根轨迹分析法
自动控制原理第5章根轨迹分析法

04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ,从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统,根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制,以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统,根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素,决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响,主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式,通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合,利用状态空间法描述系统的动态行为,从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合,通过优化系统的性能指标,提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法,其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值,计算对应的极点,然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐,但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件,如MATLAB/Simulink等,可以方便地绘制根轨迹图,并分析系统的动态特性。
自动控制原理第10-1讲

自动控制原理
9
4.4.1 参变量根轨迹的绘制
K * P( s ) 设系统开环传递函数为 G(s) H (s) ,系统闭环特 Q( s )
征方程为 1 G(s) H (s) 0 , 用不含待分析参数的各项除方 程两端,得 P( s ) 1 K 0 Q( s ) Q ( s ) 都是复变量s的多项式, K 为待分析的 式中的 P ( s ) 、 参数,与特征方程
p
n m
p z
j 1 j i 1
i
p0
n m 1
180 (2k 1) n m 1
渐近线的重心将沿实轴向右移动。且-p0数值愈大,向右 移动的距离也愈大。(P126) 因此,渐近线将带动根轨迹向右半s平面弯曲或移动, 从而可能引起系统性能恶化。
自动控制原理
幅值条件
G(s) H (s) 1
幅角条件 G(s) H (s) 2k, k 0, 1,, 2
思考:与负反馈根轨迹绘制有何不同? 在正反馈系统根轨迹的绘制规则中,凡是与幅角条件有 关的规则都要作相应的修改。 1)实轴上根轨迹的确定:右边开环零、极点的个数为偶数。 2)根轨迹的渐近线:在实轴上交点坐标和夹角为 n m
100% 是阻尼比 的函 (1)相对百分比超调量 % e 数,且当 越小,百分比超调量σ%越大。(P68) (2)调节时间只取决于特征根的实部 。当 n增加时,调 节时间相应变短;反之,调节时间相应就长。如果对 调节时间有限制的话,就要使特征根与虚轴保持一定 的距离。(P69) 2 1 (3)振荡频率 d n
1 2
自动控制原理
16
4.5.1 性能指标在s平面上的表示(续)
s平面上的三种规律
自动控制原理第四章-根轨迹分析法

×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4:根轨迹的分会点(分离点和会合点)d。 (1)定义:分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点(分 离点)或由复平面进入实轴的点(汇合点),位于相邻两极点 或两零点之间。
(2)位置:大部分的分会点在实轴上,若出现在复平面内时,则 成对出现。
(3)特点:分会点对应于闭环特征方程有重根的点;根轨迹离开
(4)与虚轴的交点:
方法1:闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得:-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2:闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下:
规则1:根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点,终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 (, n
m)条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段,如某段右边 开环零、极点(包括该段的端点)数之和为奇数,则该段就 是根轨迹,否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为:
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
第4章 根轨迹法

Kr(s2+2s+2) G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 解: 开环零、极点分布: 两条根轨迹终止于开环传 z1 递函数的两个零点,另一条 p1= 0 p2= -1 p3= -2 趋于无穷远。z = -1-j z1= -1+j 2 p3 p
2
jω
1 p
1 0
系统的三条根轨迹起始 于三个开环传递函数的极 点。
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实轴上的根轨迹段 系统开环零、极点分布为: 共轭开环零、极点构 υ 1 p3 设实轴上任意点s1 成的相角正负抵消 θ 3 θ 1 p1 θ 2 s1与开环零、极 s1 0 σ p2 实轴上根轨迹段右侧 点之间的矢量: θ 4 的开环零、极点个数之和 s1的相角方程为: υ 2 p4 4 2 为奇数。 z2 ∑ (s1-zi) -∑ (s1–pj)
一、根轨迹
二、根轨迹方程
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根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点: (1)图解方法,直观、形象。
(2)适用于研究当系统中某一参数 变化时,系统性能的变化趋势。 (3)近似方法,不十分精确。
§4.1 根轨迹法的基本概念 根轨迹:系统某一参数由0 → ∞变化时,l在
s平面相应变化所描绘出来的轨迹。
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例1 系统结构图如图所示,分析 l 随开环增益K 变化的趋势。 K K * 2K 解. G( s) s(0.5 s 1) s( s 2) K : 开环增益 K*: 根轨迹增益 ∞ ↑ K* s2 K*=0 1 -1 -2 K* ∞ ↑
ω j
1 s1 0 σ -1
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第4章 根轨迹法

m n
sk
s+
jω
s+p
s
j=1 n
=
1 ; K gk
−z j
z
j
i
αj
βi
σ
0
∑ α jk − ∑ βik = ±180 (1 + 2k) (k = 1, 2,⋯)
j=1 i =1
−p i
幅值条件为:
∏ s + zj ∏ s + pi
i =1 j=1 n
m
1 = Kg
幅角条件:
∑ α j − ∑ βi = ±180 (1 + 2k)
j=1 i =1
m
n
(k = 1, 2,⋯)
三、应用幅值条件确定 K g 值
jω
△
某控制系统的开环传递函数为
1 K g (s + ) K(8s + 1) 8 G(s)H(s) = 2 = s (2s + 1) s 2 (s + 1 ) 2
-0.5 L3
sk L 1,2 l 60° σ
1 8 1 p1 = − 2 z1 = −
可见,闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成, 闭环零极点放大系数等于前向通道零极点放大系数 K Gg 。
一、根轨迹的连续性 第二节 绘制根轨迹的一般规则 二、根轨迹的分支数 三、根轨迹的对称性 四、根轨迹的起点和终点
m m
j=1 lim n s→∞ i =1
∏ s + zj ∏ s + pi
六、根轨迹的分离点和会合点
D(s) K g (s) = − N(s)
dK g (s) ds
=0
D' (s)N(s) − N ' (s)D(s) = 0
第四章 控制系统根轨迹分析法

4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用: 1、角条件与k无关,即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。(所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了)。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论:实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时,此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例: 开环传函: ss 1
K为开环增益(因为标准型) 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函: s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为:
1 1 闭环特征根(即闭环传函的极点): s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四:根轨迹的渐近线: (1)条数: (n-m)条 (2)与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时,认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
《根轨迹分析法》课件

《根轨迹分析法》课件1. 课件简介根轨迹分析法是一种用于分析和设计反馈控制系统的方法,通过绘制系统的根轨迹来了解系统在不同参数下的稳定性和动态性能。
本课件将介绍根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
2. 课件内容2.1 根轨迹分析法的基本概念2.1.1 根轨迹的定义根轨迹是指在系统参数变化范围内,使闭环系统稳定的闭环极点轨迹。
2.1.2 根轨迹的性质(1)根轨迹是闭环极点在复平面上的轨迹,反映了闭环系统的稳定性。
(2)根轨迹的形状由系统开环传递函数的极点和零点决定。
(3)根轨迹的分布与系统参数有关,通过改变参数可以改变系统的稳定性和动态性能。
2.2 根轨迹分析法的方法2.2.1 绘制根轨迹的基本步骤(1)确定系统开环传递函数。
(2)画出开环传递函数的极点和零点。
(3)根据系统参数的变化,绘制出根轨迹。
(4)分析根轨迹的形状,判断闭环系统的稳定性。
2.2.2 根轨迹的绘制技巧(1)利用软件工具,如MATLAB,自动绘制根轨迹。
(2)手动绘制根轨迹时,注意利用对称性和周期性简化绘制过程。
2.3 根轨迹分析法的应用2.3.1 设计控制器通过分析根轨迹,可以确定控制器参数,使闭环系统具有所需的稳定性和动态性能。
2.3.2 系统优化根轨迹分析法可以帮助我们找到系统参数的最佳组合,从而优化系统的性能。
2.3.3 故障诊断分析根轨迹可以帮助我们发现系统中的故障,为故障诊断提供依据。
3. 课件总结本课件介绍了根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
通过学习本课件,您可以了解根轨迹分析法在控制系统设计和分析中的重要性,并掌握绘制根轨迹的基本方法。
希望这有助于您在实际工作中更好地应用根轨迹分析法。
科学性:1. 内容准确:课件内容基于控制理论的基本原理,准确地介绍了根轨迹分析法的概念、方法和应用。
2. 逻辑清晰:课件从基本概念入手,逐步深入到方法介绍和应用实例,逻辑结构清晰,易于理解。
3. 实例典型:课件中提供了控制系统的实例,帮助学习者更好地理解根轨迹分析法的应用场景。
第四章根轨迹分析法1244页PPT

例4-1 系统结构图如图所示,分析l 随开环放大系 数K变化的趋势。
解. G(s) K Kg
s(0.5s1) s(s2)
K : 开环放大系数
Kg 2K: 根轨迹增益
(s)C(s) Kg R(s) s22sKg
D (s)s22sKg0
l1,2 1 1Kg
Kg l1 l2
2.根轨迹方程
j 1
则根轨迹的条件方程为 幅值条件
m
(s zi )
K i1 gn
1
(s p j )
j 1
m
argK[g
(szi
i1
)
]180(2k1)
n
(spj )
j 1
方程
相角条 件方程
m
n
ars g zi)( ars gpj( ) 1 8 (2 k 0 1 )
i 1
j 1
注意:
相角条件是确定根轨迹的充分而必要条件 可从幅值条件方程求解得出Kg 。
解:
j 平面
-4
-1.5 -1 -0.5 0
取实轴上的点s
开环共轭极(零点)对相角条件无影响
j
[s]
p3
p1
z2 p5 s p2
z1 0
p4
实轴上的根轨迹仅由实轴上的开环零极点的分 布所决定
6. 根轨迹的渐近线 若 n>m,则 Kg 时,有n-m条根轨迹
k g= 0 .2 5 kg= 0
-1 -0 .5
k g= 0 .5
j
s1,2
1 2
1 2
s平面
1 4Kg
0 kg= 0
系统的开环传递函数中某一参数变化时,系统闭 环特征方程的根在S平面上的变化轨迹即为根轨迹
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在极点0和极点-1之间的根轨迹上一定有分离点存在, 令d[G(s)H(s)]/ds=0,整理后求得s1= -0.42(在根轨迹上, 是分离点),s2 = -1.58 (不在根轨迹上,舍),所对应K* 由幅值条件确定:
K1* s1 s1 1 s1 2 0.42 0.581.58 0.38 用劳斯判据法与虚轴交点:
s 3 3s 2 2s K * 0
s3 s2 s
1
1 3 6 K* 0 3 K*
2 K*
3s 2 6 0
K* 6 s j 2
自动控制原理
12
s0
(8)根轨迹的出射角和入射角
(8)根轨迹的入射角和出射角 出射角:根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实 轴之间的夹角 入射角:根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与正实 轴之间的夹角 结论:开环复数极、零点的出射角与入射角由下面公式 计算 出射角: p 180 ( s zi ) ( s p j )
j 1
n
j
K
*
sz
i 1
m
i
0
当K* →0时, s→pj (j=1,2,…,n)为系统的开环极点; 当K*→∞时,s→zi (i=1,2,…,m)为系统的开环零点。 结论:根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点。如果开环 零点数目m小于开环极点数目n,则有n-m条根轨迹终止于无 穷远处。
令K从0到∞变化,则闭环特征根在复 平面上描绘出若干曲线(根轨迹)。
自动控制原理
4
4.2
根轨迹的概念(续)
(2)从根轨迹图分析闭环系统各种性能 分析稳定性:在0<K<∞范围内,系统是稳定的。 分析动态性能:当0<K<0.5时,系统是过阻尼的; 当K=0.5时,系统为临界阻尼状态; 当K>0.5时,系统是欠阻尼的。 若已知K=1,则闭环极点为-1±j,参数ζ=0.707, ω=0.414,系统的瞬态响应指标超调量σ%= 4.3%,调节 时间ts=3秒。 当K继续增大时,其超调量σ%将增大,而调节时 间基本不变。 分析稳态性能:系统是Ⅰ型的,阶跃函数作用下的稳态误 差为零。
自动控制原理
3
4.2
根轨迹的概念
(1)解析法绘制根轨迹 系统的开环传递函数 K 2K G( s) s(0.5s 1) s( s 2)
单位反馈系统闭环传递函数
C ( s) 2K 2 R( s) s 2s 2 K
闭环特征方程
s 2 2s 2 K 0
闭环特征根
s1 1 s 2 1 1 2K 1 2K
p
j 1
3
j
30
0 1 2 1 3
180 (2k 1) 60 , 180 30
根轨迹在实轴上的分布、渐近线
自动控制原理
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根轨迹的分离、会合点、与虚轴的交点
(6)根轨迹的分离、会合点 分离点:根轨迹分支在实轴上某点相遇又向复平面运动 会合点:根轨迹分支从复平面运动到实轴上某点 结论:根轨迹分离点或会合点的坐标,可通过求解方程得到
自动控制原理
5
4.2
(3)根轨迹方程
根轨迹的概念(续)
根轨迹方程
C (s) G( s) R( s) 1 G ( s) H ( s)
闭环特征方程: 1+G(s)H(s) = 0 或 G(s)H(s) = -1
通常系统开环传递函数G(s)H(s)等于系统各环节传递函数 m m 之积,即 K ( i s 1) (s zi ) 或 G ( s) H ( s) K * in1 G ( s ) H ( s ) ni 1
自动控制原理
8
根轨迹在实轴上的分布、渐近线
(4)实轴上根轨迹的分布 若点s0右边零、极点个数之和为奇 数,则s0点所在线段是根轨迹一部分; 若点s0右边零、极点个数之和为偶 数,则s0点所在的线段不是根轨迹。 结论:实轴上属于根轨迹的部分,其右边开环零、极点的个 数之和为奇数。 (5)根轨迹的渐近线 结论:如果系统的有限开环零点数m少于其开环极点数n,则 当根迹增益K*→∞时,趋向无穷远处根轨迹的渐近线共有n-m n m 条。这些渐近线 p j zi i 1 与实轴上的交点坐标为 ( j 1 , j 0)
d[G ( s ) H ( s )] 0 或 ds
1 j 1 s p j
n
1 i 1 s z i
m
(7)根轨迹与虚轴的交点 与虚轴的交点可利用下面两种方法之一 : 方法一:用s= j 代入特征方程求解
1+G( j ) H ( j ) 0
Re[1 G( j ) H ( j )] 0 Im[ 1 G( j ) H ( j )] 0
普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
自动控制原理
第4章 根轨迹分析法
机械工业出版社
第4章 根轨迹分析法The Root Locus
Method
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
概述 根轨迹的概念 根轨迹的绘制 广义根轨迹的绘制 控制系统的根轨迹分析
自动控制原理
2
4.1
概述
j 1 j 1
结论:若满足(n-m) 2,且有开环零点位于原点时,闭环极 点之积等于开环极点之积。
自动控制原理
14
4.3.2
绘制根轨迹举例
K * (s 3) 例1 已知系统开环传递函数为 G(s) H (s) ,绘制 ( s 1)(s 2)
根轨迹。 解 1)起点在p1= -1,p2= -2处,终点在z1= -3及无穷远处。 2)根轨迹有两条分支,且对称于实轴。 3)实轴上的根轨迹分布在-1~-2之间和-3~-∞之间。 4)因 n=2, m=1, n m p j zi 180 (2k 1) (1 2) 3
自动控制原理
15
例1(续)
证明:根轨迹图是一个圆 证 如果用s=a +jb代入特征方程1+G(s)H(s) = 0中,并经整理 可得到以下方程式:
(a 3)2 b2 ( 2 )2
显然,这是个圆的方程式,其圆心的坐标为(-3,0),半 径为 2 。推广到一般形式: K ( s z1 ) G(s) H (s) ( s p1 )( s p 2 ) z1大于p1和p2(即开环零点位于两开环极点之左),则 系统根轨迹在复平面上为一个圆,其圆心在-z,半径为:
j 1 i 1
nm
2 1
0
渐近线为整个负实轴,沿实轴趋于-∞。
5)由
1 1 1 s 1 s 2 s 3,可解出
2 1
180
s1 = -1.586(分离点),K*= 0.172; s2 = -4.414(会合点),K*= 5.818 绘出根轨迹如图
j 1 j 1 j 1
j 1 j 1
结论:当满足(n-m) 2时,闭环极点之和等于开环极点之和。 (10)闭环极点之积 n n m n (s j ) (1) ( p j K z i ) n个闭环特征根之积为: j i j 1 i 1 n n m z i 0 ,有 (s j ) ( p j ) 若 i 1
l
m
n
i 1
j 1 j l
入射角:
z 180 (s z i ) (s p j )
l
m
n
i 1 i l
j 1
自动控制原理
13
闭环极点之和、之积
(9)闭环极点之和n n m m n n 1 m m1 特征方程为: s p j s p j K [s zi s zi ] 0
自动控制系统的稳定性完全由闭环特征方程的根 (闭环极点)决定。而系统瞬态响应的基本性能 则取决于闭环传递函数的极点和零点的分布。 计算的复杂性限制了时域分析法在三阶以上控制 系统中的应用 。 1948年,伊文思(W.R.Evans)提出了一种求解特 征方程根变化规律的简单方法 -----根轨迹法 。
j 1
若系统满足n-m 2,有:
s n p j s n1 ( p j K z i ) 0
j 1 j 1 i 1
j 1 n
i 1 n
m
i 1
闭环极点即特征方程的根,若为 -s j ,则有 n n n n n n n 1 (s s j ) s s j s s j 0 ,所以 s j p j
自动控制原理
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根轨迹的分支数、连续性和对称性
(2)根轨迹的分支数 每个闭环特征根的变化轨迹都是整个根轨迹的一个分支, 因此根轨迹的分支数与闭环特征方程的根的数目相同。
(s p
j 1
n
j
)K
*
(s z ) 0
i i 1
m
结论:根轨迹的分支数等于特征方程的阶次,也即开 环零点数m和开环极点数n中的较大者。 (3)根轨迹的连续性和对称性 K*的无限小增量与s平面上的长度|s+pj|及|s+zi|的无限 小增量相对应,即复变量s在n条根轨迹上均有一个无限小 的位移。当K*从零到无穷大连续变化时,根轨迹在s平面 上一定是连续的。 特征根可以是实数根或复数根,而复数根又必然是成 对出现的共轭复数,所以这些根必然对称于实轴。 结论:根轨迹是连续的,且以实轴为对称的曲线。
方法二:根据系统临界稳定的条件,利用劳斯判据法求解 结论:根轨迹与虚轴的交点坐标及临界根迹增益,可以通过 用s= j 代入系统闭环特征方程求取,也可用劳斯判据列表的 方法确定。
自动控制原理
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求根轨迹的分离点、与虚轴的交点举例