2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
t a n70°米
si n70°
米
2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题
一、选择题(本大题共8小题,共24分)
1.如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置,
T在P的正北方向,且T在Q的北偏西70°方向,则河宽(PT的长)可以表示为()
A.200tan70°米
B.200
C.200sin70°米
D.200
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(?1,n),其部分图象如图所示.以下结论错误的是()
A.abc>0
B.4ac?b2<0
C.3a+c>0
D.关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根
3.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=12.将纸片折叠,使点B落在边AD的延长线上的点G处,折痕为
EF,点E、F分别在边AD和边BC上.连接BG,交CD于点K,FG交CD于点H.给出以下结论:
①EF⊥BG;
②GE=GF;
③△GDK△和GKH的面积相等;
④当点F与点C重合时,∠DEF=75°,
其中正确的结论共有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.下列图中所有小正方形都是全等的.图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片,图(2)是一张由6个小
正方形组成的3×2方格纸片.
把“L”形纸片放置在图(2)中,使它恰好盖住其中的4个小正方形,共有如图(3)中的4种不同放置方法.图
(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片,将“L”形纸片放置在图(4)中,使它恰好盖住其中的4个
小正方形,共有n种不同放置方法,则n的值是()
B. 若|x ? 1| > |x ? 1|,则y < y
D. 若y = y ,则x = x
A. 160
B. 128
C. 80
D. 48
5.
如图,将矩形 ABCD 折叠,使点 C 和点 A 重合,折痕为 EF ,EF 与 AC 交于点O.若AE = 5,BF = 3,则 AO
的长为( )
A. √5
B. 3 √5
2
C. 2√5
D. 4√5
6.
将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内,现用一个注水管沿大容器内壁匀速注
水,如图所示,则小水杯水面的高度?(cm)与注水时间t (mi n )的函数图象大致为图中的(
)
A.
B.
C. D.
7.
在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,抛物线y = x 2 ? 2x ? 3与 y 轴交于点 A ,与 x 轴正半轴交于点 B ,连
接 AB ,将Rt △ OAB 向右上方平移,得到Rt △ O′A′B′,且点O′,A′落在抛物线的对称轴上,点B′落在抛物线
上,则直线A′B′的表达式为(
)
A. y = x
B. y = x + 1
C. y = x + 1
D. y = x + 2
2
8.
已知P 1(x 1, y 1),P 2(x 2, y 2)是抛物线y = ax 2 ? 2ax 上的点,下列命题正确的是(
)
A. 若|x 1 ? 1| > |x 2 ? 1|,则y 1 > y 2 C. 若|x 1 ? 1| = |x 2 ? 1|,则y 1 = y 2
1 2 1 2
1 2 1 2
?
二、填空题(本大题共 8 小题,共 24 分)
9.
如图,在△ ABC 中,按以下步骤作图:
①以点 B 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 AB 、BC 于点 D 、E .
②分别以点 D 、E 为圆心,大于1 DE 的同样长为半径作弧,两弧交于点 F .
2
③作射线 BF 交 AC 于点 G .
如果AB = 8,BC = 12△,
ABG 的面积为 18△,则 CBG 的面积为______.
10. 如图,在?ABCD 中,∠B = 60°,AB = 10,BC = 8,点 E 为边 AB 上的一个动点,连接 ED 并延长至点 F ,使
得DF = 1 DE ,以 EC 、EF 为邻边构造?EFGC ,连接 EG ,则 EG 的最小值为______.
4
11. 抛物线y = ax 2 + bx + c(a,b ,c 为常数,a < 0)经过A(2,0),B(?4,0)两点,下列四个结论:
①一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根为x 1 = 2,x 2 = ?4; ②若点C(?5, y 1),D(π, y 2)在该抛物线上,则y 1 < y 2;
③对于任意实数 t ,总有a t 2 + bt ≤ a ? b ;
④对于 a 的每一个确定值,若一元二次方程ax 2 + bx + c = p(p 为常数,p > 0)的根为整数,则 p 的值只有两
个.
其中正确的结论是______(填写序号).
12. 如图,折叠矩形纸片 ABCD ,使点 D 落在 AB 边的点 M 处,EF 为折痕,AB = 1,AD = 2.设 AM 的长为 t ,用
含有 t 的式子表示四边形 CDEF 的面积是______.
第 12 题图
第 13 题图
13. 如图,在△ ABC 中,O 为 BC 边上的一点,以 O 为圆心的半圆分别与 AB ,AC 相切于点 M ,N.已知∠BAC =
120°,AB + AC = 16,MN 的长为π,则图中阴影部分的面积为______.
14.矩形纸片ABCD,长AD=8cm,宽AB=4cm,折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点A落在点A′
处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA′,EA′,不再添加其它线段.当图中存在30°角时,AE的长为
______厘米.
第14题图第15题图
15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC=______度.
16.设A,B,C,D是反比例函数y=k图象上的任意四点,现有以下结论:
x
①四边形ABCD可以是平行四边形;②四边形ABCD可以是菱形;
③四边形ABCD不可能是矩形;④四边形ABCD不可能是正方形.
其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
三、计算题(本大题共1小题,共6分)
17.某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙,它由长方形和抛物线构成,
长方形的长AD=4m,宽AB=3m,抛物线的最高点E到BC的距离为4m.
(1)按如图①所示的直角坐标系,抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示.求该抛物线的函数表达式;
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图②,在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户
FGMN,点G,M在AD上,点N,F在抛物线上,窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m,求每个B型活动板房的成本是多少?(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)
(3)根据市场调查,以单价650元销售(2)中的B型活动板房,每月能售出100个,而单价每降低10元,每月
能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素,公司将销售单价n(元)定为多少时,每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大?最大利润是多少?
(1)已知二元一次方程组{
四、解答题(本大题共 12 小题,共 46 分)
18. 如图,某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染.
进货单
商品
甲
乙
进价(元/件) 数量(件) 总金额(元)
7200
3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下:
李阿姨:我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.
王师傅:甲商品比乙商品的数量多 40 件.
请你求出乙商品的进价,并帮助他们补全进货单.
19. 阅读感悟:
有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:
已知实数 x 、y 满足3x ? y = 5①,2x + 3y = 7②,求x ? 4y 和7x + 5y 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得 x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算
量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的
值,如由① ? ②可得x ? 4y = ?2,由① + ② × 2可得7x + 5y = 19.这样的解题思想就是通常所说的“整体
思想”.
解决问题:
2x + y = 7,
x + 2y = 8,则x ? y =______,x + y =______;
(2)某班级组织活动购买小奖品,买 20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需 32 元,买 39 支铅笔、5 块橡皮、3
本日记本共需 58 元,则购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需多少元?
(3)对于实数 x 、y ,定义新运算:x ? y = ax + by + c ,其中 a 、b 、c 是常数,等式右边是通常的加法和乘法
运算.已知3 ? 5 = 15,4 ? 7 = 28,那么1 ? 1 =______.
20.如图,已知点A(1,2)、B(5,n)(n>0),点P为线段AB上的一个动点,反比例函数y=k(x>0)的图象经过点
x P.小明说:“点P从点A运动至点B的过程中,k值逐渐增大,当点P在点A位置时k值最小,在点B位置时k值最大.”
(1)当n=1时.
①求线段AB所在直线的函数表达式.
②你完全同意小明的说法吗?若完全同意,请说明理由;若不完全同意,也请说明理由,并求出正确的k的
最小值和最大值.
(2)若小明的说法完全正确,求n的取值范围.
21.背景:一次小组合作探究课上,小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上),发
现BE=DG且BE⊥DG.
小组讨论后,提出了下列三个问题,请你帮助解答:
(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1),还能得到BE=DG吗?若能,请给出证明;若不能,请
说明理由;
(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2),试
问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时,背景中的结论BE=DG仍成立?请说明理由;
(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD,且AE=AB=2,AE=4,AB=8,将矩形AEFG
AG AD3
绕点A按顺时针方向旋转(如图3),连接DE,BG.小组发现:在旋转过程中,DE2+BG2的值是定值,请求出这个定值.
22.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,AE与过点D的切线互相垂直,垂足
为E.
(1)求证:AD平分∠BAE;
(2)若CD=DE,求sin∠BAC的值.
23.某公司分别在A,B两城生产同种产品,共100件.A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有
函数关系y=ax2+bx+c.当x=10时,y=400;当x=20时,y=1000.B城生产产品的每件成本为70万
元.
(1)求a,b的值;
(2)当A,B两城生产这批产品的总成本的和最少时,求A,B两城各生产多少件?
(3)从A城把该产品运往C,D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件;从B城把该产品运往C,D两地的
费用分别为1万元/件和2万元/件.C地需要90件,D地需要10件,在(2)的条件下,直接写出A,B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示).
24.实际问题:
某商场为鼓励消费,设计了抽奖活动,方案如下:根据不同的消费金额,每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券,奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会,小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额?
问题建模:
从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥3)这n个整数中任取a(1 不同的结果? 模型探究: 我们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,从中找出解决问题的方法. 探究一: (1)从1,2,3这3个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有多少种不同的结果? 表① 所取的2个整数2个整数之和1,2 3 1,3 4 2,3 5 如表①,所取的2个整数之和可以为3,4,5,也就是从3到5的连续整数,其中最小是3,最大是5,所以共有3种不同的结果. (2)从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有多少种不同的结果? 表② 所取的2个整数2个整数之和1,2 3 1,3 4 1,4 5 2,3 5 2,4 6 3,4 7 如表②,所取的2个整数之和可以为3,4,5,6,7,也就是从3到7的连续整数,其中最小是3,最大是7,所以共有5种不同的结果. (3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有______种不同的结果. (4)从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥3)这n个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有______种不同的结果. 探究二: (1)从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数,这3个整数之和共有______种不同的结果. (2)从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥4)这n个整数中任取3个整数,这3个整数之和共有______种不同的结果. 探究三: 果. 归纳结论: 从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥3)这n个整数中任取a(1 问题解决: 从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取5张奖券,共有______种不同的优惠金额. 拓展延伸: (1)从1,2,3,…,36这36个整数中任取多少个整数,使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果?( 写出解答过程)