2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十七系统题型_解三角形及应用举例含解析

课时跟踪检测（二十七） 系统题型——解三角形及应用举例

[A 级 保分题——准做快做达标]

1．(2018·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

解析：选B 由已知及正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2

A ，即sin(

B ＋

C )＝sin 2

A ，又sin(

B ＋

C )＝sin A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π

2

.故选B.

2．(2018·临川二中等两校联考)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若sin A ＝

22

3

，sin B >sin C ，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( ) A ．2或3 B ．2 C ．3

D ．6

解析：选C 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝1－sin 2

A ＝13，由余弦定理得cos A ＝b 2

＋c 2

－a

2

2bc

＝

b 2＋

c 2－92bc ＝1

3

，① 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×223＝22，所以bc ＝6，②

将②代入①得

b 2＋

c 2－912

＝1

3

，则b 2＋c 2

＝13，③

由sin B >sin C 可得b >c ，联立②③可得b ＝3，c ＝2.故选C.

3．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )

A. 2

B.98 C ．1

D.78

解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2

A

＝－2⎝

⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98. 4．(2019·昆明适应性检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )

A ．1 B. 2 C. 3

D ．2

解析：选A 法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝

310

，cos ∠BAC ＝－

110

.由余弦定理，得

BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝

⎛⎭

⎪⎫－

110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝1

2AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32

，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC

BC ＝2×323＝1，故选A.

法二：因为在△ABC 中，tan ∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A. 5.(2019·长沙第一中学模拟)已知在△ABC 中，D 是AC 边上的点，

且AB ＝AD ，

BD ＝

6

2AD ，BC ＝2AD ，则sin C 的值为( ) A.

158

B.

154

C.18

D.14

解析：选A 设AB ＝AD ＝2a ，则BD ＝6a ，则BC ＝4a ，所以cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ×AD ＝6a

2

2×2a ×6a

＝

64，所以cos ∠BDC ＝BD 2＋CD 2－BC 2

2BD ×CD ＝－64

，整理得CD 2＋3aCD －10a 2

＝0，解得CD ＝2a 或者CD ＝－5a (舍去)．故cos C ＝16a 2＋4a 2－6a 2

2×4a ×2a ＝1416＝78，而C ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2，故sin C ＝158.故选A.

6．(2019·赣州寻乌中学期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边的边长．若cos C ＋sin

C －

2cos B ＋sin B ＝0，则a ＋b

c 的值是( )

A.2－1

B.2＋1

C.3＋1

D ．2

解析：选B 在△ABC 中，由cos C ＋sin C －2cos B ＋sin B ＝0，根据两角和的正弦公式可得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4sin ( B ＋

π4 )＝2，从而得C ＋π4＝B ＋π4＝π2，解得C ＝B ＝π4，∴A ＝π2.∴由正弦定理可得a ＋b

c

＝sin π2＋sin π4sin

π4＝1＋

2

2

22

＝2＋1.故选B. 7．(2019·葫芦岛期中)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin C －cos C ＝1－cos

C

2，若△ABC 的面积S ＝12(a ＋b )sin C ＝3

2

，则△ABC 的周长为( ) A ．27＋5 B.7＋5 C ．27＋3

D.7＋3