立体几何专题练习题.

立体几何专题练习题

东里中学备课组

1、在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ C ）

（A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面PAE （C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面ABC

2、已知,m l 是异面直线，给出下列四个命题：① 必存在平面α，过m 且与l 平行；② 必

存在平面β，过m 且与l 垂直；③ 必存在平面γ，与,m l 都垂直；④ 必存在平面ω，与,m l 的距离相等.其中正确的结论是（ ）C

A ．①③

B ．②③

C ．①④

D ．②④

3、如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对 角线A C 1上的点，若

a

PQ =

2

，则三棱锥P BDQ -的体积为 （ ）A

A ．a 33

B ．a 33

C ．a 33

D ．不确定 4、长方体的长、宽、高分别为2,2,3cm cm cm ，若该长方体的各顶点都在球O 的表面上，则

球O 的表面积为（ C ）

A. 27cm π

B. 214cm π

C. 217cm π

D. 256cm π

5、如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都2，E ，F 分别是11,AB A C 的中点，则EF 的长是 （ C ）

(A)2 (B)3 (C)

5 (D)7

解析：如图所示，取AC 的中点G ，连EG ，FG ，则易得EG ＝2，EG ＝1，故EF ＝5，选C

6、设EF 是两条异面线段AB 、CD 的公垂线，当线段AB 绕着直线EF 在空间旋转并与EF 保持垂直时，下列三个命题正确的个数是：（ B ） ①直线AB 与直线CD 所成角的大小不变.

②直线AB 与直线CD 的距离不变. ③以A 、B 、C 、D 为顶点的四面体的体积不变.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

7、一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（B ） Ａ．3:1:1

Ｂ．3:2:2

Ｃ．3:2:2

Ｄ．3:2:3

8、右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ A ）

A ．

3

33a π+ B ．

3

127a π C ．

3

12

163a +π D ．33

7a π

A B

D

C 1 C 1

B 1

P Q

图1

A 1

B 1

C 1

G

F

E

A

B

C

9、矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ， 则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）D

A ．

π12125 B ．π9125 C ．π3125 D ．π6

125

10、正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面成60°角，过底面一边作截面，使其与底面成

30°角，则截面在底面的射影面积为（ ）。D A . 3a 2 B . 2a 2 C .

43a 2 D . 16

33a 2

11、已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α?m ；④βα⊥；⑤βα//. （i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m 。（填所选条件的序号）

答案:③⑤；②⑤

[解析]:由线面平行关系知:αα,?m ∥β可得m ∥β; 由线面垂直关系得:αα,⊥m ∥

ββ⊥m 可得,

12、已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示：

在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ； ②平面SBC ⊥平面SAB ； ③SB ⊥AC ．

其中所有正确命题的代号是 ① ．

13、由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是

．

5

B S

S

A （

B ） C

C S （A ）

B

主视图

左视图 俯视图

C

主视图 左视图

俯视图

14、在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶

点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；

④每个面都是等腰三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体．

显然①可能，②不可能，③④⑤如右图知都有可能。

文科解答题：

1、如图，在长方体

1

1

1

1

D

C

B

A

ABCD-中，

a

AD

AA=

=

1

，a

AB2

=，E、F分别为

11

C D、

1

1

D

A的中点．

（Ⅰ）求证：⊥

DE平面BCE；

（Ⅱ）求证：//

AF平面BDE

（Ⅰ）证明：⊥

BC

侧面

1

1

C

CDD，

?

DE侧面

1

1

C

CDD，BC

DE⊥

∴，

在CDE

?中，a

DE

CE

a

CD2

,

2=

=

=，

则有2

2

2DE

CE

CD+

=，

?

=

∠

∴90

DEC，EC

DE⊥

∴，又

C

EC

BC=

⊥

∴DE平面BDE．

（Ⅱ）证明：连EF、1

1

C

A，连AC交BD于O，

1

1

2

1

//C

A

EF

，

1

1

2

1

//C

A

AO，∴四边形AOEF是平行四边形，OE

AF//

∴

又?

OE

平面BDE，?

AF平面BDE，//

AF

∴平面BDE．

2、如图，矩形ABCD中，ABE

AD平面

⊥，2

=

=

=BC

EB

AE，F为CE上的点，且

ACE

BF平面

⊥。

（Ⅰ）求证：BCE

AE平面

⊥；（Ⅱ）求证；BFD

AE平面

//；

（Ⅲ）求三棱锥BGF

C-的体积。

（Ⅰ）证明： ABE

AD平面

⊥，BC

AD//

∴ABE

BC平面

⊥，则BC

AE⊥

A B

D

C

1

A

1

B

1

C

1

D E

F

A B

D

C

1

A

1

B

1

C

1

D E

F

O

B

C

C

B

A

S

C

B A

S

又 ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥ ∴

AE 平面⊥

（Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点

ACE BF 平面⊥ 则BF CE ⊥，而BE BC =

∴F 是EC 中点

在AEC ?中，AE FG //

∴BFD AE 平面// （Ⅲ）解： BFD AE 平面//

∴FG AE //，而BCE AE 平面⊥ ∴FG 平面⊥ ∴ G 是AC 中点 ∴F 是CE 中点 ∴FG AE //且12

1

==AE FG ACE BF 平面⊥ ∴CE BF ⊥ ∴BCE Rt ?中，22

1

===CE CF BF ∴1222

1

=??=

?CFB S ∴3

131=??==?--FG S V V CFB BCF G BFG C 3、在三棱锥 S ABC -中，

90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=,1,AC BC SB ===. （1）求三棱锥S ABC -的体积；（2）证明:BC SC ⊥;

（3）求二面角C-SA-B 的大小；（4）求异面直线SB 和AC 所成角的余弦值。 (1)解：∵90SAB SAC ACB ∠=∠=∠= ∴,,SA AB SA AC ⊥⊥且AB AC A =, ∴SA ⊥平面ABC

在Rt ACB ?中， 2AB =

=,

Rt SAB ?中，2SA ===

∵11122ABC S AC BC ?=

?=?=∴1123323

S ABC ABC V S SA -?=

?=??= (2)证法1：由（1）知SA=2, 在Rt SAC ?中，SC ==---6分

∵2

2

2

358BC SC SB +=+==,∴BC SC ⊥

〔证法2：由（1）知SA ⊥平面ABC ，∵BC ?面ABC ，∴BC SA ⊥ ∵BC AC ⊥,AC

AS A =,∴BC ⊥面SAC 又∵SC ?面SAC ，∴BC SC ⊥〕

B

C

F

E D

C

B

A

S

(3) ∵,,SA AB SA AC ⊥⊥ ∴BAC ∠为二面角C-SA-B 的平面角

在Rt BCA ?

中，∵1,AC BC == ∴60BAC ∠=, ∴即所求二面角C-SA-B 为60

(4) 解法1：分别取AB 、SA 、 BC 的中点D 、E 、F ， 连结ED 、DF 、EF 、AF ，则//,//DE BS DF AC ,

∴EDF ∠（或其邻补角）就是异面直线SB 和AC 所成的角

∵111,222

DE SB DF AC =

=== 在Rt ACF ?

中，1,22

FC BC =

=

∴AF ===在Rt EAF ?

中，2

EF === 在△DEF

中，由余弦定理得2

2

2

111

244cos 1222

DE DF EF EDF DE DF +-

+-∠==

?

4=- ∴异面直线SB 和AC

所成的角的余弦值为

4

4、如图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，且AB AD a ==，BF DH b ==。

（Ⅰ）证明：截面四边形EFGH 是菱形；（Ⅱ）求三棱锥F ABH -的体积。 解：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ∥平面CDHG ，且平面EFGH 分别交平面ABFE 、

平面CDHG 于直线EF 、GH ，所以EF ∥GH ．

同理，FG ∥EH ．

因此，四边形EFGH 为平行四边形．

(1)

因为BD AC ⊥，而AC 为EG 在底面ABCD 上的射影，所以

EG BD ⊥．

E

D B

Q M

N

P

C

A

D B

Q

M

N

P

C

A

因为BF DH =，所以FH ∥BD ．因此，FH EG ⊥． ……（2） 由（1）、（2）可知：四边形EFGH 是菱形；

（Ⅱ）因为DA ⊥平面ABFE ，HD ∥AE ，所以H 到平面ABF 的距离为DA a =．于是，由等体积法得所求体积：211113326

F ABH H ABF ABF V V S DA ab a a b --?==??=??=． 5、如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。 （Ⅰ）求证：MN ∥平面PBD ； （Ⅱ）求证：AQ ⊥平面PBD ；

（Ⅲ）求PB 和平面NMB 所成的角的大小。 解：MN 和PB 的位置如右图示：（正确标出给1分） （Ⅰ）∵ND∥MB 且ND ＝MB ∴四边形NDBM 为平行四边形 ∴MN∥DB

∵NM ?平面PDB,DB ?平面PDB ∴MN ∥平面PBD

（Ⅱ）∵QC ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，∴BD QC ⊥

又∵BD AC ⊥ ∴BD ⊥平面AQC ,

AQ ?面AQC ∴AQ BD ⊥,同理可得AQ PB ⊥,∵BD

PB B =

∴AQ ⊥面PDB

（Ⅲ）连结PQ 交MN 于点E,

∵,PE MN ⊥PE MB ⊥,MB

MN M =

∴PE ⊥平面NMB

连结BE,则PBE ∠为PB 和平面NMB 所成的角

在直角三角形PEB 中 ∵1

2

PE PB = ∴PBE ∠=30°

即PB 和平面NMB 所成的角为30°.

6、如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．

（1）求证：AF ∥平面PCE ； （2）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；

（3）求三棱锥C －BEP 的体积． 证明: （1）取PC 的中点G ，连结FG 、EG

∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG 2

1//

CD ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点 ∴AB 2

1

//

CD ∴FG //AE ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF ∥EG

又EG ?平面PCE ，AF ?平面PCE ∴AF ∥平面PCE

（2）∵ PA ⊥底面ABCD

∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，PA AD=A ∴CD ⊥平面ADP

又AF ?平面ADP ∴CD ⊥AF 直角三角形PAD 中，∠PDA=45°

∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴PA ＝AD=2 ∵F 是PD 的中点 ∴AF ⊥PD ，又CD PD=D ∴AF ⊥平面PCD ∵AF ∥EG ∴EG ⊥平面PCD 又EG ?平面PCE

平面PCE ⊥平面PCD （3）解法一：CB 是三棱锥C －BEP 的高，

11

12122BEP S BE PA ?=??=??=

V C －BEP =112

12333

BEP S CB ??=??=

解法二：三棱锥C －BEP 即为三棱锥P －BCE PA 是三棱锥P －BCE 的高， Rt △BCE 中，BE=1，BC=2， ∴三棱锥C －BEP 的体积：V C －BEP =V P －BCE =111112122332323

BCE S PA BE BC PA ??=

????=????= 理科解答题：

1、在如图所示的四面体ABCD 中，CD BC AB 、、两两互相垂直，且1==CD BC . （Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角D AB C --的大小；

（Ⅲ）若直线BD 与平面ACD 所成的角为?30，求线段AB 的长度.

解法一：（Ⅰ）证明:

,CD AB CD BC ⊥⊥，⊥∴CD 平面ABC .

又 ?CD 平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC .

（Ⅱ）CD

AB BC AB ⊥⊥, ，⊥

∴AB 平面

BCD BD AB ⊥∴.

∴CBD ∠是二面角D AB C --的平面角.…………6分

A

H

B

A 1

C 1

A

B 1

C

在BCD Rt ?中,BC CD =，?=∠∴45CBD . ∴二面角D AB C --的大小为?45.

（Ⅲ）过点B 作AC BH ⊥，垂足为H ,连结DH .

平面ACD ⊥平面ABC ，⊥∴BH 平面ACD ， ∴BDH ∠为BD 与平面ACD 所成的角.

∴?=∠30BDH .在Rt BHD ?中,2BD =，∴2

2

=

BH .又 在Rt BHC ?中,1BC =，?=∠∴45BCH ，

∴在ABC Rt ?中,1=AB . 解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）设a AB =,建立如图所示的空间直角坐标系

则)0,0,0(B ，),,0,0(a A )0,1,0(C ，)0,1,1(D ,)0,1,1(=BD ，),0,0(a BA = , 平面ABC 的法向量)0,0,1(=CD .

设平面ABD 的一个法向量为n (,,)x y z =，

BD ? n 0x y =+=，BA ? n 0az ==，z =0,

取1=y ，则1-=x ，∴ n (1,1,0)=-.

cos ,CD ∴< n n 2|n|

CD CD ?>=

=-

?， ∴二面角D AB C --的大小为?45

（Ⅲ）),1,0(a AC -=，)0,0,1(=CD ，)0,1,1(=BD .

设平面ACD 的一个法向量是m (',',')x y z =，则AC ?m ''0y az =-=，CD ?m '0x ==

令''1,z y a ==，则m (0,,1)a =， 直线BD 与平面ACD 所成角为?30，

cos ,BD ∴

cos 60.||

12

BD m BD m a ?>=

=

=?+?，∴a AB ==1.

2、如图，三棱柱111A B C ABC -中，平面1A AB ⊥平面ABC ，平面1A AC ⊥平面ABC ，

90BAC ∠= ，12,3AB AC AA === （1）求证：1A A ⊥平面ABC ；

（2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角的余弦值； （3）求点1B 到平面1ABC 的距离.

z x B A 1

C 1

A

B 1

C

（1）证明：

平面1A AB ⊥平面ABC ，平面1A AB ?平面ABC=AB CA AB ⊥

CA ∴⊥平面1A AB ∴1A A CA ⊥

同理 1AA BA ⊥

又 CA BA A ?= ABC ⊥1AA 平面

（2）解：由（1）知1,,AB AC AA 两两互相垂直， 因此可以A 为坐标原点，线段1,,AB AC AA 所在直线为x y z 轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系A xyz - . 则 7分

()()

1112,0,3,2,2,3AB BC AC AB ==-=-

8

11

1111cos ,449409221AB BC AB BC AB BC ?∴===++?++

∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值是

5221

221

（3）设平面1ABC 的法向量为(),,n x y z = ，则

()()10,2,3,2,0,0AC AB == 1

230

20

AC n y z AB n x ??=+=?∴??==?? 令3y =- ，则2z = ()0,3,2n ∴=- 12分

1613

13

13

AB n n

?∴

=

=

∴点1B 到平面1ABC 的距离是

613

3、如图，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB ，AC 于

11,B C ．将11AB C ?沿11B C 折起到111A B C ?的位置，使点1A 在平面11BB C C 上的射影恰是线段BC 的中点M ．求

（Ⅰ）二面角111A B C M --的大小；

（Ⅱ）异面直线11A B 与1CC 所成角的余弦值大小 解：（Ⅰ）连接AM ，1A G

∵Ｇ是正三角形ABC 的中心．且Ｍ为ＢC 的中点， ∴Ａ，Ｇ，Ｍ三点共线，AM ⊥BC ． ∵11B C ∥BC ，

∴11B C ⊥AM 于Ｇ，即GM ⊥11B C ，1GA ⊥11B C ，

A

1

A B

C

D

1

B F

1

C 1

D E

∴1A GM ∠是二面角111A B C M --的平面角． ∵点1A 在平面11BB C C 上的射影为Ｍ， ∴1A M MG ⊥，190A MG ∠=?．

在Rt 1A MG ?中，由12A G AG GM ==得1

60AGM ∠=?，即二面角111A B C M --的大小是60?．

(Ⅱ)过1B 作1C C 的平行线交BC 于Ｐ，则11A B P ∠等于异面直线11A B 与1C C 所成的角． 由11PB C C 是平行四边形得111B P C C BP ===，PM=BM －BP ＝

12

，1112A B AB ==．

∵1A M ⊥面11BB C C 于Ｍ， ∴1A M ⊥BC ，190A MP ∠=?．

在1Rt A GM ?

中，113sin 602

2

A M A G =??=

=

在1Rt A MP ?中，222

2211315()()222

A P A M PM =+=+=

在11A B P ?中，由余弦定理得222

2

2

11

11111115

2152cos 22218

A B B P A P A B P A B B P

+-+-∠=

=

=????

∴异面直线11A B 与1CC 所成角的余弦值大小

58

4、如图，已知长方体1111,ABCD A B C D -12,1,AB AA ==直线BD 与平面

11AA B B 所成的角为30?，AE 垂直BD 于E ，F 为11A B 的中点.

（I ）求异面直线AE 与BF 所成的余弦值；

（II ）求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角余弦值； （III ）求点A 到平面BDF 的距离.

解法一：在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB 所在的直线为

x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴建立如图示空间直角坐标系

由已知12,1,AB AA ==可得(0,0,0),(2,0,0)A B ，(1,0,1)F

又AD ⊥平面11AA B B ，从而BD 与平面11AA B B 所成的角为30DBA ∠=?，又

2AB =，AE BD ⊥

，1,AE AD ==

从而易得1,,0,223E D ???? ? ? ? ????? （I ）因为

()13,,0,1,0,122AE BF ??==- ? ???

所

以

()

cos ,AE BF AE BF

AE BF

?=

=1

4-

=-

易知异面直线AE BF 、所成的角的余弦值为

4

（II ）易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m

=设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法

向量，(BD =-由00n BF n BF n BD n BD ??⊥

?=?????⊥?=???

?02

03x z x y -+=????-=??

x z

y =???= 即()

1,3,1n = ∴15

cos ,5

m n m n m n

?=

=

即平面BDF 与平面1AA B （III ）点A 到平面BDF 的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值， ∴距离cos ,d AB AB n =?=

25

AB n n

?=

所以点A 到平面BDF 解法二：(I)连结B 1D 1，过F 作B 1D 1的垂线，垂足为K

∵BB 1与两底面ABCD ，A 1B 1C 1D 1都垂直

∴

111111111FK BB FK B D FK BDD B B D BB B ⊥?

?

⊥?⊥??=?平面 又

1111AE BB AE BD AE BDD B BB BD B ⊥?

?

⊥?⊥??=?

平面 因此FK ∥AE

∴∠BFK 为异面直线BF 与AE 所成的角

A

1

A D

1

B F

1

D H

S

连结BK ，由FK ⊥面BDD 1B 1得FK ⊥BK 从而△BKF 为Rt△

在Rt△B 1KF 和Rt△B 1D 11a 中，由

11

111

A D FK

B F B D =得

11111

11

122AD AB A D B F

FK B D BD

?

?=

=

== 又

∴cos ∠

BFK=

FK GF = ∴异面直线AE BF 、

所成的角余弦值为

4

(II)由于DA ⊥面AA 1B ，由A 作BF 的垂线AG ，垂足为G ，连结DG ，由三垂线定理知BG ⊥DG

∴∠AGD 即为平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角的平面角。且∠DAG=90° 在平面AA 1B 中，延长BF 与AA 1交于点S

∵F 为A 1B 1的中点，A 1F 1

2

//AB =

∴A 1、F 分别为SA 、SB 的中点，即SA=2A 1A=2=AB

∴Rt△BAS 为等腰三角形，垂足G 点实为斜边SB 的中点F ，即G 、F 重合。 易得AG=AF=

1

2

在Rt△BAS 中，

AD=

3

tan 3AD AGD AG ∠===即平面BDF 与平面AA 1B

所成二面角余弦值

5

。 (III)由(II)知平面AFD 是平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角的平面角所成的平面。 ∴面AFD ⊥平面BDF

在Rt△ADF 中，由A 作AH ⊥DF 于H ，则AH 即为点A 到平面BDF 的距离 由AH ·DF=AD ·α得

AH=222

3225

35

2

(

3)(2)3

AD AF

AH DF

?

?=

==

+ 所以点A 到平面BDF 的距离为

25

5

5、在直角梯形ABCD 中，∠D=∠BAD=90?,AD=DC=2

1AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC 折起，

使D 到D '．记面AC D '为α,面ABC 为β．面BC D '为γ． （1）若二面角α-AC -β为直二面角（如图二），求二面角β-BC -γ的大小; （2）若二面角α-AC -β为60?（如图三），求三棱锥D '-ABC 的体积． 解：（1）在直角梯形ABCD 中， 由已知?DAC 为等腰直角三角形， ∴ 45,2=∠=CAB a AC , 过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ，

可推得 AC=BC=.2a ∴ AC ⊥BC ．取 AC 的中点E ，连结E D '， 则 E D '⊥AC 又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角，

∴ E D '⊥β 又 ∵ ?BC 平面β ∴ BC ⊥E D ' ∴ BC ⊥a ，而a C D ?'， ∴ BC ⊥C D ' ∴ CA D '∠为二面角γβ--BC 的平面角． 由于 45='∠CA D ， ∴二面角γβ--BC 为 45．

（2）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结OE ． ∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE ∴ EO D '∠为二面角β--AC a 的平面角， ∴ EO D '∠ 60=． 在OE D Rt '?中，a AC E D 2

22

1=

='， ∴O D S V ABC ABC D '?=?-'3

1O D BC AC '???=2

131a a a 462261???=.12

63a =

6、如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它

们的公垂线段。点A 、B 在1l 上，C 在2l 上，

AM MB MN ==。

（Ⅰ）证明AB ⊥NB ；

（Ⅱ）若60O ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。

解法一: (Ⅰ)由已知l 2⊥MN, l 2⊥l 1 , MN ∩l 1 =M, 可得l 2

⊥平面ABN.由已知MN ⊥l 1 , AM=MB=MN,可知AN=NB 且AN ⊥NB. 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影. ∴AC ⊥NB

（Ⅱ）∵Rt △CAN ≌Rt △CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC 为正三角形.

∵Rt △ANB ≌Rt △CNB, ∴NC=NA=NB,因此N 在平面ABC 内

的射影H 是正三角形ABC 的中心,连结BH,∠NBH 为NB 与平

面ABC 所成的角. 在Rt △NHB 中,cos ∠NBH= HB NB = 3

3AB 2

2AB = 6

3 .

解法二: 如图,建立空间直角坐标系M －xyz.令MN=1, 则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)∵MN 是 l 1、l 2的公垂线, l 1⊥l 2, ∴l 2⊥平面ABN. l 2平行于z 轴. 故可设C(0,1,m).于是 AC →=(1,1,m), NB →

=(1,－1,0). ∴AC →·NB →

=1+(－1)+0=0 ∴AC ⊥NB.

(Ⅱ)∵AC → =(1,1,m), BC →=(－1,1,m), ∴|AC →|=|BC →

|, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC 为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt △CNB 中,NB=2, 可得NC=2,故C(0,1, 2). 连结MC,作NH ⊥MC 于H,设H(0,λ, 2λ) (λ>0). ∴HN →

=(0,1－λ,－2λ), MC →=(0,1, 2). HN →·MC →

= 1－λ－2λ=0, ∴λ= 13

,

∴H(0, 13, 23), 可得HN →=(0,23, － 23), 连结BH,则BH →

=(－1,13, 23),

∵HN →·BH →=0+29 － 29 =0, ∴HN →⊥BH →

, 又MC ∩BH=H,∴HN ⊥平面ABC,

∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角.又BN →

=(－1,1,0), ∴cos ∠NBH= BH →·BN →

|BH →|·|BN →

| = 4

323

×2

= 6

3

A

B

M N

C

l 2 l 1

H

l

7、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动。

（Ⅰ）证明：11D E A D ⊥；

（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；

（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π

。

A

A 1

解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设

AE x =，则()()()()()111,0,1,0,0,1,1,,0,1,0,0,0,2,0A D E x A C 。

（Ⅰ）因为

()()111,0,11,,10

DA D E x ?=?-=，所以11DA D E ⊥。

（Ⅱ）因为E 为AB 中点，则

()

1,1,0E ，从而()()

11,1,1,1,2,0D E AC =-=-，

()11,0,1AD =-，设平面1ACD 的法向量为(),,n a b c =，则100n AC n AD ??=???=??，也即200a b a c -+=??

-+=?，得2a b a c

=??

=?，从而()2,1,2n =，

所以点E 到平面1AD C 的距离为12121

33

D E n h n

?+-=

=

=

（Ⅲ）设平面1D EC 的法向量为()

,,n a b c =，

∵

()()()

111,2,0,0,2,1,0,0,1CE x D C DD =-=-=

由100n D C n CE ??=???=??，有()20

20b c a b x -=???+-=?

?，令1b =，从而2,2c a x ==- ∴

()

2,1,2n x =-

由题意，

11

2cos

4

n DD n DD π?=

=

?，即

()

2

225

x =-+。

∴123x =+（不合题意，舍去），223x =-。

∴当23AE =-时，二面角1D EC D --的大小为4π。

8、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （I ）证明PA ⊥平面ABCD ；

（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；

（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论. （Ⅰ）证明 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中， 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB. 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD. （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ， 由PA ⊥平面ABCD.

知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连结EH ， 则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角.

又PE : ED=2 : 1，所以.3

360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =?=== 从而 ,3

3

tan ==

GH EG θ .30?=θ （Ⅲ）解法一 以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面

PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

).0,2

1,23(),0,21,23(

),0,0,0(a a C a a B A - ).3

1

,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D

所以 ).0,2

1

,23(

),31,32,0(a a AC a a AE == ).,2

1

,23(),,0,0(a a a PC a AP -==

).,2

1

,23(a a a BP -=

设点F 是棱PC 上的点，,10),,2

1

,23(<<-==λλλλλ其中a a a PC PF 则 ),2

1

,23(),21,23(λλλa a a a a a PF BP BF -+-=+=

)).1(),1(21

),1(23(λλλ-+-=a a a 令 AE AC BF 21λλ+= 得

??

?

?

?

?

???

=-+=+=-??

??

???

??=-+=+=-.311,341,1.31)1(,3221)1(2

1

,23

)1(2

32211221

1λλλλλλλλλλλλλλ即a a a a a a a

解得

.23,21,21

21=-==λλλ 即 2

1

=

λ时，.2321AE AC BF +-=

亦即，F 是PC 的中点时，BF 、AC 、AE 共面.

又 BF ?平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC. 解法二 当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC ，证明如下， 证法一 取PE 的中点M ，连结FM ，则FM//CE. ①

由 ,2

1

ED PE EM ==

知E 是MD 的中点. 连结BM 、BD ，设BD ?AC=O ，则O 为BD 的中点.

所以 BM//OE. ②

由①、②知，平面BFM//平面AEC.

又 BF ?平面BFM ，所以BF//平面AEC. 证法二

因为 )(21

21DP CD AD CP BC BF ++=+=

.2

123)

(2

3

)(212321AC AE AD AE AC AD AD DE CD AD -=-+-+=++=

所以 BF 、AE 、AC 共面.

又 BF ?平面ABC ，从而BF//平面AEC.

【方法归纳】点F 是线PC 上的点，一般可设PC PF λ=，求出λ值，P 点是已知的，

即可求出F 点

9、如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；

（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小的正切值； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．

解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．

ABC ? 是正三角形，AE BC ∴⊥．

又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ． AE ∴⊥侧面11BB C C ．

A

B

D

1

A 1

B 1

C E

F G H

I

连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=． 在AED Rt ?

中，tan 45AE

ED

=

=

，解得x =．

∴此正三棱柱的侧棱长为．

注：也可用向量法求侧棱长．

（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，

⊥AE 侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．

AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角．

在BEF Rt ?中，sin EF BE EBF =∠，又

1,sin 3CD BE EBF BD =∠=

==，

∴3EF =．

又AE =

∴在AEF Rt ?中，tan 3AE

AFE EF

∠=

=． 故二面角C BD A --的正切值3． 解法2：（向量法，见后）

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，

∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ．

在AEF Rt

?

中，10

AE EF

EG AF

?=

==

．

E 为BC 中点，∴点C 到平面

ABD 的距离为2EG =

． 解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,CA CB =DA DB =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离．

解法3：（思路）等体积变换:由C ABD A BCD V V --=可求．

解法4：（向量法，见后） 题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系

则(0,1,0),(0,1,0),(A B C D -设

1(,,)n x y z =为平面ABD 的法向量．

由?????=?=?0

,021AD n n 得0

y y ?=?

-=取1(6,n =-

又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =

∴10

10

1)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-??--=?>=

结合图形可知，二面角C BD A --的正切值为3．

（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(6,n =-(0,CA =-

∴点C 到平面ABD 的距离d =2

221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---?-=＝

10

30

2．

1