平行四边形压轴题
1．如图，已知以△ABC 的三边为边在BC 的同侧作等边△ABD 、△BCE 、△ACF ，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF 是什么四边形？写出理由。 （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？
（3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在？ 2．（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=o ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
3．（2009年铁岭市）ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点
D 不与点B C 、重合）
，ADE △是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ． （1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时． ①求证：AEB ADC △≌△；
②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？
（3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并
A
D
F
C
G
E B
图1
A
D
F
C
G E B
图2
A
D
F
C G
E B
图3
3
2
1G
E
F
D C
B
A
（第25题）
A G
C
D B
F
E
图
A
D
C
B
F
E
G
图
说明理由．
4．（2009年日照市）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．
（1）求证：EG =CG ；
（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o ，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线
段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要
求证明）
5（2009江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点
E 作E
F BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =?∠.
（1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作
MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由 6．如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD =CF ，BD ⊥CF 成立． （1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD =CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD ⊥CF ； ②当AB =4，AD =
时，求线段BG 的长．
7.探究问题：
⑴方法感悟： 如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边A
D C
E G
第24题图①
A D
E B
F C
图4（备
A D E
B
F C
图5（备A D
E
B F
C 图1
图2
A
D E B F
C P N
M
图3
A
E
B P
M
D
F A
D
G
第24题图② F A
C
E
第24题图③
E F
D
C
B
A
（第25题）
E
F
D C
B
A
（第25题）
上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌_______．
∴_________=EF ，故DE+BF=EF ．
⑵方法迁移： 如图②，将ABC Rt ?沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF=2
1∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明
你的猜想． ⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满足
DAB EAF ∠=
∠2
1
,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE+BF=EF ．请直接
写出你的猜想（不必说明理由）．