0-。
分离点处K 值为 014.0)()(33.0=-=-=s s P s Q K方法二 特征方程为：01.08.07.123=++++K s s s重合点处特征方程：0)2()2()()(22232=+++++=++b a s a ab s b a s b s a s 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。
⑤ 根轨迹与虚轴的交点。
系统的特征方程为01.08.07.1)(23=++++=K s s s s D方法一 令ωj s +，得⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-⇒=+++--26.18.001.07.108.001.08.07.12323K K K j j ωωωωωωω 方法二 将特征方程列劳斯表为Ks K s Ks s ++-+1.07.11.08.01.07.18.010123令1s 行等于0，得26.1=K 。
第四章 根轨迹分析法 2
4. 牛顿余数定理
（1）求出表达式 Ps D(s)N(s) N(s)D(s)
（2）分析根轨迹，估计在其分离点（或会合点）可能出现的实轴 坐标附件找一个试探点 s1。
（3）用 s s1 去除 Ps ，得出商多项式 Qs 及余数，该余数记
为 R1 ；
（4）再用 s s1 去除商多项式 Qs，得第二个余数，定义为 R2 ；
s2 3
k gp
s1 6-kgp 3
s0 kgp
令 6-kgp 3
0 kgp
6
由辅助方程求交点坐标：
3s2 Hale Waihona Puke 6 0s1,2 2 j
法则10 闭环极点的和与积
若n-m>=2，则有
n
n
(sj ) ( pj ) const
j1
j1
证明：
开环传递函数：
m
根轨迹的入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点出的切线同正 实轴的夹角。
j
[s]
p1 p1 z1
z1
0 z2
z2 p2 p2
m
n
先求出射角： (s zi ) (s pj ) 180o (2k 1)
i 1
j 1
• s1 →-p1则 0, (s1 pa ) a
1802k 1 (180 arctan1) arctan 1 90 71.6
j
2
p4 p3 71.6
7) 根轨迹同虚轴的交点：
-p3
1.1j
p3
j
特征方程 s4 5s3 8s2 6s kg 0
令s j
-p2 s1
-3
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第四章 根轨迹分析法4.1 学习要点1根轨迹的概念；2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤；4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。
4.2 思考与习题祥解题4.1 思考与总结下述问题。
（1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。
（2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
（4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。
答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S 复平面移动形成的轨线称为根轨迹。
根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。
根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。
因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。
应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。
（2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。
根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。
可以分解为幅值条件与相角条件。
运用相角条件可以确定S 复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。
（3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。
除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。
绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。
正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程1()()0G s H s +=存在一个符号差别。
因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。
负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。
因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。
（4）由于开环零、极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增加开环零、极点将使根轨迹的形状和走向发生改变，从而使系统性能也随之发生变化。
一般地，增加合适的开环零点，可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。
增加开环极点时，增加了根轨迹的条数，改变了根轨迹渐近线的方向，可使闭环系统的根轨迹产生向右变化的趋势，削弱系统的稳定性和快速性。
增加开环零极点，都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角，可能改变根轨迹在实轴上的分布。
如果系统期望主导极点在根轨迹左侧时，可通过增加开环零点（超前校正），使闭环系统的根轨迹向左弯曲，通过期望主导极点，满足系统动态要求；如果系统期望主导极点在根轨迹右侧时，可通过增加开环极点（滞后校正），使闭环系统的根轨迹向右弯曲，通过期望主导极点，满足系统动态要求。
题4.2,试绘制各系统的根轨迹图。
（1（2）)4()2()()(2++=s s s H s G（3）3)2()()(+=s Ks H s G解： （11）起点：三个开环极点 3,4,2,0321=-=--=-=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点 0=m 。
3）实轴上 ]02[]4，、，（--∞- 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线00180,6003)12(18020342±=-+±=-=-+-=-k A θσ5) 求分离点155.33322845.03322 08123 0)()()()(212''-≈--=-≈+-==++=-s s s s s A s B s B s A 解得：得：因为实轴上的根轨迹 在]02[]4，、，（--∞- 区间内，所以分离点为1s 。
6) 根轨迹与虚轴的交点系统的闭环特征方程为: 08623=+++K s s s造劳斯表：KS K S KS S 0123068681-为使S 1行为零，应有48=K由S 2 行得辅助方程： 04862=+s 解得: 83.28j j s ±≈±= 根轨迹如图4.1所示。
48=48=图4.1 题4.2（1）根轨迹（21）起点：三个开环极点 3,4,2,2321=-=--=--=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点 0=m 。
3）实轴上]4-∞-，（ 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线00180,6003)12(1803803422±=-+±=-=-++-=-k A θσ5) 求分离点]4-∞， 区间内，且-2为系统开环重极点，所以分离点为1s 。
6) 根轨迹与虚轴的交点系统的闭环特征方程为: 01620823=++++K s s s 将ωj 代人s ，整理得：0)20()168(32=-++-ωωωj K由此可得下列联立方程：)20(016822=-=+-ωωωK解得: 144,52=±=K ω 根轨迹如图4.2所示。
144=144=图4.2 题4.2（2）根轨迹（31）起点：三个开环重极点 3,2321=-=-=-=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点 0=m ，因此，根轨迹分成3条，它们均由 -2 出发趋向无限远点。
3）实轴上 ]2-∞-，（ 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线00180,6003)12(18023222±=-+±=-=-++-=-k A θσ5) 求分离点实轴上的分离点为-2。
6) 根轨迹与虚轴的交点系统的闭环特征方程为: 0812623=++++K s s s将ωj 代人s ，整理得：0)12()86(32=-+++-ωωωj K 由此可得下列联立方程：)12(08622=-=+-ωωωK解得: 64,32=±=K ω可见，根轨迹与其渐近线重合。
根轨迹如图4.3所示。
64=K 64=K图4.3 题4.2（3）根轨迹题4.3 已知负反馈控制系统的开环传递函数为（1）)4)(2()3()()(+++=s s s K s H s G（2）)3()()(+=s K s H s G（3解：（11）起点：两个开环极点 2,4,221=-=--=-n p p 。
2）终点：有一个有限开环零点 1,3=-=-m z 。
3）实轴上]2,3[]4---∞-、，（ 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线018012)12(180312342=-+±=-=--+-=-k A θσ即：系统根轨迹分成两条，一条从) 0 2 (，-点出发，终止于有限开环零点) 0 3 (，-，另一条从) 0 4 (，-点出发，沿正实轴方向趋于无限远点。
根轨迹如图4.4所示。
图4.4 题4.3（1）根轨迹（21）起点：三个开环极点 3,4,2,0321=-=--=-=-n p p p 。
2）终点：一个有限开环零点 13=-=-m z ，。
3）实轴上 ]0 2[ ]3 4[，、，--- 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线00913)12(18023133420±=-+±=-=--++-=-k A θσ5) 求分离点2463152s 0)()()()(23''=+++=-s s s A s B s B s A 得：因为实轴上的分离点应该在 ] 0 2 [，- 区间内，利用凑试法可得1.11-≈s 。
根轨迹如图4.5所示。
图4.5 题4.3（2）根轨迹（31）起点：三个开环极点 3,1,1,0321=---=-+-=-=-n j p j p p 。
2）终点：一个有限开环零点 12=-=-m z ，。
3）实轴上 ]02[，- 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线0913)12(1800132110±=-+±==---+++-=-k j j A θσ）（）（ 即渐近线为虚轴。
5) 根轨迹的出射角20000011110 0)4590135(180 )(180 ==-+-=--=∑∑-==θθϕθθ故得：由n j mi i j l 根轨迹如图4.6所示。
图4.6 题4.3（3）题4.4 有一个开环传递函数为)15.0()1()()(2++=s s s K s H s G 的负反馈系统，试绘制系统的根轨迹。
解： 1）起点：三个开环极点 3,2,0321=-=-=-=-n p p p 。
2）终点：一个有限开环零点 11=-=-m z ，。
3）实轴上 ] 1 2[--， 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线00913)12(18021131-200±=-+±=-=-++-=-k A θσ根轨迹如图4.7所示。
图4.7 题4.4根轨迹题 4.5 已知负反馈控制系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(+++=s s s Ks H s G ，试证明31j s +-=是该系统根轨迹上的一点，并求出相应的K 值。
解： 系统有三个开环极点，无开环有限零点。
开环零极点与31j s +-=点的分布如图4.8所示。
图4.8 题4.5 系统开环零极点分布1） 若s 为根轨迹上的点，则必满足相角条件，即：∵ 0000321180306090)()()(=++=+∠++∠++∠P s P s P s ∴ s 是根轨迹上的一点。
2） 求与s 相应的K 值。
根据幅值条件： 12132231))()((11321=⨯⨯=+++=P s P s P s K 所以 12=K4.6 设负反馈系统的开环传递函数为)4()6()()(++=s s s K s H s G ，试证明该系统根轨迹为一圆形，并指出其圆心和半径。
证明: 设s 为系统根轨迹上的一点，则根据相角条件有： 0180)4()()6 180)4()6(=++∠-+∠-++∠+==+∠-∠-+∠ωσωσωσωσj j j j s s s s （可得令即：018046=+--+σωσωσωarctg arctgarctg整理得：418060++=-+σωσωσωarctgarctg arctg 利用反正切公式，可得：41806160++=⋅++-+σωσωσωσωσωarctg arctg等式两端取正切：4616+=⋅++-+σωσωσωσωσω整理得：12)6(22=++ωσ可知，上式为一圆的方程，圆心)0 6(，-，半径为32。