180根轨迹绘制法则
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绘制根轨迹的一般规则
n
s
p
j
2h
1180所规定
i 1
j 1
相角条件的,即开环传递函数的共轭复数极点和零点,
对实轴上根轨迹的位置没有影响.实轴上的根轨迹仅
取决于实轴上的开环极点和零点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
2如果实数开环零点z3位于s1的左方，则向量
s1 z3 0，这说明左侧实数零点的存在并不影响
第三节 绘制根轨迹的一般规则
渐近线与实轴交点
p 1
p 2
p n
z 1
z 2
z m
0
1
2
1
a
nm
3
渐近线与实倾角 2h 1 2h 1 h 0,1,2
a nm
3
h 0时， 180 180 60
1 nm 3
N
s
Ds
N s
Ds
0
显然解方程可求出根轨迹的分离点和会合点。
这个方程怕记混淆，为便于记忆，dGsH s 0 1
ds
对特征方程1 GsH s 0求导，
第三节 绘制根轨迹的一般规则
d1 GsH s dGsH s kNsDs NsDs
当n>m时，有n-m条根轨迹随着k的增大 而趋向无穷，这些趋向无穷远处的根轨迹， 将随着k的无限增大而接近于n-m条直线， 这些直线称为根轨迹的渐近线。渐近线的位 置由以下两个参数确定，即渐近线倾角和渐 近线与实轴的交点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
1.渐近线倾角 a
a
2h 1 h
jw
根轨迹的绘制法则
注意：分离点、会合点一定在实轴上
▼
a
6、 根轨迹的渐近线 ——有独立的(n-m)条
渐近线包括 ⑴ 渐近线的倾角 设在无穷远处有特征根sk ，则s平面上所有开环有限零点 渐近线的倾角 渐近线的交点 两方面内容
-zi和极点-pj到sk的矢量辐角都相等，即：i=j=
代入幅角条件，得：
本 节 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
本 章 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容： (9项) 起点、终点、根轨迹数、实轴上的根轨迹、
分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射
本 节 返 回
角和入射角、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。 注意：实际绘制根轨迹时应根据具体情 况有选择性地考虑以上9项内容。
本 节 返 回
本 章 返 回
4.2 根轨迹的绘制方法
5、分离点与会合点
D' (s) N(s) N' (s)D(s) 0
注意：
求出s=-d后，应把它代入特征方程计算Kd， 只有Kd为正值， s=-d才是分离点或会合点。 6、根轨迹的渐近线
本 节 返 回
180 (1 2 ) 渐近线的倾角： nm
本 节 返 回
N (s) D(s)
j 1 i 1 n
m
( s zi )
sm sn
i 1 n j 1
m
zi s m 1
z
i 1 n j 1
m
i
本 章 返 回
(s p j )
p j s n 1
p
▼
a
6、 根轨迹的渐近线 ——有独立的(n-m)条
渐近线包括 ⑴ 渐近线的倾角 设在无穷远处有特征根sk ，则s平面上所有开环有限零点 渐近线的倾角 渐近线的交点 两方面内容
-zi和极点-pj到sk的矢量辐角都相等，即：i=j=
代入幅角条件，得：
本 节 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
本 章 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容： (9项) 起点、终点、根轨迹数、实轴上的根轨迹、
分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射
本 节 返 回
角和入射角、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。 注意：实际绘制根轨迹时应根据具体情 况有选择性地考虑以上9项内容。
本 节 返 回
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4.2 根轨迹的绘制方法
5、分离点与会合点
D' (s) N(s) N' (s)D(s) 0
注意：
求出s=-d后，应把它代入特征方程计算Kd， 只有Kd为正值， s=-d才是分离点或会合点。 6、根轨迹的渐近线
本 节 返 回
180 (1 2 ) 渐近线的倾角： nm
本 节 返 回
N (s) D(s)
j 1 i 1 n
m
( s zi )
sm sn
i 1 n j 1
m
zi s m 1
z
i 1 n j 1
m
i
本 章 返 回
(s p j )
p j s n 1
p
第5章 根轨迹法
Y (s) k A G (s ) U (s) s(s 1) s( s c)
(2-50)
5.1 基本反馈系统的根轨迹
A K G (s ) s( s c) s( s 1)
取K=A，c=1
单位反馈系统的闭环传递函数为：
K K s( s 1) T (s ) 2 K s sK 1 s( s 1)
System: sysL Gain: 0 Pole: -4 - 4i Damping: 0.707 Overshoot (%): 4.32 Frequency (rad/s): 5.66
-5
Real Axis (seconds-1)
0
5
规则4：出射角与入射角
根轨迹离开开环复极点处的切线方向与实轴 正方向的夹角称为出射角， 进入开环复零点处的 切线方向与实轴正方向的夹角称为入射角。
K为根轨迹参数。
3、根轨迹方程
1 KL( s) 0
L(s）的形式是有理分式，分子和分母都是首一多项式。
b( s ) s m b1s m 1 bm ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) L( s ) n n 1 a ( s ) s a1s an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) ( s zi ) ( s pi )
i 1 n i 1
(s z )
i
m
( s zi )
m
在k=0时， 根轨迹方程的解为s=pi（i=1， 2， ..., n） ，闭环极点与开环极点相等，即根轨迹起始于开环极点 。 当k→∞时， 根轨迹方程的解为s=zi（i=1， 2， …， m）或s→∞ 。
s=zi： 闭环极点与开环零点重合。
(2-50)
5.1 基本反馈系统的根轨迹
A K G (s ) s( s c) s( s 1)
取K=A，c=1
单位反馈系统的闭环传递函数为：
K K s( s 1) T (s ) 2 K s sK 1 s( s 1)
System: sysL Gain: 0 Pole: -4 - 4i Damping: 0.707 Overshoot (%): 4.32 Frequency (rad/s): 5.66
-5
Real Axis (seconds-1)
0
5
规则4：出射角与入射角
根轨迹离开开环复极点处的切线方向与实轴 正方向的夹角称为出射角， 进入开环复零点处的 切线方向与实轴正方向的夹角称为入射角。
K为根轨迹参数。
3、根轨迹方程
1 KL( s) 0
L(s）的形式是有理分式，分子和分母都是首一多项式。
b( s ) s m b1s m 1 bm ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) L( s ) n n 1 a ( s ) s a1s an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) ( s zi ) ( s pi )
i 1 n i 1
(s z )
i
m
( s zi )
m
在k=0时， 根轨迹方程的解为s=pi（i=1， 2， ..., n） ，闭环极点与开环极点相等，即根轨迹起始于开环极点 。 当k→∞时， 根轨迹方程的解为s=zi（i=1， 2， …， m）或s→∞ 。
s=zi： 闭环极点与开环零点重合。
绘制根轨迹的基本法则
4.2 绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益*K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。
熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=*K 和∞→时的根轨迹点。
将幅值条件式（4-9）改写为∏∏∏∏==-==--=--=mi inj j mn m i i nj jsz sp sz s ps K 1111*|1||1||)(||)(|(4-11)可见当s=j p 时，0*=K ；当s=i z 时，∞→*K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→*K 。
法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。
因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。
实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。
所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。
实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。
因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。
特征方程中的某些系数是根轨迹增益*K 的函数，*K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。
法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。
图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ϕ是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。
绘制根轨迹的基本规则
大），则另一些极点必然向左移动（变小）。
n
n
m
闭环极点之积为： si a0 Kgb0 p j Kg zi
i1
j 1
i1
n
m
当有为零的开环极点： si K gb0 K g zi
i 1
i 1
根据上述9个性质（或准则），可以大致画出根轨迹的形状。
为了准确起见，可以用相角条件试探之。
如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之 间有根轨迹，ห้องสมุดไป่ตู้这相邻零点之间必有会合点。
如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之 间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合 点。
[分离角]：在分离点或会合点上，根轨迹的切线和实轴的夹角称
为分离角 d 。 d
与相分离的根轨迹的支数k有关： d
③求分离会合点的另一个公式
m
(s zi )
设系统开环传递函数为：
Gk (s) K g
i 1 n
(s pj)
j 1
因闭环特征方程为： Gk (s) 1
m
n
即闭环特征方程为： F(s) Kg (s zi ) (s pj ) 0
i 1
j 1
重根时还满足
dF(s) ds
d ds
Kg
m i 1
(s zi )
n
(s
j 1
p j ) 0
n
m
(s p j ) Kg (s zi )
(1)
j 1
i1
d n
dm
ds
(s pj ) Kg
j 1
ds
(s zi )
i1
(2)
(2) (1)
d n
n
n
m
闭环极点之积为： si a0 Kgb0 p j Kg zi
i1
j 1
i1
n
m
当有为零的开环极点： si K gb0 K g zi
i 1
i 1
根据上述9个性质（或准则），可以大致画出根轨迹的形状。
为了准确起见，可以用相角条件试探之。
如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之 间有根轨迹，ห้องสมุดไป่ตู้这相邻零点之间必有会合点。
如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之 间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合 点。
[分离角]：在分离点或会合点上，根轨迹的切线和实轴的夹角称
为分离角 d 。 d
与相分离的根轨迹的支数k有关： d
③求分离会合点的另一个公式
m
(s zi )
设系统开环传递函数为：
Gk (s) K g
i 1 n
(s pj)
j 1
因闭环特征方程为： Gk (s) 1
m
n
即闭环特征方程为： F(s) Kg (s zi ) (s pj ) 0
i 1
j 1
重根时还满足
dF(s) ds
d ds
Kg
m i 1
(s zi )
n
(s
j 1
p j ) 0
n
m
(s p j ) Kg (s zi )
(1)
j 1
i1
d n
dm
ds
(s pj ) Kg
j 1
ds
(s zi )
i1
(2)
(2) (1)
d n
第四章控制系统的根轨迹法
9
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
根轨迹法的基本法则
(s - zj )
j =1
把无穷远处看作有限零点，开环零点数和开环极点数相等
法则二 根轨迹的分支数、对称性和连续性
n
m
(s pi ) K* (s z j ) 0
i 1
j 1
根轨迹是上述方程的根随某参数变化而生成的运动轨迹 得到下述结论
根轨迹的分支数等于开环有限极点数n和有限零点数m中 较大者，即根轨迹的分支数＝闭环特征根数，它们是连 续的且对称于实轴。
为求根轨迹从P3点处的出射角，在其附
近找一个实验点Sa，并认为该点在根轨
迹上，则它应满足幅角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
i 1
P3 s3 a
j j
-1 -2 -3 -4 (2k 1)180o 前提：Sa无限靠近P3
G(s)
K (s 1)
s(s 4)(s2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4 一个开环零点：-1
共有四条根轨迹，
实轴上的根轨迹为0→－1 , －4→－∞
渐近线与实轴交点：
n
m
＝
a
i 1
pi z j
j 1
nm
(0) (1
j) (1 4 1
法则三 根轨迹的渐近线
当系统n>m时，有(n－m)条根轨迹分支终止于无限远零点。
沿着渐近线趋于无限远处。(s很大时的根轨迹）
渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。
渐近线与实轴的交角
a
(2k 1)180；k nm
0，1，2，L
，n m 1
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
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s(s 2.5)(s 0.5 1.5 j)(s 0.5 1.5 j)
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
K1 K1 0
K1 0
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
K1
分分离点离点
分离角： (2k 1) / l
K1
K1 0
K1
会合? 点? ?
K1 0
式中，zi , pj 分别为开环系统 的零点和极点; l 为在s平面上 相遇又立即分开的根轨迹的条 数，k 0,1, , l 1。
称为终值角，以 zi 标志。
根轨迹的
j
起始角 [s]
p1 p1
p3
0
p2
p2
根轨迹的j 终止角
p1
z1
p1
z1
z1
0
z2
z2 p2 z2源自p2j[s] p1
p1
[s]
0
p2 p2
出射角对(a)复极点，
(b入) 射角对复零点。
法则6：根轨迹起始角和终值角。
用试探法得d≈-2.3。
由法则6，确定起始角和终止角。
p3 (2k 1) (135o 90o 26.6o ) 71.6o p4 71.6o 本题无须确定终止角。
由法则7，确定根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程为：s4 5s3 8s2 6s K* 0
n
m
pi z j
a i1
j 1
4
1.25
(2k 1) a 4 , k 0,1,2,3
即 45o ,135o
由法则5，确定分离点。
4
没有有限零点，故
1 0
i1 d pi
1 1 1 1 0 d d 3 d 1 j d 1 j
列劳斯表如下：
S4
1
8
K*
S3
5
6
S2
34/5
K*
S1 (204-25K*)/34
S0
K*
令S1 行系数=0，得K*=8.16。 根据s2行的系数构造辅助方程：
34 s2 K* 0 5
将K*=8.16代人，并令s=jω代人，得ω =±1.1。
继续画根轨迹。
§ 4.2 根轨迹绘制的基本规则
根据绘制根轨迹的两个基本条件，演绎出八条绘制 根轨迹的基本法则。 法则1：根轨迹的起点和终点
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
根轨迹起点是指根轨迹增益K*=0时的根轨迹点； 根轨迹终点是指根轨迹增益K*→∞时的根轨迹点。
n
m
闭环特征方程为： (s pi ) K * (s z j ) 0
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
(2k 1) a 4 3
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
43
2
② 终止角
作各开环零极点到开环复 数零点（-2+j）的向量，测出 相应的角度。
故开环复数零点（-2+j）处的终 止角为：
z2 149.50
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，
称为起始角，以 pi 标志。
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，
称为终值角，以 zi 标志。
m
n
pi (2k 1) ( z j pi ) pj pi k 0,1,2,
j 1
ji
某一开环复数极点
s(s 2)(s 3)
由法则4知，实轴上区域[-3,-2]、[-1,0]是根轨迹的一部分。
由法则2知，有3条根轨迹分支。
j
由法则1知，有1条根轨迹起开环极点0，终于开环零点-1； 另外2条分别起于开环极点-2，-3，终于∞。
由法则3知，2条终于∞的根轨迹的渐近 线与实轴的夹角和交点为：
-3 -2 -1 0
C(s)
s(s 2)(s 3)
由法则5知，[-2,-3]之间必有一分离点d。
m 1
n1
j1 d z j i1 d pi
1 1 1 1 d (1) d 0 d (2) d (3)
因为d在[-2,-3]之间，用试探法，设d=-2.5
1 0.67 1 1 1 0.4
p2 (2k 1) (1 2 3) (1 3 4 ) (2k 1) 1010 790
根 据 根 轨 迹 的 对 称 性 开 环 复 数 极 点 （ -0.5-1.5j ） 处
的起始角为：-790。
p2
例4-3 设系统开环传递函数如下，试绘制概略根轨迹。
根据根轨迹的对称性开环复数零点 （-2-j）处的起始角为：-149.50。
法则7：根轨迹与虚轴的交点。
若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值与ω值可以用 劳斯判据确定； 也可令闭环特征方程中的s=j ω，然后分别令其实部和 虚部为零而求得。
先令劳斯表第一列中包含K*的项为零，即可确定K*的值， 即K*取此值时根轨迹与虚轴相交。 其次构造辅助方程，通常是利用s2行的系数构造辅助方 程（一对纯虚根），求出的ω数值；如果有多对纯虚根， 则采用幂大于2的s偶次方行的系数构造辅助方程。
例4-4 设系统开环传递函数如下，试绘制概略根轨迹。
K* G(s) s(s 3)(s2 2s 2)
解：将开环零极点标注在s平面上。 由法则1，确定根轨迹起点和终点。 由法则2，确定有4条根轨迹分支。 由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-3,0] 。 由法则3，确定根轨迹有4条渐近线
法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。
根轨迹的分支数与开环零点数m、开环极点数n中的 大者相等，它们是连续的并且关于实轴对称。
根据根轨迹的对称性，只需要作出上半s平面的根轨 迹，然后利用对称关系，即可画出下半s平面的根轨迹。
法则3 根轨迹的渐近线 当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，有n-m条趋向
d 1
d d 2 d 3
-2.47 -3 -2
j
-1 0
左边略小于右边，重取d=-2.47两边近似相等。
分离角为直角。概略根轨迹如右图所示。
法则6：根轨迹起始角和终止角。
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，
称为起始角，以 pi 标志。
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，
(2k 1) a 4 3
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
43
2
由法则5，确定分离点。（本例无分离点）
由法则6，确定起始角和终止角。
①起始角
作各开环零极点到开环复数极点 （ -0.5+1.5j ） 的 向 量 ， 测 出 相 应的角度。
故 开 环 复 数 极 点 （ -0.5+1.5j ） 处的起始角为：
(2k1) (2k1) a n m 3 1 ; k 0,1 即900、2700
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
[0
(2)
(3)] 31
(1)
2
例4-1 设系统结构图如右图所示， R(s)
试绘制其概略根轨迹。
-
K *(s 1)
K*(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) G(s)
s(s 2.5)(s 0.5 1.5 j)(s 0.5 1.5 j)
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
无限零点的根轨迹的走向。 （1）渐近线与实轴的倾角
a
(2k 1)
nm
;
k 0,1, 2,
,n m 1
（2）渐近线与实轴的交点
n
m
pj zi
a
j 1
i 1
nm
式中，zi , pj 分别为开环系统的零点和极点。
注：只有在 (n m) 2 时，需要计算渐近线与实轴的交点 和夹角。
i 1
j 1
在实际系统中，开环传递函数分子多项式的次数m与分
母多项式的次数n满足m≤n， 即零点个数≤极点个数。
m＜n 时，n条轨迹从开环极点出发，只能有m条 终止在开环零点, 另外n-m条应终止何处？
——终止在无穷远处
若有限数值的零点称为有限零点，无限数值的零点 称为无限零点，则此时开环零极点的个数是相等的。
l=2时，分离角必为直角。
有关分离点的说明： 根轨迹的分离点，实质上就
是系统特征方程的等实根（实轴 上的分离点）或等共轭复根（复 平面上的分离点）
• 分离点位于实轴上，或以共轭的形 式成对出现在复平面中。
• 如果根轨迹位于实轴上两个相邻开 环极点之间（其中一个可以是无限 极点），这两个极点之间至少存在 一个分离点。
• 如果根轨迹位于实轴上两个相邻开 环零点之间（其中一个可以是无限 零点），这两个零点之间至少存在 一个分离点。
d2
d1
A
图4-5 实轴上根轨迹的分离点
B
图4-6 复平面上的分离点
例4-1 设系统结构图如右图所示， R(s)
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
K1 K1 0
K1 0
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
K1
分分离点离点
分离角： (2k 1) / l
K1
K1 0
K1
会合? 点? ?
K1 0
式中，zi , pj 分别为开环系统 的零点和极点; l 为在s平面上 相遇又立即分开的根轨迹的条 数，k 0,1, , l 1。
称为终值角，以 zi 标志。
根轨迹的
j
起始角 [s]
p1 p1
p3
0
p2
p2
根轨迹的j 终止角
p1
z1
p1
z1
z1
0
z2
z2 p2 z2源自p2j[s] p1
p1
[s]
0
p2 p2
出射角对(a)复极点，
(b入) 射角对复零点。
法则6：根轨迹起始角和终值角。
用试探法得d≈-2.3。
由法则6，确定起始角和终止角。
p3 (2k 1) (135o 90o 26.6o ) 71.6o p4 71.6o 本题无须确定终止角。
由法则7，确定根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程为：s4 5s3 8s2 6s K* 0
n
m
pi z j
a i1
j 1
4
1.25
(2k 1) a 4 , k 0,1,2,3
即 45o ,135o
由法则5，确定分离点。
4
没有有限零点，故
1 0
i1 d pi
1 1 1 1 0 d d 3 d 1 j d 1 j
列劳斯表如下：
S4
1
8
K*
S3
5
6
S2
34/5
K*
S1 (204-25K*)/34
S0
K*
令S1 行系数=0，得K*=8.16。 根据s2行的系数构造辅助方程：
34 s2 K* 0 5
将K*=8.16代人，并令s=jω代人，得ω =±1.1。
继续画根轨迹。
§ 4.2 根轨迹绘制的基本规则
根据绘制根轨迹的两个基本条件，演绎出八条绘制 根轨迹的基本法则。 法则1：根轨迹的起点和终点
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
根轨迹起点是指根轨迹增益K*=0时的根轨迹点； 根轨迹终点是指根轨迹增益K*→∞时的根轨迹点。
n
m
闭环特征方程为： (s pi ) K * (s z j ) 0
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
(2k 1) a 4 3
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
43
2
② 终止角
作各开环零极点到开环复 数零点（-2+j）的向量，测出 相应的角度。
故开环复数零点（-2+j）处的终 止角为：
z2 149.50
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，
称为起始角，以 pi 标志。
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，
称为终值角，以 zi 标志。
m
n
pi (2k 1) ( z j pi ) pj pi k 0,1,2,
j 1
ji
某一开环复数极点
s(s 2)(s 3)
由法则4知，实轴上区域[-3,-2]、[-1,0]是根轨迹的一部分。
由法则2知，有3条根轨迹分支。
j
由法则1知，有1条根轨迹起开环极点0，终于开环零点-1； 另外2条分别起于开环极点-2，-3，终于∞。
由法则3知，2条终于∞的根轨迹的渐近 线与实轴的夹角和交点为：
-3 -2 -1 0
C(s)
s(s 2)(s 3)
由法则5知，[-2,-3]之间必有一分离点d。
m 1
n1
j1 d z j i1 d pi
1 1 1 1 d (1) d 0 d (2) d (3)
因为d在[-2,-3]之间，用试探法，设d=-2.5
1 0.67 1 1 1 0.4
p2 (2k 1) (1 2 3) (1 3 4 ) (2k 1) 1010 790
根 据 根 轨 迹 的 对 称 性 开 环 复 数 极 点 （ -0.5-1.5j ） 处
的起始角为：-790。
p2
例4-3 设系统开环传递函数如下，试绘制概略根轨迹。
根据根轨迹的对称性开环复数零点 （-2-j）处的起始角为：-149.50。
法则7：根轨迹与虚轴的交点。
若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值与ω值可以用 劳斯判据确定； 也可令闭环特征方程中的s=j ω，然后分别令其实部和 虚部为零而求得。
先令劳斯表第一列中包含K*的项为零，即可确定K*的值， 即K*取此值时根轨迹与虚轴相交。 其次构造辅助方程，通常是利用s2行的系数构造辅助方 程（一对纯虚根），求出的ω数值；如果有多对纯虚根， 则采用幂大于2的s偶次方行的系数构造辅助方程。
例4-4 设系统开环传递函数如下，试绘制概略根轨迹。
K* G(s) s(s 3)(s2 2s 2)
解：将开环零极点标注在s平面上。 由法则1，确定根轨迹起点和终点。 由法则2，确定有4条根轨迹分支。 由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-3,0] 。 由法则3，确定根轨迹有4条渐近线
法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。
根轨迹的分支数与开环零点数m、开环极点数n中的 大者相等，它们是连续的并且关于实轴对称。
根据根轨迹的对称性，只需要作出上半s平面的根轨 迹，然后利用对称关系，即可画出下半s平面的根轨迹。
法则3 根轨迹的渐近线 当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，有n-m条趋向
d 1
d d 2 d 3
-2.47 -3 -2
j
-1 0
左边略小于右边，重取d=-2.47两边近似相等。
分离角为直角。概略根轨迹如右图所示。
法则6：根轨迹起始角和终止角。
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，
称为起始角，以 pi 标志。
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，
(2k 1) a 4 3
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
43
2
由法则5，确定分离点。（本例无分离点）
由法则6，确定起始角和终止角。
①起始角
作各开环零极点到开环复数极点 （ -0.5+1.5j ） 的 向 量 ， 测 出 相 应的角度。
故 开 环 复 数 极 点 （ -0.5+1.5j ） 处的起始角为：
(2k1) (2k1) a n m 3 1 ; k 0,1 即900、2700
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
[0
(2)
(3)] 31
(1)
2
例4-1 设系统结构图如右图所示， R(s)
试绘制其概略根轨迹。
-
K *(s 1)
K*(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) G(s)
s(s 2.5)(s 0.5 1.5 j)(s 0.5 1.5 j)
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
无限零点的根轨迹的走向。 （1）渐近线与实轴的倾角
a
(2k 1)
nm
;
k 0,1, 2,
,n m 1
（2）渐近线与实轴的交点
n
m
pj zi
a
j 1
i 1
nm
式中，zi , pj 分别为开环系统的零点和极点。
注：只有在 (n m) 2 时，需要计算渐近线与实轴的交点 和夹角。
i 1
j 1
在实际系统中，开环传递函数分子多项式的次数m与分
母多项式的次数n满足m≤n， 即零点个数≤极点个数。
m＜n 时，n条轨迹从开环极点出发，只能有m条 终止在开环零点, 另外n-m条应终止何处？
——终止在无穷远处
若有限数值的零点称为有限零点，无限数值的零点 称为无限零点，则此时开环零极点的个数是相等的。
l=2时，分离角必为直角。
有关分离点的说明： 根轨迹的分离点，实质上就
是系统特征方程的等实根（实轴 上的分离点）或等共轭复根（复 平面上的分离点）
• 分离点位于实轴上，或以共轭的形 式成对出现在复平面中。
• 如果根轨迹位于实轴上两个相邻开 环极点之间（其中一个可以是无限 极点），这两个极点之间至少存在 一个分离点。
• 如果根轨迹位于实轴上两个相邻开 环零点之间（其中一个可以是无限 零点），这两个零点之间至少存在 一个分离点。
d2
d1
A
图4-5 实轴上根轨迹的分离点
B
图4-6 复平面上的分离点
例4-1 设系统结构图如右图所示， R(s)