2019新考研高数模拟题库(含参考答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）

学校：__________

考号：__________

一、解答题

1．

设星形线的参数方程为x =a cos 3t ，y =a sin 3t ，a >0求

d) 星形线所围面积；

e) 绕x 轴旋转所得旋转体的体积； f) 星形线的全长．

解：(1)D =4⎠⎛0

a

y d x =4⎠⎜⎛π

2

a sin 3t d ()a cos 3t =12a 2

⎠⎜⎛0

π

2sin 4t cos 2

t d t

=12a 2

⎠⎜⎛0

π

2()sin 4t−sin 6

t d t =38πa 2． (2)V x =2π⎠⎛0a y 2

d x =2π⎠⎜⎛π

2

()a sin 3t 2d ()a cos 3t =6πa 3

⎠⎜⎛0

π

2 sin 7t cos 2

t d t

=

32105

πa 3

(3)x t ′=-3a cos 2t sin t y t ′=3a sin 2t cos t x t ′2+

y t ′2=9a 2sin 2t cos 2t ，利用曲线的对称性，

l =4⎠⎜⎛0π

2x t ′2+ y t ′2d t =4⎠⎜⎛

π

2 3a sin 2t cos 2t d t

=12a ⎠⎜⎛0

π

2

14sin 22t d t =6a ⎠⎜⎛0π

2 sin2t d t =[]3a ()-cos2t π

2

=6a ．

2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5). 证明：略

3．求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.

解：由ln 0y x

y =⎧⎨

=⎩解得交点为(1，0).

11

12

1

11,

1 1.

x x x x y x

y x ===='=

=''=-

=-

故曲率中心 212

(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧''⎡⎤

+==-⎪⎢⎥''⎣⎦⎪

⎨'⎡⎤+⎪==-+⎢⎥⎪''⎣⎦⎩

曲率半径为R =故曲率圆方程为：

22(3)(2)8x y -++=.

4．某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am 2，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知

2

1π22x xy a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭

得 21π

18π8

a x a y x x x -==-

12题图 截面的周长

212112π()2πππ,

2424

π2()1,

4a a l x x y x x x x x x x x a

l x x

=++⋅=+-+=++'=+-

令()0l x '=

得唯一驻点x =.

即当x =

.

5．甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？ 解：所需电线为

()(03)()L x x L x =<<'=

13题图

在0

6．求下列曲线的拐点：

23(1) ,3;x t y t t ==+

解：22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t x t x t +-== 令22d 0d y

x

=，得t =1或t =－1 则x =1，y =4或x =1，y =－4

当t >1或t <－1时，22d 0d y

x >，曲线是凹的，

当0

x

<，曲线是凸的，

故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4). (2) x =2a cot θ， y =2a sin 2θ. 解：

3

2d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )

y a x a θθθθθ⋅⋅==-⋅- 2224

42222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a a

θθθθθθ=-+⋅=⋅-- 令22d 0d y x

=，得π3θ=或π3θ=-，

不妨设a >0

tan θ>>ππ

33θ-<<时，22d 0d y x >，

当tan θ>

tan θ<π3θ<-或π

3θ>时，22d 0d y x

<,

故当参数π3θ=

或π3θ=-时，都是y

的拐点，且拐点为3,3

2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭

及3,32a ⎛⎫

- ⎪⎝⎭.

7．试决定22(3)y k x =-中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. 解：224(3),12(1)y kx x y k x '''=-=- 令0y ''=，解得x =±1，代入原曲线方程得y =4k ， 只要k ≠0，可验证(1，4k )，(－1，4k )是曲线的拐点.

18x k y =±'=±，那么拐点处的法线斜率等于

1

8k ，法线方程为18y x k

=. 由于(1，4k )，(－1，4k )在此法线上，因此

1

48k k

=±

, 得22321, 321k k ==-(舍去) 故

8k ==±.

8．证明：

（1

）

1

lim 0;n

n x →∞=⎰

证明：当1

02x ≤

≤时，0,n n x ≤≤

于是1

1

120

011

0d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰

⎰ 而111

lim

()0,12

n n n +→∞⋅=+

由夹逼准则知：

1

lim 0.n

n x →∞=⎰

(2)

π4

lim sin d 0.n n x x →∞=⎰

证明：由中值定理得

π440

ππsin d sin (0)sin ,44

n n x x ξξ=⋅-=⎰

其中π

0,4ξ≤≤

故

π

4

π

lim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4

n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰

9．求下列极限：

20

3

ln(12)d (1)lim

;x

x t t

x

→+⎰

解：原式1

222300ln(12)22lim limln(12).333

x x x x x x →→+==+=