建筑力学—组合变形及答案讲解
第六章直梁弯曲
弯曲变形是杆件比较常见的基本变形形式。通常把以发生弯曲变形为主的杆件称为梁。本章主要讨论直梁的平面弯曲问题，内容包括：弯曲概念和静定梁的力学简图；弯曲内力及内力图；弯曲应力和强度计算；弯曲变形和刚度计算。其中，梁的内力分析和画弯矩图是本章的重点。
第一节平面弯曲的概念和力学简图
一、弯曲概念和受力特点
当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内
受到力偶作用(图6-1)时，杆轴由直线弯成曲线，这种在
外力作用下其轴线变成了一条曲线。这种形式的变形称
为弯曲变形。工程上通常把以弯曲变形为主的杆件称为
梁。
图 6-1 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如图6-2所示。一些杆件在荷载作用下不仅发生弯曲变形，还发生扭转等变形，当讨论其弯曲变形时，仍然把这些杆件看做梁。
图6-2
工程实际中常见到的直梁，其横截面大多有一根纵向对称轴，如图6-3所示。梁的无数个横截面的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平面，如图6-4所示。
图 6-3 图6-4
若梁上的所有外力（包括力偶）作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线，梁的这种弯曲称为平面弯曲，它是最常见、最基本的弯曲变形。本章主要讨论直梁的平面弯曲变形。
从以上工程实例中可以得出，直梁平面弯曲的受力与变形特点是：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在此纵向对称面内弯成一条平面曲线。
二、梁的受力简图
为了便于分析和计算直梁平面弯曲时的强度和刚度，需建立梁的力学简图。梁的力学简图（力学模型）包括梁的简化、荷载的简化和支座的简化。
1、梁的简化
由前述平面弯曲的概念可知，载荷作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯成一条平面曲线。因此，无论梁的外形尺寸如何复杂，用梁的轴线来代替梁可以使问题得到简化。例如，图6-1a和图6-2a所示的火车轮轴和桥式起重机大梁，可分别用梁的轴线AB代替梁进行简化（图6-1b和图6-2b）。
2、荷载的简化
作用于梁上的荷载可以简化为：
（1）集中力如火车车厢对轮轴的作用力及起重机吊重对大梁的作用等，都可简化为集中力（图6-1和图6-2）。
（2）集中力偶若分布在很短的一段梁上的力能够形成力偶时，可以不考虑分布长度的影响，简化为一个集中力偶。
（3）均布分荷将荷载连续均匀分布在梁的全长或部分长度上，若其分布长度与梁长比较不是一个很小的数值时（用q表示），则q称为均布荷载的荷载集度。例如，楼房大梁承受自重和预制板的作用，所受荷载可简化为均布荷载。若荷载分布连续但不均匀，则称为分布荷载，用)
q表示，)
(x
q称为分布荷载的荷载集度。
(x
3.支座的简化
按支座对梁的不同约束特性，静定梁的约束支座可按静力学中对约束简化的力学简图，分别简化为固定铰支座、活动铰支座和固定端支座。
4.静定梁的力学简图
根据梁所受不同的支座约束，梁平面弯曲时的基本力学简图可分为以下三种类型。
（1）简支梁梁的两端分别为固定铰支座和活动铰支座（图6-5a）。
（2）外伸梁梁的两支座分别为固定铰支座和活动铰支座，但梁的一端（或两端）伸出支座以外（图6-5b）。
（3）悬臂梁梁的一端为固定端约束，另一端为自由端（图6-5c）。如外伸阳台等。
图 6-5
以上梁的支座反力均可通过静力学平衡方程求得，因此称为静定梁。若梁的支座反力的个数多于独立平衡方程的个数，支座反力就不能完全由静力学平衡方程式来确定，这样的梁称为超静定梁。
第二节弯曲的内力分析、剪力图和弯矩图概念
当作用在梁上全部的外力（包括荷载和支座反力）确定后，应用截面法可求出任一横截面上的内力。
一、用截面法求剪力和弯矩
如图6-6a 所示，悬臂梁AB 的自由端作用一集中力F ，由静力学平衡方程可求出其固
定端的约束力F F B =,约束力偶矩Fl M B =。
把距梁左端A 为x 处横截面，称为梁的x 截面，x 是梁的横截面坐标。
为了求出任一x 截面的内力，假想地用截面m m -将梁截分为两段，取左段梁为研究
对象，如图6-6c 所示。由于整个梁在外力作用下是处于平衡的，所以梁的各段也必处于平衡状态。要使左段的梁处于平衡，横截面上必
定有一个作用线与外力F 平行的力Q F 和一个
在梁纵向对称平面内的力偶矩M 。由平衡方
程式得
0=∑y F 0=-Q F F
F F Q = )(a
这个力作用线平行于横截面的内力称为
剪力，用符号Q F 表示。
0=∑C M 0=-Fx M
Fx M = ）
（b 矩心C 是x 截面的形心。这个作用平面垂直于
横截面的内力偶矩称为弯矩，用符号M 表示。
图 6-6
同理，取x
截面右端梁为研究对象，如图6-6d 所示。列平衡方程得 0=∑y F 0'=-B Q F F
F F F B Q ==' )(c
0=∑C M 0)('=+---B B M x l F M
Fx x l F M M B =--=)(' )d （
二、剪刀Q F 、弯矩M 的正负符号规定
从图6-6c 和6-6d 可以看出，应用截面法求任意x 截面的剪力和弯矩，无论取x
截面
左段梁还是取截面右段梁，求得x 截面的剪力和弯矩，其数值是相等的，方向是相反的，反映了力的作用和反作用关系。
为了使所取截面左段梁和所取截面右段梁求得的剪力与弯矩不仅数值相等，而且符号一
致，规定剪力和弯矩的正负符号如下。
图 6-7
（1）剪力的正负规定：某梁段上左侧截面向上或右侧截面向下的剪力为正，反之为负。简述为“左上、右下为正”。
（2）弯矩的正负规定：某梁段上左侧截面顺时针转向或右侧截面逆时针转向的弯矩力为正，反之为负。简述为“左顺、右逆为正”。
三、求截面剪力和弯矩的简便方法
从上述截面法求任意x截面的剪力和弯矩的表达式（a）与式（c）、式（b）与式（d）可以看出：任意x截面的剪力，等于x截面左（或右）段梁上外力的代数和；左段梁上向上（或右段梁上向下）的外力产生正值剪力。任意x截面的弯矩，等于x截面左（或右）段梁上外力对x截面形心力矩的代数和；左段梁上顺时针（或右段梁上逆时针）转向的外力矩产生正值弯矩，反之产生负值弯矩。这种用外力求截面内力的简便方法可以简述为：等于x截面左（或右）段梁上外力的代数和，左上、右下为正。
(x
F
)
Q
M等于x截面左（或右）段梁上外力矩的代数和，左顺、右逆为正。
)
(x
例6-1 外伸梁DB的受力如图6-8所示，已知分布荷载集度为q,集中力偶。图中2-2与3-3截面称为A点的临近截面，即；同样4-4与5-5截面为C点处的临近截面，试求指定截面的剪力和弯矩。
解 1）求梁的支座反力。取整个梁
为研究对象，画受力图并列平衡方程
2）求各指定截面的剪力和弯矩图 6-8
1-1截面：由1-1截面左段梁上外力的
代数和求得该截面的剪力为
由1-1截面左段梁上外力对截面形心力矩的代数和求得该截面的弯矩为
由1-1截面右段梁上外力的代数和求得该截面的剪力为
由1-1截面右段梁上外力对截面形心力矩的代数和求得该截面的弯矩
由此可见，无论用1-1截面左段梁还是右段梁上外力求得该截面的剪力和弯矩，其数值相同，符号相同，但外力代数和与外力矩代数和繁简不同，因此，在求指定截面的剪力和弯矩时，选择该截面作用外力较少的一侧梁段求剪力和弯矩较为简便。
2-2截面：取2-2截面左段梁计算，得
式中的是一个无穷小量，计算时当做零来处理。
3-3截面：求3-3截面左段梁计算，得
4-4截面：取4-4截面右段梁计算，得
5-5截面：取5-5截面右段梁计算，得
由以上计算结果可以看出：
1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在集中力作用处产生了突变，突变的幅值等于集中力的大小。
2）集中力偶作用处的两侧临近截面的剪力相同，弯矩不同，说明弯矩在集中力偶处产生了突变，突变的幅值等于集中力偶矩的大小。
3）由于集中力的作用截面和集中力偶的作用截面上剪力和弯矩有突变，因此，用截面法求任一指定截面的剪力和弯矩时，截面不能取在集中力和集中力偶所在的截面上。
四、用剪力、弯矩方程画剪力图、弯矩图
一般情况下，梁横截面上的剪力与弯矩随截面位置x的变化而连续变化；剪力和弯矩可以表示为截面坐标x的单值连续函数
F
=
(x
F
)
Q
Q
M=
M
)
(x
以上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
为了能够直观地表明梁上各截面的剪力和弯矩的大小及正负，通常把剪力方程和弯矩方
程用图形表示，称为剪力图和弯矩图。
剪力图和弯矩图的基本作法是：以沿梁轴线的横坐标z 表示梁横截面的位置，以纵坐标
表示相应横截面上的剪力或弯矩，在土建工程中，习惯上把正剪力画在x 轴上方，负剪力画在x 轴下方；而把弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在x 轴下方，负弯矩画在x 轴上方。
例6-2．如图6-9a 所示台钻手柄杆AB 用螺纹固定在转盘上，其长度为l ，自由端作用
力F 力，试建立手柄杆AB 的剪力、弯矩方程、并画出其剪力图和弯矩图。
解 1）求支座反力。建手柄杆AB 的力学
简图为图6-9b 所示悬臂梁，列平衡方程求
得约束力为
2） 列剪力方程和弯矩方程。以梁的
左端A 点为坐标原点，选取任意x 截面（图
6-9b ），用x 截面左段梁上的外力求x 截面
的剪力、弯矩，即得到手柄杆AB 的剪力、
弯矩方程为
图6-9
3) 画剪力图、弯矩图。由剪力方程F x F Q =)(可知，梁各横截面的剪力均等于F ，且
为正值。剪力图为平行于x 轴的水平线，如图6-9c 所示。 由弯矩方程可知，截面弯矩是截面坐标x 的一次函数(直线)，确定
直线两点的坐标，即A 端临近截面的弯矩；B 端临近截面的弯矩，连接两点坐标即得弯矩方程的直线，如图6-9d 所示。
4) 最大弯矩。由弯矩图可见，手柄杆固定端截面上弯矩值的绝对值最大。即 Fl M =max 。
例6-3 .如图6-10a 所示的简支梁AB 上作用均布荷载q ，试画该梁的剪力图、弯矩图。 解 1) 求支座反力。画受力图，由平衡方程得
2) 建立剪力、弯矩方程。选取任意x 截面坐标，如图6-10a 所示，得
3) 画剪力、弯矩图。由剪力方程可知
剪力是截面坐标x 的直线方程，因此确定直线两点的坐标，作
所示。
由弯矩方程可知截面弯矩是截面坐标
x的二次函数，弯矩图曲线为一条抛物线，
由函数作图法便可绘出弯矩图，如图6-10c
所示。其中，剪力为零的截面坐标对应弯矩
图抛物线的极值点，这一点可用本章第三节
的微分关系证明。
从图可见；最大的弯矩值在梁
的中点截面，。
图6-10
五、用简便方法画剪力图和弯矩图
从上述例题可以得出剪力图和弯矩图的简便画法：
1) 无荷载作用的梁段上，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。
2) 均布荷载作用的梁段上，剪力图为斜直线，弯矩图为二次曲线。曲线凸向与均布荷载同向，在剪力等于零的截面，弯矩有极值。
例6-4．如图6-11a所示的简支梁AB，在C点处作用集中力F，试画此梁的剪力图和弯矩图。
解 1) 求支座反力。画受力图并列平衡方程得
2) 画剪力图。由于AC、CB段无荷载作，
AC段任一截面的剪力
CB段任一截面的剪力
在剪力图坐标中画出AC、BC段的水平线，
如图6-11b所示。
3）画弯矩图。AC、CB段无荷载作用，弯矩
图为斜直线，确定A、C、B三点临近截面的弯矩
值。
图6-11
在弯矩坐标中描出AC 段两点坐标0、l Fab ；CB 段两点坐标l Fab 、0，分别过坐标点
作出AC 、CB 段的斜直线，如图6-11c 所示。
从剪力图、弯矩图可见，。在C 截面有最大的弯矩值
l Fab M =max ；当ａ=ｂ=2l ，即集中力作用在梁的中点时，梁的中点有最大弯矩值
4max Fl M =。
例 6-5. 如图6-12a 所示的简支梁AB ，在C 点处作用集中力偶0M ，试画此梁的剪力
图和弯矩图。
解 1) 求支座反力。画受力图并列平衡
方程得
2) 画剪力图。由于AC 、CB 段无荷载
作用，所以剪力图均为水平线。
AC 段任一截面的剪力
CB 段任一截面的剪力
在剪力坐标中画出A C 、CB 段的水平线，
如图6-12b 所示。
3)画弯矩图。AC 、CB 段无荷载作用，弯
矩图为斜直线，确定从A 、C -、C +、B 点临近截
面的弯矩值(C -表示C 点左侧临近截面；C +表示
C 点右侧临近截面)。
图6-12
在弯矩坐标中描出AC 段两点坐标0、l a M 0-，CB 段两点坐标l b M 0、0，分别过
坐标点作出AC 、CB 段的斜直线，如图6-12c 所示。
从以上例题可进一步总结出画剪力图和弯矩图的简便方法：
1) 无荷载作用的梁段上，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。
2) 均布荷载作用的梁段上，剪力图为斜直线，弯矩图为二次曲线。曲线凸向与均布荷
载同向，在剪力等于零的截面，曲线有极值。
3) 集中力作用处，剪力图有突变，突变的幅值等于集中力的大小，突变的方向与集中
力同向；弯矩图有折点。
4) 集中力偶作用处，剪力图不变；弯矩图突变，突变的幅值等于集中力偶矩的大小，
突变的方向，集中力偶顺时针向坐标正向突变，反之向坐标负向突变。
尽管用剪力、弯矩方程能够画出剪力图和弯矩图，但是应用简便方法绘制剪力图和弯矩
图，会更加简捷方便。
第三节 弯矩、剪力和分布荷载集度间的微分关系
一、荷载集度的概念
若将分布荷载表示成截面坐标x 的函数)(x q ，则)(x q 就称为荷载集度函数。前述的
均布荷载也就是荷载集度为常量的分布荷载。同时规定，均布荷载方向向上，荷载集度为正，反之为负。如例6-3所示的简支梁，作用的均布荷载的荷载集度q x q -=)(。
二、)()()(x q x F x M Q 、、之间的关系
如果对例6-3所示简支梁的剪力方程qx ql x F Q -=
2)(和弯矩方程222)(x q x ql x M -=求一阶导数，得 )(2
d )(d x F qx ql x x M Q =-= (a) )(d )
(d x q q x x F Q =-= (b)
利用这些微分关系可以对梁的剪力图、弯矩图进行绘制和检查。由导数的性质可知：
1） 无荷载作用的梁段上，0)(=x q ，由式(b)可知，=)(x F Q 常量。再由式(a)可知)(x M 为x 的一次函数，即直线，且直线的斜率为=)(x F Q 常量。
2） 均布荷载作用的梁段上，若均布荷载方向向下，q x q -=)(,再由式(b)可知，)(x F Q 为x 的一次函数，即为直线，且直线的斜率为负；再由式(a)可知，)(x M 是x 的二次函数，即为抛物线，抛物线的顶点即二次曲线的极值点0)(0=x F Q （见例6-3C 处、例6-6E 处）。式(a)、式(b)表示弯矩函数曲线的二阶导数等于荷载集度，二阶导数小于零，曲线凸向向下(见例6-3、例6-6BD 段)。若均布荷载方向向上，q x q =)(，)(x F Q 为直线，且直线斜率为正；)(x M 为抛物线，二阶导数大于零，)(x M 的凸向向上。
3）集中力作用处，剪力值突变，由式(a)可知弯矩图曲线在该点的斜率发生了突变，剪
力值突变为正，弯矩图曲线斜率将沿正值突变，反之沿负值突变。由于斜率在该点的突变形成了弯矩图的折点。
利用上述荷载、剪力和弯矩之间的微分关系及规律，可更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图，其步骤如下：
(1)分段，即根据梁上外力及支承等情况将梁分成若干段；
(2)根据各段梁上的荷载情况，判断其剪力图和弯矩图的大致形状；
(3)利用计算内力的简便方法，直接求出若干控制截面上的剪力值和弯矩值；
4)逐段直接绘出梁的剪力图和弯矩图。
第四节 弯曲正应力和强度计算
在确定了梁横截面的内力之后，我们还需进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的
定量关系，从而建立梁的强度设计准则，进行强度计算。
一、纯弯曲与横力弯曲
火车轮轴的力学简图为图6-13a 所示的外伸梁。画其剪力图和弯矩图如图6-13b 、c 所示。可见，在其AC 、DB 段内各横截面上弯矩M 和剪力Q F 同时存在，故梁在此段内既有弯曲变形，也有剪切变形，这种变形称为剪切弯曲，也称为横力弯曲。在其CD 段内各横截面上，只有弯矩M 而无剪力Q F ，这种弯曲称为纯弯曲。
二、纯弯曲正应力公式
1．实验观察和平面假设
如图6-14a 所示，取一矩形截面等直梁，实验前在其表面画两条横向线m-m 和n-n ，
再画两条纵向线aa 和bb ，然后在其两端作用外力偶矩M ，梁将发生平面纯弯曲变形。观察其变形，可以看到如下现象(如图6-14b)：
1) 横向线m m -和n n -仍为直线且与纵向线正交，并相对转动了一个微小角度。
2) 纵向线a a -和b b -弯成了曲线，且a a -线缩短而b b -线伸长。
图6-13 图6-14
由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面。这就
是梁纯弯曲时的平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互挤压作用，即处于单向受拉或受压状态。
2．中性层与中性轴
由实验观察和平面假设推知：当梁纯弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，其间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层(图6-14c)。中性层与横
截面的交线称为中性轴，中性轴过截面的形心。梁纯弯曲时，各横截面绕其中性轴转动了一个角度。
从上述分析可以得出以下的结论：①纯弯曲时，梁的各横截面像刚性平面一样绕其自身
中性轴转动了不同的角度，两相邻横截面之间产生了相对转角θd ；②两横截面间的纵向纤维发生拉伸或压缩变形，梁的横截面有垂直于截面的正应力；③纵向纤维与横截面保持垂 直，截面无切应力。
3.正应力公式
为了求得正应力在截面上的分布规律，在梁的横截面建立xyz 坐标系，x 轴为轴线，y
轴为截面的对称轴，方向向下；z 轴为中性轴。截取出一横截面绕其中性轴与相邻截面产生相对转角θd 的示意图(如图6-15a)，观察其变形。
图 6-15
从图6-15a 可以看出，截面上距中性轴越远的点，纵向纤维的伸长(缩短)量越大，说明
该点的线应变越大。由拉(压)胡克定律可知，材料在弹性范围内时，正应力与正应变成正比，从而得出横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离y 坐标成正比，正应力与横截面垂直，其线性分布规律如图6-15b 、c 所示。
应用变形几何关系和静力学平衡关系进一步可推知：横截面任一点的正应力与截面弯矩
M 成正比，与该点到中性轴的距离y 成正比，而与截面对中性轴z 的惯性矩z I 成反比，其纯弯曲正应力计算公式为
(6-1)
式中，y σ表示横截面上距中性轴z 为y 的点处的正应力；M 为横截面上的弯矩，z I 表示截面对中性轴的惯性矩。
4．最大正应力计算公式
由式(6-1)可见，截面的最大正应力发生在离中性轴最远的上、下边缘的点上，即
(6-2)
令
(6-3)
则梁截面的最大正应力为
(6-4) 其中，z W 称为截面的抗弯截面系数。
三、常用截面的惯性矩和抗弯截面系数
1．矩形截面
设截面宽为b ，高为h ，则
(6-5)
2．圆截面
设圆截面直径为D ，则
(6-6)
四、弯曲正应力强度计算 1．弯曲正应力强度准则
由式(6-4)可知，梁弯曲时截面上的最大正应力发生在截面的上、下边缘处。对于等截
面梁来说，全梁的最大正应力一定发生在最大弯矩所在截面的上、下边缘处。要使梁具有足够的强度，必须使梁的最大工作应力不超过材料的许用应力，此即为梁弯曲时的正应力强度条件，即
(6-7)
需要说明的是：公式(6-7)是以平面纯弯曲正应力建立的强度准则，对于横力弯曲的梁，当梁的跨度l 远大于截面高度h (5/>h l )时，截面剪力对正应力的分布影响很小，可以忽略不计，此时，纯弯曲的正应力强度条件可推广应用于横力弯曲时梁的的正应力强度计算。
2．弯曲正应力强度计算
应用式(6-7)弯曲正应力强度条件可以解决弯曲强度计算的三类问题，即校核强度、设
计截面和确定许可荷载。
例6-6． 图6-16所示为矩形截面简支木梁AB ，已知[σ]=10MPa ，作用力F =10kN ，
l =6m ，截面高度是宽度的2倍。(1)试按弯曲正应力强度准则设计梁的截面尺寸；(2)若将梁平放(图6-16c)，试设计梁的截面尺寸；(3)计算梁平放与竖放所用木材的体积比。
图6-16
解1) 画梁的受力图并求约束力。
2) 画梁的弯矩图(图6-16a)，求最大弯矩。
3) 按正应力强度准则设计截面尺寸。
取b =13l mm ，则h =262mm 。
4) 按强度准则设计梁平放时的截面尺寸。
取6l=165mm ，则k=330mm 。
5) 梁平放与竖放所用木材的体积比。
例6-7．T 形截面外伸梁如图6-17(a)所示，已知：荷载F p1=40kN ，F p2=15kN ，材料的弯曲许用应力分别为[t σ]=45MPa ，[c σ]=175MPa ，截面对中性轴的惯性矩I Z =5．73×10-6m ，下边缘到中性轴的距离y 1=72mm ，上边缘到中性轴的距离了y 2=38mm ，其他尺寸如图。试校核该梁的强度。
解 此问题属于正应力强度计算中的强度校核。
图6-17
(1)求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。
作出梁的弯矩图，如图6-17(b)所示。从图可知：B 截面上弯矩取得最大负值，
M B =3kN ·m ；C 截面上弯矩取得最大正值，M c =4.5kN ·m
(2)校核梁的正应力强度。
因为该梁的截面为上、下边缘对中性轴不对称，所以对该梁进行校核时应当同时校核 最大正弯矩截面和最大负弯矩截面。
①最大负弯矩截面(B 截面)强度校核。B 截面上边缘产生最大拉应力，下边缘产生
最大压应力
B 截面满足正应力强度条件。
②最大正弯矩截面(C 截面)强度校核。C 截面上边缘产生最大压应力，下边缘产生
最大拉应力：
C 截面不满足正应力强度条件，所以该梁的正应力强度不满足要求。
第五节 弯曲切应力简介
一、弯曲切应力
梁在横力弯曲时，其横截面不仅有弯矩，而且有剪力，因而横截面也就有切应力。对于
矩形、圆形截面的梁，当其跨度比高度大得多时，因为其弯曲正应力比切应力大得多，所以切应力就可以略去不计。但对于跨度短而截面高的梁，以及一些薄壁梁或剪力较大的截面，切应力就不能忽略。本节只介绍几种常见截面梁的切应力分布及其最大切应力计算公式。
由弹性力学的分析结果可知，剪力Q F 在横截面上分布，即切应力计算公式为
（6-8） 式中， 表示横截面上距中性轴为y 处的切应力；Q F 表示该截面的剪力；b 表示截面
上距中性轴为y 处的截面宽度；z I 表示整个截面对中性轴的惯性矩；*z S 表示距中性轴为y 处
外侧部分面积(图6-18a 阴影部分)对中性轴的静矩。
图6-18
二、常见截面的最大切应力
现以矩形截面为例(图6-18a)，说明τ沿截面高度的变化规律及最大切应力作用位置。
取一高为h ，宽为b 的矩形截面，求距中性轴为y 处的切应力τ。先求出距中性轴为y
处外侧部分面积(图6-18a 中阴影部分)对中性轴的静矩*z S ，取微面积A d =y b d ，从而可得
代入式（6-8）
由此可见，切应力的大小沿矩形截面的高度按二次曲线(抛物线)规律分布，如图6-17b 所示。当2h y ±=时，即在截面上、下边缘的各点处切应力0=τ；越靠近中性轴处切应力越大，当0=y 时，即在中性轴上各点处，其切应力达到最大值，即
可见，矩形截面的最大切应力是截面平均切应力的1.5倍。
对于其他截面形状的切应力，仍可应用式(6-8)求得，其最大切应力总是出现在截面中
性轴上的各点处。如图6-17 c 所示的工字形截面，切应力沿截面高度也是按抛物线规律分布的(如图6-18d)，在截面腹板上最大切应力与最小切应力相差不大，可近似认为其均匀分布于腹板面积上，即0max A F Q =τ(bh A =0为截面腹板面积)。对于圆截面，)3(4max A F Q =τ；对于圆环截面，A F Q 2max =τ。
三、切应力强度计算
对于短跨梁、薄壁梁或承受较大剪力的梁，除了进行弯曲正应力强度计算外，还应考虑
进行弯曲切应力强度计算。其弯曲切应力强度准则为：最大切应力不得超过材料的许用切应力，即
（6-9）
例6-8． 如图6-19a 所示的简支梁AB ,作用荷载q =10kN ／m ，F =200kN ，
l =2m ，a =0.2m ，
材料的许用正应力[σ]=160MPa ，许用切应力
[τ]=120MPa ，试选择工字钢型号。
解．1) 求最大弯矩。求出约束力，并
画出梁的剪力图和弯矩图分别如图
6-19b 、c 所示。梁中间截面弯矩最大，
其值为
2) 强度计算。按正应力强度准则初选工
字钢型号，由正应力强度设计准则
查附录C 型钢表，选用22a 工字钢，其
z W =309cm 3，h =220mm ，t =12.3mm ，腹板厚度
d =7.5mm 。 图6-19
按切应力强度准则进行校核，由剪力图知210max =Q F kN ，代入切应力强度准则，得
因为最大切应力超过许用切应力很多，所以应重新选取较大的工字钢型号。现选取22b 工字钢，由表查出h =220mm ，3.12=t mm ，腹板厚度d =9.5mm 。代入切应力强度准则进行校核，得
可见，选用22b 工字钢能同时满足正应力强度准则和切应力强度准则。
对于本例这样的薄壁梁或短跨梁来说，进行强度计算时，一般先用正应力强度准则进行
设计，再用切应力强度准则进行校核。
例6-9． 一矩形截面简支梁受荷载作用，如图6-20(a)所示，截面宽度b =100mm ，高
度h =200mm ，q =4kN ／m ，F P =40kN ，d 点到中性轴的距离为50mm 。
(1)求C 偏左截面上a,b ，c ，d 四点的切应力。
(2)该梁的最大切应力发生在何处，数值等于多少?
图6-20
解 (1)求C 偏左截面上各点的切应力
①确定C 偏左截面上的剪力。
支座反力： F Ay =F B y =36kN
取C 偏左截面的左侧求该截面上的剪力
F Q =36—4×4=20kN
②求截面的惯性矩及d 点对应的*z S (a 点、c 点分别在截面的下、上边缘上,b 点在中
性轴上，它们对应的*z S 可以不计算)。
截面对中性轴的惯性矩：
d 点对应的
③求各点的切应力。 a 点及c 点分别在截面的下、上边缘上，距中性轴距离最远；a τ=c τ=O 。
b 点在中性轴上，该点的切应力最大，带入公式计算：
d 点为截面上的任意点用带入公式计算：
(2)求该梁的最大切应力
作出梁的剪力图，梁的最大剪力发生在A 偏右及B 偏左截面，其数值max Q F =36kN 。该梁
的最大切应力一定发生在最大剪力作用截面的中性轴上。
第六节 梁的变形及刚度计算
在建筑工程中，梁除了应有足够的强度外，还必须具有足够的刚度，即在荷载作用下梁
的弯曲变形不能过大，否则梁就不能正常工作。因此，工程中对梁的变形有一定要求，即其
变形量不得超出工程允许的范围。
一、挠度和转角
度量梁的变形的基本物理量是挠度和转角。如图6-19所示，在悬臂梁的纵向对称平面
内作用力F ，其轴线弯成一条平面曲线。变形时，梁的每一个横截面绕其中性轴转动了不同的角度，同时每一个截面形心产生了不同的位移。
1．挠度y
横截面形心在垂直于梁轴线方向的位
移称为挠度，用y 表示。在图示的坐标系中，
挠度y 向上为正，反之为负。实际上，由于
轴线在中性层上长度不变，所以当横截面形
心产生垂直位移时，还伴有轴线方向的位
移，因其极微小，可略去不计。
图6-21
2．转角θ
横截面绕中性轴转过的角度称为截面转角，用θ表示。在图示坐标系中，转角θ逆时针
为正，反之为负。
3．挠曲线方程
梁发生平面弯曲变形后，其各个横截面形心的连线是一条连续光滑的平面曲线，这条曲
线称为挠曲线。若沿梁的轴线建立截面坐标轴x (图6-19)，则挠曲线可表示为截面坐标x 的单值连续函数，即
称为挠曲线方程。
因为横截面转角往往很小，所以)(tan 'x f =≈θθ称为转角方程，即梁的挠曲线上任一点的斜率等于该点处横截面的转角。
综上所述，只要确定了梁的挠曲线方程，即可求得任一横截面的挠度和转角。
二、用积分法求梁的变形
1．挠曲线近似微分方程
当梁纯弯曲时，梁的轴线弯成了一条平面曲线，其曲线的曲率公式为
此即为纯弯曲时挠曲线的曲率。由于剪力对梁弯曲变形的影响忽略不计，故可由纯弯曲时的曲率公式建立梁的挠曲线近似微分方程。由数学分析可知，平面曲线的曲率为
在弹性小变形条件下，'y 很小，2'y 是高阶无穷小量，可略去不计，则1+2
'y ≈1，于是得''1y p =，从而得出挠曲线近似微分方程为
（6-10）
2.用积分法求梁的变形
对于等截面直梁来说，式(6-10)可写为
对上式分离变量后进行积分，即可得到等截面直梁的转角方程为
（6-11） 挠曲线方程为
（6-12） 式中的积分常量1C 和2C ，可根据梁的边界条件和挠曲线的光滑连续条件确定。
例6-10．如图6-22所示，均质等截面悬臂梁AB 受均布荷载q 作用，EI 为常量，试用
积分法求梁的转角方程和挠曲线方程。
解1) 求支座反力，列弯矩方程
2) 列挠曲线近似微分方程并积分，得
图 6-22 3) 确定积分常量。根据边界条件，A 端为固定端，当0=x 时，将0=A θ代入前式得01=C ；当0=x 时，将0=A y 代人上式得02=C 。将积分常量代人以上两式得转角方程和挠曲线方程为
4) 求最大转角和最大挠度。应用以上两个方程，很容易求出梁各个截面的转角和挠度。由图6-20可见，梁B 端截面有最大转角和最大挠度，把B 端截面坐标l x =代入以上方程得
需要注意的是：应用积分法求梁的变形，当梁上作用的荷载将梁分为几段时，梁的弯
矩方程是分段定义的函数，转角方程和挠曲线方程要分段积分；对于变截面梁，由于其抗弯刚度已不是常量，也要分段进行积分计算。
三、用叠加法求梁的变形
在复杂荷载作用下，由于梁的分段很多，积分和积分常量的运算相当麻烦。由于工程实
际中，一般并不需要计算整个梁的挠曲线方程，只需计算最大挠度和最大转角，所以应用叠加法求指定截面的挠度和转角比较方便。
从例6-8可以看出，梁的挠度和转角都与荷载成线性关系，且变形为弹性小变形，材
料服从胡克定律。这样，梁上由某一荷载所引起的变形，不会受其他作用荷载的影响，即每个荷载对梁的弯曲变形的作用是相互独立的，因此当梁上同时作用几个荷载时，梁截面的总 变形就等于每个荷载单独作用时产生变形的代数和，这种方法称为叠加法。梁在简单荷载作用下的变形可查表，见附录B 。应用叠加法，便可求得复杂荷载作用下梁的变形。
例6-11． 如图6-23所示简支梁，试用叠加法求梁跨度中点C 的挠度c y 和支座处截面
的转角A θ、B θ。
解 梁上作用荷载可以分为两个简单荷载(图6-21b 、c)。应用附录B 查出它们分别作
用时产生的相应变形，然后叠加求代数和，得
例6-12． 如图6-22所示悬臂梁，已知EI 、l 、F 、q ，试用叠加法求梁的最大挠度和最大转角。
解 梁上作用荷载分别为两种形式(图6-22b 、c)。从悬臂梁在荷载作用下自由端有最大
变形可知，梁B 端有最大挠度和最大转角。应用附录B 查出它们分别作用时产生的相应变形，然后叠加求代数和，得