弹性力学简明教程全程导学及习题全解

1-7 试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。

注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标轴正方向为正，反之为负。（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。

1-8 试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。

2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什么？

【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：

物体的连续性，小变形和均匀性。

在两种平面问题（ 平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都适用。

（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。

在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应

力问题的物理方程中的E 换位2

1E μ-，

1μ

μμ-换为，就得到平面应变问题的物理方程。

2-8 试列出题2-8图（a ），题2-8图（b ）所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 【解】（1）对于图（a ）的问题 在主要边界0,x x b ==上，应精确满足下列边界条件：

0(),

(),x x x x b gy gy σρσρ===-=- 0()0()0xy x xy x b ττ====；

。

在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件：

01(),

y y gh σρ==-

()0yx τ=。

在小边界（次要边界）2

y h =上，有位移边界上条件：

22()0,()0y h y h u v ====。

这两

个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，

当板厚1δ=时，

222

12

000

()(),

()0,()0b y y h b

y y h b

yx y h dx g h h b xdx dx σρστ===⎧=-+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩⎰⎰⎰。

（2）对于图（b ）所示问题

在主要边界/2y h =±上，应精确满足下列边界条件：

/2/2()0,(),

y y h y y h q σσ==-==-

/21/2()()0yx y h yx y h q ττ==-=-=；。

在次要边界0x =上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚

1δ=时，

/20/2/2

0/2/20

/2(),

(),()h x x N

h h x x h h xy x S h dy F ydy M dy F σστ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰。

在次要边界x l =上，有位移边界条件：

()0,()0x l x l u v ====。

这两个位移边界条件

可以改用三个积分的应力边界条件来代替

/21/22/2

1/2/2/2

(),

(),22()h x x l N

h h x x l S h h xy x l S

h dy q l F q lh ql ydy M F l dy ql F σστ=-=-=-⎧=-⎪⎪⎪=---⎨⎪

⎪=--⎪⎩⎰⎰⎰。

2-9 试应用圣维南原理，列出题2-9图所示的两个问题中OA 边的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？

【解】（1）对于图（a ），上端面的面力向截面形心简化，得主矢和主矩分别为

/2

N F qb =，

S F =0

，

20

()/122b

qx b

M x dx qb b =-=-⎰

。应用圣维南原理，列出三个

积分的应力边界条件，当板厚1δ=时，

002

00202()2,()12,()0b y y b y y b yx y b dx qb xdx qb dx σστ===-⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩⎰⎰⎰。

（2）对于图（b ），应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚1δ=时，

002

0000

()2,()12,()0b y y b y y b

yx y dx qb xdx qb dx σστ===⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩⎰⎰⎰。

所以，在小边界OA 边上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，这两个问题为静力等效的。

2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解】（1）用位移表示的平衡微分方程

222222222

22211()012211()0122x y E u u u

f x y x y E v v u f y x x y μμμμμμ⎧∂-∂+∂+++=⎪-∂∂∂∂⎪⎨∂-∂+∂⎪+++=⎪-∂∂∂∂⎩ （2）用位移表示的应力边界条件 221()()121()()12x x y x E u v u v l m f x y y x E v u v u m l f y x x y μμμμμμ⎧⎡⎤∂∂-∂∂+++=⎪⎢⎥-∂∂∂∂⎣

⎦⎪⎨⎡⎤∂∂-∂∂⎪+++=⎢⎥⎪-∂∂∂∂⎣⎦⎩

（3）位移边界条件

(),()()s s u u u v v s ==。在上

2-11检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？

【解】（1）平衡微分方程

0,0yx

x x y xy y

f x

y f y x τσστ∂⎧∂++=⎪

∂∂⎪⎨

∂∂⎪++=⎪∂∂⎩。

（2）相容方程

2

()(1)()

y

x x y f f x y σσμ∂∂∇+=-++∂∂。