排列组合原理思维方法

排列组合问题的常用解题技巧与方法

排列组合问题的常用解题技巧与方法纵观近年全国高考数学试题,每年都有1-2个排列组合题,考察排列组合的基础知识与思维能力,试题的难度与课本中的试题难度相当,但也有个别试题的难度较大,重点考察学生理解、分析和解决问题的能力,有些试题以应用题的形式出现,考察学生解决实际生活问题的能力。

有关排列组合的问题是高中学生学习中棘手的一个问题,很多学生在高考中失分较多。

解决排列组合的有关问题,首先,必须认真审题,明确问题是否是排列、组合问题。

其次,抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答。

实践证明,备考的有效方法是题型和解法归类,识别模式,熟练运用。

下面,谈谈笔者在多年教学研究中的一些解题思路与方法:一、相邻问题“捆绑法”(大元素法、整体法或并组法)对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个大元素(整体)与其他元素排列,然后再对大元素内部进行排列。

例1:书架上有4本不同的数学书,5本不同的语文书,3本不同的化学书,全部竖起排成一排,如果不使同类书分开,一共有多少种排法?分析:由于同类书不分开,即把4本数学书,5本语文书,3本化学书,分别捆成一捆,看作3个大元素进行排列有,每捆内部分别有种、种、种不同的排列,再由分步计数原理,共有排法: =103680种。

二、不相邻问题“插空法”对于某几个元素要求不相邻的问题,可以先将其他无要求的全排列,再把规定不相邻的几个元素插入上述几个元素之间及两端的空位之中。

例2:七个人并排站成一排,如果甲、乙两人必须不相邻,那么,不同排法的种数是多少?分析:先把5个人全排列有不同排法,再把甲乙两人插入6个空位有种插法。

∴共有=3600种不同排法。

三、特殊元素“优先安排法”对含有特殊元素的排列组合问题,一般应优先考虑特殊元素的排法,再考虑其他元素的排列。

例3:七人站成一排照相,其中甲不站排头,也不站排尾,共有多少种排法?分析:由于甲不站两端,既为“特殊”元素,应优先安排,甲可站个位置,其余6人再进行全排列共有,由分步计数原理得共有=3600种。

排列组合二项式定理概率基础知识点+思维导图练习

；展开
式共有项数为
项.
（2）二项展开式的通项 Tr1
，表示第
项.
（3）二项展开式中的二项式系数为
；项的系数是指
.
11、（1）对称性：与首末两端
的两项的二项式系数相等，即 Cnr
C nr n
(r
0,1, 2,, n)
18
（2）二项式系数最大的项在中间.当幂指数 n 为偶数时，最大的二项式系数为
，
最大二项式系数为第
项；当 n 为奇数时，最大的二项式系数为
，
最大的二项式系数为第
项.
（3）二项式系数之和为
.二项展开式中，各奇数项的二项式系数之和与各偶数
项的二项式系数之和相等，即：
==.源自12、若 (x 1)7 a0 a1x a2 x2 a7 x7 ，令
一、特殊元素特殊位置优先
，得 a0 a1 a2 a7
八、合理分类与分步策略 8、在一次演唱会上共有 10 名演员，其中 8 人能够唱歌，5 人会跳舞，现要演出一个 2
人唱歌 2 人伴舞的节目，有多少种选派方法？
九、构造模型策略 9、马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯，现要关掉其中的 3 盏，但不能关掉相
邻的 2 盏或 3 盏，也不能关掉两端的 2 盏，求满足条件的关灯方法有多少种？
； Ann
；规定， 0!
；
7、组合数 Cnm 的含义：
8、计算： Cnm
=
；
9、组合数的性质
（1）Cnm
；（2）Cnm
C m1 n
10、（1）对于 n N * ， (a b)n
；（3）Cn0 Cn1 Cn2 Cnn1 Cnn

学习排列组合方法与技巧阐述

学习排列组合方法与技巧阐述要学好本章除了学好基础知识和掌握一些解题方法和技巧外，还要通过不断的积累、思考，能做到举一反三，触类旁通，使思维能力和推理能力得到提高；才能真正的学好排列组合。

在基础知识方面，“分类计数原理”和“分步计数原理”是本章主线。

要根据我们完成某件事时采取的方式来区分是分类还是分步，分类相加，分步相乘。

排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。

只取不排（无序）是组合问题，先取后排（有序）是排列问题。

同时要掌握排列和组合数的计算。

这是本章的重点，但不是难点。

本章的难点在解题方法和解题技巧上，下面介绍几种常用的解题方法和技巧。

1 特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排法例1：用0，1，2，3，4，5，五个数字，能组成多少个没有重复数字的四位偶数？分析：由于该四位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：（1）0排末尾时，有A个；（2）0不排在末尾时，0又不能排在首位，分三步考虑，第一步：个位从2和4中选一个，有A种；第二步：个位选定后，首位又不能为0，首位有A种；第三步：中间两位从余下的四个数字选两个排列，有A种；0不排在末尾有AAA个。

共有偶数A+AAA=156个。

2 相邻问题用捆绑法在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将相邻的元素捆绑起来，看作一个元素与其余元素排列，然后再考虑捆绑在一起的元素的内部排列就是捆绑法。

例2：5名男生，3名女生站一排，女生站在一起，有多少种不同的站法？解：把3名女生“捆绑”在一起看成一人，与5名男生一起看作6人，共有A 种排法；又3名女生有A种排法；根据分步计数原理共有排法AA=4320（种）。

注：运用捆绑法解决排列问题时，一定要注意“捆绑”起来的内部的顺序问题。

3 相隔问题插空法不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开.解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。

排列＼组合问题的常用解题技巧与方法

排列＼组合问题的常用解题技巧与方法纵观近年全国高考数学试题,每年都有1-2个排列组合题,考察排列组合的基础知识与思维能力,试题的难度与课本中的试题难度相当,但也有个别试题的难度较大,重点考察学生理解、分析和解决问题的能力,有些试题以应用题的形式出现,考察学生解决实际生活问题的能力。

有关排列组合的问题是高中学生学习中棘手的一个问题,很多学生在高考中失分较多。

解决排列组合的有关问题,首先,必须认真审题,明确问题是否是排列、组合问题。

其次,抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答。

实践证明,备考的有效方法是题型和解法归类,识别模式,熟练运用。

下面,谈谈笔者在多年教学研究中的一些解题思路与方法:一、相邻问题“捆绑法”(大元素法、整体法或并组法)对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个大元素(整体)与其他元素排列,然后再对大元素内部进行排列。

例1:书架上有4本不同的数学书,5本不同的语文书,3本不同的化学书,全部竖起排成一排,如果不使同类书分开,一共有多少种排法?分析:由于同类书不分开,即把4本数学书,5本语文书,3本化学书,分别捆成一捆,看作3个大元素进行排列有,每捆内部分别有种、种、种不同的排列,再由分步计数原理,共有排法: =103680种。

二、不相邻问题“插空法”对于某几个元素要求不相邻的问题,可以先将其他无要求的全排列,再把规定不相邻的几个元素插入上述几个元素之间及两端的空位之中。

例2:七个人并排站成一排,如果甲、乙两人必须不相邻,那么,不同排法的种数是多少?分析:先把5个人全排列有不同排法,再把甲乙两人插入6个空位有种插法。

∴共有=3600种不同排法。

三、特殊元素“优先安排法”对含有特殊元素的排列组合问题,一般应优先考虑特殊元素的排法,再考虑其他元素的排列。

例3:七人站成一排照相,其中甲不站排头,也不站排尾,共有多少种排法?分析:由于甲不站两端,既为“特殊”元素,应优先安排,甲可站个位置,其余6人再进行全排列共有,由分步计数原理得共有=3600种。

小学数学排列组合

排列数公式： P(n,m)=n!/(n-m)!
排列的特点：有序性、无重复性
排列的应用：解决实际问题，如排队问题、组合问题等。
组合的定义
组合是指从n个不同元素中取出r个元素，不考虑顺序
组合数表示为 C(n, r)，表示从n个元素中取出r个元素的组合数
组合数的计算公式为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)
注意事项：n和r均为正整数，且n>=r
组合数公式
公式：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
定义：组合数C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数
性质：C(n, k) = C(n, n-k)
应用：解决实际问题，如分配问题、选择问题等
排列组合的性质和定理
排列组合的定义：从n个不同元素中取出r个元素进行排列，称为排列；从n个不同元素中取出r个元素进行组合，称为组合。
增强团队协作能力：在数学竞赛中，学生需要与队友合作，共同解决问题，这有助于培养
他们的团队协作能力。
04
排列组合的解题技巧和方法
排列组合的解题思路
分析问题：明确题目要求，找出需要排列或组合
的元素
确定方法：选择合适的解题方法，
如列举法、图解法、公式法等
解题步骤：按照解题方法进行计
算，得出答案
数？
组合问题：如何计算 n个元素的组合数？
排列组合的应用：如何解决实际问题中的
排列组合问题？
排列组合的性质：如何理解排列组合的性
质？
排列组合的解题技巧：如何掌握排列组合的
解题技巧？
答案解析
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排列组合常用四种方法-周丽红

排列组合常用四种方法中公教育研究与辅导专家周丽红排列组合是行测数量关系里面比较常见的一种题型，通常用来解决求方法数情况数这一类计数问题。

而这种题型在计算和解题思维上与其他题型差异很大，很多同学对于排列组合问题不知如何下手，在这里，中公教育辅导专家给大家整理出排列组合常考的四种方法，希望对各位考生有所帮助。

例题：用 1、2、3、4、5 这 5 个数字组成一个无重复数字的五位数。

一、优限法：优先安排有绝对限制的元素或者位置，再去解决其他元素或者位置。

1、若数字1只能在首位或者是末尾的五位数，有多少种情况？解析：先安排1，在首位或者末尾，有12C ，再将剩下的数字全排列有44A ，我们相当于分成了两步才将这个五位数排好，故将两步的结果数相乘。

12C 44A =2×24=48。

二、捆绑法：元素要求相邻、连续时，我们可以先将相邻元素看成一个大整体与其他元素进行相应排列，再考虑大整体内部元素的顺序问题。

2、若组成的这个数中，所有奇数都相邻、所有偶数也都相邻，有多少种情况？解析：奇数看成整体，偶数看成整体，两个整体排序22A ，奇数整体内部3个元素，偶数整体内部元素2个，并且内部元素换了位置对结果有影响，故两个整体内部排序为33A 22A 。

最终结果表示为：22A 33A 22A =2×6×2=24。

三、插空法：先将其他元素排好，再将要求不相邻的元素放其空隙或者两端的位置。

3、若组成的这个数中，所有偶数都不相邻，有多少种情况？解析：我们先将3个奇数排好33A ，形成的空隙包含两端共有4个，再从4个空隙中选2个空隙放两个偶数24A 。

最终结果表示为：33A 24A =6×12=72四、间接法：有些题目直接考虑起来情况数比较多，会比较麻烦，而其对立面却只能一两种情况，很好计算，这时我们就会先算出总的情况数减去对立面的情况数即可。

4、若组成的这个数不能被 4 整除，有多少种情况？解析：一个五位数不能被4整除要求的是后两位不满足4的倍数，显然题干中组成的五位数后两位不满足的情况很多。

奥数-排列组合讲义-第二讲

排列与组合经典精讲1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.3.排列数公式:4.组合数公式:5.组合数的两个性质m n n m n C C -= 规定：10=n C11-++=m nm n m n C C C 排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.例1. 从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？②有多少个不同的乘法算式？解： ①要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，因为乘法的交换率，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.由组合数公式得到，共有个不同的乘积.②要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.由排列数公式，共有P 25＝ 5×4＝20种不同的乘法算式.点评：看准是排列还是组合，剩下的就是简单计算了。

例2. 如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？②下右图中，共有多少个角？ )!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---=L )!(!!!)1()2)(1(m n m n m m n n n n A A C m m m n m n -=+---==L解：①在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，而与选这两个端点的顺序无关，所以，这是一个组合问题由组合数公式知，共有条不同的线段；②从O点出发的射线一共有11条，它们是OA， OP1，OP2，OP3，…，OP9，OB.注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角.显然，是组合问题，共有C211种不同的取法，所以，可组成C211个角.由组合数公式知，共有点评：在几何计数当中也用到了很多排列组合的方法。

高中数学排列组合几种常见题型及解法

高中数学排列组合几种常见题型及解法摘要:排列、组合问题是高中数学的重要知识之一,或单独命题,或与概率内容相结合,一般以较易题出现,但由于解这类问题时方法灵活,切入点多,且抽象性极强,在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现,所以又成为学习的难点之一。

故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解,运用化归思想、比较分类思想和模型化思维方法,将问题简单化、常规化。

关键词:分类计数原理、分步计数原理、特殊元素、特殊位置、捆绑法、插空法、隔板法排列组合的学习虽然注意发散思维、逆向思维能力的培养,但如果能够掌握一些常见题型及其解题策略,则会降低学习这部分知识的难度。

本文就排列组合的基本题型、基本思路做以简略介绍:一、排列组合的基本思路1、排列、组合的应用问题(1)无限制条件的简单排列、组合应用问题,可直接用公式求解。

(2)有限制条件的排列组合问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。

2、排列、组合的综合问题排列组合的综合问题,主要是排列组合的混合题,解题的思路是先解决组合问题,然后再讨论排列问题。

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点:(1)限制条件的排列问题常见命题形式:“在”与“不在”“相邻”与“不相邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法:①“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排特殊元素或特殊位置。

②“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”,即可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻问题最常用的方法。

③“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中。

④元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。

(2)限制条件的组合问题常见命题形式:“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。

(3)在处理排列组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重复、不遗漏按事件的发生过程分类、分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列组合问题的最基本,也是最重要的思想方法。