计算行列式的方法总结
行列式的计算1二阶行列式
$number {01}
目 录
• 行列式的定义 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 二阶行列式的计算实例
01
行列式的定义
二阶行列式的定义
01
二阶行列式表示为2x2 的数字方阵，由上而下 按顺序排列，记作|a b;
c d|。
02
行列式中的数字a、b 、c、d分别表示方阵 中对应位置的元素。
THANKS
递推法
递推法是一种基于数学归纳法的计算行列式的方法，通过递推关系式逐步计算出行列式的值。
对于二阶行列式，递推法的基本思想是利用已知的二阶行列式的值，通过递推关系式计算出更高阶的 行列式的值。具体步骤为：先计算出二阶行列式的值，然后利用递推关系式逐步计算出更高阶的行列 式的值。
03
行列式的性质
行列式与转置行列式的关系
具体计算步骤为：D=a11*a22-a12*a21。其中，a11、a12、a21、a22分别代 表二阶行列式中对应的元素。
降阶法
降阶法是通过将高阶行列式转化为低阶行列式来计算的一种 方法。对于二阶行列式，降阶法就是将其转化为三角形行列 式来计算。
具体步骤为：先将二阶行列式的某一行或某一列的元素化为 零，然后利用展开式法计算剩余的元素，得到结果。
2
代数余子式具有反对称性，即对于任意一个n阶 行列式，任意交换两行或两列的位置，行列式的 值会变号。
3
代数余子式在计算行列式时具有消去性，可以通 过代数余子式展开来消去行列式中的某些元素， 从而简化计算。
02
行列式的计算方法
展开式法
展开式法是计算二阶行列式最直接的方法，根据二阶行列式的定义，将行列式按 主对角线元素相乘，副对角线元素相乘，然后相减得到算，即a*d-
行列式计算方法归纳总结
2.行列式的计算方法2.1 定义法在引进行列式的定义之前,,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念.(1) ｎ级排列:由1,2.3…ｎ组成的一个有序数组称为一个ｎ级排列.(2) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即:前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数. (3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.在做好这些工作之后,来引入行列式的定义:定义:n 阶行列式aaaaa a a a a a a a a a a a nnn n n nn n321333323122322211131211 <I>等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积.ja j a j a j a nn332211的代数和,这里jj j j n,,,,321为1,2,3,……,n 的一个排列,每一项<Ⅱ>都按下列规则带有符号,当jj j j n,,,321是偶排列时, <Ⅱ>带有正号,当jj j j n,,,,321是奇排列时,<Ⅱ> 带有负号.例2.1证明1112131415212223242531324142515200000000a a a a a a a a a a D a a a a a a ==. 分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1212n j j nj a a a则12512125()12(1)n j j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑. （3）其中115,,,j j j 为1,2,3,4,5的任意排列,在D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（3）式中每一项至少有一个来自后三行后三列. 故D =0.注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2.2递推法无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用。
行列式的计算技巧与方法总结讲解
行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0， nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。
线性代数行列式计算方法总结
a =2
a2
总结：当行列式元素排列很有规律且维数与n有关是可以考虑递推法
例7 求下列行列式的值 分块三角形法
1 3 3 5
2 0 0 4 0 0
0 0 5
D= 1 2 2 1
4 1 0 2 6 8 4 14
2 4 6
所以，原行列式可化
1 2 1 5 1 2 D 1 ，D2 1 0 5 C 3 解：不妨令 3 4 8 4 14 5
用加边法即构造n1阶行列式使其按第一列行展开后等于原行列式行列式展开定理定义25在n阶行列式中划掉元素所在的第列剩下的元素按原来的相对位置排列形成的n1阶行列式称为元素的余子式记作为元素的代数余子定理24设n阶矩阵a则a的行列式等于它的任一行列的个元素与其代数余子式的乘积之和即11122122ijijnjnj计算n阶行列式解
b1 a1 0 0
b2 0 a2 0
பைடு நூலகம்
bn 0 0 an
上三角行列式
a1a2 =
an (a0
bi ci ) i 1 ai
x 例3 计算n阶行列式 a a
a x a
a a x
加法
解：这个行列式的特点是各列（行）的元素之和相等，故可将各行加到第 一行，提出公因子，再化为上三角行列式。
x a a
8 1 1 1 2 3 r3 r4 0 3 5 0 5 3
1 0 8 0 0
8 1 0 0
1 1 1 2 3 0 =16 2 2 0 5 3 0
8 1 0 0
1 1 1 2 3 0 r4 5r3 16 1 1 0 5 3 0
8 1 0 0
1 1 2 3 =128 1 1 0 8
a x a
a r 1 ri a x
行列式的计算方法-计算行列式的格式
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载行列式的计算方法-计算行列式的格式地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容行列式的计算方法摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组, 行列式的计算是一个重要的问题。
本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。
关键词：行列式矩阵降阶The Methods of Determinant CalculationAbstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples.Keywords: determinant matrix reduction.1．引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外,还在各种工程领域有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具，所以说行列式的计算是一个重要的问题。
行列式计算及克莱姆法则课件
02
克莱姆法则
克莱姆法则的概述
01 02
克莱姆法则定义
克莱姆法则是线性代数中的一个基本法则，用于解决线性方程组的问题 。它指出，对于一个给定的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零 ，则该方程组有唯一解。
线性方程组解的判定定理
唯一解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 不为0时，线性方程组有唯 一解。
无解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 为0且不满秩时，线性方程 组无解。
无数解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 为0且满秩时，线性方程组 有无数解。
04
矩阵的逆与行列式的关 系
矩阵的逆的定义与性质
定义
设矩阵A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵） ，则称B是A的逆矩阵。
利用伴随矩阵的性质计算逆矩 阵。
迭代法
利用迭代公式计算逆矩阵。
分块法
对于大型矩阵，可以将矩阵分 块处理，然后分别求出各块的 逆矩阵，再组合起来得到原矩
阵的逆矩阵。
05
总结与展望
行列式计算及克莱姆法则的重要性和应用领域
线性代数基础
行列式计算是线性代数中的基础概念 ，对于理解矩阵、向量等概念至关重 要。
数值分析
行列式计算在数值分析中有着广泛的 应用，例如在求解线性方程组、计算 特征值和特征向量等方面。
工程领域
在工程领域中，行列式计算是解决各 种实际问题的关键工具，如结构分析 、流体动力学等。
行列式的计算方法和技巧大总结
计算n 阶行列式的若干方法举例1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n n n a a a a n ---= . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算（1999数二（5）题）记行列式347534453542333322212223212---------------x x x x x x x x x x x x x x x x 为)(x f ，则方程0)(=x f 的根的个数为（ ）.1)(A .2)(B .3)(C .4)(D求解：347534453542333322212223212)(---------------=x x x x x x x x x x x x x x x x x f 37342213310122112----------=x x x x x x 671212212673412133001220012------=--------=x x x x x x x x x x)1(5)12)(5)((5512121-=+---=----=x x x x x x x故0)1(5)(=-=x x x f 有两个根，故应选)(B .四阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于 （ ）.)(43214321b b b b a a a a A - .)(43214321b b b b a a a a B + ).)()((43432121b b a a b b a a C -- ).)()((41413232b b a a b b a a D --求解：原式33224133224143322143322100000a b b a b b a b b a a a b a b b a b a a b b a a -=-=))((41413232b b a a b b a a --=。
行列式的计算技巧窍门情况总结
行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 (1)关键字 (1)1•行列式的概念及性质 (2)1.1 n阶行列式的定义 (2)1.2行列式的性质 (2)2•行列式计算的几种常见技巧和方法 (4)2.1定义法 (4)2.2利用行列式的性质 (5)2.3降阶法 (7)2.4升阶法（加边法） (9)2.5数学归纳法....................................................... 1.1...2.6递推法........................................................... 12…3. ............................................................................................................ 行列式计算的几种特殊技巧和方法. (14)3.1拆行（列）法.................................................... 1.4..3.2 构造法.......................................................... 1.7...3.3特征值法......................................................... 1.8…4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 (19)4.1三角形行列式..................................................... 1.9..4.2 “爪”字型行列式.............................................. 1.9.. 4.3 “么”字型行列式............................................... 21.. 4.4 “两线”型行列式.............................................. 22. 4.5 “三对角”型行列式............................................. 23.4.6 范德蒙德行列式................................................. 25..5. 行列式的计算方法的综合运用....................................... 26. 5.1降阶法和递推法.................................................. 27.. 5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式. (27)5.3构造法和套用范德蒙德行列式 (28)小结................................................................. 29....参考文献............................................................. .3.0....学习体会与建议...................................................... 31...摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法•本文主要 介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法.如：化三角 形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及 Van dermo nde 行列式、"两线 型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式•并对相应例题进行了分析和 归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征. 关键词：行列式计算方法 1 .行列式的概念及性质1.1 n 阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下: ai2a 22 =a 11a 22 a 12a 21 , an a 12 a 13a 21 a22 a23 a 31 a 32 a 33 a ii a 21a 11a 22a 33 a 12a 23a 31 a 13a 21a 32a 11a 23a 32 a 12a 21 a 33 a 13a 22a 31 -从二、三阶行列式的内在规律引出 n 阶行列式的定义.设有n 2个数，排成n 行n 列的数表a 11a 12a 1na 21 a 22 a 2na n1 a n2 a nn即n 阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的 乘积a1j 1 a 2j 2anj n时，⑴带负号.1.2行列式的性质性质1行列互换，行列式不变.a 11 a 12 a 1na 11 a 21 a n1a 21 a 22 a 2na 12 a 22 a n2a n1 a n2 a nna 1 n a 2n a nn的代数和，这里 j 1 j 2j n 是1,2, , n 的一个排列，每一项⑴都按下列规 则带有符号：当j 1 j 2j n 是偶排列时，⑴带正号；当jj 2 j n 是奇排列aiia12a1 na21a22j 1j 2j nJ 1J 2 j na1j 1a 2j 2anj n ,an2ann这里j 1j2表示对所有n 级排列求和.=0.性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列a 11a i2a inaiiai2ainka M ka i2 ka ink a i1a i2aina n1 a n2 a nnan1an2ann式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的 各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样.即么行列式为零.即a ii a i2 a ina ii a i2 a ina ii3i2S ina ii a i2a inkka iika i2ka ina iia i2a ina nia n2a nna nia n2a nn性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列a i1a i2K a in M M MM b i c b 2 C 2K b n ( MMM M a nia n2Ka nna ii a i2K a in MM MM bb 2 K b n M M MMa ni a n2K a nna ii a i2K ainM M M MG C 2 K C n MM M Ma ni a n2Ka nn性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例,即性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即a11 a i2 a ln a11 a i2 a lna i1 ca ki a i2 ca k2 a in ca kn a i1 a i2 a ina k1 a k2 a kn a k1 a k2 a kna n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn 性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号.即a11 a i2 a in a11 a i2 a i na i1 a i2 a in a k1 a k2 a kna k1 a k2 a kn —a i1 a i2 a ina ni a n2 a nn a ni a n2 a nn性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零.即a i1 a i2 a i, n-1 a in0 0 0 0 0.a n1 a n2 a n,n-1 a nn2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.10 0解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有 4 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少•具体的说，展开 式中的项的一般形式是a ij i a 2j 2 a 3j 3a 4j 4 .显然，如果j i 4，那么a“，从而这个项就等于零•因此只须考虑j i 4的项，同理只须考虑j 2 3, j 3 2, j 4 1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有2.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 •该方法适用于低阶行列式.计算行列式814823832841，而 4321 6，所以此项取正号•故 0 0 0 0 0 2 0 30 4 00 1 0 _ 0 = 04321a 14a 23a 32a 4124.2.2.1化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:a n a na nb n解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零•即：化为上三角形.解：将该行列式第一行的 1倍分别加到第2,3•••( n 1)行上去,可得1 a 1 b 1 a2 1a 1a 2an a 12 a 13a 1n0 a22a 23a 2n0 0 a 33 a 3n0 0 a nna 110 0 a 21 a 22 00 a 31a 32a 33a ii a 22a nn,a ii a 22a nn・a n1a n2 a n3a nn1 a 1 a2 K a n0 b0 0M M M O M 0 0 0 Kb nD n 1bb z K b n . 例2计算行列式D n 11a 1a 22.2.2连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列） 后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计 算•这类计算行列式的方法称为连加法.当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或 者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法.解:2.2.3 计算行列式 D nX iX iX i nX ii 1nX ii 1滚动消去法D nX 1mX 1 X iX 2 mX 2X 2X 2 m X 2X 2 mX 2 X 2 m X 2X nX nX nX nX n 0XnX X n X n X n mnX i m .i 11 2 2 1 例4计算行列式D n 3 2 n n 1 1 2 3 n 1 n1 11 1 1D n 1 111 11 11 1 11 2 3 n 1 n 11 0 0 0 0 2n 21 1 0 0 01 1 11解：从最后一行开始每行减去上- 2.2.4逐行相加减3n 1 n2n 2n 11n 3n 2 n 2n 221「，有1 2 3n1n2 0 022 221 1 111对于有些行列式，虽然前n但却为零•用连加法明a 1 a 1 0 0 0a 2 a 2 0 0 例5计算行列式D0 0 a s0 00 00 a n a r11111显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列,以此类推，得:2.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开例6 解行列式D n解：按最后一行展开，得2.3.2按拉普拉斯公式展开行•由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的 和等于行列式D.即M n A n ，其中A i 是子式M i 对应的代数余子式.a 10 0a 2 0a 3a nn2n1 a 1 a 2a na na n 2a 2 a 1n 1 n 2D n a 1x a 2xa n 1X拉普拉斯定理如下：设在行列式 D中任意选定了 k 1 k n-1个D M 1A 1 M 2A 2例7解行列式D n解：从第三行开始, 到第二列，得D nA nnC nnA nnB nnC nnB nnA nn ?B nn，A nn?B nn -每行都减去上一行; 再从第三列开始，每列都加ab2.4升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质 化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法 的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可以利 用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果.其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置.1 1 1 11 10 1 1 0解：使行列式D 变成n 1阶行列式，即1 1 1 0 0 1 0 1 0D再将第一行的 1倍加到其他各行，得:解行列式D=1 1 1 1 1 1 0 1 1 01 1 1 1 1 0 1 0 1D=(n 1)110 1 00 0 1D2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出 假设，再利用数学归纳法去证明•对于高阶行列式的证明问题，数学 归纳法是常用的方法.cos 1 0 0 012cos 1 0 0 例9计算行列式D n0 1 2 cos0 00 00 2cos 112 cos解:用数学归纳法证明1 1 0 0 0 01 0 0 1从第二列开始，每列乘以1加到第一列，得:1 1 0 0 0 01 00 1当n 1时，D 1cos猜想，D n cosn假设当n k 时，结论成立.即：D k cosk .现证当n k 1时，结论 也成立.cos1 0 0 012cos 1 0 0 当 n k 1 时，D k 10 1 2cos0 00 0 2 cos 112cos将D k 1按最后一行展开，得cos 1 012 cos 1D k 1k 1 k 11?2cos0 1 2 cos0 0 0 2 coscos1 0 01 2 cos 1 0,k 1 k10 1 2 cos0 0 0 12cos D k D k 1 .因为当n 2时，D 2cos 1 1 2cos2cos 2 1 cos2由上可知，当n1 , n 2时，结论成立.D k coskD k 1 cos k 1 cos k cosk cos sin k sin所以D k 1 2cos D k D k 12cos cosk cosk cos sin k sincosk cos sin k sincos k 1 .这就证明了当n k 1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立.即：D n cosn .2.6递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式aD n bD n 1 cD n 2 0.则作特征方程2ax bx c 0.①若0，则特征方程有两个不等根，则D n Ax；1 Bx；1.②若0，则特征方程有重根X1 X2，则D n A nB x；1.在①②中，A，B均为待定系数，可令n 1,n2求出.9 5 0 0 0 0 0 4 9 5 0 0 0 0例10 计算行列式D n 0 4 9 50 0 00 0 0 0 4 9 5 J0 0 0 0 0 4 97解：按第一列展开，得D n 9D n 1 20 D n 2.即D n 9D n 1 20D n 2 0-作特征方程x2 9x 20 0.解得X i 4, X2 5.则D n A?4n1 B?5n1.当n 1 时，9 A B ;当n 2 时，61 4A 5B .解得A 16,B 25，所以D n5n 14n1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值•拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和.3.1.2例题解析1 a1a2 0 0 01 1 a2a3 0 0例11 计算行列式D n 0 1 1 a30 00 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 1 1 a n 解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得D n1a 1D n 1a 1 0a 2D n a21a3a 31 a n 11a n a na 2 a 2 1a 3 a 3a n 1a 2 a 2 1a 3 a 3a na n 0 0 0a n 1a n a n上面第一个行列式的值为 所以D n 1 a 1 1 a 2 1 a 3 a 3a n1a n a n这个式子在对于任何n 都成立, 因此有3.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值.3.2.2例题解析解：虽然D n 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 n 1阶的范德蒙德 行列式来间接求出D n 的值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1 a 1ni11a ji 1 j 11a i 1 a 2D n 2例12 求行列式D n1 1 x 1x 2 2 X 12 X 2n 2 X1 n X1n 2 X 2 n X21 X n2 X nn 2 Xn n XnA1 2n ・3.3特征值法3.3.1概念及计算方法是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出 A 的行列其中,X 1 2 X 1n 2 X 1 n 1 X1 n X1按第 X 2 2 X 2n 2 X 2 n 1 X2 n X2X n2X nn 2X nn 1X nn Xnn 2 X n 1 X nXn 1列展开，得f X A,n 1A 2」 n 1X的系数为A n ,n 11X1n又根据范德蒙德行列式的结果知f X X X 1X 2 A n,n 1 X1D nX n A n D n .X in由上式可求得X n 1的系数为X 1 X 2X n X inX j故有D n X 1X 2 X n1 j iX inX jn1,n 1X，X j式.3.3.2例题解析例13 若1， 2，n是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零. 证明：因为A 1 2 n ，贝UA 可逆 A 01 2 n0 i 0i 1,2 n .即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念形状像个三角形，故称为“三角形”行列式.4.1.2计算方法a 11 a 12a 13a 1 na 11a 22a 23 a 2na 21 a 22a 33 a 3na 31 a 32 a 33a nna n1 a n2 a n3 a nn形如这样的行列式,由行列式的定义可知,an a i2a i30 a 22a 230 0 a 330 0 a ii0 a 21a 22a 31 a 32a 33a ni a n2 a n3a nna i1 a 22 a nn ,a ii a 22a nn•4.2 “爪”字型行列式4.2.1概念a 。
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计算行列式的方法总结
计算行列式的方法总结
行列式涉及的方面很多，例如判断矩阵可逆与否要计算行列式的
值、解线性方程组、特征值等都与求行列式密不可分，所以各种类型
解行列式的方法一定要掌握好，才能写好行列式，下面是计算行列式
的方法总结，一起来看看吧！
计算行列式的方法总结
(一)首先，行列式的性质要熟练掌握
性质1行列互换，行列式的值不变。
性质2交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。
性质3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，则k可提到行
列式外。
推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行(列)。
推论2若行列式有两行(列)元素对应成比例，则该行列式的值为零。
性质4若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之和，则这个行
列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)
的元素，其余各行(列)与原行列式相同。
性质5将行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不
变。
行列式展开法：行列式按某行(列)展开也是解行列式常用的方法。
行列式展开定理：
定理1：n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与各自的代数
余子式乘积之和。
定理2：行列式D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代
数余子式乘积之和必为零。
(二)几种特殊行列式的值
有关行列式的若干个重要公式：
为便于考生综合复习及掌握概念间的联系，现将以后各章所涉及
的有关行列式的几个重要公式罗列于下：
2017考研数学：行列式的计算
行列式是线性代数的一部分，题目比较灵活，下面小编为同学们
简单讲一下行列式的几种计算方法，希望同学们可以有所启发，弄清
楚这种类型题。
对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶
或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。三阶
以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低
阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展
开。在运用展开定理时，一般需要先利用行列式的性质将行列式化为
某行或者某列只有一个非零元的形式，再进行展开。特殊低阶行列式
可以直接利用行列式的性质进行求解。
对于高阶行列式的计算，我们的基本思路有两个：
一是利用行列式的性质进行三角化，也就是将行列式化为上三角
或者下三角行列式来计算;
二是运用按行或者按列直接展开，其中运用展开定理的行列式一
般要求有某行或者某列仅有一个或者两个非零元，如果展开之后仍然
没有降低计算难度，则可以观察是否能得到递推公式，再进行计算。
其中在高阶行列式中我是用加边法把其最终化为上(下)三角，或者就直
接按行或者列直接展开了，展开后有的时候就直接是上或者下三角形
行列式了，但有时其还不是上下三阶，可能就要用到递推的`类型来处
理此类题目了。总之，我们对于高阶行列式要求不是很高，只要掌握
几种常见的情形的计算方法就可以了。
有的时候，对于那些比较特殊的形式，比如范德蒙行列式的类型，
我们就直接把它凑成此类行列式，然后利用范德蒙行列式的计算公式
就可以了，但是，我们一定要把范德蒙行列式的形式，一阶其计算方
法给它掌握住，我们在上课时也给同学们讲解了其记忆的方面，希望
同学们课下多多做些练习题进行巩固。
当然对于行列式我们有时可能还会用到克莱默法则和拉普拉斯展
开来计算，只是这些都是些特殊的行列式的计算，其有一定的局限性，
比如1995年数三就考到了一题用克莱默法则来处理的填空题。
对于抽象型行列式来说，其计算方法就有可能是与后面的知识相
结合来处理的。关于抽象型行列式的计算：
(1)利用行列式的性质来计算，这里主要是运用单行(列)可拆性来
计算的，这种大多是把行列式用向量来表示的，然后利用单行或者列
可拆性，把它拆开成多个行列式，然后逐个计算，这时一部分行列式
可能就会出现两行或者列元素相同或者成比例了，这样简化后便可求
出题目中要求的行列式。
(2)利用矩阵的性质及运算来计算，这类题，主要是用两个矩阵相
乘的行列式等于两个矩阵分别取行列式相乘，这里当然要求必须是方
阵才行。这类题目的解题思路就是利用已知条件中的式子化和差为乘
积的形式，进而两边再取行列式，便可得到所求行列式。之前很多年
考研中都出现过此类填空或者选择题。因此，此类题型同学们务必要
掌握住其解题思路和方法，多做练习加以巩固。
(3)利用单位矩阵的来求行列式，这类题目难度比前面题型要大，
对矩阵的相关性质和结论要求比较高。早在1995年数一的考研试卷中
出现过一题6分的解答题，这题就是要利用A乘以A的转置等于单位
矩阵E这个条件来代换的，把要求的式子中的单位矩阵换成这个已知
条件来处理的。
(4)利用矩阵特征值来求行列式，这类题在考研中出现过很多次，
利用矩阵的特征值与其行列式的关系来求行列式，即行列式等于矩阵
特征值之积，这种方法要求同学们一定要掌握住，课下要多做些练习
加以巩固。