考研数学高等数学强化习题-不定积分
考研数学高等数学强化习题-不定积分
模块五 不定积分Ⅰ经典习题一．原函数与不定积分1、设,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，1sin ,0()0,0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩下述命题成立的是（ ） （A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数 （B ）(0)g '存在 （C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数 （D ）1()()xF x f t dt -=⎰，则(0)F '存在2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( ) (A) 1sin x + (B) 1sin x -\(C) 1cos x + (D) 1cos x -3、在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A)()()df x dx f x dx=⎰ (B) ()()f x dx f x '=⎰ (C) ()()df x f x =⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()--=⎰xx ef e dx _____.二．有理函数积分5、计算下列不定积分（1）32211++-⎰x x dx x （2）()()222311x dx x x +-+⎰ ;（3）25613x dx x x +-+⎰ （4）2100(1)-⎰x dx x （5）21(21)(1)++⎰dx x x （6）21(1)-⎰dx x x（7）()7711x dx x x -+⎰ （8）226114(1)-+-⎰x x dx x x （9）()()22121---⎰dx xx x （10）()()3222412+++++⎰x x xdx xx x（11）241x dx x -⎰ （12）()2311x dx x x +-⎰ （13）33156x dx x x ++-⎰ （14）421dxx x ++⎰三．可化为有理函数的积分1．三角有理式（6、计算下列不定积分 （1）()1sin sin 1cos ++⎰xdx x x （2）3sin cos ⎰dx x x（3）3sin 2cos +⎰x dx x （4）211cos +⎰dx x（5）sin 1sin +⎰x dx x （6）22221sin cos +⎰dx a x b x（7）()()210sin cos ≠+⎰dx ab a x b x （8）()12cos sin dx x x+⎰（9）64tan cos sin ⎰x x dx x（10）41sin ⎰dx x 2．指数有理式的积分7、计算下列不定积分.（1）311++⎰x xe dx e （2）211+⎰xdx e （3）1x x dx e e --⎰ （4）()211x dx e +⎰四．根式的处理8、计算下列不定积分 （1）⎰（2）（3）3（4）⎰（5）（6）⎰（7） （8）,9、计算下列不定积分（1）()0>⎰a（2）（3）（4）（5）⎰（6）五．分部积分法的使用10、计算下列不定积分 （1）2ln sin sin ⎰x dx x （2）()2ln 1-⎰xdx x（3）2sin ⎰x xdx （4）22arctan 1+⎰x xdx x 》（5）()2ln 1+-⎰x x dx x （6）2arctan ⎰xxe dx e （7）()2arcsin ⎰x dx （8）2ln 1-⎰x dx x11、计算下列不定积分（1）(2lnx dx ⎰（2）2xdx（3）⎰（4） （5）()22arctan 1x xdx x +⎰（6）arcsin⎰ （7）2cos sin cos xx xe dx x+⎰ （8）22sec tan x x x dx x -⎰ 12、若()f x 的一个原函数为2ln x ，则()'=⎰xf x dx （ ）|(A) 2ln ln -+x x C (B) 22ln ln ++x x C(C) 22ln ln -+x x C (D) 2ln ln ++x x C13、已知sin xx是()f x 的原函数，求()3'⎰x f x dx . 14、已知曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,求()f x .15、求积分()sin ln ⎰x dx .16、已知()f x 有二阶连续导数，证明：()()()121212124x xf x dx f x f x C '''-=---+⎰. 六．其他考查形式17、设231,0()1,012,1x f x x x x x <⎧⎪=+<≤⎨⎪>⎩求 ()f x dx ⎰.18、设22(sin )cos 2tan (01),f x x x x '=+<<则()___f x =Ⅱ参考答案一．原函数与不定积分1、【答案】：（C ）【解析】：()g x 在[1,1]-上连续，故存在原函数（A ）不正确，()f x 在点0x =处具有跳跃间断点，故在包含此点的区间内不存在原函数 2、【答案】：(B) ^【解析】：由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+⎰⎰, 其中C 为任意常数.所以()f x 的原函数12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++⎰⎰,其中12,C C 为任意常数.令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 3、【答案】:(A)【解析】:由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰！()()()f x dx df x f x C '==+⎰⎰,C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(A). 4、【答案】:()--+xF eC【解析】:因为()F x 是()f x 的一个原函数，故()()'=F x f x .令-=xu e，则()()()()()-----=-=-=-+=-+⎰⎰⎰x x x x x e f e dx f e de f u du F u C F e C . 二．有理函数积分5、（1）【答案】：()3211ln221-++++x xx C x|【解析】：()()322223212131111221111ln 221+++⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥---+⎣⎦⎝⎭-=++++⎰⎰⎰x x x x dx x dx x dx x x x x x x x Cx（2）【答案】： ()21513ln 1ln 1ln +1arctan 4422x x x x C -++---+（3）【解析】：通过变换，将积分转化为常见积分，即222538613613613x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+-+⎰⎰⎰2221(613)82613(34d x x dx x x x -+=+-+-+⎰⎰） 223(1ln(613)432(1x d x x x -=-++-+⎰）2）2213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++ }（4）【解析】：原式=1001111()()()x x dx x +-+-⎰99100111()()x dxdx x x +=+--⎰⎰ 98991002111()()()dx dx dxx x x =++---⎰⎰⎰979899111974999()()()x x x C ------=---+ （5）【解析】：设221(21)(1)211+=+++++A Bx C x x x x ，计算得421;;555==-=A B C . ()()2222224211211211555(21)(1)2115215151211ln 21ln 1arctan 555⎛⎫-++ ⎪+=+=-+ ⎪+++++++ ⎪⎝⎭=+-+++⎰⎰⎰⎰⎰x d x d x dx dx dx x x x x x x x x x x C（6）【解析】：22221111111(1)(1)(1)(1)1(1)--=-=-+=-+------x x x x x x x x x x x x22221111111ln (1)(1)(1)1(1)11⎡⎤--==-=-+=-+⎢⎥-------⎣⎦⎰⎰x x x dx dx C x x x x x x x x x x x （7）【解析】：72ln ln 17x x C -++ （（8）【解析】：2226114421(1)1(1)-+=+----x x x x x x x222611442114ln 2ln 1(1)1(1)1⎛⎫-+=+-=+-++ ⎪----⎝⎭⎰⎰x x dx dx x x C x x x x x x （9）【解析】：()()()()()()222211211212111==+++-+-----+--A B C Dx x x xx x x x x x 其中1111;;;31242==-=-=-A B C D . 故()()()()()22222111111312422112121111111ln 2ln 1ln 1312421⎛⎫--- ⎪==+++ ⎪-+-------- ⎪⎝⎭=--+--++-⎰⎰dx dx x x x x x x x x x x x x x C x （10）【解析】：()()()322222421122+++=+++++++++x x xA B Cx Dx x x xx x x #其中1;2;0;1====-A B C D .()()()3222222412121ln 22121122⎛⎫++=+-=+-- ⎪ ⎪++++++++++⎝⎭⎰⎰⎰x x xdx dx x dx x x x x x x x x x x222112112⎛⎫+⎪⎝⎭==+++⎛⎫++⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰d xdx Cx xx，故()()322242ln2212++=+--++++⎰x x x dx x Cxx x x（11）【解析】：111ln arctan412xx Cx+-+-（12）【解析】：()221ln ln1ln136x x x x C-+-++++（13）【答案】：【解析】：（14）【答案】：2211ln41x xCx x++++-+|【解析】：()()42222222111122221111111ln41x xdx dxdxx x x x x xx x x xx xCx x⎡⎤+-⎢⎥==-⎢⎥++++-+++-+⎢⎥⎣⎦++=+-+⎰⎰⎰()2211ln86xx Cx x-++++333222111117544215656161211123422411114ln1428231231224⎛⎫+⎪+-⎛⎫=+=+-⎪⎪+-+--++⎝⎭ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⋅++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=+----⋅⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰xx xdx dx x dxx x x x x x xxdd xx x dxx x()222111ln86+-=++++⎰dxxx Cx x6、（1）【解析】：利用万能公式：22212cos ,sin ,(tan )112t t xx x t t t -===++，令2arctan x t =，则221=+dx dt t()22222222211sin 1111112ln sin 1cos 2422111111tan ln tan tan 42222⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫⎝⎭==++=+++ ⎪+⎛⎫-⎝⎭+ ⎪++⎝⎭=+++⎰⎰⎰t x t t dx dt t dt t t t C x x t t t t t x x xC （2）【答案】：21tan ln tan 2x x C ++ 【解析】：先作恒等变形，凑微分得2241tan 1tan tan ln tan tan cos tan 2dx x I d x x x C x x x +===++⎰⎰ （3）【解析】：()231cos sin cos 2cos 2cos -=-++⎰⎰x x dx d x x x，令cos =t x ，故。
考研真题不定积分
考研真题不定积分考研真题不定积分在考研数学中，不定积分是一个重要的概念和考点。
不定积分是求函数的原函数的过程，也是求解一些常见的微积分问题的方法之一。
考研真题中的不定积分题目涉及到了很多不同的方法和技巧，对于考生来说是一个很大的挑战。
在本文中，我们将探讨考研真题中的不定积分问题，并提供一些解题思路和技巧。
在考研数学中，不定积分是求解函数的原函数的过程。
原函数是指在给定函数的导数等于该函数的函数。
不定积分可以看作是导数的逆运算。
在解不定积分题目时，我们需要找到函数的原函数，并确定积分常数。
考研数学中的不定积分题目通常涉及到一些常见的函数，如幂函数、指数函数、三角函数等。
在解题时，我们可以利用一些基本的积分公式和性质来简化计算过程。
例如，对于幂函数，我们可以利用幂函数的积分公式进行计算。
对于指数函数和三角函数，我们可以利用它们的特殊性质来求解不定积分。
除了基本的积分公式和性质，我们还可以利用一些常见的积分技巧来解决不定积分题目。
例如，我们可以利用换元法、分部积分法、三角代换等方法来简化计算过程。
这些技巧可以帮助我们将复杂的不定积分问题转化为简单的形式，从而更容易求解。
在考研真题中，不定积分题目通常涉及到一些复杂的函数和积分形式。
这就需要我们具备一定的数学知识和解题技巧。
在解题时，我们可以先观察题目给出的函数形式，然后根据函数的性质和积分技巧选择合适的方法进行求解。
同时，我们还需要注意题目给出的条件和要求，以便正确地求解不定积分。
在解不定积分题目时，我们还需要注意一些常见的错误和陷阱。
例如，忘记加上积分常数、计算错误、选择错误的积分方法等。
为了避免这些错误，我们可以在解题过程中进行反复检查和验证。
同时，我们还可以多做一些练习题目，提高自己的解题能力和技巧。
总之，考研真题中的不定积分是一个重要的考点，对考生来说是一个很大的挑战。
在解题时，我们可以利用基本的积分公式和性质，运用一些常见的积分技巧，注意题目给出的条件和要求，避免常见的错误和陷阱。
考研数学-专题10 不定积分和定积分的方法和技巧
∫ ∫ a −a
f
( x) d
x
=
⎪⎧0, ⎪⎩⎨2
a 0
f
( x) d
x,
f (x) 为奇函数时， f (x) 为偶函数时.
(2) 设 f (x) 是以T 为周期的连续函数，则对任给数 a ，总有
5）利用公式
∫ ∫ a+T
T
f (x)d x = f (x) d x.
a
0
6
∫ ∫ (1)
π
2 sinn x d x =
x
= A + Bx + C
x3 − x2 + x −1 x −1 x2 +1
则 x ≡ A(x2 + 1) + (Bx + C)(x −1)
由此解得 A = 1 , B = − 1 ,C = 1 .
2
22
∫
x3
−
x x2 +
x
dx −1
=
1 2
∫
dx x −1
−
1 2
∫
x −1
x
2
+
dx 1
= 1 ln x −1 − 1 ln(x2 + 1) + 1 arctan x + C
0
∫=
2
[(x −1) +1]
1− (x −1)2 dx
0
【例 3】
∫= 2 2x − x2 dx = π （几何意义）
0
2
∫π x
cos2 x − cos4 xdx = __________ .
0
∫ ∫ 【解】
原式 = π
π cos2 x − cos4 xdx = π
高等数学不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解(总58页)不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数 52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（） ★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x+⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
考研高数检测题五不定积分
练习五不定积分基础练习1、求⎰xdx 2sin .2、求⎰xdx 3sin .3、求⎰xdx tan .4、求⎰xdx 2tan .5、求⎰xdx 3tan .6、求⎰xdx sec .7、求⎰xdx 2sec .8、求⎰xdx 3sec .9、求⎰xdx arccos .101112+x sin 1sin 13、求⎰+dx x 2sin 31.16、求⎰xy21.17、求⎰++dx x x 2221.18192021、求⎰+dx x 313.25、求⎰+dx x x )4(6.26272829、求⎰+dx xx 4.33、求⎰+dx x x 241.34353637、求⎰+dx e x 2)1(.41、已知xx sin 是)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(3.4243真题演练注：积分积不出来的函数(原函数存在但不是初等函数，无法求出原函数)：①⎰dx e x 2，②⎰dx x x sin ，③⎰dx x ln 1，④⎰+dxx 41144、(1990数二)求⎰-dx x x 2)1(ln .454647、(1995数二)设2ln )1(222-=-x x x f 且x x f ln ))((=ϕ，求⎰dx x )(ϕ.48、(1996数二)求⎰+dx xxx) 1(arctan22.49505152、(2006)求⎰dx ee x xarcsin .5354练习五不定积分(答案)基础练习1.C x x +-42sin 2.提示:倍角公式降次.2.C x x ++-3cos 31cos .提示:凑微分法.3.C x +-cos ln .提示:凑微分法.14.C x+22tan arctan 21.提示:倍角公式后再分子分母同除以余弦的平方.15.C x ++312tan2arctan 32.提示:倍角公式后分子分母同除以余弦的平方.16.y x .提示:积分变量为x ,其他字母视为常数.17.C x ++)1arctan(.提示:不能分解因式,凑成反正切的导数.18.C x x +++21ln .提示:分母可以分解因式,用有理函数的积分方法.30.C x ++66)1(ln .提示:t x =6.31.C x x xx x x ++-+++-+--11arctan 21111ln 或C x x x +---arcsin 11ln 2.提示:令t xx =+-11或被积函数分子分母同乘x -1再令t x sin =.32.C x x +-+-31123.提示:原式dx x x x ⎰-+-=321111,令t x x =-+11.33.C xx x x ++++-333213)1(.提示:令t x tan =.34.C x x x +++arctan 21)1(22.提示:令t x tan =.45.C e e e x x x x +-+---1arctan 41412.提示:令t e x =-1,再分部积分.46.C x x x ++++-)cos 1(41cos 1cos 1ln 81.提示:凑微分.或C x x ++2tan ln 412tan 812.提示:倍角公式.47.C x x ++-1ln 2.提示:先求出11)(-+=x x x ϕ.48.C x x x x x +++--2221ln 21)(arctan 21arctan 1.提示:有理函数的积分,分部积分.或C xx x x x +++--221ln )(arctan 21arctan .提示:令t x =arctan .49.C e e x x x +++--)1ln()1(.提示:令t x =ln 再分部积分.。
不定积分考研计算题
不定积分是考研数学中的重要内容之一，以下是几个不定积分考研计算题的例子：
1.计算不定积分∫√(x^2-1) dx
这个题目考查了不定积分的计算方法和换元法的应用。
解题的关键在于将√(x^2-1)进行换元，令x=sect，从而将其转化为可积分的形式。
2.计算不定积分∫sin(x^2) dx
这个题目考查了不定积分的计算方法和分部积分法的应用。
解题的关键在于将
sin(x^2)进行分部积分，将其转化为可积分的形式。
3.计算不定积分∫(x^2+1)/(x^3+1) dx
这个题目考查了不定积分的计算方法和有理函数的积分方法。
解题的关键在于将有理函数进行分解，将其转化为可积分的形式。
4.计算不定积分∫e^(x^2) dx
这个题目考查了不定积分的计算方法和微积分基本定理的应用。
解题的关键在于将e^(x^2)进行微积分基本定理的运算，从而求出其不定积分的值。
以上只是不定积分考研计算题的一部分，实际上，不定积分的计算方法有很多种，需要考生在平时的学习中多加练习和掌握。
高等数学100题不定积分及答案
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 63、 cos 2x cos 3xdx =
1 10
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 64、 tan x sec xdx = sec x + c
∫ 65、
tan2 x sec xdx =
1 2
sec
x
tan
x
−
1 2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+c
∫ 66、
tan x sec2 xdx =
x)2
+
c
∫ 78、
x
−
1
arctan + x2
x
dx
=
1 2
ln(1
+
x
2
)
3
−
2 3
(arctan
x)
2
+c
∫ 79、 arcsin x dx = (arc sin x )2 + c
x(1− x)
∫ 80、
1
dx = − 1 + c
(arcsin x)2 1− x2
arcsin x
∫ 81、 ex dx = ln(1+ ex ) + c
c
∫ 98、 cos x − sin xdx = ln | sin x + cos x | +c sin x + cos x
∫ 99、 sin x + 2 cos x dx = 3sin x + 4 cos x
高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全)
第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C--==-+⎰★(2)思路:解：★(3)思路:解：★(4)思路:解：★★思路:解：42232233113arctan11x xdx x dx dx x x C x x++=+=++ ++⎰⎰⎰★★(6)221xdxx+⎰思路:注意到222221111111x xx x x+-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x⎰34134（-+-2 思路:分项积分。
解：3411x dx --134（-+-） ★(8)思路:解：★★思路:解：★★思路:解：★(11)1x e -⎰ 解：21(1)(1)(1).11x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x x e dx ⎰思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。
显然33x x x e e =（）。
解：333.ln(3)x x x xe e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（） ★★(13)2cot xdx ⎰思路:应用三角恒等式“22cotcsc 1x x =-”。
解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰★★(14)2352x xx dx ⋅-⋅⎰思路:解：★★思路:解：★★思路:解：★(17)思路:解：★(18)22cos 2cos sin x dx x x ⋅⎰ 思路:同上题方法，应用“22cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。
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考研数学高等数学强化习题-不定积分-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN模块五 不定积分Ⅰ经典习题一．原函数与不定积分1、设,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，1sin ,0()0,0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩下述命题成立的是（ ） （A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数 （B ）(0)g '存在（C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数 （D ）1()()xF x f t dt -=⎰，则(0)F '存在2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( )(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) ()()df x dx f x dx =⎰ (B) ()()f x dx f x '=⎰(C) ()()df x f x =⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰ 4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()--=⎰x x e f e dx _____.二．有理函数积分5、计算下列不定积分（1）32211++-⎰x x dx x （2）()()222311x dx x x +-+⎰ （3）25613x dx x x +-+⎰ （4）2100(1)-⎰x dx x （5）21(21)(1)++⎰dx x x （6）21(1)-⎰dx x x（7）()7711x dx x x -+⎰ （8）226114(1)-+-⎰x x dx x x （9）()()22121---⎰dx xx x （10）()()3222412+++++⎰x x xdx xx x（11）241x dx x -⎰ （12）()2311x dx x x +-⎰ （13）33156x dx x x ++-⎰ （14）421dxx x ++⎰三．可化为有理函数的积分1．三角有理式6、计算下列不定积分 （1）()1sin sin 1cos ++⎰xdx x x （2）3sin cos ⎰dx x x（3）3sin 2cos +⎰x dx x （4）211cos +⎰dx x （5）sin 1sin +⎰x dx x （6）22221sin cos +⎰dx a x b x（7）()()210sin cos ≠+⎰dx ab a x b x （8）()12cos sin dx x x+⎰（9）64tan cos sin ⎰x x dx x（10）41sin ⎰dx x 2．指数有理式的积分7、计算下列不定积分（1）311++⎰x xe dx e （2）211+⎰x dx e （3）1x x dx e e --⎰（4）()211x dx e +⎰ 四．根式的处理8、计算下列不定积分 （1） （2）（3）3（4）⎰（5） （6）dx x⎰（7） （8）9、计算下列不定积分（1）()0>a （2）（3）（4）dx （5） （6）五．分部积分法的使用10、计算下列不定积分 （1）2ln sin sin ⎰x dx x （2）()2ln 1-⎰xdx x （3）2sin ⎰x xdx （4）22arctan 1+⎰x xdx x （5）()2ln 1+-⎰x x dx x （6）2arctan ⎰xxe dx e （7）()2arcsin ⎰x dx （8）2ln 1-⎰x dx x11、计算下列不定积分（1）(2ln x dx⎰ （2）2xdx（3）⎰（4）（5）()22arctan 1x xdx x +⎰（6）⎰ （7）2cos sin cos xx xedx x +⎰ （8）22sec tan x x x dx x -⎰ 12、若()f x 的一个原函数为2ln x ，则()'=⎰xf x dx （ ） (A) 2ln ln -+x x C (B) 22ln ln ++x x C (C) 22ln ln -+x x C (D) 2ln ln ++x x C13、已知sin xx是()f x 的原函数，求()3'⎰x f x dx . 14、已知曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,求()f x .15、求积分()sin ln ⎰x dx .16、已知()f x 有二阶连续导数，证明：()()()121212124x xf x dx f x f x C '''-=---+⎰. 六．其他考查形式17、设231,0()1,012,1x f x x x x x <⎧⎪=+<≤⎨⎪>⎩求 ()f x dx ⎰.18、设22(sin )cos 2tan (01),f x x x x '=+<<则()___f x =Ⅱ参考答案一．原函数与不定积分1、【答案】：（C ）【解析】：()g x 在[1,1]-上连续，故存在原函数（A ）不正确，()f x 在点0x =处具有跳跃间断点，故在包含此点的区间内不存在原函数2、【答案】：(B)【解析】：由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+⎰⎰, 其中C 为任意常数.所以()f x 的原函数12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++⎰⎰,其中12,C C 为任意常数.令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 3、【答案】:(A)【解析】:由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C '==+⎰⎰,C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(A).4、【答案】:()--+x F e C【解析】:因为()F x 是()f x 的一个原函数，故()()'=F x f x .令-=x u e ，则()()()()()-----=-=-=-+=-+⎰⎰⎰x x x x x e f e dx f e de f u du F u C F e C . 二．有理函数积分5、（1）【答案】：()3211ln221-++++x x x C x【解析】：()()322223212131111221111ln 221+++⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥---+⎣⎦⎝⎭-=++++⎰⎰⎰x x x x dx x dx x dx x x x x x x x Cx（2）【答案】： ()21513ln 1ln 1ln +1arctan 4422x x x x C -++---+（3）【解析】：通过变换，将积分转化为常见积分，即222538613613613x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+-+⎰⎰⎰2221(613)82613(34d x x dx x x x -+=+-+-+⎰⎰） 223(1ln(613)432(1x d x x x -=-++-+⎰）2）2213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++（4）【解析】：原式=1001111()()()x x dx x +-+-⎰99100111()()x dxdx x x +=+--⎰⎰ 98991002111()()()dx dx dxx x x =++---⎰⎰⎰979899111974999()()()x x x C ------=---+ （5）【解析】：设221(21)(1)211+=+++++A Bx Cx x x x ，计算得421;;555==-=A B C .()()2222224211211211555(21)(1)2115215151211ln 21ln 1arctan 555⎛⎫-++ ⎪+=+=-+ ⎪+++++++ ⎪⎝⎭=+-+++⎰⎰⎰⎰⎰x d x d x dx dx dx x x x x x x x x x x C（6）【解析】：22221111111(1)(1)(1)(1)1(1)--=-=-+=-+------x x x x x x x x x x x x22221111111ln (1)(1)(1)1(1)11⎡⎤--==-=-+=-+⎢⎥-------⎣⎦⎰⎰x x x dx dx C x x x x x x x x x x x （7）【解析】：72ln ln 17x x C -++（8）【解析】：2226114421(1)1(1)-+=+----x x x x x x x222611442114ln 2ln 1(1)1(1)1⎛⎫-+=+-=+-++ ⎪----⎝⎭⎰⎰x x dx dx x x C x x x x x x （9）【解析】：()()()()()()222211211212111==+++-+-----+--A B C Dx x x xx x x x x x 其中1111;;;31242==-=-=-A B C D .故()()()()()22222111111312422112121111111ln 2ln 1ln 1312421⎛⎫--- ⎪==+++ ⎪-+-------- ⎪⎝⎭=--+--++-⎰⎰dx dx x x x x x x x x x x x x x C x （10）【解析】：()()()322222421122+++=+++++++++x x xA B Cx Dx x x xx x x 其中1;2;0;1====-A B C D .()()()3222222412121ln 22121122⎛⎫++=+-=+-- ⎪ ⎪++++++++++⎝⎭⎰⎰⎰x x xdx dx x dx x x x x x x x x xx 2221121122⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+++⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰d x dx C x x x ， 故()()322242ln 2212++=+-++++⎰x x xdx x C x x x x （11）【解析】：111lnarctan 412x x C x +-+-（12）【解析】：()221ln ln 1ln 136x x x x C -+-++++（13）【答案】：【解析】：（14）【答案】：2211ln 41x x C x x ++++-+ 【解析】：()()42222222111122221111111ln 41x x dx dx dx x x x x x x x x x x x x C x x ⎡⎤+-⎢⎥==-⎢⎥++++-+++-+⎢⎥⎣⎦++=+-+⎰⎰⎰6、（1）【解析】：利用万能公式：22212cos ,sin ,(tan )112t t xx x t t t -===++，令2arctan x t =，则221=+dx dt t()2211ln 86x x C x x -++++333222111117544215656161211123422411114ln 14282321231224⎛⎫+ ⎪+-⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪+-+--++⎝⎭ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=+----⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰x x x dx dx x dx x x x x x x x x dd x x x dx x x ()222111ln 86+-=++++⎰dx x x C x x()22222222211sin 1111112ln sin 1cos 2422111111tan ln tan tan 42222⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫⎝⎭==++=+++ ⎪+⎛⎫-⎝⎭+ ⎪++⎝⎭=+++⎰⎰⎰t x t t dx dt t dt t t t C x x t t t t t x x x C （2）【答案】：21tan ln tan 2x x C ++【解析】：先作恒等变形，凑微分得2241tan 1tan tan ln tan tan cos tan 2dx x I d x x x C x x x +===++⎰⎰ （3）【解析】：()231cos sin cos 2cos 2cos -=-++⎰⎰x x dx d x x x，令cos =t x ，故322222sin 1143322cos 22221123ln 2cos 2cos 3ln cos 222---+⎛⎫=-===-+ ⎪+++++⎝⎭=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰x t t t dx dt dt dt t dt x t t t t t t t C x x x C（4）【解析】：()222211tan 1cos 2tan cos 1sec ===++++⎰⎰⎰d x dx dx C x x x x （5）【解析】：()()2222sin 1sin sin sin tan tan sec sec 11sin cos cos sec tan -==-=--+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x dx dx dx xdx x xdx x dx x x x x x x C （6）【解析】：()22222222222tan 1sec 11arctan tan sin cos tan tan ⎛⎫===+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰d a x x a dx dx x C a x b x a x b a a x b abb（7）【解析】：()()()()22222tan 1sec 111tan sin cos tan tan cos sin cos +===-⋅+++++=-++⎰⎰⎰d a x b xdx dx C a a a x ba xb x a x b a x b xC a x ab x（8）【解析】：()()()231cos 2cos 1ln 61cos -+++x x C x （()()()111ln 2cos ln 1cos ln 1cos 326+-++-+x x x C ） （9）【解析】：()22654331sin tan cos cos sin sin sin sin -==⎰⎰⎰x x x xdx dx d x xx x 令sin =t x 则原式为()226243321tan cos 21112ln sin 22-⎛⎫==-+=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰t x xdx dt t dt t t C x t t t t即662442tan cos tan cos 11sin 2ln sin sin sin 22sin ==--+⎰⎰x x x x dx dx x x C x x x（10）【解析】：()22222224431sin cos csc 1cot csc csc cot sin sin 1cot cot 3+==+=+=--+⎰⎰⎰⎰⎰x x dx dx x x dx xdx x xdx x x x x C 7、（1）【解析】： 方法一：()()333221*********ln ln 22=+++⎛⎫===+-⎪+++⎝⎭=+-+=+-+⎰⎰⎰⎰xx x t e xx x x x x x e e t dx de dt t dt e t t t e e t t t C e e e C方法二：令1=+x t e ，则()11,ln 1,1=-=-=-x e t x t dx t . 则原式为()332111133111-++-+=⋅=+--⎰⎰⎰x x t e t t dx dt dt e t t t （2）【解析】：()()()()222222*********ln ln 1ln 122=-⎛⎫===+⎪++++⎝⎭=-++=-++⎰⎰⎰⎰xxt e x x x x e t dx dx dt dt e t t e e t t t t C x e C（3）【解析】：11ln 21x xe C e -++（4）【解析】：()1ln 11x xx e C e+-+++ 四．根式的处理8、（1）【解析】：)4ln 1C +（2）【解析】：=⎰令4=t ()324414,11-==--t x dx dt t t .()()324242244144111211111ln2arctan 2arctan 1-⎛⎫=--⋅⋅=-=- ⎪--+⎝⎭-+=-+=--⎰⎰⎰t t t dt dt dt t t t t t tt C Ct（3）【解析】：令12=t 1211,12==x t dx t dt.()6411141283513315139412421121224244424451335133--=⋅=--=--+=--+⎰⎰t t t dt t t t dt t t t t C x x x C（4）【答案】：)1C+【解析】：令21,2t t x dx tdt +===于是 t t t te dt te e dt ==-⎰⎰⎰())11.t t e C C =-+=+（5）【答案】：C -+【解析】：⎰1x t=21dt t ⎫-=-⎪⎭ln1t C C=-=--++=-+（6）33arccos Cx+（7）()3223113x Cx++（8）C9、（1）【答案】：1(ln arcsin)2++xCa【解析】：令tax sin=，则原式1cos sin1cos sin2sin cos2sin cost t t tdt dtt t t t-+=+++⎰⎰111ln sin cos(ln arcsin)222=+++=++xt t t C Ca（2）=令12secθ-=x，则2sec tanθθθ=dx d，原式为()2sec tan sec2sec12tan2sec12cosθθθθθθθθθθ====+++⎰⎰⎰d d d利用万能公式：22212cos,sin,(tan)112t t xx x tt t-===++222cos3θθ==+++⎰⎰ddt Ct再将变量还原即可。