等边三角形八年级数学下学期重要考点精讲精练
全等三角形判定定理精讲精练
八年级数学学案（总第节）设计老师执教老师上课班级学生姓名教学内容全等三角形判定定理精讲精练审核教学目标全面复习全等三角形及有关性质，掌握三角形全等的判定的四个方法。
能综合运用各种判定方法来证明线段和角相等。
掌握常规的作辅助线的方法。
教学重点综合运用各种判定方法来证明线段和角相等.教学难点常规的作辅助线的方法。
教学过程教学内容及学生活动时量教师活动一．新课导入1.三角形三边关系定理：。
2.三角形的内角和及推论：。
3.三角形的外和：。
4.全等三角形的性质；5.全等三角形对应元素的寻找方法；6.全等三角形的判定（四种方法）。
分别是。
注意有边边角和角角角是不能用的。
教学内容及学生活动时量教师活动二．自主学习1、下列命题中，不正确的是（）（A）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（B）面积相等的两个直角三角形全等（C）有一边相等的两个等边三角形全等（D）有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。
2、如图，在∆ABC中，AB=AC，D、E、F依次是各边的中点，AD、BE、CF相交于G，那么图中的全等三角形共有（）（A）5对（B）6对（C）7对（D）8对2题3题3、已知：如图，∆ABC中，∠C=90︒,，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6CM，则∆DEB的周长为（）（A）4 （B）6 （C）10 （D）以上全不对三．合作交流例1已知：如图，在∆ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，且BH=AC，求∠HCD的度数。
例2已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BDABDCE12AB CDEH。
13等边和直角三角形
学科教师辅导讲义学生姓名： 年 级：八年级 课时数：3 辅导科目：数学 辅导教师： 辅导内容：等边三角形和直角三角形 辅导日期： 教学目标：1、等边三角形的性质、判定和综合运用 2、直角三角形斜边中线定理3、等边三角形与直角三角形结合综合运用【同步知识讲解】知识点1：直角三角形 知识梳理：操作：取一张直角三角形纸片，按下列步骤折叠：小结直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
应用格式：在△ABC 中，∵∠ACB ＝90o，CD 是AB 边的中线， ∴CD ＝21AB 或CD ＝AD ＝BD （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 例1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 的中线，且CD=4 cm ，则AB=_______．例2：如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，连接GF ，求证： GF ⊥DE ．知识二：等边三角形知识梳理：（1）等边三角形的性质：┌⑴└┌⑵└┐┌⑶└┐┌⑷FDEBC AQ CPAB等边三角形的三条边 ，三个角都是 ，每条边上都有三线合一，有 条对称轴 补充：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半 （2）等边三角形的3个判定方法：三条边都 的三角形是等边三角形 三个角都 的三角形是等边三角形有一个角是 的 三角形是等边三角形例1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则AC=_______．例2：如图，在等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE=____．例3：如图，正方形ABCD ，△EAD 为等边三角形，则∠EBC ＝_______．例4：如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PAPB PC ，，，以BP 为边作60PBQ ∠=，且BQ BP =，连结CQ ．观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．【精题精练精讲】专题一：等边三角形1．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为( )A．120°B．130°C．150°D．160°2．如图，等边△ABC的边长为1，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为( )A．2 B．4 C．3 D．2．53．如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高是2，则DE+DF的值为( )A．2 B．4 C．3 D．2．55．如图，在等边三角形ABC中，中线AD，BE相交于点O，图中的等腰三角形有( ) A．3个B．4个C．5个D．6个6．点P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，P关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON定是( ) A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，则∠ADB= °，∠BAD= °．8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．9．如图，等边△ABC的边长P为BC上一点，若△APD=60°，则图中相等的角(60°的角除外)是．10．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= ．11．若∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，OP1，OP2，则△OP1P2是三角形．12．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长为．13．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E在BC上，A D⊥AB，AE⊥AC．求证：△AED是等边三角形．14．如图，△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BE=DC，BD=FC．(1) 求证：DE=DF；(2) 当∠A的度数为多少时，△DEF是等边三角形，并说明理由．15．如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC_上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P．(1) 求证：CE=BF；(2) 求∠BPC的度数．16．如图，等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．(1) 试判定△ODE的形状，并说明你的理由．(2) 线段BD，DE，EC三者有什么关系? 写出你的判断过程．17．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．18．如图，O 是等边三角形ABC 内一点，∠AOB =110°，∠BOC =α，D 是△ABC 外一点，且△ADC ≌△BOC ，连接OD ．(1) 求证：ACOD 是等边三角形；(2) 当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由； (3) 当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形?专题二：直角三角形1、如图，ABC ∆是等边三角形，BC AD ⊥，AB DE ⊥，若8=AB cm ，则BD 的长为 cm ，BE 的长为 cm2、线段AB=4cm ，M 是AB 垂直平分线上的一点，MA=4cm ，则∠MAB= 。
八级全等三角形知识点归纳及典型习题
全等三角形一、根本概念1、全等的图形必须满足：（1〕形状相同的图形；〔2〕大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质〔1〕全等三角形对应边相等；〔2〕全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法〔1〕三边对应相等的两个三角形全等。
〔SSS〕〔2〕两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)〔3〕两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)〔4〕两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)〔 5〕斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上二、知识网络八级全等三角形知识点归纳及典型习题对应角相等性质对应边相等边边边SSS全等形全等三角形边角边SAS应用判定角边角ASA角角边AAS斜边、直角边HL角平分线作图性质与判定定理三、证题的思路：两边找夹角〔找直角〔找第三边〔SAS 〕HL 〕SSS〕假设边为角的对边，那么找任意角〔AAS 〕一边一角找角的另一边〔SAS 〕找边的对角〔AAS 〕边为角的邻边找夹边的另一角〔ASA 〕找两角的夹边〔ASA 〕两角AAS 〕找任意一边〔7．全等三角形根本图形翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素全等三角形经典题型1．四边形 ABCD中， AD=BC， BE=DF， AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、 F．（1〕求证：△ ADE≌△ CBF；（2〕假设 AC 与 BD 相交于点 O，求证： AO=CO．2．如图，点B， E，C，F 在一条直线上， AB=DF，AC=DE，∠ A=∠D．（1〕求证： AC∥ DE；（2〕假设 BF=13，EC=5，求 BC 的长．3．如图， BD⊥AC 于点 D， CE⊥AB 于点 E， AD=AE．求证： BE=CD．4．如图，点O 是线段 AB 和线段 CD 的中点．（1〕求证：△ AOD≌△ BOC；（2〕求证： AD∥BC．5．如图：点 C 是 AE 的中点，∠ A=∠ ECD，AB=CD，求证：∠ B=∠D．6．如图，△ ABC和△ DAE，D 是 AC 上一点， AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证： AE=BC．7．如图， AB∥CD， E 是 CD 上一点， BE交 AD 于点 F，EF=BF．求证： AF=DF．8．如图，点B、E、C、F 在同一条直线上，AB=DE，AC=DF， BE=CF，求证： AB ∥D E．9．如图，点 D 是 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E，DE=FE，FC∥ AB 求证： AE=CE．10．如图，点A、C、 D、 B 四点共线，且AC=BD，∠ A=∠B，∠ ADE=∠ BCF，求证： DE=CF．11．如图，点A，B，C，D 在同一条直线上，CE∥DF， EC=BD， AC=FD．求证：AE=FB．12．△ ABN 和△ ACM 位置如下图， AB=AC， AD=AE，∠ 1=∠ 2．（1〕求证： BD=CE；（2〕求证：∠ M=∠ N．13．如图， BE⊥ AC， CD⊥ AB，垂足分别为E， D，BE=CD．求证： AB=AC．14．如图，在△ ABC和△ CED中， AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠ B=∠ E．15．如图，在△ ABC中， AD 平分∠ BAC，且 BD=CD，DE⊥ AB 于点 E，DF⊥ AC 于点F．（1〕求证： AB=AC；（2〕假设 AD=2 ，∠ DAC=30°，求 AC 的长．16．如图， Rt△ ABC≌Rt△DBF，∠ ACB=∠ DFB=90°，∠ D=28°，求∠ GBF的度数．17．如图，AC⊥BC，BD⊥ AD，AC 与 BD 交于 O，AC=BD．求证：△ ABC≌△B AD．18．：如图，点B、F、 C、E 在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且 AC∥DF．求证：△ ABC≌△ DEF．19．：点A、C、B、D 在同一条直线，∠M= ∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ ABM≌△ CDN，并给出证明．〔1〕你添加的条件是：；〔2〕证明：．20．如图， AB=AC， AD=AE．求证：∠ B=∠ C．21．如图，在△ ABC中， AD 是△ ABC的中线，分别过点B、 C 作 AD 及其延长线的垂线 BE、CF，垂足分别为点E、 F．求证： BE=CF．22．一个平分角的仪器如下图，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠ BAC=∠ DAC．23．在数学课上，林老师在黑板上画出如下图的图形〔其中点B、F、C、E 在同一直线上〕，并写出四个条件：①AB=DE ，②BF=EC，③∠B=∠ E，④∠ 1=∠ 2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：；结论：．〔均填写序号〕证明：24．如图，在△ ABC和△ DEF中， AB=DE， BE=CF，∠ B=∠ 1．求证： AC=DF．〔要求：写出证明过程中的重要依据〕25．如图，AB=DC， AC=DB．求证：∠ 1=∠2．26．如图， D、E 分别为△ ABC的边 AB、 AC 上的点， BE与 CD 相交于 O 点．现有四个条件：①AB=AC ；②OB=OC ；③ ∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1〕请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是和，命题的结论是和〔均填序号〕；〔2〕证明你写出的命题．27．如图，AB∥ DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．28．如下图，在梯形ABCD 中， AD∥BC，∠ B=∠ C，点 E 是 BC 边上的中点．求证： AE=DE．29．如图，给出以下论断：① DE=CE，② ∠ 1=∠2，③ ∠ 3=∠ 4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．30．：如图，∠ACB=90°，AC=BC， CD 是经过点 C 的一条直线，过点A、B分别作 AE⊥CD、 BF⊥CD，垂足为 E、F，求证： CE=BF．。
(完整版)八年级下册第一章三角形证明知识点梳理
三人行教育知识点 1 全等三角形的判断及性质判断定理简称判断定理的内容SSS三角形分别相等的两个三角形全等SAS两边及其夹角分别相等的两个三角形全等ASA两角及其夹边分别相等的两个三角形全等AAS两角分别相等且此中一组等角的对边相等的两个三角形全等知识点 2 等腰三角形的性质定理及推论性质全等三角形对应边相等、对应角相等内容几何语言条件与结论等腰三角形的两底角在△ABC中，若条件：边相等，即AB=AC等腰三角形相等。
简述为：等边AB=AC，则∠ B=∠ C结论：角相等，即∠B=∠ C 的性质定理平等角等腰三角形顶角的平在△ ABC，AB=AC，AD条件：等腰三角形中向来极点分线、底边上的中线⊥ BC，则 AD是 BC边的均分线，底边上的中线、底推论及底边上的高线相互上的中线，且 AD 平边上的高线之一垂直，简述为：三线分∠ BAC结论：该线也死其余两线合一等腰三角形中的相等线段：1 等腰三角形两底角的均分线相等2 等腰三角形两腰上的高相等3 两腰上的中线相等4 底边的中点到两腰的距离相等知识点 3等边三角形的性质定理内容性质定理等边三角形的三个内角都相等，而且每个角都等于60度【重点提示】 1）等边三角形是特别的等腰三角形。
它拥有等腰三角形的全部性质2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的均分线“三线合一”解读【易错点】全部的等边三角形都是等腰三角形，但不是全部的等腰三角形都是等边三角形知识点 4等腰三角形的判断定理内容几何语言条件与结论等腰三角有两个角相等的三角形是条件：角相等，即∠ B=∠ C在△ ABC 中，若∠ B=结论：边相等，即 AB=AC 形的判断等腰三角形，简述为：等校∠C 则 AC=BC定理平等边解读【注意】对“等角平等边”的理解仍旧要注意，他的前提是“在同一个三角形中”拓展判断一个三角形是等腰三角形有两种方法（1）利用等腰三角形；（ 2）利用等腰三角形的判断定理，即“等角平等边”1知识点 5 反证法反证法观点在证明时，先假定命题的结论不建立，而后推导出与定义、基本领实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，进而证明命题的结论必定建立，这类证明方法称为反证法证明的一般步骤（1）假定命题的结论不建立（2）从这个假定出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本领实、已有定理或已知条件相矛盾的结果（3）由矛盾的结果判断假定不正确，进而必定原命题正确解读知识点 6判断定理 1判断定理 2解读拓展妙策乐背【重点提示】（ 1）关于一个数学命题，当用直接证法比较困难甚至不可以证明时，常常采纳间接证法，反证法就是此中一种，当一个命题波及“必定” “起码”“至多”“无穷”“独一”等状况时，因为结论的反面简单明确，经常用反证法来证明（2）“推理”一定顺着假定的思路进行，即把假定看作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本领实、已有定理或已知条件相矛盾的结果内容三个角都相等的三角形是等边三角形有一角是 60度的等腰三角形是等边三角形【重点提示】应用判断定理 2时，证三角形是等腰三角形，且三角形中有一角为 60°判断一个三角形是等边三角形的方法有三个（1）三边都相等的三角形是等边三角形（ 2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角邓妤60°的等腰三角形是等边三角形 . 在判准时，要更具条件、特点灵巧选择判断方法三种方法证等边，定义与两个判断，判断2可先证等腰，再找60°角2。
八年级三角形知识点串讲
八年级三角形知识点串讲三角形是初中数学中重要的基础知识之一，也是高中数学中的基础知识。
八年级的三角形知识点较为复杂，需要在学习时认真对待，掌握好每个知识点。
下面，我们将对八年级三角形的重要知识点进行串讲。
一、三角形的分类按照三角形的角度分类，可以分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
按照三角形的边长分类，可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
其中，等腰三角形有两条边相等，等边三角形三条边都相等，普通三角形三条边都不相等。
在实际运用中，我们常常用到直角三角形，也就是其中有一个角是90度的三角形。
二、三角形的性质1. 三角形内角和定理三角形内角和定理是三角形中基本的定理之一。
一个三角形的三个内角的度数和为180度。
即：任意一个三角形ABC，有∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 欧拉定理欧拉定理是三角形中一个重要的定理，即一个三角形的欧拉线上的点的集合是三角形边对应的中线、垂直平分线和垂足连线三点的中点。
欧拉线也就是垂心、重心和外心三点之间的连线。
欧拉线存在的条件是：三角形必须是非退化三角形。
三、直角三角形直角三角形是我们在数学中经常用到的一种三角形，其中有一个角是90度。
直角三角形比较特殊，我们可以利用勾股定理求出直角三角形的各边长。
勾股定理指出：在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边平方和。
即：若ABC是一个直角三角形，且∠C=90度，则有AC² = AB² + BC²。
四、等腰三角形等腰三角形是指两边相等的三角形。
在等腰三角形中，底角两边的边长和底边两侧的角相等。
等腰三角形的性质还有：等腰三角形的高和底边的中线重合，并且等腰三角形的顶角 bisect 底角，也就是说顶角所在的直线bisect 底角成两个相等的角。
五、相似三角形相似三角形可以通过放大或缩小得到的三角形，它们的对应角度相等，而对应边长成比例。
相似三角形的应用十分广泛，因为相似三角形成比例关系可以使我们更好地计算出一些不易计算的问题。
人教版八年级数学讲义_第16讲：等边三角形中考班
第16讲：等边三角形一、【知识点】1、三边都相等的三角形叫做等边三角形 ．2、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，都等于60°．3、30°的直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半．4、等边三角形的判定：(1)、三个内角都相等的三角形是等边三角形．(2)、有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形．二、【探究新知】探究1：如图，△ABC 为等边三角形，求它的每一个内角．【定理】等边三角形的每个内角都为______度．【例1】如图，△ABC 边BC 上有D 、E 两点，且BD =DE =EC =AD =AE ，则∠BAC =_________．BBC【练习1】△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 交于点为F ．(1)你能发现图中有几对全等三角形？ (2)求∠BFD 的度数．【探究2】1．若一个三角形的三个内角都相等，它是等边三角形吗？2．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形吗？【等边三角形的判定定理】1．三个内角都相等的三角形是等边三角形．2．有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形．3．有两个角为60°的三角形为等边三角形．【例2】如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AD =BE =CF ，求证：△DEF 是等边三角形．BBB BB C【探究】如图，Rt △ABC 中，∠A =30°，则线段BC 与线段AB 有何数量关系？并说明理由．【定理】30°的直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的________．【例3】△ABC 中，BD 是AC 边上的中线，BD ⊥AC 边上的中线，BD ⊥BC 于点B ，∠ABC =120°，求证：AB =2BC ．【练习2】等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为10，则腰长为_______．【练习3】如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于D ，AB =4㎝，则BD =________．BCAB【练习4】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证EB ：EA 的值．如图，在平面直角坐标系中，△AOP 为等边三角形，A (0,1)，点B 为y 轴上一动点，以BP 为边作等边△PBC ．(1) 求∠CAP 的度数；(2) 当B 点运动时，AE 的长度是否发生变化？C B第16讲：等边三角形测试题姓名＿＿＿＿分数＿＿＿＿＿1．如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC沿直线DE 折叠，点A 落在A ’处，且A ’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm2．如图，△ABC 是等边三角形，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 垂足为点E ，EF ∥AB ，AE =1，则△EFC 的周长=_______．3．如图所示，一个六边形的六个内角都是120°，其中连续四边的长依次是1、9、9、5．求这个六边形的周长为________4. 已知△ABC 中，AB =AC ，下列结论：① 若AB =BC ，则△ABC 是等边三角形； ②若∠A =60°，则△ABC 是等边三角形；③若∠B =60°，则△ABC 是等边三角形．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图，已知△ABC 为等边三角形，点P 在AB 上，以CP 为边长作等边△PCE ．求证：AE ∥BC ．B6．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠C =30°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N ，试探究BM 与CM 之间的数量关系．7．如图，D 、E 分别是等边△ABC 的边AC 、BC 上的点，且AD =CE ，BD 、AE 交于点N ，BM ⊥AE 于M ，求证：MN =21BN .BBE。
[数学]-必考点10 等边三角形的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学
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【例题5】（2020秋•环江县期中）如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD．求证：MB＝ME．
【解题技巧提炼】
等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝，BQ＝．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
【解题技巧提炼】
解决与等边三角形相关动态探究题的问题时，主要是“化动为静”，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
◆◆◆题型一等边三角形的性质
1．（2022春•保山期末）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠DEC的度数为（ ）
（2）（类比探究）
当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想AD与DE
之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）（拓展应用）
当点D在BC的延长线上时，满足CD＝BC，其他条件不变，连接AE，请在图③中补全图形，并直接写出∠AED的大小．
◆◆◆题型七与等边三角形相关动态探究题
14．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
初二数学三角形、梯形的中位线知识精讲精练 人教义务几何
初二数学三角形、梯形的中位线知识精讲精练 人教义务几何【学习目标】1．能说出三角形、梯形的中位线的概念．2．能准确地掌握三角形、梯形中位线定理．3．能熟练运用三角形、梯形中位线定理进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．三角形中位线（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．2．梯形中位线（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．【基础知识精讲】1．三角形的中位线定理、梯形的中位线定理有一个共同的特点是：在同一题设下，有两个结论，一个结论是表示位置关系的，另一个结论是表明数量关系的．在应用这两个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行关系，有时需要倍分关系，可以根据情况，按需选用．2．在三角形、梯形中位线定理的结论中，都有两线段平行及线段的倍分关系，因此在证明两直线平行或线段的倍分关系时，常用到这两个定理．另外，有些题目本身具备直接利用中位线定理解决的基本图形，而有些题目本身不具备直接利用中位线定理的基本图形，这时常需要添加辅助线，构造中位线定理的基本图形方可使问题得以解决．【例题精讲】［例1］如图4－98，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 的中点，EF ∥AB 交BC 于F ，若EF ＝3，求AB 的长．图4—98剖析：题目中涉及E 是DC 的中点，但无法直接应用，因此需构造与之相应的条件，由已知EF 的长，求AB 的长，这两个量也无直接关系，因此想到平移AB ，通过中位线使已知与未知得以沟通．解法一：过D 作DG ∥AB 交BC 于G ，∵AD ∥BC ，AB ∥DG ，∴四边形ABGD 是平行四边形，∴AB ＝DG ．∵EF ∥AB ，∴EF ∥DG ，∵DE ＝CE ，∴GF ＝CF ．∴EF 是△CDG 的中位线，∴EF ＝21DG ． ∴DG ＝2EF ＝6，即AB ＝6．解法二：过点E 作EH ∥BC 交AB 于H （如图4－99）．图4—99∵EH ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形HBFE 是平行四边形．∴BH ＝EF ＝3．∵DE ＝CE ，∴AH ＝BH ，∴AB ＝2BH ＝6．说明：涉及中点的问题，经常需要转化为中位线来解决，其中作辅助平行线是解题的关键，通过作平行线可以构造中位线，从而使问题得以解决．［例2］如图4－100，已知△ABC 中，D 是BA 上一点，BD ＝AC ，E 、F 分别是BC 、DA 的中点，EF 和CA 的延长线相交于点G ．求证：AG ＝AF图4—100剖析：欲证AG ＝AF ，只要证明∠G ＝∠AFG 即可，但已知条件BD ＝AC 无法直接应用，由于E 、F 分别是BC 、AD 的中点，因此易想到取CD 的中点M ，连结FM 、EM ，利用三角形的中位线的性质即可得证．证明：取CD 的中点M ，连结FM 、EM ．∵AF ＝FD ，CM ＝DM ，∴FM ∥AC ，FM ＝21AC ，∴∠EFM ＝∠G ． 同理EM ＝21BD ，EM ∥BD ，∴∠MEF ＝∠BFE ∵BD ＝AC ，∴EM ＝FM ，∴∠MFE ＝∠MEF ，∴∠BFE ＝∠G ．∵∠BFE ＝∠AFG ，∴∠G ＝∠AFG ，∴AG ＝AF ．［例3］已知：如图4－101，矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点．求证：四边形EFGH 是菱形．图4—101证明：连结AC 、BD ．∵AE ＝BE ，BF ＝CF ，∴EF ∥AC ，EF ＝21A C ． 同理CH ∥AC ，CH ＝21AC ， ∴EF AC ，∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AE ＝BE ，AH ＝DH ，∴EH ＝21BD ． 又∵AC ＝BD ，∴EF ＝EH ，∴四边形EFGH 是菱形．说明：任意四边形各边中点的连线构成一个平行四边形，因此根据已知四边形的条件，通常连结已知四边形的对角线结合中位线，可以判定已知四边形各边中点连线所得的四边形的形状特征．【同步达纲练习】1．选择题（1）直角三角形两条直角边长分别为6 cm 和8 cm ，则连结这两条直角边中点线段的长为（ ）A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．12 cm（2）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，中位线EF ＝15 cm ，∠DAB ＝60°，AC 平分∠DAB ，则梯形ABCD 的周长为（ ）A ．30 cmB ．40 cmC ．50 cmD ．60 cm（3）如图4－102，在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，E 、D 、F 分别是三边的中点，则四边形EDHF 是（ ）图4—102A ．一般梯形B ．等腰梯形C ．直角梯形D ．菱形（4）已知等腰梯形的两条对角线互相垂直，则此梯形的高h 和中位线m 的大小关系是（ ）A ．m ＞hB ．m ＜hC ．m ＝hD ．不能确定（5）如图4－103，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，BF 的延长线交AC 于H ，则AH ∶HE 等于（ ）图4—103A ．1∶1B ．2∶1C ．1∶2D ．3∶2（6）下面有三种说法：①任意四边形两组对边中点连线互相平分；②任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；③梯形的两条对角线可能互相平分．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③（7）梯形的中位线长为12 cm ，一条对角线把中位线分成1∶2两部分，则梯形的两底分别为（ ）A ．4cm 和8cmB ．9cm 和15cmC ．10cm 和14cmD ．8cm 和16cm（8）斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔上的桥梁，它不须建造桥墩，如图4－104中，A 1B 1，A 2B 2，…，A 5B 5是斜拉桥上5条互相平行的钢索，并且B 1、B 2、B 3、B 4、B 5被均匀地固定在桥上，如果最长的钢索A 1B 1＝80 m ，最短的钢索A 5B 5＝20 m ，那么钢索A 3B 3、A 2B 2的长分别为（ ）图4—104A ．50m ，65mB ．50m ，35mC ．50m ，57.5mD ．40m ，42.5m2．填空题（1）顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是_____．（2）如图4－105，梯形ABCD 中，AD ∥EG ∥FH ∥BC ，AE ＝EF ＝FB ，若AD ＝3，FH ＝5，则EG ＝_____，BC ＝_____．图4—105（3）直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果它的中位线长为43a ，那么它的下底长是_____． （4）如果梯形的上底长与下底长的比为1∶2，中位线的长为24，那么梯形的下底长为_____．（5）如图4－106，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，AE ⊥BC 于点E ，AE ＝AD ＝2 cm ，则这个梯形的中位线长为_____．图4—106（6）如图4－107，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于D，若DE＝2，则EB ＝_____．图4—107（7）如图4－108，在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF与BD、AC分别交于G、H，若AD＝6，BC＝10，则GH的长为_____．图4—108（8）如图4－109，已知直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，则△CED的面积是_____．图4—1093．如图4－110，梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC＝5 cm，中位线EF与AC交于点G，EG ＝2 cm，FG＝5 cm．求AB、DC的长及梯形ABCD的面积．图4—1104．如图4－111，△ABC中，M是BC边的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．图4—1115．如图4－112，已知正方形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，AE 平分∠BAC ，分别交BC 、BO 于点E 、F ．求证:OF ＝21CE ．图4—1126．如图4－113，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，AD ＋BC ＝AB ，求证：AE ⊥BE ．图4—1137．如图4－114，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且BD ＝CE ，M 、N 分别是BE 、CD 的中点，直线MN 分别交AB 、AC 于P 、Q ．求证：△APQ 是等腰三角形．图4—114【思路拓展题】想一想如图4－115，△ABC 中，BC ＝a ，若D 1、E 1分别是AB 、AC 的中点，则D 1E 1＝21a ，若D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则D 2E 2＝21（2a ＋a ）＝43a ，若D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点，则D 3E 3＝21（43a ＋a ）＝87a ，…若D n 、E n 分别是D n －1B 、E n －1C 的中点，则D n E n 的长该为多少?（n ≥1，且n 为整数）图4—115参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）C （3）B （4）C （5）B （6）B （7）D （8）A2．（1）菱形 （2）4 6 （3）a （4）32 （5）4 cm （6）2 （7）2 （8）21ab 3．AB ＝10 cm DC ＝4 cm S 梯形＝28 cm 24．3 提示：延长BD 交AC 于G ，先证△ABD ≌△AGD ，得BD ＝DG ，从而MD 为△BCG 的中位线．5．提示：过点O 作OG ∥BC 交AE 于G ．6．提示：过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，证EF ＝21AB ＝AF ＝BF ，从而∠FAE ＝∠FEA ， ∠FBE ＝∠FEB ，故∠FEA ＋∠FEB ＝90°7．提示：取BC 的中点F ，连结FM 、FN ．【思路拓展题】想一想 nn 212 a ．。
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1.2等边三角形
等边三角形的定义和性质
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°，三边都相等，也具有“三线合一”的性质． 注意：
（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝
. （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
题型1：等边三角形与角度计算
1.如图，△ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上，∠DBC ＝40°，则∠ADB 的度数为（ ）
A ．25°
B ．60°
C ．90°
D ．100°
【变式1-1】如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A ．90°
B ．120°
C ．180°
D ．无法确定
【变式1-2】如图，在等边△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在△ABC 外，AD ＝AE ．若∠BAD ＝20°，∠DAE ＝70°，求∠CAE 和∠CDE 的度数．
1802
A
︒-∠
题型2：等边三角形与长度、周长计算
2.如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，求
BE的长度．
【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝150°，△ABD是等边三角形，AB＝8，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长．
【变式2-2】如图，在等边三角形ABC中，D为AB的中点，DE⊥AC于E，EF∥AB，若AE＝1，求：△EFC 的周长．
题型3：等边三角形与证明
3.如图，△ABC是正三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD，CD的垂直平分线分别交BC于E，F．求
证：BE＝CF．
【变式3-1】如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．
【变式3-2】已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；
（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．
题型4：等边三角形与规律性问题
4.如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△
A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（）
A．16B．32
C．64D．128
【变式4-1】如图，△ABC是边长为2的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2012＝．
【变式4-2】如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为．
题型5：等边三角形与动点问题
5.如图，等边三角形ABC的周长为30cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，点P以6cm/s的速度
按顺时针方向在三角形的边上运动，点Q以14cm/s的速度按逆时针方向在
三角形的边上运动，设P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇的时间
为t1，第二次在三角形ABC顶点处相遇的时间为t2，则t2＝．
【变式5-1】已知：如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是2cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时
间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的四分之三？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由．
【变式5-2】如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，D是边BC的中点．点P从点A出发，沿AB﹣BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．同时点Q从点C出发，沿CA﹣AC以每秒1个单位长度的速度运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）求线段PB的长（用含t的代数式）．
（2）当△PQD是等边三角形时，求出t的值．
等边三角形的判定
判定1：三个角相等的三角形是等边三角形.
判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
题型6：等边三角形的判定
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求
证：△ABC是等边三角形．
【变式6-1】如图，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC，延长BC至E，恰好使得CE＝CD，BD＝DE．（1）求：∠E的度数；
（2）求证：△ABC为等边三角形．
【变式6-2】已知，如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形．
含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
题型7：含有30°角的直角三角形
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，DE＝3，∠B＝30°，则BC＝（）
A．7B．8C．9D．10
【变式7-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若AB＝8cm，则BD＝cm．
【变式7-2】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB．
题型8：等边三角形的判定与性质的综合应用
8.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【变式8-1】在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．
【变式8-2】学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC ＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．
（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE
为等边三角形；
（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：
△BDE为等腰三角形．
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.
注意：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：
（1）假定命题的结论不成立；
（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；
（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.
题型9：反证法
9.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．
求证：∠1+∠2＝180°．
证明：假设∠1+∠2180°．
【变式9-1】用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1＝∠A+∠B．
【变式9-2】利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．。