2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (61)

2020高考数学模拟试题

（理科）

一．选择题（60分）

i ．已知集合{}

2

{4,2,1},0,2,1A a B a =-=-+，若{2}A B =I ，则实数a 满足的集合为( )

A ．{}1

B ．{}1-

C ．{}1,1-

D ．?

ii ．i 为虚数单位，复数2

i 1

z =

+在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．()11-，

B ．()11，

C ．()11-，

D ．()11--， iii ．等比数列{}n a 各项均为正数，若121,1,28n n n a a a a ++=+=则{}n a 的前6项和为( )

A ．1365

B ．63

C ．

63

32

D ．

1365

1024

iv ．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，

()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．c a b <<

D ．c b a <<

v ．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标．下图为国家统计局发布的 2016 年至 2019 年第 3 季度我国工业产能利用率的折线图．

在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2017 年第二季度与 2016年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2016年第二季度与 2016年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（ ）

A ．2016年第三季度环比有所提高

B ．2017年第一季度同比有所提高

C ．2018年第三季度同比有所提高

D ．2019年第一季度环比有所提高

vi ．下列说法正确的是( )

A ．命题“0[0,1]x ?∈，使2

010x -…

”的否定为“[0,1]x ?∈，都有2 10x -?” B ．命题“若向量a r 与b r 的夹角为锐角，则·0a b >r r

”及它的逆命题均为真命题 C ．命题“在锐角ABC △中，sin cos A B <”为真命题

D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则

20x x +≠”

vii ．如图所示是某三棱锥的三视图，其中网格纸中每个小正方形的边长为1，

则该三棱锥的体积为( ) A ．4 B ．

16

3

C ．8

D ．

83

viii ．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11B C 的中点，点F 是线段1CD 上的一个动点．有以下三个命题：

①异面直线1AC 与1B F 所成的角是定值； ②三棱锥1B A EF -的体积是定值；

③直线1A F 与平面11B CD 所成的角是定值． 其中真命题的个数是( ) A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

ix ．如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆

22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ?的周

长的取值范围是（ ） A ．(2,6)

B ．(6,8)

C ．(8,12)

D ．(10,14)

x ．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞，都有

2[()log ]3f f x x -=，则方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是（ ）

A ．（0，

1

2

） B ．（

1

,12

） C ．（1，2） D ．（2，3）

xi ．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[

)12,0,x x ∈+∞有

()()1212

0f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式

()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值

范围是（ ） A ．1ln6,126e ??+?

??? B ．1ln3,126e ??+???? C ．1ln3,23e ??+???? D ．1

ln6,23e

??+???? xii ．已知函数46()4sin 2,0,63f x x x ππ?

?

??=-

∈ ????

???

，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x L ，且123n x x x x <<<

12763

π

B ．445π

C ．455π

D ．

14573

π

二．填空题（20分）

xiii ．设,x y 满足条件2010x y x y y -≥??

+≥??≥?，则23x y +的最小值为_______．

xiv ．已知非零向量,m n u r r 满足4||3||m n =u r r ，若(4)n m n ⊥-+r u r r

则,m n u r r 夹角的余弦值为_____

xv ．在平面四边形ABCD

中，AB =

2BC =，AC CD ⊥，AC CD =，

则四边形ABCD 的面积的最大值为_________.

xvi ．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC △是边长为

4的等边三角形，三棱锥P ABC -的体积为16

3

，则此三棱锥的外接球的表面积为______. 三．解答题（70分）

xvii ．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC ?

的面积为

()cos 6

b c a C +-. （1）求A ； （2）若1,3b c ==，求cos 2C 的值．

xviii ．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1111

12

AA A B AB ==

=，60ABC ∠=o ，1AA ⊥平面ABCD ．

（1）若点M 是AD 的中点，求证：1//C M 平面11AA B B ；

（2）（理科）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为1

3

？若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．

（文科）若点E 是棱BC 的中点，求直线1EC 与平面1C MD 所成角的余弦值。

xix ．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n a S n n N *

+=++∈且

2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362

n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．

xx ．已知平面直角坐标系内的动点P 到直线1:2l x =的距离与到点(1,0)F 2． （1）求动点P 所在曲线E 的方程；

（2）设点Q 为曲线E 与y 轴正半轴的交点，过坐标原点O 作直线l ，与曲线E 相交于异

于点Q 的不同两点,M N ，点C 满足2OC OQ =u u u r u u u r ，直线MQ 和NQ 分别与以C 为圆心，CQ

为半径的圆相交于点A 和点B ，求△QAC 与△QBC 的面积之比λ的取值范围．

xxi ．设函数21

()ln ,22

x f x a x a R =--∈.

（1）若函数()f x 在区间[]1,e （ 2.71828e =L 为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数a 的取值范围；

（2）若在[]1,e （ 2.71828e =L 为自然对数的底数）上存在一点0x ，使得

()2000011

22

x a f x x x +<---成立，求实数a 的取值范围.

选考题 请考生从以下两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。（12分）

xxii ．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α

α=??=?

（t 为参数），在以坐标原点为极

点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:cos 3C πρθ?

?

=- ??

?

. （1）求2C 的直角坐标方程；

（2）若直线l 与曲线12,C C 分别相交于异于原点的点M ，N ，求||MN 的最大值。

xxiii ．已知函数()2f x x a x =++-

(1)当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；

(2)若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围．

答案

i ．D ii ．C

iii ．B 解：Q 等比数列{}n a 各项均为正数，且2128n n n a a a +++=，

∴2

28n n n a q a q a +=，2

28q q +=，可得q=2或q=-4(舍去)，∴616(1)

(1)

a q S q -=-=63

iv ． B ．解：∵f （x ）为偶函数；∴m ＝0；

∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）；∵0＜2log 3＜2＜2log 5；∴a

vii ． D 解：三棱锥的直观图如图D-ABC,

viii ． B 以A 点为坐标原点，AB,AD,1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,

可得1AC u u u u r =(1,1,1),1B F u u u u r =(t-1，1，-t)，可得11AC B F ×u u u u r u u u u r =0,可得①正确；由三棱锥1B A EF -的底面1A BE 面积为定值，且1CD //1BA ,可得②正确；可得 1A F u u u u r =(t ，1，-t)，平面11B CD 的一个法向量为n r

=（1，1，1），可得1cos ,A F n u u u u r r 不为定值可得③错误

ix ． C FAB V 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+， 由抛物线2

8y x =及圆()2

2216x y -+=可得交点的横坐标为2，

∴

26B x ∈（，）

，∴

()

6812B x +∈，，故选C.

x ．C

xi ．B 结合题意可知()f x 为偶函数,且在[

)0,+∞单调递减,故

()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为

()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤

即02ln 6mx x ≤-≤对[]

1,3x ∈恒成立；即ln 6ln 22x x

m m x x

+≥

≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,x g x e x -=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1

g x e = 令()()26ln 5ln ,'0x x h x h x x x +--==<,在[]1,3上递减，所以()min

6ln3

3

h x +=. xii ． C 函数()4sin 26f x x π?

?

=- ??

?

，令26

2

x k π

π

π-

=

+得1,23

x k k Z π

π=

+∈，即()f x 的对称轴方程为1,23

x k k Z π

π=

+∈. ∵()f x 的最小正周期为46,03T x

ππ=剟.当30k =时，可得463

x π

=， ∴()f x 在460,

3π??

???

?上有31条对称轴， 根据正弦函数的性质可知：函数()4sin 26f x x π?

?

=- ??

?

与3y =的交点有31个， 且交点12,x x 关于3π对称，23,x x 关于56

π对称，……， 即1331232025292,2,,2662

3x x x x x x ππππ??+=

?+=?+=?+ ???L ， 将以上各式相加得：1233031232x x x x x +++++L

25892(25889)4556

663πππππ??

=+++=++++?= ?

??

L L ，故选C. xiii ． 2 xiv ．

1

3

xv ． 3

设AC x = ,则在ABC ? 中,由余弦定理有2

246x B B =+-=-,所以四边

形ABCD 面积211

3)3

22S B x B B B ?=?+=+-=-+ ,

所以当sin()1B ?-= 时, 四边形ABCD 面积有最大值3+xvi ．

803

π

依题意，记三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，

则由211164333P ABC ABC V S h h -?=

=??=????

△得h =

又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于

12h =

，

又正ABC △的外接圆半径为2sin 603AB r ?==，因此2

22

203R r =+=??

. 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为28043R π

π=

.

xvii ． （1）

3π；（2）.

解：（1）由题设得

()1sin cos 2ab C b c a C =+- sin cos C b c a C =+-

sin sin sin sin cos A C B C A C =+-，

因为B A C π=--sin sin cos sin C A C A C =+ 由于sin 0C ≠所以1sin 62A π??

-

= ??

? 又∵0A π<<，故3

A π= （2）在△ABC 中，由余弦定理及13b c ==，，3

A π

=

有2222cos 7a b c bc A =+-=，故a =

由

()1sin cos

26

bc A b b c a C =+-，得cos C =，因此2

13cos22cos 114C C =-=-。 xviii ． 解：（1）证明：连接1B A ,由已知得，11////B C BC AD ，且111

2

B C AM BC == 所以四边形11AB C M 是平行四边形，即11//C M B A ，

又1C M ?平面11AA B B ，1B A ?平面11AA B B ， 所以1C M //平面11AA B B

（2）（理科）取BC 中点Q ，连接AQ 因为ABCD 是菱形，且60ABC ∠=o ，所以ABC ?是正三角形， 所以AQ BC ⊥即AQ AD ⊥，

由于ABC 是正三角形，所以，分别以AQ ,AD ,1AA 为x 轴,y 轴,z 轴，建立空间直角坐标系,

如图()000A ，，，()1001A ，，，()1011D ，，，)

3,0,0Q

假设点E 存在，设点E 的坐标为

)

30λ，，，11λ-≤≤，)

30AE λ=

u u u v

，，，()1011AD u u u u v

，，=

设平面1AD E 的法向量()n x y z =v

，，

则100n AE n AD ??=???=??u u u v v u u u u v v 即300

x y y z λ+=+=??，可取(,3,3n λ=-v

平面1ADD 的法向量为)

30AQ =u u u v

，

， 所以，

2

31cos ,3

36AQ n λ

λ==+u u u v v

，解得：3

λ=± 又由于二面角1E AD D --大小为锐角，由图可知，点E 在线段QC 上， 所以32λ=

，即3

12

CE =-。 7 xix

．

(Ⅱ) 11(1)3(13)331132n n n n b q T q +---===--， 1333

()3622n k n +-∴+≥-对*n N ∈恒成立，

243

n

n k -∴≥

对*n N ∈恒成立，----9分，

xx ． 【答案】（1）；（2）

.

解：（1）设动点P 的坐标为，由题意可得

，

整理，得：

，即

为所求曲线E 的方程；

（2）（解法一）由已知得：，，

，即圆C 方程为

由题意可得直线MQ ，NQ 的斜率存在且不为0 设直线MQ 的方程为，与联立得： ,所以， 同理，设NQ 的方程为

，与

联立得：

, 所以

因此

由于直线过坐标原点，所以点与点关于坐标原点对称

设，

，所以，

又

在曲线上，所以

，即

故

， 由于，所以，

（解法二）由已知得：

，

，

，即圆C 方程为

由题意可得直线MQ ，NQ 的斜率存在且不为0 设直线MQ 的方程为，则点C 到MQ 的距离为

所以

,于是，

设直线NQ 的方程为，同理可得： , 所以

由于直线l 过坐标原点，所以点M 与点N 关于坐标原点对称 设，

，所以，

又

在曲线上，所以

，即

故， 由于，所以，

xxi ．（1）{|1a a ≤或21

}2e a ->（2）21(,2),1e e ??+-∞-+∞ ?-??

U .

（1）2()a x a

f x x x x

-'=-=，其中[1,e]x ∈.

①当1a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，

又∵()10f =，函数()f x 在区间[1,]e 上有唯一的零点，符合题意. ②当2a e ≥时，()0f x '≤恒成立，()f x 单调递减，

又∵()10f =，函数()f x 在区间[1,]e 上有唯一的零点，符合题意. ③当21e a <<时，1x a <

…()0f x '<，()f x 单调递减，

又∵()10f =，∴(1)0f a f <=，

∴函数()f x

在区间有唯一的零点，

e x <…时，()0

f x '>，()f x 单调递增，

当()0f e <时符合题意，即21

022

e a --<，

∴21

2

e a ->时，函数()

f x

在区间上有唯一的零点；

∴a 的取值范围是21|12e a a a ??

-≤>????

或.

（2）在[1,]e 上存在一点0x ，使得()2

00001122

x a f x x x +<---成立，等价于00001ln 0a x a x x x +

-+<在[1,]e 上有解，即函数1()ln a g x x a x x x

=+-+在[1,]e 上的最小值

小于零.

22222

11(1)(1)

()1a a x ax a x x a g x x x x x x

---+--'=---==， ①当1a e +≥时，即1a e ≥-时，()g x 在[1,]e 上单调递减，所以()g x 的最小值为()g e ，由

()10a g e e a e +=+-<可得211e a e +>-，∵2111e e e +>--，∴21

1

e a e +>

-； ②当11a +≤时，即0a ≤时，()g x 在[1,]e 上单调递增，所以()g x 的最小值为()1g ，由

()1110g a =++<可得2a <-；

③当11a e <+<时，即01a e <<-时，

可得()g x 的最小值为()1g a +，∵0ln(1)1a <+<，∴0ln(1)a a a <+<，

1(1)1ln(1)2ln(1)211

a

g a a a a a a a a a +=++

-++=+-+>++，所以()10g a +<不成立.

综上所述：可得所求a 的取值范围是

21(,2),1e e ??

+-∞-+∞ ?

-??U .

xxii ．【答案】(Ⅰ) 2213

02x y x y +-

-= ；(Ⅱ) 3。

（Ⅰ）极坐标方程cos 3πρθ??

=-

??

?

可化为13cos sin 22

ρθθ=

+ 所以213

cos sin 2ρρθρθ=

+， 将2

2

2

cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+代入上式可得2213

02x y x y +-

-=， 所以曲线2C 的直角坐标方程为2213

02x y x y +-

-=. （Ⅱ）不妨设0απ≤<，点,M N 的极坐标分别为()()12,,,ραρα，

由2cos θαρθ=??=?，得到12cos ρα=． 由3cos θαπρθ=?

????=- ?????

，得到2cos 3πρα?

?=- ???．

所以12MN ρρ=

- 332cos cos cos sin 3323sin ππααααα???

?=--=-=- ? ????

?，

因0απ≤<， 所23

3

3

π

π

πα-≤-

<

， 所以

5326

ππ

παα-==

，即时，MN 取得最大值3．

xxiii ． 【答案】(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0].

解：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2

{1,2325,3

x x x x x -+≤<<-≥

当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；

当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4. 所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． （2）f （x ）≤|x －4|

|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.

当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|

（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|

－2－a≤x≤2－a ，

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0， 故满足条件的实数a 的取值范围为[－3，0]．