空间几何体的表面积与体积教案

空间几何体的表面积与体积

一、柱体、锥体、台体的表面积

A .多面体的表面积

1.多面体的表面积求法：求平面展开图的面积

注：把多面体的各个面平铺在平面上，所得图形称之为多面体的平面积展开图.

2.直棱柱的侧面积与全面积 （1）侧面积

①求法：侧面展开（如图）；

②公式：S cl =（其中c 为底面周长，l 为侧棱长）； （2）表面积：侧面积＋两底面积. （3）推论：

①正棱柱的侧面积：S cl =（其中c 为底面周长，l 为侧棱长）.

②长方体的表面积：2()S ab bc ca =++.（其中,,a b c 分别为长方体的长宽高） ③正方体的表面积：26S a =（a 为正方体的棱长）. 3.斜棱柱侧面积与全面积 （1）侧面积：

①求法：作出直截面（如图）；

注：这种处理方法蕴含着割补思想.

②公式：S cl =（其中c 为直截面周长，l 为侧棱长）； （2）表面积：侧面积＋两底面积. 4.正棱锥的侧面积与全面积 （1）侧面积

①求法：侧面展开（如图）； ②公式：12

S ch '=（其中c 为底面周长，h '为斜高）； （2）表面积：侧面积＋底面积.

5.正棱台的侧面积与全面积 （1）侧面积

①求法：侧面展开（如图）；

②公式：1()2

S c c h ''=+（其中c 、c '为底面周长，h '为斜高）； （2）表面积：侧面积＋两底面积.

6.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系：

B .旋转体的表面积

2r π

l

r

1.圆柱的侧面积与全面积 （1）侧面积：

①求法：侧面展开（如图）；

②公式：2S rl π=（r 为两底半径，l 为母线长）； （2）表面积：2()S r r l π=+.

2.圆锥的侧面积与表面积 （1）侧面积

①求法：侧面展开（如图）； ②公式：S rl π=；

（2）表面积：()S r r l π=+（r 为两底半径，l 为母线长）.

事实上：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长为2r π，半径为圆锥母线l ，故面积为122

r l rl ππ??=

.

3.圆台的侧面积与表面积 （1）侧面积

①求法：侧面展开（如图）； ②公式：()S r R l π=+；

事实上：圆台侧面展开图为扇环，扇环的弧长分别为2r π、2R π，半径分别为x 、x l +，故圆台侧面积为

1

12()2()22S R x l r x R r x Rl ππππ=??+-??=-+，∵()x l R r x rl r R r

=?-=-，∴()S r R l π=+.

（2）表面积：22()r R r R l πππ+++.（r 、R 分别为上、下底面半径，l 为母线长） 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：

二、柱体、锥体、台体的体积

A .棱柱、棱锥、棱台的体积

1.棱柱体积公式：V Sh =（h 为高，S 为底面面积）；

2.棱锥体积公式：1

3

V Sh =（h 为高，S 为底面面积）；

3.棱台体积公式：121

()3

V S S h =棱台 （h 为高，1S 、2S 分别为两底面面积）.

事实上，设小棱锥高为x ，则大棱锥高为x h +.于是212211111()()3333

V S x h S x S h S S x =+-=+-.

∵

x x x x h h +， ∴221211111()33333

V S h x S h S S h =+=+=.

4.棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系：

2r π

l

l

r

h

2

S

x

1

S

2R π

2r

π x

R

r

x

l

B .圆柱、圆锥、圆台的体积

1.圆柱的体积：2V r h π=（h 为高，r 为底面半径）.

2.圆锥的体积：21

3

V R h π=（h 为高，R 为底面半径）.

3.圆台的体积：221

()3

V r rR R h π=++（r 、R 分别为上、下底半径，h 为高）.

事实上，设小圆锥高为x ，则大圆锥高为x h +（如图）.

于是2221111

()()()3333

V R x h r h R r R r x R h ππππ=+-=+-+.

∵

()x r x r R r x rh x h R h R r =?=?-=+-，∴222111()()333

V R r rh R h r rR R h πππ=++=++. 4.圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系：

三、球的体积与表面积

1.球的体积 34

3

V R π=.

2.球的表面积 24S R π=.

四、题型示例

A.直用公式求面积、求体积

例1 （1）一个正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为10，求其侧面积、表面积和体积；

侧面积：120；表面积：

120+

；体积（2）一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的侧面积、表面积和体积；

侧面积：600π；表面积：1100π

. （3）已知球的表面积是64π，求它的体积. 结果：2563

π.

（4）在长方体1111ABCD A B C D -中，用截面截下一个棱锥11C A DD -，求棱锥11C A DD -的体积与剩余部分的体积之比. 结果1:5.

练习：

R

r

x l

h

1.已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm ，高与斜高的夹角为30，求正四棱锥的侧面积和表面积. 结果：2

32cm ，2

48cm .

2.已知平行四边形ABCD 中，8AB =，6AD =，60DAB ∠=，以AB 为轴旋转一周，得旋转体.求旋转体的表面积.

结果：.

3.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则沿面对角线AC 、1AB 、1CB 截得的三棱锥1B ACB -的

体积为 C

A .12

B .13

C .1

6

D .1 4.已知正四棱台两底面均为正方形，边长分别为4cm 、8cm ，求它的侧面积和体积.

结果：侧面积：3

3

. 5.正四棱锥S ABCD -各侧面均为正三角形，侧棱长为5，求它的侧面积、表面积和体积.

结果：侧面积：

25(1

. 6.

，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 .

B.根据三视图求面积、体积

例3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A

.2π+ B

.4π+ C

.2π+

D

.4π结果：C.

练习：

1.一个底面为正三角形，侧棱于底面垂直的棱柱的三视图 如图所示，则这个棱柱的体积为 .

结果：

2.下图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果 直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为 A .1 B .1

2

C .13

D .16

答案：

C.

俯视图

2

2

正（主）视图

2 侧（左）视图

2

2

2

正视图 侧视图

俯视图

4

正视图

侧视图

俯视图

3.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为3的等腰三角形， 俯视图是半径为1的半圆，该几何体的体积是 A .

2π B .22π C .π D .

43

π 答案：A.

4.已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据， 计算该组合体的体积.

提示：该组合体结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部 也是一个圆柱. 结果：

176

3

π.

5.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 D

A .9π

B .10π

C .11π

D .12π

C.几何体表面上最短距离问题

例 三棱锥P ABC -的侧棱长均为1，且侧棱间的夹角都是40?，动

点M 在PB 上移动，动点N 在PC 上移动，求AM MN NA ++的最小值. 结果：3.

D.与球有关的组合问题

例1（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 结果:27π.

（2）若一个球内切于棱长为3的正方体，则该球的体积为 . 结果:92

π.

例2 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使球浸没在水中并使水面正好与球相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.结果：3

15r .

变式训练：

1.长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，则其外接球的体积为 .

2.求棱长为1的正四面体的外接球、内切球的表面积.

注：棱长为的正四面体中常用数据： （1）高：

6a ，中心到顶点距离：6a ，中心到面距离：6a ，中心到顶点距离：中心到面的距离=3：1. （2）全面积：23a ，体积：

32a .（3）对棱距离：2

a . （4）棱面角：3aiccos

a 或6aicsin ，面面角：1aiccos 3

或22aicsin .

正视图 侧视图

俯视图

俯视图

10

1

4 2

2

10

1

4

2

E.几个重要结论的补充及应用 结论1 锥体平行截面性质

锥体平行截面与锥体底面相似，且与底面积比等于两锥侧面积面积比，等于两锥全面积面积比，等于两锥对应线段（对应高、对应斜高、对应对角线、对应底边长）比的平方.

结论2 若圆锥母线长为l ，底面半径为r ，侧面展开图扇形圆心角为θ，则2r

l

πθ=

. 结论 3 若圆台母线长为l ，上、下底面半径分别为r 、R ，侧面展开图扇环圆心角为θ，则

2R r

l

θπ-=?

. 证明：设小圆锥母线长为x ，则有22r x r x πθπθ=?=

.∵x r x r rl

x x l R l R r R r

=?=?=+--， ∴22()2r r R r R r

x rl l

ππθπ--=

==?

. 应用

1.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为 B A .120? B .180? C .240? D .300?

2.一个圆锥的高是10cm ，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.

解：设圆锥底面半径为r ，圆锥母线长为l ，则扇形弧长为222

l

r ππ=

，∴2l r =.在Rt SOA △中，22210l r =+，

有此得r

，l .

∴圆锥侧面积为2003

S rl π

π==

. 3.露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片（如图），用它们恰好能围成一个圆锥模型，若圆

的半径为1．扇形的圆心角等于120°，则此扇形的半径为 C

A .13

B

C .3

D .6

4.圆台的上、下底面半径分别为10cm 和20cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？

结果：21100cm π.

5.圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240?，则圆锥体积为 C A

B .

8

81

π C

D .

1081

π 6.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120?、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 A .3:2 B .2:1 C .4:3 D .5:3

结果：C.

F.空间几何体体积求法例析 A .公式法

例1 四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面中的射影恰好是A ， 其三视图如图，则四棱锥P ABCD -的体积为 .

解：根据三视图可已将四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的正方形，高为a ，

利用锥体体积公式231133

P ABCD V a a a -=?=.

点评：1.计算几何体体积需要区别锥体、柱体、台体、 球体.它们的体积各自有不同的特征，注意准确运用体积公式.

B

D

A

P

?

2.如果是只求体积，根据“长对正，宽相等，高平齐”分别求出几何体的底面积和高，直接计算体积即可，若几何体比较复杂或涉及面积等计算时，则需复原几何体（本几何体复原后的图形如图）.

例2 一个几何体的俯视图是一个圆，正视图和侧视图是全等的矩形，它们水平放置时（一边在水平位置上），它们的斜二测直观图是边长为6和4的平行四边形，则该几何体的体积为 .

解：斜二测画法原则是“横长不变纵减半”.据此，正视图的长可能是6或4，高是8或12，而且是矩形.可见该几何体是圆柱体，底面直径可能是6或4，高是8或12.根据圆柱体体积公式，23872V ππ=??=或221248V ππ=??=.∴该几何体体积为72π或48π.

例3 用一块长3m ，宽2m 的矩形木板，在墙面互相垂直的墙角处，围出一个直三棱柱形谷仓，在下面的四种设计中，容积最大的是 A

解：略.

B .分割法

例4 已知一个多面体的表面积为36，它的内切球的半径为2，求该多面体的体积.

解：设多面体有n 个面，每个面的面积分别为12,,,n S S S ???，则1236n S S S ++???+=.∵多面体内切球的球心到多面体个个面的距离都等于球的半径R ，运用分割法，以内切球球心为顶点，多面体的每个面为底面，将多面体分割成n 个棱锥，于是多面体的体积等于这个棱锥的体积和，即

1111211111

()3622433333

n V S R S R S R R S S S =++???+=++???+=??=.

例5 如图3，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，3

2

EF =

，EF 与AC 面的距离为2，则该多面体的体积为 .

解：取AB 、CD 边的中点M 、N ，将多 面体分割成斜三棱柱和四棱锥， 利用三棱柱体积公式及四棱锥体积公式，

不难求得多面体积：1313153222

2

32

2

V ??=???+??=

???. 点评：本题中的几何体是不规则的，设法将几何体分割（或补）成规则的常见的几何体，是解题的关键，由于//EF AB ，并没有说明ADE 的确切位置，因此可以将其位置特殊化，从而得到直三棱柱ADB MNF -和四棱锥F MNCB -，这是本题解法一个巧妙之处.

C .补形法

例6 已知三棱柱的一个侧面面积为S ，相对的棱距离该侧面的

距离是h ，求证：该三棱柱的体积是1

2

V Sh =.

证明：设三棱柱111ABC A BC -的侧面11ABB A 的面积为

S ，侧棱1CC 到该侧面的距离为h . 以三棱柱的侧面11ABB A 为底面，将三棱柱补形得到四棱柱，如图.则四棱柱的高恰等于h .四棱 柱的体积为V Sh =，它的一半，即为三棱柱的体积12

V Sh =.∴三棱柱的体积为12

V Sh =.

点评：本体的结论可以作为结论用.

例7 已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PAB △、PAC △、PBC △的面积分别为21.5cm ，

B A

C A 45?

2 2 2 2

3 3 3 3 30?

45?

30?

A

B

C

D

1D

1C

1

B

1

A

B

C

D

F

E

M

N

A

B

C

D

A

F

E

22cm ，62cm ，则过P 、A 、B 、C 四点的外接球的体积为 2cm .

解：PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则以它们为基础，补形成为一个长方体，长方体的对角线是外接球的直径.设三条棱长分别为,,x y z ，则3xy =，4xz =，12yz =，解得12xyz =，1x =，3y =，4z =.从而2222(2)134r =++，2426r =，26r =

. ∴33

4

4261326

33V r r πππ??

=== ? ???

. 点评：对于三条棱两两互相垂直或者3个侧面两两互相垂直的三棱柱以及正四面体或对棱分别相等的三棱锥，都可以补形成为长方体或者正方体，它们有共同的外接球，外接球的直径正好是长方体或正方体的体对角线，这样就很容易将球体和三棱锥联系起来.

D .特殊化法

例8 如图，直三棱柱111ABC A B C -体积为V ，点P 、Q 分别在侧 棱1AA 、1DD 上，1AP D Q =，则四棱锥B APQD -的体积为 .

解：将条件1

AP DQ =特殊化，使得P 和1A 重合，Q 和D 重合，四棱锥B APQD -就 变成三棱锥1B ADA -，它和直三棱柱等底等高，∴四棱锥B APQD -的体积等于1

13

3

ABD S h V ?=△.

E .等体积转化（变换角度）

例9 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，如果分别过BC 、11A D 的2个平行平面将长方体分成体积相等的3部分，那么

11

C N

ND = . 解：将长方体站立放置，从而更容易观察到相关的几何体分别是直三棱柱、直四棱柱、 直三棱柱.∵长方体被分成体积相等的三部分，即1

1

1

1

1

1

D HD AGA D NCH A MBG NC C MB B V V V ---==.由于

它们的等高且等体积，∴底面积也相等，就是说1

1

1

AGA A MBG MB B S S S ==△△△，

即

111

2

AG AA GB AA ?=?，∴2AG GB =，∴112C N ND =.

例10 如图，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -的

棱1AA 、1CC 的中点，求三棱锥11C B EF -的体积.

解：1

1

1

1

11311

312

C B EF E B FC

B C F V V S AB a --==?=△. 点评：在三棱锥求体积问题中，变换角度就是换顶点、换底面，它是计算三棱锥体积问题长见的转化策略之一，它的基本依据是变换前后等体积.转换的标准是相应的底面和高是否容易求解.显然本题直接按照题中所给的角度或者转换成三棱锥都不便于求底面和高.

练习：

1.正六棱锥P ABCDEF -中，G 为PB 的中点，则三棱锥D GAC -与三棱锥P GAC -体积之比为 C

A .1:1

B .1:2

C .2:1

D .3:2

2.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正 方形，且ADE △、BCF △均为正三角形，//EF AB ，2EF =， 则该多面体的体积为 A

A .2

B .3

C .4

3

D .32

E

F 1

B

D

1D 1C A

1A B

C

H

M

1B D 1D

1

C A

1

A B

C

N

G

Q

P

1

B

D

1D

A

1A

B

3.某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），则这个几何体的体积是B

A .

34000cm 3 B .38000

cm 3

C .32000cm

D .34000cm 4.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为 A

A

.48+B

.48+C

.36+ D

.36+

5.若正方体外接球的体积是32

3

π，则正方体的棱长为 A

. B

C

D

选D

7.如图，已知多面体ABC DEFG -，AB ，AC ，

AD 两两垂直，平面//ABC 平面DEFG ，平面//BEF 平面ADGC ，2AB AD DG ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为

A .2

B .4

C .6

D .8

9.一个长方体的某3

则这个长方体的体积是 .

10.设等边三角形ABC △的边长为a ，P 是ABC △内的任意一点，且P 到三边AB ，BC ，CA 的距离分别为1d ，2d ，3d ，则有123d d d ++

面体ABCD 的棱长为a ，P 是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四个面的距离分别为1d ，2d ，3d ，

4d ，则有1234d d d d +++为定值是 .

. 11.某球的外切圆台上下底面半径分别为r ，R ，则该球的体积是 .

12.在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为 .

解：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补成长方体，设该长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，且其外接球的

半径为R ，则2222222226,5,5a b b c c a ?+=?

+=??+=?

，得22243a b c ++=，即2222(2)43R a b c =++=.

∴三棱锥外接球的表面积为2443S R ππ==.

俯视图

侧视图

6

6

6

侧视图

俯视图

正视图

13.各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则球的体积是 . 结果：86π.

11.体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于 . 结

果：

86π

π

.

14.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a =_____.结果：3.

15.三棱锥的顶点为P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，又2PA =，3PB =，4PC =，则三棱锥P ABC -的体积为_____. 结果：4.

14.半径为R 的球的外切圆柱的表面积为 ，体积为 . 结果：2

6R π；3

2R π.

16.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ?∠=，则此球的表面积等于 .结果：20π.

17.三个球的半径123,,R R R ，满足12323R R R +=，则它们的表面积123,,S S S ，满足的关系是 .

结果：12323S S S +=.

18.如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长 的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .

解：补形（如图），结果：

2

()

2

r a b π+.

19.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示.墩的上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.图5、图6分别是该标识墩的正视图和俯视图.

（1）请画出该安全标识墩的侧视图；

（2）求该安全标识墩的体积.

结果：（1）与正视图一样；（2）364000cm .

P

2 侧视图

正视图

3 1

俯视图

1

r

b

a

r

a b -

b