武汉市2018届高中毕业生二月调研测试文科数学试题WORD版含答案
武汉市2018届高中毕业生二月调研测试文综试题(解析版)目录.ppt
• 现在生存的每一种生物，都具有与环 境相适应的形态结构、生理特征．沙 漠地区最大的特点就是缺水，叶片小， 可以减少上面部分对水分的散失，从 而适应干旱的环境；而如果叶片宽大 就会造成水分大量散失，使得植物因 缺水而死亡； 阿gh，
√
• 板根（ plank buttresses root）亦 称“板状根”，热带雨 林植物支柱根的一种形 式。 植物一般是把根系 扎进土壤，执行吸收水 分、养分、供应地上部 分茎干、枝叶生长的功 能，也起着承受地上部 分重力的支撑作用。 阿gh，
换算成今天的里(500米)，需乘以115.2%。
可得从崇安县到恰克图的全部路程共计
4981公里，9962里。真的是“万里茶”啊
！
阿gh，
• 运输方式 的变化：
• 以船运为 主——骡 马车为主 ——以骆 驼运输为 主；
阿gh，
D • 8.图中晋商开辟的万里茶道中，行程最为艰 难的一段是( )
• A.武汉——太原
阿gh，
万里茶道
• 起初，晋商主要采买福建武夷山的茶叶，茶市设 在福建崇安的下梅镇，运至铅山的河口镇，再水 运经信江、鄱阳湖、九江至汉口集中再北运；
• 清咸丰年间受太平天国兵火影响，茶路一度中断 数年，精明的晋商改为采运两湖茶。以湖南的安 化，临湘的聂家市的茶，就地加工成茶砖，由陆 水湖运至汉口集中，溯襄河至樊城，然后舍舟登 陆，改用畜驮车运，经河南唐河、社旗，从洛阳 过黄河，过晋城、长治、太原、大同至张家口， 或从晋北的玉右杀虎口入内蒙古的归化（今呼和 浩特），再由旅蒙晋商换作驼队在荒原沙漠中跋 涉1000多公里，至中俄阿gh，边境口岸恰克图交易。
万里茶道
• 恰克图茶道的路程是这样福建崇安(今武夷山
市——江西铅山县河口(陆路210里)一江西
武汉市2018届高三二月调考数学试卷分析
• 文第４理第5，16，18题涉及立体几何知识，具体 包括三视图，空间线面关系，空间几何体的体积， 点到平面的距离的计算；函数最值求解，文第 10,15,17题理第7,16，17题涉及三角函数，具体内 容包括解三角形，三角函数图象与性质，三角恒等 变形；文第7,12,16,21理,6,15,20,22题涉及解析几 何，具体内容包括直线与圆，平面向量，圆锥曲线 等；文第13,19题理8,13，19题涉及概率统计随机 变量分布列，二项式定理。具体内容包括古典概率 ，互斥事件的概率加法公式（对立事件概率公式） ，样本的数字特征等；第22,23题分别是关于坐标 系与参数方程以及不等式选讲的选做题。
文科第16题如果选取圆Ｃ上的两个特殊点 （0，0），（－8，0）就可以很快地求出Ｂ点 坐标，体现了特殊与一般的数学思想。 理科第15题考查了直线与圆的位置关系，切 割线定理， 柯西不等式的应用， 整合思想， 数形结合思想，化归与转化思想， 综合分析 能力，数据处理能力，应用创新意识；第19题 体现了统计与概率的数学思想；文科第20题理 科第11,12，21题体现了分类与整合的数学思 想，函数与方程的思想，可通过先分离变量， 用导数工具研究函数的最值解决问题。
• ２．注重数学思想方法的考查 • 经过高三第一轮的总复习，如何有效地将不同 数学能力的学生区分开，就要看学生运用数学 知识解决数学问题的能力了。在考试过程中就 要看学生运用基本的数学思想，恰当地选择解 题方法，解题方法选择表现出学生思维水平。 • 文科第12题，理科第9，10题先将向量问题坐 标化，就可以看出问题本质上是向量的模与不 等式应用或函数的最小值问题，体现了数形结 合的数学思想；转化与化归的数学思想；
武汉市2018届高中毕业生二月调研考试
数学试卷分析
湖北省武汉市2024届高中毕业班二月调研考试数学试题含答案解析
武汉市2024届高中毕业生二月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2024.2.28本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2210A x x x =+-<，(){}2lg 1B y y x ==+，则A B = （）A.(]1,0- B.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1,02⎛⎤-⎥⎝⎦D.[)0,12.复数z 满足2352i z z +=-，则z =（）A.B.2C.D.3.已知1ab ≠，log 2a m =，log 3b m =，则log ab m =（）A.16B.15C.56D.654.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）A .7B.8C.9D.105.设抛物线22y x =的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠=︒，则PQ =（）A.23B.33C.34D.326.法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n 层薄膜，记光波的初始功率为0P ，记k P 为光波经过第k 层薄膜后的功率，假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率112k k k k P T P -==，其中1k =，2，3…n ，为使得202402n P P -≥，则n 的最大值为（）A.31B.32C.63D.647.如图，在函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象中，若TA AB =，则点A 的纵坐标为（）A.222-B.12-C.D.28.在三棱锥-P ABC中，AB =1PC =，4PA PB +=，2CA CB -=，且PC AB ⊥，则二面角P AB C --的余弦值的最小值为（）A.3B.34C.12D.105二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知向量()cos ,sin a θθ=，()3,4b =- ，则（）A.若//a b，则4tan 3θ=-B.若a b ⊥，则3sin 5θ=C.a b - 的最大值为6 D.若()0a a b ⋅-=，则a b -=10.将两个各棱长均为1的正三棱锥D ABC -和E ABC -的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A.该几何体的表面积为332B.该几何体的体积为6C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D.直线//AD 平面BCE11.已知函数()()1e 1ln e 11xx x f x a x +⎛⎫=+-+ ⎪-⎝⎭恰有三个零点，设其由小到大分别为123,,x x x ，则（）A.实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1230x x x ++=C.函数()()()g x f x kf x =+-可能有四个零点D.()()331e x f x f x '='三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在ABC 中，其内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3π4B =，6b =，22a c +=，则ABC 的面积为__________．13.设椭圆22195x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过点2F 的直线与该椭圆交于A ，B 两点，若线段2AF 的中垂线过点1F ，则2BF =__________．14.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.各项均不为0的数列{}n a 对任意正整数n 满足：122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-．（1）若{}n a 为等差数列，求1a ；（2）若127a =-，求{}n a 的前n 项和n S ．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA PB =，DA DB ==，2AB =，1PD =，点E ，F 分别为AB 和PB的中点．（1）证明：CF PE ⊥；（2）若1PE =，求直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值．17.随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．年月2023年82023年92023年102023年112023年122024年1月月月月月月月份编号x 123456销售金额y ／万元15.425.435.485.4155.4195.4若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：（1）试求变量y 与x 的样本相关系数r （结果精确到0.01）；（2）试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．附：经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-，样本相关系数()()nniii ix x y y x y nxyr---=∑∑参考数据：612463.4iii x y==∑=18.已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．19.已知函数()e 1x f x x-=．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：()f x 是其定义域上的增函数；（3）若()xf x a >，其中0a >且1a ≠，求实数a 的值．武汉市2024届高中毕业生二月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2024.2.28本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2210A x x x =+-<，(){}2lg 1B y y x ==+，则A B = （）A.(]1,0- B.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1,02⎛⎤-⎥⎝⎦D.[)0,1【答案】B 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，对数函数的值域，集合的交集运算得到结果即可.【详解】集合{}21210|12A x x x x x ⎧⎫=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭，因为211x +≥，所以()2lg 10x +≥，所以集合(){}{}2lg 1|0B y y x y y ==+=≥，所以10,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，故选：B.2.复数z 满足2352i z z +=-，则z =（）A.B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】首先待定结合复数相等求得,x y ，结合模长公式即可求解.【详解】由题意不妨设i,,R z x y x y =+∈，所以()()2323552i i i i z z x y x y y x ++=+=-=--，所以55,2x y =-=-，解得1,2x y ==，所以z ==.故选：C.3.已知1ab ≠，log 2a m =，log 3b m =，则log ab m =（）A.16B.15C.56 D.65【答案】D 【解析】【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.【详解】由换底公式得，11log log 2m a a m ==，11log log 3b m b m ==，所以116log log log log 5ab m m m m ab a b ===+.故选：D.4.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【分析】先将红球从数量分成()0,1,2，()1,1,1两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，将两类情况的方法总数相加即可.【详解】将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，则有()0,1,2，()1,1,1两种组合形式，当红球分组形式为()0,1,2时，将红球放入三个不同的袋中有333216A =⨯⨯=放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可.当红球分组形式为()1,1,1时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可.综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，不同的装法种数为617+=种.故选：A.5.设抛物线22y x =的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠=︒，则PQ =（）A.23B.33C.34D.32【答案】A 【解析】【分析】由题意得30QFM ∠= ，结合正切定义以及1FM =可得QF ，进一步即可求解.【详解】如图所示：M 为准线与x 轴的交点，因为30PQF ∠=︒，且PF PQ =，所以30,120PFQ QPF ∠=︒∠=︒，因为//FM PQ ，所以30QFM ∠= ，而3tan 3013QM QM QM MF====，所以233QF =，所以2cos302323QF PF PQ ==÷=÷= .故选：A.6.法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n 层薄膜，记光波的初始功率为0P ，记k P 为光波经过第k 层薄膜后的功率，假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率112k k k k P T P -==，其中1k =，2，3…n ，为使得202402n P P -≥，则n 的最大值为（）A.31B.32C.63D.64【答案】C 【解析】【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得()2024102122nn n P P -+=≥，进一步得()14048n n +≤，结合数列单调性即可得解.【详解】由题意111120111,,,222n n n n n n P P P P P P ----=== ，所以()20241102111122222n n n n n P P --+=⨯⨯⨯=≥ ，所以()120242n n +≤，即()14048n n +≤，显然()()1f n n n =+关于n 单调递增，其中*N n ∈，又()()6340324048644160f f =<<=，所以n 的最大值为63.故选：C.7.如图，在函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象中，若TA AB =，则点A 的纵坐标为（）A.222-B.12-C.D.2【答案】B 【解析】【分析】由题意首先得3π,02T ϕωω⎛⎫- ⎪⎝⎭，进一步得由TA AB = 得21213π222x x y y ϕωω⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式即可求解.【详解】由题意3π2x ωϕ+=，则3π2x ϕωω=-，所以3π,02T ϕωω⎛⎫-⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，因为TA AB =，所以21213π222x x y y ϕωω⎧+-⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21213π222x x y y ϕωω⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，所以()122113π3π22sin 2222y y f x f x x ϕωϕωω⎛⎫⎛⎫===-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22111cos 2212sin 12x x y ωϕωϕ=+=-+=-，所以2112210y y +-=，又由图可知10y >，所以1312y -=.故选：B.8.在三棱锥-P ABC中，AB =1PC =，4PA PB +=，2CA CB -=，且PC AB ⊥，则二面角P AB C --的余弦值的最小值为（）A.3B.34C.12D.5【答案】A 【解析】【分析】首先得,P A 的轨迹方程，进一步作二面角P AB C --的平面角为PHC ∠，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件.【详解】因为42PA PB a +==，所以2a =，点P 的轨迹方程为22142x y +=（椭球），又因为2CA CB -=，所以点A 的轨迹方程为221x y -=，（双曲线的一支）过点P 作,PH AB AB PC ⊥⊥，而,,PH PC P PF PC ⋂=⊂面PHC ，所以AB ⊥面PHC ，设O 为AB 中点，则二面角P AB C --为PHC ∠，所以不妨设π2cos ,0,,,2OH PH CH θθθ⎛⎤=∈== ⎥⎝⎦，所以2222cos 2PHC ∠=⋅所以()()222221sin 1cos 2sin 34sin PHC θθθ-∠=⋅-，令21sin ,01t t θ-=<<，所以()()()()222222221sin 1112cos 2214129sin 34sin 1412t t PHC t t t t θθθ-∠=⋅=⋅≥⋅=----+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当221sin 5t θ==-，所以当且仅当1510sin ,cos 55θθ==时，()min2cos 3PHC ∠=.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知向量()cos ,sin a θθ=，()3,4b =- ，则（）A.若//a b，则4tan 3θ=-B.若a b ⊥，则3sin 5θ=C.a b -的最大值为6 D.若()0a a b ⋅-=，则a b -=【答案】ACD 【解析】【分析】根据//a b ，有4cos 3sin θθ=-，可判断A 选项；根据a b ⊥ ，得3cos 4sin 0θθ-+=，可判断B 选项；根据向量减法三角形法则有6a b a b -≤+=，分别求出a ，b ，有a ，b 反向时a b -取得最大值，根据向量的几何意义判断C 选项；根据()0a a b ⋅-= ，得4sin 3cos 1θθ-=，又a b -=，可计算a b -，从而判断D 选项.【详解】若//a b ，则4cos 3sin θθ=-，解得4tan 3θ=-，A 正确；若a b ⊥，则3cos 4sin 0θθ-+=，解得3tan 4θ=，所以3sin 5θ=±，B 错误；因为1a == ，5b == ，而6a b a b -≤+= ，当且仅当a ，b 反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量a ，b的起点为坐标原点，向量a的终点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上，向量()3,4b =- 终点在第二象限，当a ，b反向，则向量()cos ,sin a θθ=的终点应在第四象限，此时3cos 5θ=，4sin 5θ=-，所以C 正确；若()0a a b ⋅-=，则()()cos cos 3sin sin 40θθθθ++-=，即22cos 3cos sin 4sin 0θθθθ++-=，所以4sin 3cos 1θθ-=，a b -=，所以a b -==，D 正确.故选：ACD10.将两个各棱长均为1的正三棱锥D ABC -和E ABC -的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A.该几何体的表面积为2B.该几何体的体积为6C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D.直线//AD 平面BCE 【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B ，首先求得D ABC V -，进一步即可验算；对于C ，证明面ADE ⊥面ABC 即可判断；对于D ，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可.【详解】对于A ，13311224ABD S =⨯⨯⨯= ，所以表面积为642⨯=，故A 对；对于B ，如图所示：设点D 在平面ABC 内的投影为O ，M 为BC 的中点，则由对称性可知O 为三角形ABC 的重心，所以223313323AO AM ==⨯⨯=，又因为1AD =，所以正三棱锥D ABC -的高为63DO ==，所以题图所示几何体的体积为1632223346D ABCV V -==⨯⨯⨯=，故B 错；对于C ，由B 选项可知DO ⊥面ABC ，由对称性可知,,D O E 三点共线，所以DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADE ，所以面ADE ⊥面ABC ，故C 正确；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系：其中Ox 轴平行BC ，因为3333,3236AO OM ==-=，所以()13136136,,0,,,0,0,0,,1,0,0,,,26263263B C E BC BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，设平面BCE 的法向量为(),,n x y z = ，所以01360263x x y z -=⎧⎪⎨---=⎪⎩，不妨取1z =，解得22,0y x =-=，所以取()0,2,1n =-，又36360,,0,0,0,,0,,3333A D AD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而26660333AD n =-+-⋅=≠ ，所以直线AD 与平面BCE 不平行，故D 错.故选：AC.11.已知函数()()1e 1ln e 11xxx f x a x +⎛⎫=+-+⎪-⎝⎭恰有三个零点，设其由小到大分别为123,,x x x ，则（）A.实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1230x x x ++=C.函数()()()g x f x kf x =+-可能有四个零点D.()()331e x f x f x '='【答案】BCD 【解析】【分析】对于B ，()()00f x h x =⇔=，证明函数()11eln 1e 1xxx h x a x +-⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭是奇函数即可；对于C ，将方程等价变形为11e ln 101e 1e xx xx k a x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+-=⎢ ⎪⎥ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由此即可判断；对于D ，由13x x =-，而()()()()333331e e x x f x f x f x f x ''='=⇔-'，进一步求导运算即可；对于A ，通过构造函数可得()()100202p a m <'=='<，由此即可判断.【详解】对于B ，()11e0ln 01e 1xxx f x a x +-⎛⎫=⇔+= ⎪-+⎝⎭，设()11eln 1e 1xxx h x a x +-⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭，则它的定义域为()1,1-，它关于原点对称，且()()11e 11e ln ln 1e 11e 1x xx xx x h x a a h x x x --⎛⎫--+-⎛⎫⎛⎫-=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h x 是奇函数，由题意()0h x =有三个根123,,x x x ，则1230x x x ++=，故B 正确；对于C ，由()()()()110e 1ln e 1e 1ln e 1011x xx x x x f x kf x a a x x --⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+-=⇒+-+++-+= ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()1ln 11e 1e 1ln 01e 1e e 1e x x x xx x x x x a k a x ⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥+---⎛⎫⎝⎭⎢⎥++-= ⎪-++⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以11e11e ln ln 1e 1e1e 1xxx xx x k x a a x x ⎡⎤+-+-⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎢ ⎪⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即11e ln 101e 1e xx xx k a x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+-=⎢ ⎪⎥ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦已经有3个实根123,,x x x ，当0k >时，令10ex k-=，则ln x k =，只需保证123ln ,,k x x x ≠可使得方程有4个实根，故C 正确；由B 可知，13x x =-，而()()()()333331e e x x f x f x f x f x ''='=⇔-'，又()()()()333322331122e lne 1e ,e ln e 111111x x x x xx x f x a a f x a a x x x x ''-+=++--=++---+-，所以()()3333323312e lne 1e 11xx x x f x a a x x +++--'=-()333333233331112lne 11e ln ln e 11111x x x x x x a a a a x x x x -+-=++-+--++--+()()()333333331e e 1lne 1e 1x x x x xf x a f x x +=-++-+='--'，故D 正确；对于A ，11e ln 1e 1x x x a x +-⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，设()()11e ln ,1e 1x xx p x a m x x +-⎛⎫==- ⎪-+⎝⎭，则()()()2222e ,1e 1xx a p x m x x ''==-+，所以()()102,02p a m ==''，从而1102,024a a <<<<，故A 错误.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：判断B 选项的关键是发现()()00f x h x =⇔=，进一步只需验证()h x 是奇函数即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在ABC 中，其内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3π4B =，6b =，22a c +=，则ABC 的面积为__________．【答案】3【解析】【分析】根据3π4B =，6b =，22a c +=，利用余弦定理求得ac =三角形面积公式求解.【详解】解：在ABC 中，3π4B =，6b =，22a c +=，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，43π2cosac =-=，解得ac =所以31sin 12222ABC B S ac ==⨯= ，故答案为：313.设椭圆22195x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过点2F 的直线与该椭圆交于A ，B 两点，若线段2AF 的中垂线过点1F ，则2BF =__________．【答案】107【解析】【分析】由椭圆方程确定a ，b ，c 的值，结合已知条件及椭圆定义求出22AF =，在12Rt F F M 中，求出212121cos 4F M F F M F F ∠==，由诱导公式求出121cos 4F F B ∠=-，设2BF m =，则16BF m =-，在12F F B △中由余弦定理构造方程()22166184m m m+--=-，解出m 值即可.【详解】设线段2AF 的中垂线与2AF 相交于点M ，由椭圆22195x y +=方程可知，3a =，b =，2c =；由已知有：11224AF F F c ===，点A 在椭圆上，根据椭圆定义有：1226AF AF a +==，所以22AF =，21AM MF ==，在12Rt F F M 中，212121cos 4F M F F M F F ∠==，1212πF F M F F B ∠+∠=，121cos 4F F B ∠=-，点B 在椭圆上，根据椭圆定义有：1226BF BF a +==，设2BF m =，则16BF m =-，124F F =，在12F F B △中由余弦定理有：()222221221121221661cos 284m m F F BF BF F F B F F BF m+--+-∠===-⋅,解得107m =，即2107BF =.故答案为：10714.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．【答案】1013【解析】【分析】定义从i 出发最终从1号口出的概率为i P ，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.【详解】设从i 出发最终从1号口出的概率为iP ，所以122131232213311110333612P P P P P P P P P ⎧=+⎪⎪⎪=++=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得11013P =.故答案为：1013.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.各项均不为0的数列{}n a 对任意正整数n 满足：122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-．（1）若{}n a 为等差数列，求1a ；（2）若127a =-，求{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）112a =（2）23367n S n n =-+【解析】【分析】（1）由递推关系首先得1111112,222n n n n n n a a n a a a a +++=-⇒-=≥，进一步结合已知{}n a 为等差数列，并在已知式子中令1n =，即可得解.（2）由（1）得*2,N n n ≥∈时，数列是等差数列，故首先求得2a 的值，进一步分类讨论即可求解.【小问1详解】由题意122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-，当*2,N n n ≥∈时，12231111112n n na a a a a a a -++⋯+=-，两式相减得1111112,222n n n n n n a a n a a a a +++=-⇒-=≥，因为{}n a 为等差数列，在式子：12231111112n n na a a a a a a -++⋯+=-中令1n =，得1221112a a a =-，所以21112a a =+，所以2111111222a a a a a -=+-=⇒=-或112a =，若12a =-，则20a =，但这与0n a ≠矛盾，舍去，所以112a =.【小问2详解】因为127a =-，所以271322a =-+=-，而当*2,N n n ≥∈时，12n n a a +-=，所以此时()32227n a n n =-+-=-，所以此时()()213272336727n n n S n n --+-=-+=-+，而1n =也满足上式，综上所述，{}n a 的前n 项和23367n S n n =-+.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA PB =，DA DB ==，2AB =，1PD =，点E ，F 分别为AB 和PB的中点．（1）证明：CF PE ⊥；（2）若1PE =，求直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）277【解析】【分析】（1）取PE 的中点G ，通过证明PE ⊥平面CDGF ，再由线面垂直的性质定理即可得到结果.（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求线面角的公式即可得到结果.【小问1详解】取PE 的中点G ，连接,DG FG ,由2DA DB AB ===，易知DAB 为等腰直角三角形，此时1DE =，又1PD =，所以PE DG ⊥.因为PA PB =,所以PE AB ⊥，由//FG EB ，即//FG AB ，所以PE FG ⊥，此时，////CD AB FG ,有,,,C D G F 四点共面，FG DG G = ,所以PE ⊥平面CDGF ，又CF ⊂平面CDGF ，所以CF PE ⊥.【小问2详解】由,,AB PE AB DE ⊥⊥且PE DE E = ,所以AB ⊥平面PDE .由1PE DE PD ===，得PDE △为等边三角形，以E 为原点，,EB ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，过E 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()131130,,,0,1,0,1,0,0,2,1,0,,,22244P D B C F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()10,,,1,1,0,22DP DB ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面PBD 的法向量(),,n x y z = 由00n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即130220y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，取1z =，)n = ，又33,,244FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线CF 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,7n FC n FC n FCθ⋅====⋅,所以直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值为277.17.随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份编号x 123456销售金额y ／万元15.425.435.485.4155.4195.4若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：（1）试求变量y 与x 的样本相关系数r （结果精确到0.01）；（2）试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．附：经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y yx y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-，样本相关系数()()nniii ixx y y x ynxyr ---=∑∑参考数据：612463.4iii x y==∑=【答案】17.0.9618.38.348.7y x =-，219.4万元【分析】（1）由题意根据参考公式线分别算得,x y 以及62216i i x x =-∑，进一步代入相关系数公式即可求解；（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得 ˆ,ba ，由此即可得经验回归方程并预测.【小问1详解】123456715.425.435.485.4155.4195.4,85.4626x y ++++++++++====，6221496149162536617.54ii x x =-=+++++-⨯=∑，所以6762463.4685.467020.962035i ix y xyr --⨯⨯=≈⨯∑.【小问2详解】由题意122166762463.4685.42ˆ38.317.56i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯==≈-∑∑，所以 785.438.348.72a=-⨯=-，所以y 关于x 的经验回归方程为38.348.7y x =-，所以预测2024年2月份该公司的销售金额为38.3748.7219.4y =⨯-=万元.18.已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．【答案】（1）2213y x -=（2）证明过程见解析【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合,,a b c 之间的平方关系即可求解；（2）设直线AB 的方程为2x my =+，()()()11221,,,,2,0A x y B x y F -，联立双曲线方程结合韦达定理得()121234my y y y =-+，用m 以及,A B 的坐标表示出点P 以及PB 的方程，根据对称性可知，只需在PB 的直线方程中，令0y =，证明相应的x 为定值即可求解.【小问1详解】由题意22222232126a b c c c a b a b a b c ⎧-==⎪⎪=⎧⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎪⎩，所以双曲线E 的标准方程为2213y x -=.【小问2详解】由题意1:2l x =，设直线AB 的方程为2x my =+，()()()11221,,,,2,0A x y B x y F -，()2222231129033x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨-=⎩，所以()()222121222912Δ14436313610,,3131mm m m y y y y m m -=--=+>=+=--，直线1AF 的方程为：()()1111512,,2222y y y x P x x ⎛⎫=+∴ ⎪ ⎪++⎝⎭，所以PB 的方程为()()12222252212y y x y x x y x -+=-+-，由对称性可知PB 过的定点一定在x 轴上，令()()2211222112212111222202524522y x y x x y x x my y x y y y y x ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒=+=++--+()()21221221324222245y my my my my y y y ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=++++-222221212122121221324628522285y m y y my my m y y my my y my y y y ⎛⎫-+++++- ⎪⎝⎭=++-12212218122285my y y my y y y --=++-，又()1221212122933112431y y m my y y y my y m ⎧=⎪⎪-⇒=-+⎨-⎪+=⎪-⎩，所以()()12212122121612661422313131385222y y y y y x y y y y y y +--=+=+=-++--，所以直线PB 过定点14,013⎛⎫⎪⎝⎭.19.已知函数()e 1x f x x-=．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：()f x 是其定义域上的增函数；（3）若()xf x a >，其中0a >且1a ≠，求实数a 的值．【答案】（1）e 2y x =+-（2）证明过程见解析（3）a =【解析】【分析】（1）首先代入1x =到函数表达式得切点坐标，求出切点处的导数值得切线斜率，由此即可得解.（2）对()f x 求导后，令()()1e 1xg x x =-+，对()g x 继续求导发现，对于任意的0x ≠有()0f x ¢>，故只需要证明0x <时，e 11xx-<，0x >时，e 11x x ->即可.（3）由（2）得1a >，进一步令e ,0k a k =>，()()1ee k xkx F x x --=--，结合题意知0x <时，()0F x <，0x >时，()0F x >，对k 分类讨论即可求解.【小问1详解】由题意()1e 1f =-，即切点为()()()2e e 11,e 1,11x x x f x k f x-+''-===，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1e 1y x =-+-，即e 2y x =+-；【小问2详解】由()()21e 1x x f x x -+'=，设()()1e 1xg x x =-+，则()e x g x x '=，所以当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()00g =，所以对于任意的0x ≠有()0g x >，即()0f x ¢>，因此()f x 在(),0∞-单调递增，在()0,∞+单调递增，即()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-，所以0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()00h x h >=，即1x e x ->，即e 11x x-<，0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00h x h >=，即1xe x ->，即e 11x x->，所以()f x 是其定义域上的增函数.【小问3详解】由（2）可知，0x <时，()1f x <，所以1x a <，故1a >，令e ,0k a k =>，()()1ee k xkx F x x --=--，由题意0x <时，()0F x <，0x >时，()0F x >，若1k ≥，则当1x >时，()()1e e 1e 0k xkx kx F x x x ---=--≤--<，不满足条件，所以01k <<，而()()()11ee 1k xkx F x k k --'=-+-，令()()G x F x '=，则()()()()221221e e e 1e k xkx kx x G x k k k k ---⎡⎤'=--=--⎣⎦，令()0G x '=，得2ln1kx k=-，()F x '在,2ln 1k k ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭单调递减，在2ln ,1k k ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭单调递增，若2ln01k k <-，则当2ln 01k x k <<-时，()()00F x F ''<=，()F x 单调递减，此时()()00F x F >=，不满足题意；若2ln01k k >-，则当02ln 1kx k <<-时，()()00F x F ''<=，()F x 单调递减，此时()()00F x F <=，不满足题意；若2ln01kk=-，则当0x <时，()()00F x F ''>=，()F x 单调递增，此时()()00F x F <=，且当0x >时，()()00F x F ''>=，()F x 单调递增，此时()()00F x F >=，满足题意，所以2ln01k k =-，解得12k =，综上所述，a =【点睛】关键点睛：第二问的关键是在得到()f x 在(),0∞-单调递增，在()0,∞+单调递增，之后还要继续说明“左边的函数值”小于“右边的函数值”，由此即可顺利得解.。
2018年高考真题——文科数学(全国卷II)+Word版含答案(K12教育文档)
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
学＠科网 1．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B = A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y =B．y = C．y = D．y =7．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A．BCD．8．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A B C D10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2C D ．112．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =,则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．50二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线2lny x=在点(1,0)处的切线方程为__________．14．若,x y满足约束条件250,230,50,x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤则z x y=+的最大值为__________．15．已知5π1tan()45α-=,则tanα=__________．16．已知圆锥的顶点为S，母线SA,SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30︒,若SAB△的面积为8，则该圆锥的体积为__________．三、解答题:共70分。
武汉市2018届高中毕业生二月调研测试文科综合试卷及参考答案(高清图片版)
此 word 下载后可自行编写武汉市 2018 届高中毕业生二月调研测试文综地理试题参照答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011答案 B A B D CB CDB A B36.(26分)1、(6水量较大 (2分) 北面高原山地阻拦冬天风，河谷海拔较低，冬天暖和，分 )，流速较快 (2 分 )；故寒冬既不结冰，也不停流。
1 月均温在0℃以上(2分)；上游山地植被覆盖好，中上游河流岩2、 (10 农作物生长分) 流域内陆形平展，土壤肥饶，土质松散，农业社会初期，简陋的农具也可耕种(2(2 分 ) ；河流众多，浇灌水源充分(2 分 )；流域内丛林覆盖率高，生态适合，环境承载力强分 )；天气暖和润湿，水热般配好(2 分 )；位于河谷盆地，北面山地气，农作物冻害少，农业生产较为稳固(2 分 )。
( 答案合理酌情给分，但不得超出此题得分)3、(10 分 ) 洛阳位于大山之下，东有嵩山，南有秦岭，西有华山，北有黄河天险，可谓天下之中，河山拱戴(2分)。
位于广川之上，面积广大，利于筑城(2 分)；流域内天气暖润湿，农耕发达，物产丰富(2 分)；城内河渠纵横，水源充分，水运便利，护城河利于防守(2 分 ) ；周边丛林茂盛，水绿山青，生态环境优秀，环境承载力大(2 分 )。
( 答案合理酌情给分，但不得超出此题得分)37.(20 分 )1、(6 分 ) 该地初春短寿植物多样性(花卉种类 ) 散布沿海拔高度变化是单峰变化规律(2 分 )；1100 米以下的沙漠草原带和2500 的高峰草甸带内的春天典型花卉类较少(2 分) ；1100 米至 2500 米之间的丛林带内的春天典型花卉种类许多(2 分)。
2、(8 分 ) 河谷地带春天典型花卉绽开时间较早(2 分)，自河谷向高海拔地域花卉绽开的时间渐渐推延(2 分 )。
主要原由是河谷地带低，入春时间较早，积雪消融较早(2 分)；自河谷向两岸山坡，海拔越高，入春时间越晚，积雪消融越晚(2 分 ) 。
湖北省武汉市武昌区2018-2019学年高二第二学期期末调研考试文科数学试题及答案word
武昌区2018-2019学年度第二学期期末调研考试高二数学（文）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|20,|33A x x B x x =-≥=-<<，则A B =I （ ） A. (]2,3 B. [)2,3 C. ()2,3 D. []2,32.计算131ii+=- ( ) A. 12i +B. 12i -+C. 12i -D. 12i --3.设,x y 满足约束条件20,320,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，则32z x y=-的最小值为（ ）A. 6-B. 4-C. 2-D. 2 4.设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A. 1,4a +B. 1,4a a ++C. 1,4D. 1,4a +5.已知偶函数()f x 的的图像经过点()2,1-，且当0a b ≤<时，不等式()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则使得()21f x ->成立的x 取值范围是（ ） A. ()0,4B. ()4,0-C. ()(),04,-∞+∞UD. ()(),40,-∞-+∞U6.已知：1:12p a -<<，[]:1,1q x ∀∈-，220,x ax --<则p 是q 成立的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件7.在长方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设,,AB a AD b ==u u u v u u u v v v 则BF =u u u v（ ）A. 3142a b -+v vB. 3142a b -vvC. 1324a b -vvD. 1324a b +vv8.已知点()2,0P 到双曲线：()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线的距离为1，则C 的离心率为（ ）A.3 3B.233C. 3D. 29.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A.13B.23C.43D. 210.已知曲线1:y cosxC=，()21C:y cosx cos32x x=-则下面的结论正确的是（）A. 把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CB. 把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CC. 把1C上个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD. 把1C上个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移6π个单位长度，得到曲线2C11.已知正三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，且该正三棱柱的底面边长为23O的表面积为（）A.53πB. 5πC.253πD. 25π12.已知()13,1,22ln,1,x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在实数(),m n m n<，满足()()f m f n=，则n m-取值范围为（）A. ()30,3e+ B. 24,1e⎡⎤-⎣⎦C. [)52ln2,4- D. 252ln2,1e⎡⎤--⎣⎦二、填空题.13.已知α为第三象限角，若tan 34a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_____．14.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______15.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．16.已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C （点B 在点A ，C 之间），若3BC =BF ，且9AB =，则p =______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，11a =，151n n a a +=+. （1）证明数列14n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设42n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.在ABC ∆中，已知()cos cos 2sin cos 0B A A C +-=. （1）求角C 的余弦值； （2）若5BC =，AB 边上的中线2CD =，求ABC ∆的面积.19.如图，三棱锥P ABC -中，2PA PB ==，25CA CB ==，22AB =，4PC =.（1）求证：AB PC ⊥；（2）求PA 与平面ABC 所成角的正弦值.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为22，焦距为2. （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.21.某工厂甲、乙两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类后销售，每件可分别获利10元，8元，6元，现从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，统计结果如图所示.（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关：一等级非一等级合计甲生产线 乙生产线 合计（2）分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断根据，说明哪条生产线的获利更稳定？ （3）将频率视为概率，用样本的频率分布估计总体分布，估计该厂产量为2000件时一等级产品的利润. 附：()2P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 22.已知函数()()ln ,bf x a x a b R x=--∈. （1）讨论函数()f x 在区间[)1,+∞上的单调性；（2）若1b =，函数()f x 恰有1x ，2x ()120x x <<两个零点，求证：122x x +>武昌区2018-2019学年度第二学期期末调研考试高二数学（文）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|20,|33A x x B x x =-≥=-<<，则A B =I （ ） A. (]2,3 B. [)2,3 C. ()2,3 D. []2,3【答案】B 【解析】 【分析】解出集合A ，然后利用交集的运算可得出集合A B I .【详解】{}{}202A x x x x =-≥=≥Q ，因此，[)2,3A B =I ，故选B.【点睛】本题考查集合的交集运算，熟悉集合间的运算律是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题． 2.计算131ii+=- ( ) A. 12i + B. 12i -+C. 12i -D. 12i --【答案】B 【解析】试题分析：()()()()1311324121112i i i ii i i i +++-+===-+--+ 考点：复数运算3.设,x y 满足约束条件20,320,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，则32z x y =-的最小值为（ ） A. 6- B. 4-C. 2-D. 2【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移目标函数所在的直线，观察目标函数所在直线在x 轴上的截距变化，找出z 取得最小值时的最优解，然后将最优解代入目标函数可得出结果． 【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线32z x y =-，当直线32z x y =-经过可行域的顶点()0,2A 时，直线32z x y =-在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 30224z =⨯-⨯=-，故选B.【点睛】本题考查线性目标函数的最值问题，一般采用平移目标函数所在直线，观察其在坐标轴上截距的变化来寻找最优解，考查数形结合的数学思想，属于中等题．4.设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A. 1,4a +B. 1,4a a ++C. 1,4D. 1,4a +【答案】A【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210 (1101010)y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．5.已知偶函数()f x 的的图像经过点()2,1-，且当0a b ≤<时，不等式()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则使得()21f x ->成立的x 取值范围是（ ） A. ()0,4B. ()4,0-C. ()(),04,-∞+∞UD. ()(),40,-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】先由题意得出函数()y f x =在[)0,+∞上单调递增，然后由偶函数的性质()()f x fx =，将不等式()()212f x f ->=-，化为()()22f x f ->，利用偶函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出2x -与2的大小关系，解出不等式即可．【详解】由于函数()y f x =是偶函数，则()()f x fx =，当0a b ≤<时，()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则0a b -<，()()0f a f b -<， 即()()f a f b <，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上单调递增，Q 函数()y f x =的图像过点()2,1-，则()21f -=，由()21f x ->，得()()22f x f ->-，由偶函数的性质得()()22fx f ->，Q 函数()y f x =在[)0,+∞上单调递增，22x ∴->，解得0x <或4x >，因此，使得不等式()21f x ->成立的x 的取值范围是()(),04,-∞+∞U ，故选C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，考查函数的单调性与奇偶性，再求解函数不等式时，要考查函数()y f x =的单调性与奇偶性，将不等式转化为()()12f x f x <，必要时要结合函数奇偶性的性质进行转化，再结合单调性得出1x 与2x 的大小或1x 与2x 的大小关系（偶函数）． 6.已知：1:12p a -<<，[]:1,1q x ∀∈-，220,x ax --<则p 是q 成立的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()22f x x ax =--，先解出命题q 中a 的取值范围，由不等式()0f x <对[]1,1x ∀∈-恒成立，得出()()1010f f ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，解出实数a 的取值范围，再由两取值范围的包含关系得出命题p 和q 的充分必要性关系．【详解】构造函数()22f x x ax =--，对[]1,1x ∀∈-，()0f x <恒成立，则()()110110f a f a ⎧-=-<⎪⎨=--<⎪⎩，解得11a -<<，()1,11,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭Q Ü，因此，p 是q 的充分但不必要条件，故选A. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性： （1）A B Ü，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）A B Ý，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件； （3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件；（4）A B ⊄，则“x A ∈”是“x B ∈”的既不充分也不必要条件．7.在长方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设,,AB a AD b ==u u u v u u u v v v 则BF =u u u v（ ）A. 3142a b -+v vB. 3142a b -vvC. 1324a b -vvD. 1324a b +vv【答案】A【解析】 【分析】由平面向量线性运算及平面向量基本定理，即可化简，得到答案． 【详解】如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得：11131-22442BF AF AB AE AB AD DE AB a b =-=-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则和平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.已知点()2,0P 到双曲线：()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线的距离为1，则C 的离心率为（ ）A.33B.333 D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用点P 到渐近线的距离为1，得出b a 的值，再由21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出双曲线C 的离心率. 【详解】双曲线C 的渐近线方程为b y x a =±，即0bx y a±=， 点()2,0P 到渐近线的距离为2211b ad b a ⨯==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得3b a =，2231b e a ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭， 因此，双曲线C 的离心率为33，故选B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，结合双曲线的渐近线，要充分利用双曲线的几何性质，结合公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求解双曲线的离心率会起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（ ）A.13B.23C.43D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由三视图得到该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1．再由棱锥体积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体，如图所示， 该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1．∴该三棱锥的体积112221323V =⨯⨯⨯⨯=． 故选B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．10.已知曲线1:y cosx C =，()21C :y cosx cos 32x x =-则下面的结论正确的是（ ） A. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CC. 把1C 上个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD. 把1C 上个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移6π个单位长度，得到曲线2C 【答案】B 【解析】 【分析】先将曲线2C 的解析式化为()cos y A x b ωϕ=++的形式，然后结合三角图象的变化规律得出由曲线1C 变化到曲线2C 的过程．【详解】()211cos cos cos cos 22y x x x x x x =+-=+-Q1cos 2112cos 22cos 2cos sin 2sin 2222233x x x x x x ππ+=+-=+=+ cos 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此，将曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π，得到曲线2C ，故选B.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，再解题时先要将函数解析式化为()sin y A x b ωϕ=++或()cos y A x b ωϕ=++的形式，结合三角函数图象的变换规律得出变换过程，同时注意变换时两个函数的名称要一致．11.已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2O 的表面积为（ ） A.53πB. 5πC.253πD. 25π【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出底面的外接圆半径r，再利用公式R=R，最后利用球体的表面积公式可计算出球O的表面积．【详解】由正弦定理可知，该正三棱柱底面的外接圆直径为22sin60r===o，3r∴=，所以，球O的半径为6R===，因此，球O的表面积为2225443Rπππ=⨯=⎝⎭，故选C.【点睛】本题考查球体表面积的计算，考查多面体的外接球的计算，在计算直棱柱和直棱锥的外接球时，若底面外接圆半径为r，高为h，可利用公式R=R，熟悉这个模型的应用，属于中等题．12.已知()13,1,22ln,1,x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在实数(),m n m n<，满足()()f m f n=，则n m-的取值范围为（）A. ()30,3e+ B. 24,1e⎡⎤-⎣⎦C. [)52ln2,4- D. 252ln2,1e⎡⎤--⎣⎦【答案】D【解析】【分析】设()()f m f n t==，得出m、n关于t的表达式，并得出t的取值范围，然后构造函数()g t n m=-，利用导数求出()g t的取值范围，即可作为n m-的取值范围．【详解】作出函数()y f x=的图象如下图所示：令()()f m f n t ==，由图象可知，当02t <≤时，直线y t =与函数()y f x =的图象有两个交点， 令()1322f m m t =+=，得23m t =-；令()ln f n n t ==，得t n e =. 由所以，()2323ttn m e t e t -=--=-+，构造函数()23tg t e t =-+，其中02t <≤，()2t g t e '=-，令()0g t '=，得ln 2t =.当0ln 2t <<时，()0g t '<；当ln 22t <≤时，()0g t '>. 所以，函数()y g t =在ln 2t =处取得极小值，亦即最小值，()()min ln 222ln 2352ln 2g t g ==-+=-，又()04g =，()221g e =-，且()()20g g >，所以，()252ln 21g t e -≤≤-，因此，n m -的取值范围是252ln 2,1e ⎡⎤--⎣⎦，故选D.【点睛】本题考查函数零点的取值范围，对于这类问题，通过要引入一个参数来表示零点，并构造有关参数的函数，利用导数求出新函数的值域来求解，考查推理分析能力，属于难题．二、填空题.13.已知α为第三象限角，若tan 34a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_____．【答案】5【解析】 【分析】先利用两角差的正切公式求出tan α，再利用同角三角函数的基本关系可求出sin α的值．【详解】由两角差的正切公式得tan tan31144tan tan 4413121tan tan44ππαππααππα⎛⎫+- ⎪⎡⎤-⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎢⎥+⨯⎛⎫⎝⎭⎣⎦++⎪⎝⎭， 由于α是第三象限角，则sin 0α<，由同角三角函数的基本关系得22sin 1tan cos 2sin cos 1sin 0αααααα⎧==⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，解得sin α=，故答案为5-【点睛】本题考查两角和差的正切公式以及同角三角函数的基本关系，灵活利用相关公式计算是解本题的关键，另外在利用同角三角函数的基本关系解题时，要注意确定角的象限，并确定所求三角函数值的正负，考查计算能力，属于中等题．14.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 【答案】13【解析】【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）； 则其概率为2163=； 故答案为13． 解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．15.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________． 【答案】43【解析】【详解】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d ，24221k d k-=≤+即3k 2≤4k ，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43. 16.已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C （点B 在点A ，C 之间），若3BC =BF ，且9AB =，则p =______． 【答案】4 【解析】 【分析】设直线l 的倾斜角为α，利用抛物线的定义并结合条件3BC BF =可求出cos α，利用同角三角函数的基本关系求出直线l 的斜率tan k α=，于此得出直线l 的方程，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理与抛物线的定义，结合弦长可求出p 的值． 【详解】如下图所示：过点B 作BD l ⊥，垂足为点D ，设直线AB 的倾斜角为锐角α，则CBD α∠=， 与抛物线的定义得BF BD =，所以，1cos 3BD BF BC BD α===，22sin 1cos 3αα∴=-=，sin tan 22cos ααα== 又知抛物线E 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以，直线AB 的方程为222p y x ⎫=-⎪⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线E的方程联立222p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩， 消去y 并整理得22450x px p -+=，由韦达定理得1254p x x +=， 由抛物线的定义可得12994pAB x x p =++==，解得4p =，故答案为4. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及抛物线的焦点弦长的计算，在抛物线的焦点弦长的计算，常用办法就是将直线与抛物线的方程联立，结合韦达定理与抛物线的定义求解，在求解时，适当分析抛物线的几何性质，寻找边与角的关系，可以简化计算．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，11a =，151n n a a +=+. （1）证明数列14n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设42n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析， 5144n n a =- (2) 1215544n n T n +=⨯-+【解析】 【分析】（1）将递推公式代入代数式11414n n a a +++，证明该代数式为非零常数，可证明数列14n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，确定该数列的首项和公式，可求出数列14n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式，于此可得出数列{}n a 的通项公式； （2）先求出数列{}n b 的通项公式，然后利用分组求和法求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）151n n a a +=+Q ，11115514445111444n n n n n n a a a a a a +⎛⎫++++ ⎪⎝⎭∴===+++，且11151444a +=+=， 所以，数列14n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以54为首项，以5为公比的等比数列，11555444nn n a -∴+=⋅=，514n n a -∴=； （2）()5142425214n n n n b a n n n -=+=⋅+=+-Q ，所以，()()()12125153521nn n T b b b n ⎡⎤=+++=++++++-⎣⎦L L()()125551321nn =+++++++-⎡⎤⎣⎦L L()()12515121551524n n n n n+-+--=+=+-. 【点睛】本题第（1）问考查等比数列的证明，一般利用等比数列的定义来证明，第（2）问考查数列求和问题，求和时要结合数列通项的结构合理选择求和方法进行计算，考查计算能力，属于中等题． 18.在ABC ∆中，已知()cos cos 2sin cos 0B A A C +-=. （1）求角C 的余弦值； （2）若BC =，AB边上的中线CD =，求ABC ∆的面积.【答案】(1) cos 5C = (2)1 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin 2cos C C =，根据同角三角函数基本关系式可求cos C 的值．（2）由已知2CA CB CD +=u u u r u u u r u u u r，两边平方，利用平面向量的运算可求CA 的值，根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）因为()()cos cos 2sin cos 0A C A A C -++-=，所以()sin sin 2cos 0A C C -=， 即sin 2cos C C =，由三角函数的基本关系式，可得221cos 4cos C C -=，解得cos 5C =． （2）因为2CA CB CD +=u u u r u u u r u u u r，所以2222cos 4CA CB CA CB C CD ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以25425CA CA ++⨯=⨯，解得1CA =．所以1sin 12ABC S CA CB C ∆=⋅=． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量的运算，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．19.如图，三棱锥P ABC -中，2PA PB ==，25CA CB ==，22AB =，4PC =.（1）求证：AB PC ⊥；（2）求PA 与平面ABC 所成角的正弦值. 【答案】(1)见证明；(2) 23【解析】 【分析】（1）取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，利用三角形三线合一得出AB PD ⊥，AB CD ⊥，由直线与平面垂直的判定定理得出AB ⊥平面PCD ，于是得出AB PC ⊥；（2）作PO CD ⊥于点O ，由AB ⊥平面PCD ，得出平面PCD ⊥平面ABC ，再由平面与平面垂直的性质定理得出PO ⊥平面ABC ，于是得出PA 与平面ABC 所成的角为PAO ∠，然后在Rt PAO ∆内计算sin PAO ∠即可．【详解】（1）取AB 的中点D ，连结PD ，CD .因为PA PB =，CA CB =，所以AB PD ⊥，AB CD ⊥，所以AB ⊥平面PCD ， 因为PC ⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥； （2）作PO CD ⊥交CD 于O ，连结AO .因为AB ⊥平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ， 所以PAO ∠是所求PA 与平面ABC 所成的角. 在Rt PCD ∆中，求得43PO =，所以2sin 3PO PAO PA ∠==. 【点睛】本题第（1）问考查直线与直线垂直，要通过证明直线与平面垂直得出，证明时要严格根据判定定理得到，第（2）问考查直线与平面所成的角，求解时遵循“一作、二证、三计算”的原则，都是常考问题，属于中等题．20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，焦距为2. （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.【答案】(1) 2212x y += (2) 10x y -+=或10x y ++=.【解析】 【分析】（1）由离心率合焦距可得出a 、c 的值，可求出b 的值，于是可得出椭圆E 的方程； （2）设直线l 的方程为1x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，于是得出ABC ∆的面积为1212ABC S OF y y ∆=⋅-，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，将韦达定理代入ABC ∆的面积表达式可求出m 的值，从而可得出直线l 的方程．【详解】（1）由2c a =，22c =，222a b c =+，解得a =1b = 所以，椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设过()1,0F -的直线方程为1x my =-，代入椭圆E 的方程，化简得()222210m y my +--=，显然0∆>. 设()12,A x x ,()12,B x x ，则12222m y y m +=+,12212y y m -=+从而() ()2212222221242222mmy ym m m+⎛⎫-=+=⎪++⎝⎭+.所以()()212222112232OABmS OF y ym∆+=⋅-==+，解得1m=±，所以直线l的方程为10x y-+=或10x y++=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆中的面积问题，在求解直线与圆锥曲线的综合问题时，一般采用将直线与圆锥曲线方程联立的方法，结合韦达定理求解，易错点就是计算量大，所以在计算中充分运用一些运算技巧，简化计算．21.某工厂甲、乙两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类后销售，每件可分别获利10元，8元，6元，现从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，统计结果如图所示.（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关：一等级非一等级合计甲生产线乙生产线合计（2）分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断根据，说明哪条生产线的获利更稳定？（3）将频率视为概率，用样本的频率分布估计总体分布，估计该厂产量为2000件时一等级产品的利润. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 【答案】(1)见解析；(2) 甲生产线方差21 1.6s = ；乙生产线22 2.36s =甲生产线的获利更稳定(3)5500元【解析】 【分析】（1）根据题中相关信息填写22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，利用临界值表找出犯错误的概率，就可对题中结论进行正误判断；（2）计算出甲、乙两条生产线的方差，比较两方差的大小，选择方差较小的生产线获利更稳定； （3）先在条形统计图中找出该厂生产的一等级产品的频率，再用2000乘以频率乘以单件利润可得出总利润．【详解】（1）填表如下：由计算可得2K 的观测值为()220020653580 5.643 6.63555145100100k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以，没有99%以上的把握认为一等级产品与生产线有关 （2）甲生产线抽取的100件产品获利的平均数为()1110208606208100x =⨯⨯+⨯+⨯=（元）， 获利方差为()()()2222111082088606820 1.6100s ⎡⎤=⨯-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦； 乙生产线抽取的100件产品获利的平均数为()2110358406258.2100x =⨯⨯+⨯+⨯=（元）， 获利方差为()()()222221108.23588.24068.225 2.36100s ⎡⎤=⨯-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦. 因为2212s s <，所以甲生产线的获利更稳定；（3）该工厂生产产品为一等级的概率估计值为20351120040+=， 所以，当产量为2000件时一等级产品的利润为11200010550040⨯⨯=（元）. 【点睛】本题考查独立性检验、考查方差的计算以及条形统计图的应用，解题的关键就是对题中数据的收集与应用，并利用相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题． 22.已知函数()()ln ,bf x a x a b R x=--∈. （1）讨论函数()f x 在区间[)1,+∞上的单调性；（2）若1b =，函数()f x 恰有1x ，2x ()120x x <<两个零点，求证：122x x +> 【答案】（1）当1b ≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递减； 当1b >时，函数()f x 在[)1,b 上单调递增，在(),b +∞上单调递减； （2）见证明. 【解析】 【分析】（1）求导，由()0f x '=得出x b =，对b 与[)1,+∞的位置关系进行分类讨论，结合导数的符号得出函数()y f x =的单调区间；（2）证法一：由()()120f x f x ==得出122121ln x x x x x x -=，令211x t x =>，将所证不等式转化为12ln 0t t t -->对1t ∀>恒成立，然后构造函数()12ln g t t t t=--，利用导数证明()0g t >对1t ∀>恒成立即可；证法二：令1b =，先求出函数()y f x =的单调区间，并构造函数()()()2g x f x f x =--，利用导数求出函数()y g x =的单调性，由()20g x >，得出()()()1222f x f x f x =>-，再结合函数()y f x =的单调性即可证明所证不等式． 【详解】（1）因为()ln b f x a x x =--，所以()221'b b xf x x x x-=-=. 当1b ≤时，()'0f x <，函数()f x 在[)1,+∞上单调递减； 当1b >时，由()'0f x >，得1x b ≤<；由()'0f x <，得x b >. 所以，函数()f x 在[)1,b 上单调递增，在(),b +∞上单调递减； （2）方法一：由()()120f x f x ==，得121211ln ln a x a x x x --=--， 化简得212121ln x x x x x x -=. 令211x t x =>，则11ln t t tx -=，所以11ln t x t t-=， 于是21212ln 2ln 12ln ln t tt t t t x x t t t----+-==. 记()12ln g t t t t =--，则()()221'0t g t t -=≥，所以()g t 在()1,+∞递增，所以()()10g t g >=.因为1t >，lnt 0>，所以1220x x +->； 方法二：当1b =时，()1ln f x a x x =--， ()21'xf x x-=， ()f x 在()0,1上单调增，在()1,+∞上单调减.由()()120f x f x ==，则101x <<，21x > 构造函数()()()()112ln ln 22g x f x f x x x x x=--=--++--， 则()()()22241'02x g x x x -=>-，所以()g x 在()0,2单调增，且()10g =，所以，当1x >时，()0g x >，即()()2f x f x >-，因为21x >，所以()()222f x f x >-，而()()12f x f x =，所以()()122f x f x >- 因为101x <<，2021x <-<，而()f x 在()0,1上增， 所以122x x >-，即1220x x +->.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数证明不等式问题，难点在于根据所证不等式构造新函数，结合单调性进行证明，考查逻辑推理能力以及分析能力，属于难题．。
2018年湖北省武汉二中、广雅中学中考数学二模试卷(包含答案解析)
2018年湖北省武汉二中、广雅中学中考数学二模试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分）1、(3分) 某市2010年元旦这天的最高气温是8℃，最低气温是-2℃，则这天的最高气温比最低气温高（）A.10℃B.-10℃C.6℃D.-6℃2、(3分) 若代数式1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）2−xA.x＞2B.x＜2C.x≠-2D.x≠23、(3分) 运用乘法公式计算（3-a）（a+3）的结果是（）A.a2-6a+9B.a2-9C.9-a2D.a2-3a+94、(3分) 在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m个小球，其中5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为依次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：根据列表，可以估计出m的值是（）A.5B.10C.15D.205、(3分) 下列计算正确的是（）A.x2+2x=3x2B.x6÷x2=x3C.x2•（2x3）=2x5D.（3x2）2=6x26、(3分) 已知点A（-2，4）关于y轴对称的点的坐标是（）A.（-2，-4）B.（ 2，-4）C.（2，4）D.（-2，4）7、(3分) 有个零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的主视图是（）A. B. C. D.8、(3分) 某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示，已知这15个数据的中位数为5．这15名员工每人所创年利润的众数、平均数分别是（）A.10，5B.7，8C.5，6.5D.5，69、(3分) 如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（n）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A.n(n+1)2B.n(n+2)2C.n(n+3)2D.n(n+4)210、(3分) 如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（）A.√2B.2√2C.2D.4√3二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）11、(3分) √6+(√2−√6)=______．12、(3分) 化简1a−2-2aa 2−4的结果等于______．13、(3分) 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车先后经过这个十字路口，则至少有一辆汽车向左转的概率是______． 14、(3分) 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D′，C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于______°．15、(3分) 如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC ，∠B=90°，AD=8cm ，AB=6cm ，BC=10cm ，点Q 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动，点P 从点B 出发以2cm/s 的速度向C 点运动，P 、Q 两点同时出发，其中一点到达终点时另一点也停止运动．若DP≠DQ ，当t=______s 时，△DPQ 是等腰三角形．16、(3分) 已知抛物线y=x 2-mx-3与直线y=2x-5m 在-2≤x ＜2之间有且只有一个公共点，则m 的取值范围是______．三、计算题（本大题共 1 小题，共 8 分） 17、(8分) 解方程组：{x +2y =4x −y =1四、解答题（本大题共 7 小题，共 64 分）18、(8分) 如图，已知AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ．求证：BC=DE ．19、(10分) 武汉二中广雅中学为了进一步改进本校九年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣．校教务处在九年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查：我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A-非常喜欢”、“B-比较喜欢”、“C-不太喜欢”、“D-很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计．现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是______，图②中A所在扇形对应的圆心角是______；（3）若该校九年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？20、(8分) 某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表．（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于22万元，问工厂有哪几种生产方案？21、(8分) 如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E ． （1）求证：DE⊥AC ；（2）连接OC 交DE 于点F ，若sin∠ABC=34，求OFFC 的值．22、(10分) 在平面直角坐标系中，点A （1，0），B （0，2），将直线AB 平移与双曲线y=kx （x ＞0）在第一象限的图象交于C 、D 两点．（1）如图1，将△AOB 绕O 逆时针旋转90°得△EOF （E 与A 对应，F 与B 对应），在图1中画出旋转后的图形并直接写出E 、F 坐标； （2）若CD=2AB ，①如图2，当∠OAC=135°时，求k 的值；②如图3，作CM⊥x 轴于点M ，DN⊥y 轴于点N ，直线MN 与双曲线y=kx 有唯一公共点时，k 的值为______．23、(10分) 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CE⊥AB 于E ，BC=mAC=nDC ，D 为BC 边上一点．（1）当m=2时，直接写出CE BE =______，AEBE =______．（2）如图1，当m=2，n=3时，连DE 并延长交CA 延长线于F ，求证：EF=32DE ．（3）如图2，连AD 交CE 于G ，当AD=BD 且CG=32AE 时，求mn 的值．24、(10分) 如图，已知二次函数y=x 2-2mx+m 2+38m −14的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）当m=-2时，求四边形ADBC 的面积S ；（2）在（1）的条件下，在第二象限抛物线对称轴左侧上存在一点P ，使∠PBA=2∠BCO ，求点P 的坐标；（3）如图2，将（1）中抛物线沿直线y=38x −14向斜上方向平移√734个单位时，点E 为线段OA上一动点，EF⊥x 轴交新抛物线于点F ，延长FE 至G ，且OE•AE=FE•GE ，若△EAG 的外角平分线交点Q 在新抛物线上，求Q 点坐标．2018年湖北省武汉二中、广雅中学中考数学二模试卷【答案】A【解析】解：8-（-2）=8+2=10℃．故选：A．用最高气温减去最低气温，再根据有理数的减法运算法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”计算求解．本题利用有理数的减法运算法则求解．【第 2 题】【答案】D【解析】解：由题意，得2-x≠0，解得x≠2，故选：D．根据分母不能为零，可得答案．本题考查了分是有意义的条件，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．【第 3 题】【答案】C【解析】解：（3-a）（a+3）=32-a2=9-a2，故选：C．根据平方差公式计算可得．本题主要考查平方差公式，解题的关键是应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方．【第 4 题】【答案】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于0.5，=0.5，∴5m解得：m=10．故选：B．利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．【第 5 题】【答案】C【解析】解：A、x2与2x不是同类项，不能合并，此选项错误；B、x6÷x2=x4，此选项错误；C、x2•（2x3）=2x5，此选项正确；D、（3x2）2=9x4，此选项错误；故选：C．根据合并同类项法则、同底数幂除法、单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方分别计算可得．本题主要考查合并同类项法则、同底数幂除法、单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．【第 6 题】【答案】C【解析】解：点A（-2，4）关于y轴对称的点的坐标是：（2，4）．故选：C．直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．【第 7 题】【答案】解：从正面看一个正方形被分成三部分，两条分式是虚线，故C 正确； 故选：C ．根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从正面看得到的图形．【 第 8 题 】 【 答 案 】 D 【 解析 】解：∵这15个数据的中位数是第8个数据，且中位数为5， ∴x=5，则这15个数据为3、3、3、3、5、5、5、5、5、5、5、8、8、8、19，所以这组数据的众数为5万元，平均数为1×19+3×8+7×5+4×315=6万元，故选：D ．先根据中位数为5得出x=5，据此可得这15个数据，再利用众数和平均数的定义求解可得． 本题考查众数和中位数、平均数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数．【 第 9 题 】 【 答 案 】 C 【 解析 】解：∵第（1）个图形中面积为1的正方形有2个， 第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个， …，∴第n 个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=n(n+3)2个， 故选：C ．由第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，得第n 个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）个．此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．【 第 10 题 】【 答 案 】 C 【 解析 】解：设⊙O 与MN 相切于点K ，设正方形的边长为2a ．∵BC 、CD 、MN 是切线，∴BE=CE=CF=DF=a ，MK=ME ，NK=NF ，设MK=ME=x ，NK=NF=y ， 在Rt△CMN 中，∵MN=x+y ，CN=a-y ，CM=a-x ， ∴（x+y ）2=（a-y ）2+（a-x ）2， ∴ax+ay+xy=a 2，∵S △AMN =S 正方形ABCD -S △ABM -S △CMN -S △ADN =4，∴4a 2-12×2a×（a+x ）-12（a-x ）（a-y ）-12×2a×（a+y ）=4， ∴32a 2-12（ax+ay+xy ）=4，∴a 2=4，∴a=2或-2（负值舍去）， ∴AB=2a=4，∴⊙O 的半径为2． 故选：C ．设⊙O 与MN 相切于点K ，设正方形的边长为2a ．因为BC 、CD 、MN 是切线，可得BE=CE=CF=DF=a ，MK=ME ，NK=NF ，设MK=ME=x ，NK=NF=y ，在Rt△CMN 中，因为MN=x+y ，CN=a-y ，CM=a-x ，可得到（x+y ）2=（a-y ）2+（a-x ）2，推出ax+ay+xy=a 2，根据S △AMN =S 正方形ABCD -S △ABM -S △CMN -S △ADN ，构建方程求出a 即可解决问题．本题考查正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．【 第 11 题 】 【 答 案 】 √2 【 解析 】解：原式=√6+√2−√6 =√2故答案为：√2根据二次根式的性质即可求出答案本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．【 第 12 题 】【 答 案 】-1a+2【 解析 】解：原式=a+2(a+2)(a−2)-2a (a+2)(a−2)=2−a (a+2)(a−2)=−(a−2)(a+2)(a−2)=-1a+2，故答案为：-1a+2．根据异分母分式的加减运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握异分母分式的加减运算顺序和法则．【 第 13 题 】【 答 案 】59【 解析 】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，至少有一辆汽车向左转的有5种情况，∴至少有一辆汽车向左转的概率是：59．故答案为：59． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与至少有一辆汽车向左转的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．【 第 14 题 】【 答 案 】50【 解析 】解：∵AD∥BC ，∠EFB=65°，∴∠DEF=65°，又∵∠DEF=∠D′EF=65°，∴∠D′EF=65°，∴∠AED′=180°-65°-65°=50°．故答案是：50．先根据平行线的性质得出∠DEF 的度数，再根据翻折变换的性质得出∠D′EF 的度数，根据平角的定义即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．【 第 15 题 】【 答 案 】83或74【 解析 】解：由运动知，AQ=t ，BP=2t ，∵AD=8，BC=10，∴DQ=AD -AQ=（8-t ）（cm ），PC=BC-BP=（10-2t ）（cm ），∵△DPQ 是等腰三角形，且DQ≠DP ，∴①当DP=QP 时，∴点P 在DQ 的垂直平分线上， ∴AQ+12DQ=BP ，∴t+12（8-t ）=2t ，∴t=83， ②当DQ=PQ 时，如图，Ⅰ、过点Q 作QE⊥BC 于E ，∴∠BEQ=∠OEQ=90°，∵AD∥BC ，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，∴四边形ABEQ 是矩形，∴EQ=AB=6，BE=AQ=t ，∴PE=BP -BE=t ，在Rt△PEQ 中，PQ=√PE 2+EQ 2=√t 2+36，∵DQ=8-t∴√t 2+36=8-t ， ∴t=74，∵点P 在边BC 上，不和C 重合，∴0≤2t ＜10，∴0≤t ＜5，∴此种情况符合题意， 即t=83或74s 时，△DPQ 是等腰三角形．故答案为：83或74． 先由运动速度表示出AQ ，BP ，再分两种情况讨论计算，求出时间，判断时间是否符合题意． 主要考查了勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，关键是分情况讨论，是一道中等难度的题目．【 第 16 题 】【 答 案 】−57≤m ＜1或m=8-4√3【 解析 】解：联立{y =x 2−mx −3y =2x −5m可得：x 2-（m+2）x+5m-3=0，令y=x 2-（m+2）x+5m-3，∴抛物线y=x 2-mx-3与直线y=2x-5m 在-2≤x ＜2之间有且只有一个公共点，即y=x 2-（m+2）x+5m-3的图象在-2≤x ＜2上只有一个交点，当△=0时，即△=（m+2）2-4（5m-3）=0解得：m=8±4√3，当m=8+4√3时，x=m+22=5+2√3＞2当m=8-4√3时，x=m+22=5-2√3，满足题意，当△＞0，∴令x=-2，y=7m+5，令x=2，y=3m-3，∴（7m+5）（3m-3）＜0，∴−57＜m ＜1 令x=-2代入0=x 2-（m+2）x+5m-3解得：m=−57，此该方程的另外一个根为：−237，故m=−57也满足题意， 故m 的取值范围为：−57≤m ＜1或m=8-4√3根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案．本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于难题．【第 17 题】【答案】解：{x+2y=4①x−y=1②，①-②，得：3y=3，解得：y=1，将y=1代入①，得：x+2=4，解得：x=2，则方程组的解为{x=2 y=1．【解析】利用加减消元法求解可得．本题考查了二元一次方程的解法．解二元一次方程实际上是通过消元，将二元一次方程转化为一元一次方程，通过解一元一次方程解得原方程组的解．【第 18 题】【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，{AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴BC=DE．【解析】先求出∠BAC=∠DAE，再利用“边角边”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．【第 19 题】【答案】（1）∵被调查的学生总人数为6÷5%=120人，∴C 程度的人数为120-（18+66+6）=30人， 则A 的百分比为18120×100%=15%、B 的百分比为66120×100%=55%、C 的百分比为30120×100%=25%，补全图形如下：（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是B 、图②中A 所在扇形对应的圆心角是360°×15%=54°，故答案为：B 、54°；（3）估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有960×25%=240人．【 解析 】解：（1）根据条形统计图与扇形统计图可以得到调查的学生数，从而可以得选C 的学生数和选AB 、C 的学生所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；（2）根据（1）中补全的条形统计图可以得到众数；（3）根据（1）中补全的扇形统计图可以得到该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的人数． 本题考查众数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．【 第 20 题 】【 答 案 】解：（1）设生产A 种产品x 件，则生产B 种产品（10-x ）件，依题意得：x+3（10-x ）=14，解得 x=8，则10-x=2，答：生产A 产品8件，生产B 产品2件；（2）设生产A 产品y 件，则生产B 产品（10-y ）件{2y +5(10−y )≤44y +3(10−y )>22， 解得：2≤y ＜4．因为x 为正整数，故y=2或3；方案①，A种产品2件，则B种产品8件；方案②，A种产品3件，则B种产品7件．【解析】（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品有（10-x）件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解；（2）根据计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，这两个不等关系即可列出不等式组，求得x的范围，再根据x是非负整数，确定x的值，x的值的个数就是方案的个数．本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用．关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个等量关系列方程，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解，然后求出哪种方案获利最大从而求出来．【第 21 题】【答案】（1）证明：连接OD．∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，即∠ODE=90°．∵AB是⊙O的直径，∴O是AB的中点．又∵D是BC的中点，．∴OD∥AC．∴∠DEC=∠ODE=90°．∴DE⊥AC；（2）解：连接AD．∵OD∥AC，∴OF FC =ODEC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°．又∵D为BC的中点，∴AB=AC．∵sin∠ABC=ADAB =3 4，故设AD=3x，则AB=AC=4x，OD=2x．∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠DAC=∠EAD，∴△ADC∽△AED．∴AD AE =ACAD．∴AD2=AE•AC．∴AE=94x．∴EC=74x．∴OF FC =ODEC=87．【解析】（1）连接OD．根据三角形中位线定理判定OD是△ABC的中位线，则OD∥AC，所以∠DEC=∠ODE=90°，即DE⊥AC；（2）连接AD．通过解直角三角形得到sin∠ABC=ADAB =34，故设AD=3x，则AB=AC=4x，OD=2x；由相似三角形△ADC∽△AED的对应边成比例得到AD2=AE•AC．则AE=94x，EC=74x，所以OF FC =ODEC=87．本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．【第 22 题】【答案】（1）∵点A （1，0），B （0，2），∴OA=1，OB=2，如图1，由旋转知，∠AOE=∠BOF=90°，∴点E在y轴正半轴上，点F在x轴负半轴上，由旋转知，△EOF≌△AOB，∴OE=OA=1，OF=OB=2，∴E（0，1），F（-2，0）；（2）过点D作DG⊥x轴于G，过点C作CH⊥x轴于H，过点C作CP⊥DG于P，∴PC=GH，∠CPD=∠AOB=90°，∵CD∥AB，∴∠OAB=∠OQD，∵CP∥OQ，∴∠PCD=∠AQD，∴∠PCD=∠OAB，∵∠CPD=∠AOB=90°，∴△PCD∽△OAB，∴PC OA =PDOB=CDAB，∵OA=1，OB=2，CD=2AB，∴PC=2OA=2，PD=2OB=4，∴GH=PC=2，设D（m，n），∴C（m+2，n-4），∴CH=n-4，AH=m+2-1=m+1，∵点C，D在双曲线y=kx （x＞0）上，∴mn=k=（m+2）（n-4），∴n=2m+4（Ⅰ）①∵∠OAC=135°，∴∠CAQ=45°，∵∠OHC=90°，∴AH=CH，∴m+1=n-4（Ⅱ），联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，m=1，n=6，∴k=mn=6；②如图3，∵D（m，n），C（m+2，n-4），∴M（m+2，0），N（0，n），∵n=2m+4，∴N（0，2m+4），∴直线MN的解析式为y=-2x+2m+4（Ⅲ），∵双曲线y=kx =mnx=m(2m+4)x（Ⅳ），联立（Ⅲ）（Ⅳ）得，-2x+2m+4=m(2m+4)x，即：x2-（m+2）x+（m2+2m）=0，∴△=（m+2）2-4（m2+2m），∵直线MN与双曲线y=kx 有唯一公共点，∴△=0，∴△=（m+2）2-4（m2+2m）=0，∴m=-2（舍）或m=23，∴n=2m+4=2×23+4=163，∴k=mn=329，故答案为：329．【 解析 】解：（1）利用旋转的性质得出点E 在y 轴坐标轴上，点F 在x 轴的负半轴上，再判断出OE=1，OF=2，即可得出结论；（2）先判断出△PCD∽△OAB ，进而得出PC=2OA=2，PD=2OB=4，设出D （m ，n ），得出C （m+2，n-4），进而判断出n=2m+4；①先判断出AH=CH ，得出m+1=n-4联立即可求出m ，n 的值，即可得出结论；②先确定出直线MN 的解析式，联立得出方程x 2-（m+2）x+（m 2+2m ）=0，此方程△=0，进而求出m ，n 的值，即可得出结论．此题是反比例函数综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，一元二次方程根的判别式，平行线的性质和判定，表示出点C ，D 坐标是解本题的关键．【 第 23 题 】【 答 案 】（1）解：如图1中，当m=2时，BC=2AC ． ∵CE⊥AB ，∠ACB=90°，∴△BCE∽△CAE∽△BAC ， ∴CE EB =AC BC =AE EC =12，∴EB=2EC ，EC=2AE ， ∴AE EB =14，故答案为12，14．（2）证明：如图1-1中，作DH∥CF 交AB 于H ．∵m=2，n=3，∴BE=4AE ，BD=2CD ，设AE=a ，则BE=4a ， ∵DH∥AC ， ∴BH AH =BD CD =2， ∴AH=53a ，FH=53a-a=23a ，∵DH∥AF ， ∴EF DF =AE EH =a 23a=32，∴EF=32DF ．（3）解：如图2中，作DH⊥AB 于H ．∵∠ACB=∠CEB=90°，∴∠ACE+∠ECB=90°，∠B+∠ECB=90°， ∴∠ACE=∠B ，∵DA=DB ，∠EAG=∠B ，∴∠EAG=∠ACE ，∵∠AEG=∠AEC=90°， ∴△AEG∽△CEA ，∴AE 2=EG•EC ， ∵CG=32AE ，设CG=3a ，AE=2a ，EG=x ， 则有4a 2=x （x+3a ），解得x=a 或-4a （舍弃），∴tan∠EAG=tan∠ACE=tan∠B=EG AE =12，∴EC=4a ，EB=8a ，AB=10a ，∵DA=DB ，DH⊥AB ，∴AH=HB=5a ，∴DH=52a ，∵DH∥CE ，∴BD ：BC=DH ：CE=5：8，设BD=AD=5m ，BC=8m ，CD=3m ，在Rt△ACD 中，AC=√AD 2−CD 2=4m ，∴AC ：CD=4：3，∵mAC=nDC ，∴AC ：CD=n ：m=4：3， ∴m n =34．【 解析 】（1）利用相似三角形的性质即可解决问题；（2）如图1-1中，作DH∥CF 交AB 于H ．由m=2，n=3，推出BE=4AE ，BD=2CD ，设AE=a ，则BE=4a ，由DH∥AC ，推出BH AH =BD CD =2，推出AH=53a ，FH=53a-a=23a ，由DH∥AF ，推出EF DF =AE EH =a 23a=32； （3）如图2中，作DH⊥AB 于H ．首先证明△AEG∽△CEA ，可得AE 2=EG•EC ，由CG=32AE ，设CG=3a ，AE=2a ，EG=x ，则有4a 2=x （x+3a ），解得x=a 或-4a （舍弃），推出tan∠EAG=tan∠ACE=tan∠B=EG AE =12，推出EC=4a ，EB=8a ，AB=10a ，由DA=DB ，DH⊥AB ，推出AH=HB=5a ，推出DH=52a ，由DH∥CE ，推出BD ：BC=DH ：CE=5：8，设BD=AD=5m ，BC=8m ，CD=3m ，在Rt△ACD 中，AC=√AD 2−CD 2=4m ，可得AC ：CD=4：3，延长即可解决问题；本题考查相似三角形综合题、直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．【 第 24 题 】【 答 案 】（1）当m=-2时，得到y=x 2+4x+3=（x+2）2-1，∴顶点D （-2，-1），由x 2+4x+3=0，得x 1=-3，x 2=-1；令x=0，得y=3；∴A （-3，0），B （-1，0），C （0，3），∴A B=2 ∴S=S △ABC +S △ABD =12AB×3+12AB×1=2AB=4．（2）如图1，设点P （t ，t 2+4t+3）是第二象限抛物线对称轴左侧上一点，将△BOC 沿y 轴翻折得到△COE ，点E （1，0），连接CE ，过点B 作BF⊥CE 于F ，过点P 作PG⊥x 轴于G ，由翻折得：∠BCO=∠ECO ，∴∠BCF=2∠BCO ；∵∠PBA=2∠BCO ，∴∠PBA=∠BCF ，∵PG⊥x 轴，BF⊥CE ，∴∠PGB=∠BFC=90°， ∴△PBG∽△BCF ，∴PG BG =BF CF 由勾股定理得：BC=EC=√OE 2+OC 2=√12+32=√10， ∵CO×BE=BF×CE ∴BF =OC×BE CE =√10=3√105， ∴CF =√BC 2−BF 2=√(√10)2−(3√105)2=4√105， ∴PG BG =BF CF =34，∴4PG=3BGPG=t 2+4t+3，BG=-1-t ，∴4（t 2+4t+3）=3（-1-t ），解得：t 1=-1（不符合题意，舍去），t 2=−154；∴P （−154，3316）．（3）原抛物线y=（x+2）2-1的顶点D （-2，-1）在直线y=38x −14上， 直线y=38x −14交y 轴于点H （0，−14），如图2，过点D 作DN⊥y 轴于N ，DH=√DN 2+NH 2=√22+(34)2=√734； ∴由题意，平移后的新抛物线顶点为H （0，−14），解析式为y=x 2−14，设点E （m ，0），T （n ，0），则OE=-m ，AE=m+12，EF=14−m 2，过点Q 作QM⊥EG 于M ，QS⊥AG 于S ，QT⊥x 轴于T ，∵OE•AE=FE•GE ，∴GE=2m 2m−1，∴AG =√AE 2+EG 2=√(m +12)2+(2m2m−1)2=4m 2+12−4m∵GQ 、AQ 分别平分∠AGM ，∠GAT ，∴QM=QS=QT ， ∵点Q 在抛物线上，∴Q （n ，n 2−14）， 根据题意得：{m −n =n 2−144m 2+12−4m +12+n =n 2−14−2m 2m−1 解得：{m =−14n =−1 ∴Q （-1，34） 【 解析 】（1）当m=-2时，得到y=x 2+4x+3=（x+2）2-1，S=S △ABC +S △ABD =12AB×3+12AB×1，即可求解；（2）证明△PBG∽△BCF ，则PG BG =BF CF ，BC=EC=√OE 2+OC 2=√12+32=√10，CO×BE=BF×CE ，即可求解；（3）DH=√DN 2+NH 2=√22+(34)2=√734，而OE•AE=FE•GE ，QM=QS=QT ，即可求解． 本题考查的是二次函数综合运用，重点考查了二次函数图象平移，相似三角形，几何变换等，其中（3），GQ 、AQ 分别平分∠AGM ，∠GAT ，则QM=QS=QT ，是本题解题的关键，本题难度较大．。
湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试文科数学(解析版)
2018-2019学年湖北省武汉市高三（下）2月调研数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（3+4i）z=7+i，则z=（）A. B. C. D.2.已知集合A={x|x2-4|x|≤0}，B={x|x＞0}，则A∩B=（）A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=12，S5=90，则等差数列{a n}公差d=（）A. 2B.C. 3D. 44.执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A. 5B. 12C. 27D. 585.设向量=（1，-2），=（0，1），向量λ+与向量+3垂直，则实数λ=（）A. B. 1 C. D.6.已知α是第一象限角，sinα=，则tan=（）A. B. C. D. 7.已知函数f（x）=2sin（ωx+）在区间（0，）上单调递增，则ω的最大值为（）A. B. 1 C. 2 D. 48.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（8，0），以OA为直径的圆与直线y=2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为（）A. B. C. D.9.函数f（x）=x2-ln x的最小值为（）A. B. C. D.10.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．已知a=b，A-B=，则角C=（）A. B. C. D.11.下列说法中正确的是（）A. 事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B. 事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C. 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A关于平面BDC1对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=ln（x-x2）的定义域为______．14.已知双曲线=1（b＞0）的渐近线方程为±y=0，则b=______．15.已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______．16.如图，一边长为30cm的正方形铁皮，先将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，要使这个容器的容积最大，则等腰三角形的底边长为______（cm）．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}为正项等比数列，a1+a2=6，a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n=，且{b n}前n项和为T n，求T n．18.如图，已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，BDD1B1为矩形，平面BDD1B1⊥平面ABCD，又AB=AD=BB1=1，CD=2．（1）证明：CB1⊥AD1；（2）求B1到平面ACD1的距离．19.一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）附注：①参考数据：=14.45，=27.31=0.850，=1.042，=1.222．②参考公式：相关系数：r=．回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-20.已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）过P（1，0）作动直线AB交椭圆Γ于A，B两点，Q（4，3）为平面上一定点连接QA，QB，设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值，如果是，则求出该定值；否则，说明理由．21.已知函数f（x）=e x+1-a ln ax+a（a＞0）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．。
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武汉市2018届高中毕业生二月调研测试
文科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i 为虚数单位，若复数z 满足2zi i =+，则=z z ⋅（ ）
A ．5-
B ． 5
C ． 5i
D ． 5i -
2．已知集合221{|10},{|2}x A x x B y y -=-<==，则A B ⋂=（ ）
A ．1(1,]2-
B ．(1,)-+∞
C ． 1[,1)2
D ．1
(,1)2
3．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足7245S S -=，则5a =（ ）
A ．7
B ．9
C ．14
D ．18
4
视图均为两个边长为1的正方形，则该四棱锥的高为（ ）
A
．2
B ．1
C ．
．
5．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．已知实数,x y 满足约束条件1210y x x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．-3
C ．32
D ．1 7．已知不过坐标原点O 的直线交抛物线22y px =于,A B 两点，若直线,OA AB
的斜率分
别为2，6，则直线OB 的斜率为（ ）
A ．3
B ．2
C ．-2
D ．-3
8．给出下列两个命题：1:,3sin 4cos p x R x x ∃∈+=2:p 若2lg 2lg 0a b +=，
则2a b +≥，那么下列命题为真命题的是（ ）
A ．12p p ∧
B ．12()p p ∨⌝
C ．12p p ∨
D ．12()p p ⌝∧
9．若函数21()()21
x x f x a R +=∈-是奇函数，则使()4f x >成立x 的取值范围为（ ） A ．25(,log )3-∞ B ．2
5(log ,0)3- C ．25(0,log )3 D ．25(log ,+)3
∞ 10．在ABC ∆中，1AB =，2BC =，则角C 的取值范围是（ ） A ．(0,]6π B ．(,)42ππ C ．[,)62ππ D ．(,)62
ππ
11．如果函数21()(2)(8)1(2)2f x m x n x m =-+-+>在区间[2,1]--上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）
A ．16
B ．18
C ．25
D ．30
12．已知(0,1),A B ，O 为坐标原点，动点P 满足||2OP =，则||OA OB OP ++的最小值为（ ）
A ．2．2．7+．7-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是 ．
14．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，
254a a +=，则8a = ． 15．函数3()2sin cos f x x x =+在02
x π
≤≤上的最小值为 ． 16．已知点(20)A -，，P 为圆22:(4)16C x y ++=上任一点，若点B 满足2||||PA PB =，
则点B 的坐标为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
已知函数()sin(2)cos(2)(0||)f x x x ϕϕϕπ=++<<在[0,]4
π上单调递减，且满足()()2
f x f x π
=-． （1）求ϕ的值；
（2）将()y f x =的图象向左平移
3
π个单位后得到()y g x =的图象，求()g x 的解析式．
18．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，60PAC BAC ∠=∠=︒，4AC =，3AP =，2AB =．
（1）求三棱锥P ABC -体积；
（2）求点C 到平面PAB 的距离．
19．（本小题满分12分）
从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm ）落在各个小组的频数分布
（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[27.5,33.5)的概率；
（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据产品的频数分布，求出产品尺寸中位数的估计值．
20．（本小题满分12分）
（1）证明不等式：11ln 1(0)x x x x
-≤≤->； （2）若关于x 的不等式22(1)ln 0a x x x -+≥在01x <≤上恒成立，求实数a 的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b Γ+=>>：的左、右顶点，||4AB =
，且离心率为2
． （1）求椭圆Γ的方程；
（2）若点000(,)(0)P x y y ≠为直线4x =上任意一点，,PA PB 交椭圆Γ于,C D 两点，试问直线CD 是否恒过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos {2sin x y θθ
==（θ为参数），直线l
的参数方程为{2x t y t =+=-t 为参数），直线l 与曲线C 交于,A B 两点．
（1）求||AB 的值；
（2）若F 为曲线C 的左焦点，求FA FB ⋅的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数2
()2,()|||1|,f x x g x x a x a R =+=---∈．
（1）若4a =，求不等式()()f x g x >的解集；
（2）若对任意12,x x R ∈，不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．。