七年级几何证明压轴题

1.（11分）如图12-1，点O 是线段AD 上的一点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC . （1）求∠AEB 的大小；

（2）如图12-2，△OAB 固定不动，保持△OCD 的形状和大小不变，将△OCD 绕着点O 旋转（△OAB 和△OCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.

2．(本题9分)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交直线BC 于点E.

⑴若∠B=35°，∠ACB=85°,求∠E 的度数；

⑵当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系.写出结论无需证明.

3如图1，△ABC 的边BC 直线l 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ；△EFP 的边FP 也在直线l 上，

边EF 与边AC 重合，且EF=FP ．

(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连接AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连接AP ，BQ ．你认为(2)中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

O C B

E G 图12-1 C D O A B E G 图12-2

P E D C B A

D

A E

C

B F

l

图②

A

B E F

C

D

4．(本题8分)如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠α．

(1)如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，问EF=BE－AF，成立吗?说明理由．

(2)将(1)中的已知条件改成∠BCA=60°，∠α=120°(如图2)，问EF=BE－AF仍

成立吗?说明理由．

(3)若0°<∠BCA<90°，请你添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使结论

EF=BE－AF仍然成立．你添加的条件是▲．(直接写出结论)

5．(本题6分) 如图①，直线l过正方形ABCD的顶点B，A、C两顶点在直线l同侧，过点

A、C分别作AE⊥直线l、CF⊥直线l．

(1)试说明：EF＝AE＋CF；

(2)如图②，当A、C两顶点在直线l两侧时，其它条件不变，猜想EF、AE、CF满足什么

数量关系(直接写出答案，不必说明理由)．

图①

图3图2

图1

E

B C C

6、P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，;如图3，若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点.分别指出每个图中∠BPC 和∠A 的关系,并选择其中一个加以证明.

7、(本题12分)如图，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边作等边三角形ACD 和CBE ，连结AE 、BD ，AE 交DC 、DB 分别为F 点、H 点，BD 交CE 于G 点，连结FG. 求证:① ∠ FAC =∠ HDC ;② ∠ HFG =∠ HAC;③ ∠ BHA = 120 °.

H F

G E D

C

A

8、如图，在△ABC 中，∠A ＝α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 2008BC 与∠A 2008CD 的平分线相交

于点A 2009，得∠A 2009 ．则∠A 2009＝ ．

B

A

C

D

第7题图

A 1 A 2

9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（每小题2分，观察得

出结论与说明理由各占1分．）

（1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并

说明理由．

图①

（2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．

C B

A P

图②

（3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．

图③C B A P 1P 2

（4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．

C

B

A

P 12

图④

（5）若将（3）中的四边形BP 1P 2C 的顶点B 、C 移至△ABC 内，得四边形B 1P 1P 2C 1，如

图⑤，试观察比较四边形B 1P 1P 2C 1的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．

C B

A

P 1

P 2

B 1

C 1

图⑤

10、．（1）BP + PC ＜AB + AC ，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短． （2）△BPC 的周长＜△ABC 的周长．理由：

如图，延长BP 交AC 于M ，在△ABM 中，BP + PM ＜AB + AM ，在△PMC 中，PC ＜PM + MC ，两式相加得BP + PC ＜AB + AC ，于是得：△BPC 的周长＜△ABC 的周长．

C

（3）四边形BP 1P 2C 的周长＜△ABC 的周长．理由： 如图，分别延长BP 1、CP 2交于M ，由（2）知，BM + CM ＜AB + AC ，又P 1P 2＜P 1M + P 2M ，可得，BP 1 + P 1P 2 + P 2C ＜BM + CM ＜AB + AC ，可得结论．

或：作直线P 1P 2分别交AB 、AC 于M 、N （如图），△BMP 1中，BP 1＜BM + MP 1，△AMN 中，MP 1 + P 1P 2 + P 2M ＜AM + AN ，△P 2NC 中，P 2C ＜P 2N + NC ，三式相加得：BP 1 + P 1P 2 + P 2C ＜AB + AC ，可得结论．

C B

A P 1

P 2

M

C B

A P 1P 2N

M

（4）四边形BP 1P 2C 的周长＜△ABC 的周长．理由如下：将四边形BP 1P 2C 沿直线BC 翻折，使点P 1、P 2落在△ABC 内，转化为（3）情形，即可．

（ 5）比较四边形B 1P 1P 2C 1的周长＜△ABC 的周长．理由如下：

如图，分别作如图所示的延长线交△ABC 的边于M 、N 、K 、H ，在△BNM 中，NB 1 + B 1P 1 + P 1M ＜BM + BN ，又显然有，B 1C 1 + C 1K ＜NB 1 +NC + CK ，及C 1P 2 +P 2H ＜C 1K +AK +AH ，及P 1P 2＜P 2H + MH + P 1M ，将以上各式相加，得B 1P 1 + P 1P 2 + P 2C + B 1C 1＜AB + BC + AC ，于是得结论．

C

B

A

P 1P 2

B 1

C 1H K

N

M