第二章算法的复杂性分析
算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法
算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法算法 今天给⼤家带来⼀篇关于算法排序的分类,算法的时间复杂度,空间复杂度,还有怎么去优化算法的⽂章,喜欢的话,可以关注,有什么问题,可以评论区提问,可以与我私信,有什么好的意见,欢迎提出.前⾔: 算法的复杂度分为时间复杂度与空间复杂度,时间复杂度指执⾏算法需要需要的计算⼯作量,空间复杂度值执⾏算法需要的内存量,可能在运⾏⼀些⼩数据的时候,⼤家体会不到算法的时间与空间带来的体验. 优化算法就是将算法的时间优化到最快,将空间优化到最⼩,假如你写的mod能够将百度游览器的搜索时间提升0.5秒,那都是特别厉害的成绩.本章内容: 1,算法有哪些 2,时间复杂度,空间复杂度 3,优化算法 4,算法实例⼀,算法有哪些 常见的算法有冒泡排序,快排,归并,希尔,插⼊,⼆分法,选择排序,⼴度优先搜索,贪婪算法,这些都是新⼿⼊门必须要了解的,你可以不会,但是你必须要知道他是怎么做到的,原理是什么,今天就给⼤家讲⼀讲我们常⽤的冒泡排序,选择排序,这两个排序算法,1,冒泡排序(Bubble Sort), 为什么叫他冒泡排序呢? 因为他就像是从海底往海⾯升起的⽓泡⼀样,从⼩到⼤,将要排序的数从⼩到⼤排序,冒泡的原理: 他会⼀次⽐较两个数字,如果他们的顺序错误,就将其调换位置,如果排序正确的话,就⽐较下⼀个,然后重复的进⾏,直到⽐较完毕,这个算法的名字也是这样由来的,越⼤的数字,就会慢慢的'浮'到最顶端. 好了该上代码了,下⾯就是冒泡排序的代码,冒泡相对于其他的排序算法来说,⽐较的简单,⽐较好理解,运算起来也是⽐较迅速的,⽐较稳定,在⼯作中也会经常⽤到,推荐使⽤# 冒泡排序def bubble_sort(alist):n = len(alist)# 循环遍历，找到当前列表中最⼤的数值for i in range(n-1):# 遍历⽆序序列for j in range(n-1-i):# 判断当前节点是否⼤于后续节点，如果⼤于后续节点则对调if alist[j] > alist[j+1]:alist[j], alist[j+1] = alist[j+1], alist[j]if__name__ == '__main__':alist = [12,34,21,56,78,90,87,65,43,21]bubble_sort(alist)print(alist)# 最坏时间复杂度: O(n^2)# 最优时间复杂度: O(n)# # 算法稳定性:稳定2,选择排序(selection sort) 选择排序(selection sort)是⼀种简单直观的排序⽅法, 他的原理是在要排序的数列中找到最⼤或者最⼩的元素,放在列表的起始位置,然后从其他⾥找到第⼆⼤,然后第三⼤,依次排序,依次类,直到排完, 选择排序的优点是数据移动, 在排序中,每个元素交换时,⾄少有⼀个元素移动,因此N个元素进⾏排序,就会移动 1--N 次,在所有依靠移动元素来排序的算法中,选择排序是⽐较优秀的⼀种选择排序时间复杂度与稳定性:最优时间复杂度: O(n2)最坏时间复杂度:O(n2)算法稳定性 :不稳定(考虑每次升序选择最⼤的时候)# if alist[j] < alist[min_index]:# min_index = j## # 判断min_index索引是否相同,不相同，做数值交换# if i != min_index:# alist[i],alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]### if __name__ == '__main__':# alist = [12,34,56,78,90,87,65,43,21]# # alist = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]# select_sort(alist)# print(alist)# O(n^2)# 不稳定def select_sort(alist):"""选择排序"""n = len(alist)for i in range(n - 1):min_index = i # 最⼩值位置索引、下标for j in range(i+1, n):if alist[j] < alist[min_index]:min_index = j# 判断min_index ,如果和初始值不相同，作数值交换if min_index != i:alist[i], alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]if__name__ == '__main__':alist = [8,10,15,30,25,90,66,2,999]select_sort(alist)print(alist)这是⼀些算法的时间复杂度与稳定性时间复杂度,空间复杂度 接下来就要来说说时间复杂度与空间复杂度: 时间复杂度就是假如你泡茶,从开始泡,到你喝完茶,⼀共⽤了多长时间,你中间要执⾏很多步骤,取茶叶,烧⽔,上厕所,接电话,这些都是要花时间的,在算法中,时间复杂度分为 O(1)最快 , O(nn)最慢,O(1) < O(logn) <O(n)<O(n2)<O(n3)<O(2n) <O(nn) ⼀般游览器的速度都在O(n),做我们这⼀⾏,要注意客户体验,如果你程序的运⾏特别慢,估计别⼈来⼀次,以后再也不会来了下⾯给⼤家找了张如何计算时间复杂度的图⽚: 空间复杂度(space complexity) ,执⾏时所需要占的储存空间,记做 s(n)=O(f(n)),其中n是为算法的⼤⼩, 空间复杂度绝对是效率的杀⼿,曾经看过⼀遍⽤插⼊算法的代码,来解释空间复杂度的,觉得特别厉害,我就⽐较low了,只能给⼤家简单的总结⼀下我遇到的空间复杂度了, ⼀般来说,算法的空间复杂度值得是辅助空间,⽐如:⼀组数字,时间复杂度O(n),⼆维数组a[n][m] :那么他的空间复杂度就是O(n*m) ,因为变量的内存是⾃动分配的,第⼀个的定义是循环⾥⾯的,所以是n*O(1) ,如果第⼆个循环在外边,那么就是1*O(1) ,这⾥也只是⼀个了解性的东西,如果你的⼯作中很少⽤到,那么没有必要深究,因为⽤的真的很少优化算法这边带来了代码,你们在复制下来了python上运⾏⼀下,看⼀下⽤的时间与不同, ⾃然就懂了,这是未优化的算法''已知有a,b,c三个数,都是0-1000之内的数,且: a+b+c=1000 ⽽且 a**2+b**2=c**2 ,求a,b,c⼀共有多少种组合'''# 在这⾥加⼀个时间模块,待会好计算出结果import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001):for c in range(100):# 判断他主公式第⼀次,并未优化if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :# 打印print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 156.875001秒这是第⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):# 这⾥改成1001-a之后,他就不⽤再循环b了for b in range(1001-a):for c in range(100):# 判断他主公式第⼆次,优化了b,if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 50.557070秒最后⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001-a):c=1000 - a - b# 判断他主公式第三次,优化了b和cif a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 2.551449秒从156秒优化到l2秒, 基本运算总数 * 基本运算耗时 = 运算时间这之间的耗时和你的机器有着很⼤的关系今天是12⽉30⽇,明天就要跨年了,祝⼤家2019年事业有成,⼯资直线上升,早⽇脱单,。
第二章 算法概述(下)
枚举法的应用
打印“九九乘法表” 可使用枚举法的问题还有如
完全平方数 完全平方数是指能写成一个正整 数的平方的数，如25=5^2，所以， 25是完全平方数。100=10^2，所 以，100也是完全平方数。
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百钱买百鸡问题：有一个人有一百块钱，打算买 一百只鸡。到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡 一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。现在， 请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才 能刚好用一百块钱买一百只鸡？ 此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数 为枚举对象（分别设为x,y,z）,以三种鸡的总数（ x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z/3)为 判定条件，穷举各种鸡的个数。
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问题分析：
使用列表保存5种水果名。 通过三重循环结构，枚果（解空间） 它们互不相等（筛选条件） 摆放先后次序有区别
•
输出所有可能的方案。
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算法步骤描述：
步骤1：建立水果列表fruit； 步骤2：使变量x遍历fruit 步骤3：对于x的每个值，使变量y遍历fruit 步骤4：对于x、y的每个值，使变量z遍历fruit 步骤5： 若zx且 zy 且xy 打印该方案
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递推与迭代
递推的过程实际上就是迭代的过程，即 不断用变量的旧值推出新值的过程。 一般递推使用数组（列表），在循环处 理时利用其下标的变化实现变量的迭代 ，而狭义的迭代是指使用简单变量来完 成这一过程。
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程序设计中的数组（列表）是指具有相同 名称、通过下标区分的一组变量。 如：a[0]、a[1]、a[2]或b[1,1]、b[1,2] 、b[1,3]、b[2,1]、b[2,2]、b[2,3]等。 在循环结构中，通过变量控制其下标值的 变化(如a[i]、b[i,j])，达到变量轮换的目的。 例如：循环：从a[0]到a[9] 循环：a[i]， i从0到9
算法复杂度分析中的近似算法
算法复杂度分析中的近似算法随着计算机科学的发展，算法复杂度分析成为了评估算法效果和性能的重要方法之一。
在算法复杂度分析中，近似算法是一种重要的技术手段，用于解决NP-难问题或其他无法在多项式时间内求解的问题。
本文将介绍算法复杂度分析中的近似算法及其应用。
一、近似算法的基本概念近似算法是一类用于求解问题近似解的算法，其核心思想是在有限时间内找到一个接近最优解的解。
近似算法常用于求解优化问题，例如旅行商问题、背包问题等。
近似算法的输出称为近似解，与最优解的差距被称为近似比。
二、近似算法的分类根据问题的性质和求解过程的策略，近似算法可以分为以下几种类型：1. 贪心算法：贪心算法通过每一步都选择当前最优的解决方案来逐步求解问题。
尽管贪心算法不一定总能得到最优解，但它具有高效性和简单性的优势，常常应用于实际问题的求解。
2. 近似随机算法：近似随机算法通过引入随机性来求解问题，其中最著名的算法是马尔科夫链蒙特卡洛方法。
该方法通过在状态空间中的随机游走来逼近问题的最优解，其近似比与马尔科夫链的收敛速度有关。
3. 近似启发式算法：近似启发式算法通过结合问题的特点和启发信息来搜索问题的解空间。
典型的近似启发式算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
这些算法通常具有较好的近似性能，但在计算复杂度上较高。
4. 近似线性规划算法：近似线性规划算法通过对问题进行线性规划松弛来获得问题的近似解。
该方法可以用于求解整数规划问题，并且具有较好的性能保证。
三、近似算法的性能评估在使用近似算法时，一个关键的问题是评估其解的质量和性能。
为此，我们引入了近似比的概念。
近似比是近似算法输出解与最优解之间的比值。
对于最大化问题，我们希望近似比越大越好；而对于最小化问题，我们则希望近似比越小越好。
通常情况下，我们希望近似算法具有多项式时间复杂度，并且能够输出具有较好近似比的近似解。
四、近似算法的应用近似算法在实际问题中具有广泛的应用，以下是其中一些典型的应用：1. 旅行商问题：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条经过所有城市且总长度最短的路径。
VB程序设计理论课提纲-排序,分治法,哈希函数,算法时间复杂性分析
②重复①过程，直至i=n+1 且j=m+1
合并排序法算法分析
在内循环的执行次数：
每执行一次循环，完成一个元素的合并 完成合并需执行循环m+n次
算法时间复杂性O(n) 算法空间复杂度O(2n)
冒泡排序+合并排序会提高算法效率 吗？
考虑对n个数的冒泡排序
时间复杂性n2/2 空间复杂性n （需要一个数组a[1..n]）
算法的计算次数最坏情况为10001次
解方程方案二
使用二分法进行动态步长试探求算
根据题意则在区间[0,1]中有10001个可用于试探 的x值是有序排列的，可用二分法求解 算法过程见教材P.79，例4.33
算法时间复杂度最坏情况为log2n，即 15次
解方程方案三
使用牛顿切线法进行动态步长试探求算
对算法效率的认识
一．算法复杂度基本概念 二．三种控制结构的算法时间复杂度 三．降低算法复杂度的基本策略 四．排序算法复杂度的认识
一、算法复杂度基本概念
算法复杂度是指程序执行过程所占用的机 器时间和空间。 一般采用大O标记法来描述复杂度的数量级 常见的复杂度的数量级有
O(n0) ：常量级 O(n) ：线性级 O(n2) ：平方级 O(2n) ：指数级 O(log2n) ：对数级
根据题意则在区间[0,1]中的x值和y值存在函数 关系，利用函数的导数求切线与x轴的焦点作为 步长进行求解 算法过程见教材P.79，例4.32
可以证明其算法时间复杂度比二分法 还要小。
四、对排序算法复杂度的认识
数组中元素的查找策略 选择排序算法复杂 冒泡排序算法复杂 归并排序算法复杂 二路归并排序算法复杂 分治思想下的冒泡排序(快速排序）算法复 杂
重庆大学《计算复杂性及算法分析》课程内容纲要(总)
计算复杂性及算法分析课程内容纲要主要参考书:1.主要参考书1 J.E.Hopcroft 等 <自动机理论,语言和计算导论>2.主要参考书2 D.E.Knuth <The Art Of Computer Programming> V13.主要参考书3 D.E.Knuth <The Art Of Computer Programming> V34.主要参考书4 G&K&P <CONCRETE MATHEMATICS>课程内容的安排:由于这门课程的内容来自两个不同的领域:计算复杂性和算法分析.所以有必要划分课时的安排.1次课4学时用于计算复杂性(第一讲)6次课20学时用于算法分析(第二讲..第七讲)2学时用于复习第一讲 (4学时)主要参考书1-第8章-8.2,8.3,8.4;第10章-10.1主要内容是介绍图灵机.以及P与NP的一些相关概念第二讲 (4学时)主要参考书1-第10章-10.1,10.2主要内容是介绍NP完全问题,Cook定理的证明第三讲 (4学时)主要参考书2-第1章-1.2.1,1.2.3,1.2.5,1.2.6,1.2.8,1.2.9算法分析所会用到许多数学知识,高老师在1.2中给出了一些介绍.为了简洁我们引用这里的内容.更好的选择是主要参考书4第四讲 (4学时)主要参考书2-第1章-1.2.10一个算法的分析,和数学有关的分析第五讲(4学时)主要参考书2-第1章-1.3.3对排列的应用,和程序有关的分析第六讲(4学时)主要参考书2-第1章-2.3.4.1,2.3.4.5树的基本数学性质:克希霍夫定律一种一般的程序执行时间估算的方法,以及以后要研究的内容中经常要出现的内容:通路长度第七讲 (4学时)主要参考书3-第5章-5.3,5.3.1最优排序(一)复习 (2学时)第一讲(4学时)主要参考书1 第8章-8.2,8.3,8.4;10.1主要内容是介绍图灵机以及P和NP的一些概念.为介绍Cook定理做准备计算复杂性和算法分析是两个内容.关于计算复杂性我们以介绍Cook定理为界;关于算法分析我们以介绍G.D.Knuth的一些实际分析例子为界.这一讲介绍图灵计算模型.以及一些与NP完全问题有关的内容.目的是引出Cook 的第一个NPC问题的证明.由此可以对图灵模型和NPC问题有一个入门的认识.0.难解问题比判定问题更为普遍,所以我们把计算复杂性的主要介绍定在难解问题上1.有穷状态自动机,(DFA 主要参考书1-31页,2.2.1,33页,图2-4, NFA 主要参考书1-37页,2.3.1,图2-9).主要涉及确定与不确定的概念2.从编译原理课程上下文无关文法的分析引出下推自动机(PDA 主要参考书1-6.1.2,6.1.4).主要涉及形式化定义,分析(也称计算)过程的瞬时描述和ID3.确定性图灵机.一种非常简单的计算模型,图灵机.相比之下,C程序的状态太复杂,不能给出可以理解的形式证明.参见主要参考书1第8章-8.2,8.2.24.图灵机的瞬时描述.ID的内容(主要参考书1第8章-8.2.3)介绍一个图灵机的识别例子,仔细的研读这个例子,形成对图灵机的感性认识.还有一个自己认为成立的图灵机的计算例子.2+3=5.具体可表示为B110111B转变成B11111B.从而完成1进制的2+3=5.在主要参考书1第八章-8.2.4给出了一个做减法的例子.其行为特征类似.构造图灵机并不是一件容易的事情,主要参考书1-8.2.4给出了一种较为容易理解的状态转移图.并不难理解,可以从状态转移表得到,类似NFA,不过添加了一些图灵机必要的内容.5.发明了不确定性图灵机,它不是一种真实的计算机,仅仅是一个计算模型,而且现阶段也不可能实现,但是并不妨碍我们用它来思考.充分多的转移分支保证了恰当方式描述的问题得以充分的遍历.有些在DTM M上没有得到多项式解的问题可以在这样的计算模型上得到多项式时间解.可以这样解决的问题被称为NP问题.也就是非确定性多项式时间解.说到底,DTM M和难题们ZHIJIAN的关系就想是用定理来解决问题还是用搜索来解决问题.6.停机概念:没有移动就是停机了.接受状态一定可以等价于停机状态,但是不接受不一定停机.这个与语言有关,也与判定问题有关,不属于我们约定的内容.停机与接受没有直接的关系,但是停机对复杂度有关.7.非确定性图灵机非确定性图灵机拥有想象中的并行处理能力. 如果对树进行搜索,NTM M只需要最长树支的时间,但是树有指数阶的节点.参见主要参考书1第八章-8.4.48.实际工作中更容易碰到的是难解问题.例如求解H回路,调度问题.主要参考书1第10章-8.2.读一下这一段话应该很有帮助.9.由于对这样的问题没有充分的解决方法,所以写不出来确定的图灵模型.一个搜索过程与非确定性图灵模型极为相似.如果我们假设我们有搜索分支那么多的处理器,于是我们就有了一个并行的问题解决能力.本来在串行搜索上需要指数时间的问题求解过程在这样想象的并行处理能力上就只要多项式时间就够了.因此串行多项式时间和并行多项式时间是不同的.10.现在有很多问题似乎都有前面例子的那种求解特征.没有充分的解决方法,只能通过搜索来求解.如可以用充分的方法寻求欧拉回路,但只能通过搜索寻求汉弥尔顿回路.这样的问题似乎还有串行多项式时间可以求解的可能,完全没有这种求解可能的有Hanoi塔问题.它就是一个串行指数复杂性的问题.11.问题的P类和NP类(即确定型TM和不确定型TM分别在多项式时间里能解答的问题).12.可在多项式时间内解答的问题:如果每当给定图灵机M长度为n的输入w 时,M无论接受与否,都在至多移动T(n)步之后停机,则说M具有时间T(n),我们主要对T(n)是n的多项式的情形感兴趣.如果存在某个多项式T(n)和某个时间复杂性T(n)的确定型TM M,使得L=L(M),则说语言L属于P类.关于P类问题的例(290页10.1.2),这个例子提出了几个与之相关的问题.如果存在某个多项式T(n)和某个时间复杂性T(n)的非确定型NTM M,使得L=L(M),则说语言L属于NP类.关于NP类问题的例(293页10.1.4).同样是多项式时间,但是由于采用了不同的计算模型导致有极大的差别.13.从P和NP来看,由于DTM M 就是没有转移选择的NTM M.于是属于P的也应该属于NP,所以NP比P大,于是就出现了NP-P.NP和P是否一样大是一个很难的问题.14.进一步需要了解的是NP-P究竟是什么?(1)可以很自然的感觉到NP-P中间的问题都一定是属于NP,这就是NP完全问题2个先决条件的第1个.这不是一个好回答的问题,下面还会做进一步的解释.(2)假定有一个问题L满足(1),并且如果所有的NP完全问题都能够在多项式时间内完成对问题L的规约(或者简化成问题的转换),那么问题L就是一个NP完全的问题.15.NP完全的问题有一个特征,只要一个NP完全的问题得到DTM M的多项式时间解,那么所有的NP完全问题都能够有DTM M下的多项式解.这样的研究使得事半功倍.但是在NP?=P解决之前,这个研究是没有实际的效果的.目前解决NP完全问题最多的手段是近似算法,拥有多项式时间复杂性的DTM M算法.虽然不能作到100%的解决NP完全问题,但是在一定的范围内,其解的精度足以应付应用的需要了.16.确定一个问题是否是NP的不是一件轻松的事情.欧拉回路就很好判断,但是H 回路就很难判断.这里我们还没有计较计算复杂性.一般来讲有了充分性的描述就容易得到确定性的解决方案,也就是可以采用DTM M;但是只有必要条件或者连必要条件也没有,那只能利用NTM M作为计算模型了.在我们确认NP完全问题中一定要确认该问题是属于NP的.这在很多介绍中用的是判定实例.17.对基于比较排序算法的下限问题是通过比较树来完成的.对于这样的问题用了这样一个问题的求解结构使得我们有可能形成对比较树的分支长度有一个度量的机会.于是我们得到了该解决该问题算法的复杂性下限.尽管现在还没有介绍该内容,但是可以肯定这样的工作是已经完成了的.在这里我们并不是要介绍这个内容,但是给我们的一个启发是NTM M计算模型相当于是比较这样的二元运算,基于这样的二元运算得到了比较树.于是我们解决了这个问题.是否也可以为NPC问题中的一个(如SAT问题)确定一种恰当的运算,也基于这样的运算构建一个相关的问题结构,如果能够找到该结构上的算法下限,就可以确定P?=NP了.不过这只是一种想法,没有真正的思考过.第二讲(4学时)主要参考书1第10章-10.1,10.2,S.A.Cook的文章<The Complexity of Theorem-Proving Procedures>以及<计算复杂性>7.5P和NP,有必要加深对NP问题的理解,NP完全问题,Cook定理的证明课程纲要上的主要参考书1相对粗糙,主要是介绍了这个证明过程中间的主要线索,尽管如此还是显得含糊不清.所以这里结合了另外一本教材中的介绍,以及Cook的原文章.但是需要相当高的水平才能完全看懂,所以就是这样也还是一个纲要性的介绍.1.设语言L属于NP,并且NP中的每个语言都可以在多项式时间里规约到L(用多项式复杂性的算法把属于NP的一个问题的描述转换成对另一个属于NP问题的描述),则L是NP完全的.如果从问题的角度了讲,语言L所描述的问题就是NP完全的问题. 附注:需要解释如何确认一个问题是属于NP的.见<计算复杂性106页例7-6>2.一个简单的推论:把所有属于NP的语言在多项式时间里规约到语言L是一件麻烦的事情.既然在确认第一个NP完全问题的时候已经作过这样的规约,那么以后只要把已经存在的NP完全问题在多项式时间里规约到指定的问题就足以保证该问题是NP完全的了.3.Cook做的事情是依据NP完全问题的定义确定第一个NP完全问题.由此可以得到两个好处.第一是新的NP完全问题的确定就没有那么困难了;第二是只要有一个NP完全问题得到确定性图灵机上的多项式解,则所有的NP完全问题都得到这样的解.这一点可以从第一个好处中得到说明.4.介绍可满足性问题(也叫SAT问题):给定布尔表达式,这个表达式是可满足的吗?举个例子以说明此问题.图灵机用识别语言的方式来处理问题,所以必须要为SAT 问题确定一个编码方案,看看这样的一个表达:x1&!(x10|x11),这样的表达方式可以用确定性的PDA来识别.于是可以肯定用这样的方式描述的表达式可以在DTM M上用多项式时间解析.Cook定理:命题逻辑的可满足性是NP完全的.证明概要:假定非确定性图灵机M在多项式时间内接受一个串的集合S,每个串s都是属于NP问题的一个描述.给该图灵机一个输入w,接受的过程会给出一个NTM M的计算路.依据该计算路可以构造出合取形式的谓词A(w),使得A(w)可满足当且仅当M接受w.这里的图灵机是单带的右端无限长,有左端头方格.用1,2,...n 从左向右来命名这些方格.w属于S,其长度为n,M在多项式时间内接受w,假设有x1,x2,...,xm个带符号,q1,q2,...,qs个状态,其中q1是开始状态(这里要注意,和一般以q0为开始状态有区别,不过作为一般的理解,这个区别不算什么),qs 是停机状态.注意,该计算路最多P(n)步,所以不会涉及该范围之外的方格.另外,由于问题的不同使得接受的计算路有长有短,就像多项式的阶有高有低一样,给思考带来麻烦.由于属于NP的问题一定会被NTM M接受,所以为了使讨论简单,可不失一般性的假设:不管M是否已经进入接受格局,都让M继续"计算"下去,但对于已进入接受格局时,其下面的"计算"将不移动扫描头也不改变已进入的接受状态,直到第p(n)个格局为止.只要不会生成指数复杂性的问题一律都简化.这一点也可以并且也应该用于该证明的其他地方.由此可以认为第p(n)个格局一定是停机格局.这个假设会用在下面第7个命题变元上.这里需要定义几个谓词:(1) C<i,j,t> 取值1当且仅当M在时刻t(即第t步)时第i个方格里有符号xi(2) S<k,t> 取值1当且仅当M在时刻t处于状态qk(3) H<i,t> 取值1当且仅当M在时刻t时读写头扫描着第i个方格附注:上一讲把状态嵌入到要接受语言的中间.像...XiqXi+1....尽管在Xi,Xi+1之间加入了状态q,但是仍旧保持了下标之间的连续性.可以理解为当前关注的带方格中有状态.这个想法在主要参考书1-8.3.1中有明确的描述.表明状态的概念是用元组来承载的,于是当前需要的信息都存在这里.所以才能保证扫描头能够同时关注当前状态和带符号.另外计算路是用步来计量的,从一个格局转换到下一个格局就算是一步,一个时刻前进一步,那么用时刻t到时刻t+1也就相当于从格局t到格局t+1.这样的描述方便理解.另外为了书写方便再定义一个谓词U(x1, x2, ...,xr).当x1, x2, ... xr 中恰有1个为1它取值为1U(x1, x2, ...,xr) = (x1 | x2 | ... | Xr)&(& i!=j (!xi | !xj))附注:(1)这样的谓词用来确定扫描头的工作是正常的,是符合对图灵机的定义的.这样的子表达式是究竟真还是假需要用当前的状态来认定.如r=2为例可以很清晰的描述出应该得到的效果.(2)这些谓词的定义来自于Cook的文章.但是Cook的文章并没有提到如何具体实现这4个谓词.如果是定长的谓词应该没有问题,前面就有对SAT公式的描述,但是没有如何实现用p(n)作为界限的公式描述方式.一点个人的想法是从逻辑上能够形成对这个问题的理解,但是不容易给出具体的实现.不过对于任何一个实例来讲接受步长p(n)总是确定的整数,所以还是能够接受能理解不容易实现的说法.就好象能够理解NTM,但是无法实现NTM那样.从Cook的文章中有证明的过程,但是实在是难以理解.这里介绍的内容就作为一个入门,进一步的深入理解还需要完整的阅读Cook的原文才是.下面可以用7个命题变元A, B, C, D, E, F, G 来构成A(w).它判断了Q0,Q1, ... Qp(n)是一条接受w的计算路.在Cook的原文中这里是8个谓词.在众多对该原文的解释中对这里使用的谓词的个数和意义有不同的版本.原文中基本上是基于谓词实施证明的.判断Q0, Q1,...Qp(n)是一条接受w的计算路等同于判断如下7个事实:1.在每个格局中,扫描头只扫描1个带方格.检查它的目的是保证这样的证明与介绍的NTM M一致.2.每个格局中的每个带方格里只有1个带符号.检查它的目的是保证这样的证明与介绍的NTM M一致.3.每个格局中只有1个状态.检查它的目的是保证这样的证明与介绍的NTM M 一致.4.在该计算路中,从1个格局到下一个格局,最多只能修改上一格局中被扫描方格中的符号.检查它的目的是保证这样的证明与介绍的NTM M一致.5.正确的转移.因为NTM M就是以转移作为"计算"的.所以转移是这个仿制过程的关键.6.Q0是M在输入w后还没有开始"计算"前的初始格局7.该计算路的最后一个格局是停机状态现在来构成与判断1-7相对应的命题变元A-G(1)令At=U(H<1,t>, H<2,t>, ...H<p(n),t>).At表示在时刻t, M的扫描头恰好扫描着某一带方格.置A = A0 & A1 & ... Ap(n)表述了判断(1).U谓词需要O(p^2(n)),则A需要O(p^3(n)).(2)令Bit=U(C<i,1,t>, C<i,2,t>, ...C<i,m,t>).Bit表示在时刻t, 第i个带方格内只有1个带符号. B = & 0<=i,t<=p(n) Bit 表述了判断(2).这里由于i和t分别是从0到p(n),所以二维的长度是O(p^2(n)).(3)令C=& 0<=t<=p(n) U(S<1,t>, S<2,t>, ... S<s,t>). C表述了判断(3).因为DTM M的状态是常数,所以C的长度为O(p(n)).(4)令D=& i,j,t [(C<i,j,t>=C<i,j,t+1>) | H<i,t>].由于是两部分的析取,分别表示在时刻t和t+1,方格i中的带符号xj没有改变;以及当前扫描头扫描第i 个带方格.根据这样2个子断言的析取,不容易形成对判断(4)的理解.具体举个例来说如果i=5,j=6,t=7,如果C<i,j,t>=C<i,j,t+1>,表示第i方格的符号没有改变,因为析取,所以结果是真;如果C<i,j,t>!=C<i,j,t+1>,表示第i方格的符号改变,尽管这个子表达式为假,也因为析取,所以结果还是真.又因为NTM M中只有当前的i,j,t的值,所以依据这样的表达式的组织,其余的只能为假,因为i,j,t的值不对.这样就保证了事实4的成立.附注:在Cook的原文中没有这样的断言,由于该构造并不容易理解,所以当无法理解Cook的原意时,就会有许多的发明.这里就是一种发明.(5)令Ei,j,k,t=!(C<i,j,t>&H<i,t>&S<k,t>)||l[C<i,jl,t+1>&H<il,t+1>&S<kl,t+1 >].关于正确的移动要表明只有在时刻t状态k位置i关注着带符号xj,那么才有后面的不确定转移产生的多项转移中的一项为1.如果时刻t不是前面那么严格的判定,那么后面也不会作这样的转移.附注:这里没有做真正的转移,只是形成了正确移动的为真(1)判断.这里不像NTM M会作转移,仅仅是判断这一步的转移是否正确.同样可以像对事实4的解释那样形成具体的实例.(6)令F=S<1,0>&H<1,0>&(& 1<=i<=n C<i,ji,0>)&(& n<i<=p(n) C<i,1,0>).它表示时刻0时的M情景.时刻0表示刚好完成M的初始工作,一次都还没有计算.注意时刻和状态是两个不同的概念,尽管它们之间有关系.(7)令G=S<s,p(n)>.在前面已经做了的假设之下,是能够正确的判定停机.令A(w)=A&B&C&D&E&F&G附注:该表达式来自于<计算复杂性>,Cook文章中是8个子式的合取.可以感觉到意会的含义.给定一个属于NP问题的语言w,就可以在多项式时间内依据NTM M的"计算"规则下构造出A(w),当w在NTM M下形成一个可接受的计算路Q0,Q1,...Qp(n).则这个计算路就可以使在A(w)中的各个命题变元中相应式子的指派为真从而使得A(w)满足,反之若有一个使得A(w)满足的指派,则可以由此找到可接受的计算路.上述结论就是Cook定理的基本内容,细节请参看Cook本人的文章<The Complexity of Theorem-Proving Procedures>最后提一个问题,为什么总要强调多项式时间内的转换呢?第三讲(4学时)主要参考书2-第1章-1.2.1,1.2.3,1.2.6,1.2.8,1.2.9算法分析所会用到许多数学知识,高老师在1.2中给出了一些介绍.为了简洁我们引用这里的内容.更好的选择是主要参考书4这里涉及到许多内容,不过总归起来只有一点,那就是了解各种变换的手法.熟能生巧,多能生熟.另外我们把这里所讨论的内容都局限在正整数的范围内,这样可以减少边界对学习的影响.高老师探讨了正整数之外的边界,所以如果你有这样的需要,就请做进一步的学习.一.递归方程(1学时)(主要参考书4-第一章-1.1,网络上有该书中文版的扫描版下载)1.递归方程是算法分析过程中的重要形式.通过这种形式可以把算法逐步得到的行为一方程的形式表达出来,从而可以得到对算法计算强度的一个度量.这样的度量会给出精确的结果.算法分析的很重要的一个部分就是求解递归方程的解.主要涉及到如下的3个方面.(1)看看小的情况,这使得我们深入了解问题(2)求出和证明关心的量的一个数学表达式,用归纳法证明.(3)求出和证明该数学表达式的一个闭形式2.该章的内容容易看,建议继续看下去.二.求和(1学时)主要参考书2-1.2.31.求和的作用和表示(1)对于和数之积的分配律(2)改变变量:第1种:改变下标变量的名称.第2种:在范围不便的前提下改变排列.(3)交换求和的顺序(4)处理作用域2.四个简单的代数运算3.基本技术的运用附注:高老师说的好清楚,我实在没有什么需要写的了.照着说就行三.二项式系数(1学时)1.二项式系数的定义以及形式2.对二项式系数进行运算的基本技术(A)用阶乘来表示: 公式(5)直接来自于定义(B)对称条件: 公式(6)(C)移进和移出括弧: 公式(7)(D)加法公式: 公式(9)(E)求和公式: 公式(10),公式(11)(F)二项式定理:主要是了解二项式的形式(G)把上标取负: 公式(17)(H)简化乘积公式(20)(I)乘积的和: 公式(21)3.例问题1:附注:斯特林公式会在第四讲中用到的时候再介绍四.生成函数(1学时) 参见主要参考书2-第1章1.2.91.生成函数的定义有序列a0, a1, a2,... 则可以形成如下的无穷和G(z) = a0 + a1z^1 + a2z^2 + ...2.生成函数的定义以及意义在分析的过程中会经常遇到递归方程.由此产生了一系列的数值,这些数值在某种规则的作用下形成了一个序列.尽管是针对同一个递归方程产生的数值,但是因为不同的层次导致相互之间好象没有关系.这对我们利用递归方程是很不利的.生成函数很好的解决了这一个问题.(1)用生成函数来表示一个序列的完整信息.这样拥有许多值的一个序列就变成了一个单一的变量.另外在需要的时候还可以回收获得的序列.我们可以这样来理解.算法分析->递归方程->递归方程的解序列(可以用递归方程以及初始条件来描述)->形成对应的生成函数->施加需要的分析导致的运算->形成新的生成函数->回收获得的新序列(在该新序列中包含我们需要的特征).(2)不必关心收敛的问题.就像是2个多项式的运算并不需要知道多项式的值一样.2.使用生成函数的主要技术(1)加法(2)移位:Fn表示该序列是a0 a1 a2 ... an,Fn-1表示该序列是0 a0 a1 ... an-1例:斐波那契序列还可参见主要参考书2-第1章-1.2.8(3)乘法(4)微分与积分例:求解序列1,2,3,...的前n项和(5)回收:一般采用查表的方法.当然也可以自己推导.(这是我说的)第四讲(4学时)主要参考书2-第1章-1.2.10一个算法的分析,看看我们要做的事情是什么1.面临的问题.算法M(求极大值):并且对该算法做解释n是端点, j是记录最大值下标的变量, k是循环变量, m保存到目前为止的最大值.2.把克希霍夫定律用于算法M的流程图由此得到各个步骤相应的运算次数.其中有一个量是不清楚的.这就是分析的对象3.需要分析的目标,也就是我们要分析出被分析对象的什么特性?一般而言有以下几种(1)极小值(2)极大值(3)平均值附注:在概率和统计学中,一个随机变量的期望值(或期待值)是变量的输出值乘以其机率的总和,换句话说,期望值是该变量输出值的平均数。
算法难度分级
算法难度分级1、算法分析•算法复杂度是衡量算法难度的尺度。
•算法需要的资源越多，复杂度越高。
计算机的资源，最重要的是运算所需的时间和存储程序和数据所需的空间资源。
•算法复杂度包括时间复杂度和空间复杂度。
•复杂问题或高效算法一般不做算法分析，而是采用基准测试方法。
•能够分析清楚的算法，一般是简单或低效算法；•难题（如货郎担问题）及高效算法很难分析清楚。
2、计算算法复杂度的困难•算法复杂度与问题规模大小有关；•输入数据的分布也会影响算法复杂度。
算法复杂度评价：•最好、最坏、平均；•通常着重于最坏情况下的算法复杂度。
精确计算算法复杂度的困难：（1）由算法写出程序需要花费很大的精力；（2）会因为程序写的好坏，影响算法的质量；（3）测试数据很难对各个算法都公正；（4）好算法需要反复改进，反复测试，工作量很大。
3、算法时间复杂度的表示•算法时间复杂度指程序从开始运行到结束需要的时间。
•问题规模为n，算法需要的时间为T(n)时，T(n)称为算法的“时间复杂度”。
•算法时间复杂度常用大O表示（读为：大圈，Order，big-O）。
•算法时间复杂度与输入数据的规模有关。
•如，二分查找算法复杂度是O（log n），表示二分查找需要通过log n量级的运算步骤，去查找一个规模为n的数组。
•如，算法复杂度为O(f(n))，表示当n增大时，运行时间最多以f(n)的速度增长。
也称为渐进复杂度。
常见算法复杂度级别算法时间复杂度增长趋势曲线4、算法时间复杂度计算案例【案例】时间复杂度T(n)=O(1)的情况，如：•temp=i;•i=j;•j=temp;•以上语句的频度均为1，程序执行时间是不问题觃模n无关的常数。
•算法时间复杂度为常数阶时，记T(n)=O(1)。
•如果算法执行时间丌随问题觃模n的增加而增长，即使算法有上千条语句，其执行时间也是一个较大的常数。
记作T(n)=O(1)【例】时间复杂度T(n)=O(n)的情况。
以上算法的时间复杂度为：T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n)。
第二章算法与问题解决课件—浙教版(2019)高中信息技术必修1(46PPT)
控制转 移
在算法执行过程中，有时需要根据数据或运算结果的特点进 行不同的处理，这时就需要运用控制转移来执行不同的操作。
（分支、循环)
算法的描述 同一个算法可以用不同的方式描述
算法的描述 使用自然语言描述算法。
（1）输入苹果的重量x
（2）判断苹果的重量是否大于2千克
（3）如果苹果的重量不大于2千克，应付款y=x*1.5
算法的描述
优点 缺点
自然语言 通俗易懂
流程图
形象直观 容易理解
伪代码
简洁易懂 语法任意
计算机语言 能让计算机执行
易产生歧义
情况复杂时， 过多的流程线 影响理解
不直观 错误不易发现
需要有学习基础
× √
√ × √ ×
算法的描述
小明发现奶茶店的奶茶桶是需要人为更换的，因此他设计了一个算法，当奶茶 容量少于500ml 的时候，会自动添加奶茶直至容量到达 500ml。
2.某景区使用了游客人数控制系统来控制景区内游览人数。该系统在景区各个
人口和出口分别统计人数,并汇总计算得出景区内的大致人数。该过程属于计算
机解决问题的一般步骤中的哪个环节( )
A.抽象建模
B.设计算法
C.编写程序
D.调试运行程序
4 5
×
√ √ √ ×
√
算法的描述 程序语言的发展
• 高级语言更接近自然语言，并不特指某一语言，也不依赖于特定的计算机 系统，因而更容易掌握和使用，通用性也好。比较流行的高级语言有Java、 C/C++、Python等，程序的可读性好，也便于修改、维护。
高级语言代码为：result=2+3
• 机器语言→汇编语言→高级语言 优点：计算机理解执行 缺点：需要学习，难度高
系统论第二章
第二章系统的复杂性有人预见“复杂科学有可能成为一门广泛增加人类预见力的带头学科”。
所谓带头学科，就是可为其他学科提供理论基础和研究的方法，并以自己突出的成果成为科学关注的焦点，同时，它将吸引当代最有才华的学者投入到研究领域。
第一节复杂性的概念及描述复杂、复杂性等概念在日常生活中为人们广泛使用。
人们总是通过比较来判定事情是复杂还是简单，但却并不清楚复杂事物与简单事物究竟有什么本质上的区别。
对同一事物，有的人觉得复杂，另一些人可能会觉得简单。
例如：打开电视机，里面有那么多密密麻麻的电子元件和集成电路，各种导线和印刷线路板纵横交错，外行人总感到它的结构非常复杂，但是对一名懂其原理构造的专家或熟练的修理人员来说，就是一件简单的事，并能轻而易举地分析电路，发现和排出故障。
同一个人，同一事物，有时也会因要解决的问题不同，所涉及的层次不同。
时而把他当作简单的系统，时而又把它当作复杂系统。
如，一个两口之家或三口之家相对于三代同堂的大家族来说是简单的，但这里涉及到每个人是由哪些器官，每个器官是由哪些组织，每个组织由哪些细胞组成。
因为这种简单只是就家庭成员的个人层次而言的，如果将其他层次的内容也考虑进去，即使最简单的家庭，也是一个十分复杂的系统。
上述情况表明：①复杂与简单之间没有绝对的界限；②复杂性的判断和感受因人而异，涉及各人的知识背景和对该工作（事物）的熟悉程度；③复杂性是相对一定系统和层次而言的，离开具体的系统和层次难以判断简单与复杂。
一、客观复杂性与主观复杂性1、客观（内禀）复杂性客观复杂性就是不依赖认识主体，观察者和工作主体，仅仅与事物或系统本身的属性、功能、结构以及运动形态有关的复杂性，因此又称为客观复杂性或本征复杂性。
<1> 多样性：看一个系统是复杂还是简单，往往看它包含的元素、要素、成分、层次多少，一般包含多的为复杂，少的为简单。
①多维、高阶、高层是多样性的数学表征：数学上量的差异不仅仅表现在个数上，在数学上它是通过维数、阶数、次数等三个基本方面表示的。
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第二章算法的复杂性分析
复杂性分析是计算机科学中非常重要的一个概念，它用来评估一个算法的性能。
在第二章中，我们将学习如何分析算法的时间复杂性和空间复杂性。
时间复杂性是指计算机程序在执行过程中所需要消耗的时间。
算法的时间复杂性分析有助于我们了解一个算法在输入规模增加时，所需要消耗的时间的增长速度。
为了分析算法的时间复杂性，我们通常使用大O表示法来表示算法的时间复杂性。
例如，如果一个算法的时间复杂性为O(n)，那么这个算法的运行时间会随着输入规模n的增大而线性增长。
常见的时间复杂性表达式及其对应的增长速度如下：
-O(1)：常数时间复杂性，算法的运行时间不受输入规模的影响，例如常数级的加法运算。
- O(log n)：对数时间复杂性，算法的运行时间随着输入规模的增加而以对数速度增长，例如二分算法。
-O(n)：线性时间复杂性，算法的运行时间随着输入规模的增加而线性增长，例如简单查找算法。
-O(n^2)：平方时间复杂性，算法的运行时间随着输入规模的增加而平方增长，例如冒泡排序算法。
-O(2^n)：指数时间复杂性，算法的运行时间随着输入规模的增加而指数级增长，例如穷举算法。
要进行时间复杂性分析，我们通常需要考虑以下几个方面：
1.循环的次数：计算算法中的循环次数，从而确定算法的时间复杂性。
2.递归的深度：计算算法中递归函数的调用次数，从而确定算法的时
间复杂性。
3.嵌套循环：计算算法中嵌套循环的次数，从而确定算法的时间复杂性。
空间复杂性是指计算机程序在执行过程中所需要的内存空间。
算法的
空间复杂性分析有助于我们了解一个算法在运行过程中所需要占用的内存
空间。
与时间复杂性类似，空间复杂性也使用大O表示法来表示。
例如，如
果一个算法的空间复杂性为O(n)，那么这个算法需要占用与输入规模n
相关的内存空间。
常见的空间复杂性表达式及其对应的增长速度如下：
-O(1)：常数空间复杂性，算法的空间占用不随输入规模的增加而变化，例如只需要占用几个变量的内存空间。
-O(n)：线性空间复杂性，算法的空间占用随着输入规模的增加而线
性增长，例如需要存储输入数据的数组。
-O(n^2)：平方空间复杂性，算法的空间占用随着输入规模的增加而
平方增长，例如需要存储输入数据的二维数组。
对于空间复杂性分析，我们需要主要考虑以下几个方面：
1.变量占用的空间：计算算法中使用的变量所占用的内存空间。
2.数据结构的空间占用：计算算法中使用的数据结构（例如数组、链表等）所占用的内存空间。
总结：算法的复杂性分析是评估一个算法性能的重要手段。
通过分析算法的时间复杂性和空间复杂性，我们能够更好地选择合适的算法，并对其进行优化。
在实际应用中，我们需要根据具体的场景和需求来选择适合的算法，以达到更高的效率和更低的资源消耗。