控制工程基础第4章 根轨迹法
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根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
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第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
第四章控制系统的根轨迹分析法
控制系统的根轨迹分析法
根轨迹分析法是一种图解分析法，利用它求解 高阶系统中某一参数对系统性能的影响将非常方便。
§4.1
§4.2 §4.4 §4.3
根轨迹的基本概念及分析方法
绘制根轨迹的基本规则 系统性能的根轨迹分析 参量根轨迹——广义根轨迹
§4.1
根轨迹的基本概念及分析方法
系统开环中某一参数从0→∞时，闭环系统特征 根在 S 平面上的位置也随之变化移动，一个根形成 一条轨迹。 Y R K
6)根轨迹与虚轴的交点 [例]已知系统开环
GH ( s ) Kg s ( s 1)( s 2 )
也可以用劳斯表求交点
交点
s j
-p1
Im
j
Re
求与虚轴交点 [解]已知与虚轴交点处 s j 代入
j ( j 1)( j 2 ) K g 0
j 3
[例]求系统特征方程 的根随开环增益K的 变化在S平面上的位 置变化情况，并分析 K对系统的影响。
s(s 2)
(s)
Y (s) R (s)
K s 2s K
2
[解] 以K为参数求根迹 当K从0→∞ 系统的闭环传递函数 连续变化时, K C(s) 得到无数组 = 特征方程的 R(s) S2+2S+K 根,组成图形
8
jω
p2 600 p 0 1 -1
例 试确定系统分离点。 Kr G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 前例已求得根轨迹的渐近线 解： 和实轴上的根轨迹段 根轨迹的分离点： p3 A(s)B'(s)=A'(s)B(s) 2 -2 (3S +6S+2)=0 s2=-1.57 s1=-0.43 s2没有位于根轨迹上，舍去。
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
第四章控制系统的根轨迹法
9
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
第四章根轨迹分析法
j=1
i=1 ≠b
例 设系统开环传递函数零、极点的分布如图4-9所
示，试确定根轨迹离开复数共极点- p1 、- p2的出
射角。
解 按公式（4-28），由作图结果得
øb= +180°（2k+1) + - p1+ z1- - p1+ p2-
jw
- p1+ p3- - p1+ p4
S平面
= +180°（2k+1) +45° -90°-135°-26.6°
根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现 纯虚根。故可在闭环特征方程中令s=jw，然后令 其实部和虚部分别等于0，从中求得交点的坐标 值及其相应的Kg值。 例 设系统的开环传递函数为
Gk（s）=s（s+1K）g（s+2）
试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界根轨迹增 益Kgp。
解 闭环系统的特征方程为 s（s+1）（s+2）+Kg=0
确定根轨迹上某点对应的K*值
例：开环传函 G(s)H(s)= K ，求根轨迹
(s+1)(s+2)
解 1、确定极点、零点
开环 –p1= -1, –p2= -2
无零点
1、相角条件
∠(s+zi)- ∠(s+pj) = 0-[∠(s+1)+ ∠(s+2)] =±180o(2k+1)
试差法 s= -1.5
∠θ1+ ∠θ2=180 o
故 D’(s)=3s2+6s+2
N’(s)=0
解得 s1=-0.423 s2=-1.577
由于s2不在根轨迹上，因而分离点是s1 。
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n 3, m 0, 故三条根轨迹趋向处。
渐进线与实轴交点的坐标为
[S]
a
0
1
3
2
0
1
渐进线与实轴正向的夹角为
a -2 -1 0
a
2k
1180
3
60 , 180
六、根轨迹的起始角与终止角
起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点 处的切线与水平线正方向的夹角。
终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点 处的切线与水平线正方向的夹角。
s4
2
1
s3 -2 s20 s1
s3 180 , s3 2 180 s4 1, s4 2 2
若s4位于根轨迹上，则必满足
幅角条件，即1 2 180，
N
s4一定在 2，0的中垂线MN上。
利用幅值条件可算出各根轨迹上的 K 值。
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
K
ss 2
终止于 zb 的根轨迹在终点处
的切线与水平正方向的夹角
j 1
i 1
ib
其它零点到 zb 的向量夹角
七、分离点的坐标
几条根轨迹在[S]平面上相遇后又分开的点， 称为根轨迹的分离点（或会合点）。
分离点坐标的求法：
1 d (G(s)H (s)) 0
ds
2 由根轨迹方程
令：dK 0 解出s ds
n
1 180 p1 z p1 p2
180 116.57 90
206.57
由于对称性
2 206.57
会合点 -3
206.57
p1
[S]
z116.57
2.12
-2 -1 0
p2
八、实轴上的分离点的分离角恒为 90 实轴上的会合点的会合角恒为 90
会合时，根轨迹 切线的倾角
辅助方程： 3s2 K 0 解得： s j1.414
例 单位反馈系统
Gs
ss
K s
3s2
2
2s
2
画根轨迹
解：
1化成标准传递函数，求零、极点
p1 0, p2 3, p3.4 1 j
[S]
z1 2
p3
p2 z1
p1
-3 -2 -1 0
p4
2实轴上的根轨迹
3渐进线条数 n m 3
m
n
zi pj 180 2k 1
i 1
j 1
m
n
s1 zi s1 p j 180 2k 1
i 1
j 1
s1 p1
m
p1
zi
1
n
p1 p j
180
2k
1
i 1
j2
m
n
1 180 2k 1 p1 zi p1 pj
i 1
j2
m
a
3
1
j
3
1
j
2
1
a 60 ,180
[S]
p3
p2 z1
p1
-3 -2 -1 0
4实轴上无分离会合点 p4
5求p3的出射角
3 180 p3 z1
p3 p1 p3 p2 p3 p4
180 1 1 2 3
180 45 135 26.6 90
s2 1.577
是根轨迹上的点，故为分离点 不是根轨迹上的点, 舍去
例2 已知系统开环传递函数
GsH s
K s 1
s2 3s 3.25
画出系统闭环根轨迹
解：1 求开环极点
s2 3s 3.25 0
p1 1.5 j
p2 1.5 j
-3
(2) 实轴上的根轨迹
p1
z
-2 -1
p2
特征方程的根，当K 由0 ~ 变化时，这些点所
构成的轨迹即根轨迹。
下面利用幅角、幅值条件画根轨迹
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
K
ss 2
幅角条件： s s 2 180 2k 1
试 探 法 确 定 满 足 上 式 的s点
M
s1 0 , s1 2 0
[S]
s2 180 , s2 2 0
3渐进线
n 3, m 0,故三条根轨迹趋向处。
a
0
1
3
2
0
1
a
2 k
1180
3
60 , 180
4根轨迹与虚轴的交点
Ds ss 1s 2 K 0
[S]
a 0.433
-2 -1 0
即：s3 3s2 2s K 0
s3 3s2 2s K 0
令：s j
[S]
j 3 3 j 2 2 j K 0
由此求得根轨迹的终点为：z1 , z2 , zm
但当n m时，只有m条根轨迹趋向于开环
零点，另外n m条根轨迹趋向于何处呢？
n m,且K
s z1 s s p1 s
z2 s zm p2 s pn
1 K
0
只有当s 时，上式可写为：
sm sn 0
即
1 snm
0
s
当 K 时，有n m条根轨迹趋于无穷远处。
3 2 K 0
3
2
0
-2
2 1.414
K 6
a 0.433 -1 0
解 得 ： 2.3
1 0
1.414
K 0 K 6
K 3
3 1.414
K 6
或用劳斯判据
Ds s3 3s2 2s K 0
s3 1
2
s2 3
K
s1 6 K 3
s0 K
稳定范围：0 K 6 临界稳定： K 6
[S] 0
3 求分离点：
根轨迹方程:
s2
K
s 1
3s 3.25
1
K s2 3s 3.25 s1
dK 2s 3s 1 s2 3s 3.25
ds
s 12
0
有：s2 2s 0.25 0
解得：s1 2.12 是根轨迹的分离点会合点 s2 0.12 舍去
4 出射角：
[S]
n4 m2 nm 2 有2条根轨迹终止于处
证明：
s s
z1 p1
s s
z2 s zm p2 s pn
1 K
当K 0时，即有
s p1 s p2 s pn 0
由此求得根轨迹的起点为：p1 , p2 , pn
当K 时，即有
s z1 s z2 s zm 0
26.6
4 26.6
[S]
p3
3
p2 z1
p1
-3 -2 -1 0
p4
4
6求根轨迹与虚轴交点
ss 3 s2 2s 2 K s 2 0
Gs
ss
K s
3s2
2
2s
2
s4 5s3 8s2 6 K s 2K 0
令s j，代入特征方程
4 j5 3 8 2 6 K j 2K 0
Apj s pj
pj s pj
i 1,2,m j 1,2,n
因此有：幅角条件
m
n
zi pj 180 2k 1
i 1
j 1
k 0,1,2,
m
Azi
幅值条件
K
i 1 n
1
Apj
j 1
可见，幅角条件与K 无关;
而幅值条件与K 有关，且K 由0 ~ 。
因 此 ， 复 平 面[ S ]上 所 有 满 足 幅 角 条 件 的点 都 是
性能分析：
0 K 7，系统稳定；
1.
K 7，系统临界稳定；
K 7，系统不稳定；
由于 GsH s 1 是复数向量。
两个向量相等的条件是幅角、幅值分别相等。 因此得到：
幅角条件: GsH s 180 2k 1 k 0,1,2 幅值条件: GsH s 1
其中
GsH s
K s z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn
式中 p1、p2 pn为系统的n个开环极点
如：s 1 j点
K
1
M
s s2
K 1s
[S]
K s s2
1 j 1 j 2
-2
0
1 j 1 j 2 2 2
K
N
K 1 2
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、根轨迹的分支数 根轨迹在[S]平面上的分支数=
闭环特征方程的阶数n
这是因为n阶特征方程对应n个特征
根，当开环增益K由0 ~ 变化时，这
进线决定。
渐进线与实轴交点的坐标为：
n
m
pj zi
a
j1
i 1
nm
渐进线与实轴正向的夹角为：
a
2k 1
nm
极点之和减去 零点之和。
k依 次 取0， 1， 2，一 直
到 获得n m个 倾角 为 止。
例1、某单位反馈系统的开环K
1s
2
开环有三个极点 p1 0, p2 1, p3 2 开环无零点
2
1
m
1
j1 d p j i1 d zi
解出d
例1、某单位反馈系统的开环传递函数为
ss
K
1s
2
Gs
1
ss
K
1s
2
[S]
K ss 1s 2
dK d ss 1s 2 0
ds ds
s 1s 2 ss 2 ss 1 0
a
-2 -1 s10
3s2 6s 2 0 解得：s1 0.423
-3
p1