高鸿业微观经济学 第四版 四五章 课后题答案

第4章 课后习题详解

1．下面是一一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：

（1）在表中填空。

（2）该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？

答：（1）利用短期生产的总产量（TP ）、平均产量（AP ）和边际产量（MP ）之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表4-2所示：

（2）是。由上表中数据可知，从第5单位的可变要素投入量开始出现规模报酬递减。 所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表可见，当可变要素的投入量由第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。

2．用图说明短期生产函数(,)Q f L K 的TP L 曲线、AP L 曲线和MP L 曲线的特征及其相互之间的关系。

答：短期生产函数的TP L 曲线、AP L 曲线和MP L 曲线的综合图，如图4-5所示。

图4-5 生产函数曲线

由图4-5可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MP L 曲线呈现出先上升达到最高点A 以后又下降的趋势。由边际报酬递减规律决定的MP L 曲线出发，可以方便地推导出TP L 曲线和AP L 曲线，并掌握它们各自的特征及其相互之间的关系。

关于TP L 曲线。由于L

L dTP MP dL

=

，所以，当MP L ＞0时，TP L 曲线是上升的；当MP L ＜0时，TP L 曲线是下降的；而当MP L ＝0时，TP L 曲线达最高点。换言之，在L ＝L 3时，MP L 曲线达到零值的B 点与TP L 曲线达到最大值的B'点是相互对应的。此外，在L ＜L 3即MP L ＞0的围，当MP L '＞0时，TP L 曲线的斜率递增，即TP L 曲线以递增的速率上升；当MP L '＜0时，TP L 曲线的斜率递减，即TP L 曲线以递减的速率上升；而当MP L '＝0时，TP L 曲线存在一个拐点，换言之，在L ＝L １时，MP L 曲线斜率为零的A 点与TP L 曲线的拐点A'是相互对应的。

关于AP L 曲线。由于L

L TP AP L

=

，所以，在L ＝L 2时，TP L 曲线有一条由原点出发的切线，其切点为C 。该切线是由原点出发与TP L 曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是的最大值点。再考虑到AP L 曲线和MP L 曲线一定会相交在AP L 曲线的最高点。因此，在图4-5中，在L ＝L 2时，TP L 曲线与MP L 曲线相交于AP L ，曲线的最高点C'，而且与C'点相对应的是TP L ，曲线上的切点C 。

3．已知生产函数22

(,)20.50.5Q f L K KL L K ==--，假定厂商目前处于短期生产，且

K ＝10。

（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TP L 函数、劳动的平均产量AP L 函数和劳动的边际产量MP L 函数；

（2）分别计算当劳动的总产量TP 、劳动的平均产量AP 和劳动的边际产量MP L 各自达到极大值时的厂商的劳动投入量；

（3）什么时候AP L ＝MP L ？它的值又是多少？

解：（1）将K ＝10代入生产函数22(,)20.50.5Q f L K KL L K ==--中，

得：2

0.52050Q L L =-+-

于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数：

劳动的总产量函数 2

0.52050L TP L L =-+-

劳动的平均产量函数 500.520L AP L L

=-+- 劳动的边际产量函数 20L MP L =-+ （2）令0L MP =，解得20L =

即当劳动的投入量为20时，劳动的总产量TP L 达到最大。 令'250

0.50L AP L

=-+=，解得10L =（负值舍去） 且有

所以，当劳动投入量为10L =时，劳动的平均产量AP L 达到最大。

由劳动的边际产量函数20L MP L =-+可知，'1L MP =-＜0，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。所以边际产量函数递减，因此当劳动投入量0L =时劳动的边际产量MP L 达到极大值。

（3）当劳动的平均产量AP L 达到最大时，一定有AP L ＝MP L ，

即50

0.520L L

-+-

＝20L -+，得：10L = 此时AP L ＝MP L ＝10。

4．已知生产函数为{}min 2,3Q L K =，求： （1）当产量Ｑ＝36时，L 与K 值分别为多少？

（2）如果生产要素的价格分别为2,5L K P P ==，则生产480单位产量的最小成本是多少？

解：（1）生产函数{}min 2,3Q L K =表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，当场上进行生产时，总有23Q L K ==。

因为已知Q=36，解得L ＝18，K ＝12。 （2）由23Q L K ==，Q=480，可得： L ＝240，K ＝160

又因P L ＝2，P K ＝5，所以有：

240216051280L K TC L P K P =?+?=?+?=

即生产480单位产量的最小成本为1280。 5．已知生产函数为： （1）1/3

2/3

5Q L K =；

（2）KL

Q K L

=

+；

（3）2

Q KL =； （4）(3,)Q Min L K =。

求：（1）厂商的长期生产的扩展线方程；

（2）当1,1,1000L K P P Q ===时，厂商实现成本最小的要素投入的组合。 解：（1）①对于生产函数1/3

2/3

5Q L K

=来说，有：

1/310()3K L MP K =

，2/35()3L L

MP K

-= 由最优要素组合的均衡条件

L L

K K

MP P MP P =，可得： 2L K P L

P K

=

即厂商长期生产扩展线方程为：

2L

K

P K L P =

。 ②当1,1,1000L K P P Q ===时，有：22L

K

P K L L P == 代入生产函数1/3

2/3

5Q L K

=中，可解得：2/3

52Q L =?

即当1000Q =

时，L =

K = （2）①对于生产函数KL

Q K L

=

+来说，有： 2

222

22

()()()()()()L K K K L KL K MP K L K L L K L KL L

MP K L K L +-==

+++-=

=

++，

由

L L K K MP P MP P =，可得：2

()L K P K P L

= 即厂商长期生产扩展线方程为1/2

(

)L K

P K L P =。 ②当1,1,1000L K P P Q ===时，有：K L =

代入生产函数KL

Q K L

=

+中，得：L ＝K ＝2Q ＝2000 即当1000Q =时，2000L K ==。

（3）①对于生产函数22

,2,L K Q KL MP KL MP L ===，

由

L L

K K MP P MP P =，可得： 2L

K

P K L P = 则2L

K

P K L P =

即为厂商长期生产扩展线方程。 ②当1,1,1000L K P P Q ===时，有：

22

L K P L K L P =

= 代入生产函数2

Q KL =中，可得：3

10002

L =

解得：33102,522

L

L K ==

= （3）①生产函数min(3,)Q L K =是固定比例生产函数，厂商按照

1

3

L K =的固定投入比例进行生产，且厂商的生产均衡点在直线K ＝3L 上，即厂商的长期扩展线函数为K ＝3L 。

②由31000Q L K ===，得：1000K =，1000

3

L =

6．已知生产函数。

判断：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？

（2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？ 解：

这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MP K 是递减的。

以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。

7．令生产函数f （L ，K ）＝α0＋α1（LK ）1/2＋α2K ＋α3L ，其中0≤αi ≤1，i ＝0，1，2，3。

（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征？ （2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。

解：（1）∵f （L ，K ）＝α0＋α1（LK ）1/2

＋α2K ＋α3L

则1

2

2

0123(,)()()()f L K LK K L λλααλαλαλ=+++

12

0123()LK K L ααλαλαλ=+++

12

01230[()](1)LK K L λααααλα=++++-

0(,)(1)f L K λλα=+-

如果该生产函数表现出规模报酬不变，则(,)(,)f L K f L K λ=,这就意味着对于任何常数λ＞0都必有0(1)0λα-=，解得00α=。

可见，当00α=时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。

（2）在规模报酬不变的情况下，生产函数为1

2

123(,)()f L K LK K L ααα=++，这时有：