基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合_曾清红
python 移动最小二乘法
python 移动最小二乘法移动最小二乘法（Moving Least Squares，简称MLS）是一种数学优化技术，用于拟合数据点。
它通过在数据点之间移动一个窗口来拟合数据，从而得到一个平滑的曲线。
这种方法可以有效地处理噪声和异常值，提高拟合精度。
在Python中，可以使用numpy和scipy库实现移动最小二乘法。
以下是一个简单的示例：import numpy as npfrom scipy.optimize import curve_fit# 定义拟合函数，这里以二次多项式为例def func(x, a, b, c):return a * x**2 + b * x + c# 生成模拟数据x_data = np.linspace(0, 10, 100)y_data = 3 * x_data**2 + 2 * x_data + 1 + np.random.normal(0, 5, 100)# 使用curve_fit进行移动最小二乘拟合popt, pcov = curve_fit(func, x_data, y_data)# 输出拟合参数print("拟合参数：", popt)# 绘制原始数据和拟合曲线import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(x_data, y_data, 'bo', label='原始数据')plt.plot(x_data, func(x_data, *popt), 'r-', label='拟合曲线')plt.legend()plt.show()在这个示例中，我们首先导入了`numpy`和`scipy.optimize`中的`curve_fit`函数。
然后，我们定义了一个二次多项式作为拟合函数。
接下来，我们生成了一些模拟数据，并使用`curve_fit`函数进行移动最小二乘拟合。
基于移动最小二乘法的点云叶面三维重建
基于移动最小二乘法的点云叶面三维重建刘俊焱;云挺;周宇;薛联凤【摘要】利用地面激光扫描仪获取户外树木的大量点云数据，从中截取树叶点云数据并以此进行曲面拟合，构建树叶真实的三维模型。
主要针对空间散乱点云数据的曲面拟合方法进行研究，并利用Delaunay三角剖分构建树叶三维模型。
在移动最小二乘法的二维曲面拟合方法基础上，针对空间散乱点云数据，提出了新的曲面拟合方法。
通过移动最小二乘法对点云数据曲面拟合，得到了理想的效果后再利用三角剖分重建叶面三维模型。
%A large quantity of point cloud data of outdoor trees are obtained by a terrestrial laser scanner(TLS),with leaf-related point cloud data intercepted from it for blade curve surface fitting and real 3D model construction. The curve surface fitting method for point cloud data scattered in space is mainly studied,and Deluanay triangulation is used to construct a three-dimensional model. Based on the two-dimensional curve surface fitting method of moving least square,in view of the point cloud data scattered in space,a new curve surface fitting method is presented. Through the curve surface fitting of point cloud data based on moving least square,a lead 3D model is reconstructed using Deluanay triangulation after a desired result is obtained.【期刊名称】《林业机械与木工设备》【年(卷),期】2014(000)009【总页数】6页(P37-41,47)【关键词】激光扫描仪;点云数据;曲面拟合;移动最小二乘法;Delaunay三角剖分【作者】刘俊焱;云挺;周宇;薛联凤【作者单位】南京林业大学信息科学技术学院，江苏南京 210037;南京林业大学信息科学技术学院，江苏南京 210037;南京林业大学信息科学技术学院，江苏南京 210037;南京林业大学信息科学技术学院，江苏南京 210037【正文语种】中文【中图分类】TS512Abstract：A large quantity of point cloud data of outdoor trees are obtained by a terrestrial laser scanner（TLS），with leaf-related point cloud data intercepted from it for blade curve surface fitting and real 3D model construction.The curve surface fittingmethod for point cloud data scattered in space is mainlystudied，and Deluanaytriangulation is used toconstruct a three-dimensional model.Based on the two-dimensional curve surface fitting method of moving least square，in viewof the point cloud data scattered in space，a newcurve surface fittingmethod is presented.Through the curve surface fitting of point cloud data based on moving least square，a lead 3D model is reconstructed using Deluanay triangulation after a desired result is obtained.Key words：terrestrial laser scanner；point cloud data；curve surface fitting；movingleast squares；Delaunaytriangulation取的点云数据分布不均和含有噪声或误差。
计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103
§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章 曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章 曲线拟合的最小二乘
fpga最小二乘法拟合曲线
fpga最小二乘法拟合曲线FPGA最小二乘法拟合曲线FPGA（Field Programmable Gate Array）是一种可编程逻辑器件，具有高度的灵活性和可重构性。
在数字信号处理领域，FPGA被广泛应用于实现各种算法和信号处理任务。
其中，最小二乘法拟合曲线是一种常见的数据处理方法，可以用于数据拟合、信号滤波、图像处理等领域。
最小二乘法是一种数学优化方法，用于寻找一条曲线，使得该曲线与给定数据点的误差平方和最小。
在FPGA中，最小二乘法可以通过硬件实现，具有高速度和低功耗的优点。
下面将介绍FPGA最小二乘法拟合曲线的实现方法和应用。
一、FPGA最小二乘法的实现方法FPGA最小二乘法的实现方法主要包括以下几个步骤：1. 数据采集：将待拟合的数据点采集到FPGA芯片中，可以通过外部ADC芯片或者FPGA内部ADC模块实现。
2. 数据预处理：对采集到的数据进行预处理，包括去噪、滤波、归一化等操作，以提高数据的质量和准确性。
3. 系数计算：根据最小二乘法的原理，计算出拟合曲线的系数，包括截距和斜率等参数。
4. 曲线生成：根据计算出的系数，生成拟合曲线，并将其输出到外部设备或者FPGA内部存储器中。
二、FPGA最小二乘法的应用FPGA最小二乘法可以应用于各种数据处理和信号处理任务中，下面将介绍其在数据拟合和图像处理中的应用。
1. 数据拟合：FPGA最小二乘法可以用于数据拟合，例如对温度、湿度、压力等传感器采集到的数据进行拟合，以得到更加准确的数据模型。
2. 图像处理：FPGA最小二乘法可以用于图像处理，例如对图像中的曲线进行拟合，以实现图像的平滑处理和边缘检测等功能。
三、总结FPGA最小二乘法拟合曲线是一种高效、快速、低功耗的数据处理方法，可以应用于各种数据处理和信号处理任务中。
在实际应用中，需要根据具体的需求和场景选择合适的硬件平台和算法实现方法，以达到最佳的性能和效果。
最小二乘曲面拟合插值法
最小二乘曲面拟合插值法1. 引言1.1 背景介绍最小二乘曲面拟合插值法是一种重要的数学建模方法，它在实际工程和科学问题中具有广泛的应用。
背景介绍将从最小二乘法和曲面拟合的基本概念入手，引出最小二乘曲面拟合插值法的重要性和必要性。
在数学建模中，最小二乘法是一种用于拟合数学模型与实际数据之间关系的经典方法。
通过最小化误差的平方和，最小二乘法能够找到最佳的拟合曲线或曲面，从而准确描述数据的分布规律。
曲面拟合则是在二维或三维空间中，用曲面来逼近一组离散数据点的方法，它在地理信息系统、图像处理、计算机辅助设计等领域有着广泛的应用。
最小二乘曲面拟合插值法结合了最小二乘法和曲面拟合的优势，能够更加灵活地适应不规则数据的拟合需求。
通过在曲面上插值数据点，可以得到更加平滑和连续的曲面模型，提高了数据的分析和预测精度。
在接下来的将详细介绍最小二乘曲面拟合插值法的原理、算法流程、应用领域以及优缺点，以便更好地理解和运用这一重要的数学建模方法。
1.2 研究目的研究目的是通过最小二乘曲面拟合插值法，实现对给定数据集的曲面拟合，从而可以更准确地预测未知数据点的值。
目前，曲面拟合在许多领域都有着广泛的应用，比如地理信息系统中的地形建模、工程领域中的曲面设计等。
我们的研究目的是探讨最小二乘曲面拟合插值法的原理和方法，分析其在实际应用中的优缺点，为实际工程和科学研究提供一种更精确的曲面拟合方法。
我们希望通过本研究，能够为相关领域的研究者和实践者提供一个有效的工具，帮助他们更好地解决曲面拟合问题，提高数据预测的准确性和可靠性。
最终的目的是推动科学技术的发展，促进社会的进步和发展。
2. 正文2.1 最小二乘曲面拟合方法最小二乘曲面拟合方法是一种在数学建模和数据分析中常用的技术，它可以通过拟合数据点来找到最佳的曲面模型。
最小二乘曲面拟合方法的核心思想是通过最小化误差的平方和来求解最优的曲面参数，从而使得拟合曲面与实际数据点尽可能接近。
最小二乘法的曲线拟合
最小二乘法的曲线拟合曲线拟合是在给定一组离散数据的情况下，通过一个函数来逼近这些数据的过程。
最小二乘法是一种常用的拟合方法，它通过最小化实际观测值与拟合值之间的误差平方和，来确定最佳的曲线拟合。
在进行最小二乘法的曲线拟合之前，我们首先需要明确拟合的目标函数形式。
根据实际问题的不同，可以选择线性拟合函数、多项式拟合函数或者其他非线性拟合函数。
然后，我们通过求解最小二乘问题的优化方程，来得到拟合函数的系数。
最小二乘法的核心思想是将拟合问题转化为一个优化问题。
我们需要定义一个损失函数，用来衡量观测值与拟合值之间的差异。
常见的损失函数有平方损失函数、绝对损失函数等。
在最小二乘法中，我们选择平方损失函数，因为它能够更好地反映误差的大小。
具体来说，我们假设待拟合的数据点为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，拟合函数为f(x)。
则拟合问题可表示为以下优化方程：min Σ(yi-f(xi))^2通过求解优化方程，即求解拟合函数的系数，我们可以得到最佳的曲线拟合。
最小二乘法的优势在于它能够考虑所有观测值的误差，并且具有较好的稳定性和可靠性。
在实际应用中，最小二乘法的曲线拟合被广泛应用于各个领域。
例如，在物理学中，可以利用最小二乘法来分析实验数据，拟合出与实际曲线相符合的函数。
在经济学中，最小二乘法可以用来估计经济模型中的参数。
在工程领域，最小二乘法可以用于信号处理、图像处理等方面。
总而言之，最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的误差平方和，来确定最佳的拟合函数。
它具有简单、稳定、可靠的特点，在各个领域都有广泛的应用。
西北工业大学 计算方法课件 第五章 曲线拟合的最小二乘法 西工大 nwpu
ϕ
r
2.70 480
2.00 670
1.61 830
1.20 1080
1.02 1260
变形为: 解:变形为: 1 = 1 − e cosϕ, 则有如下数据
r
p
p
1 y= r
0.370370 0.669131
0.50000 0.390731
0.621118
0.83333
0.980392
t = cosϕ
其矩阵形式为 Ax = b 方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩不相等时， 当方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩不相等时， 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组 矛盾方程组。 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于 的矛盾方程组（ ），我 rankA＝n（A的秩为n）的矛盾方程组（N>n），我 们寻求其最小二乘意义下的解。 们寻求其最小二乘意义下的解。
k
(2)矩阵
∂2 f 2 ∂x1 P 0 2 ∂ f M = ∂x2∂x1 P 0 ⋮ 2 ∂ f ∂x ∂x n 1 P0
P 0
∂2 f ∂x1∂x2
P 0
∂2 f 2 ∂x2 P 0 ⋮ ∂2 f ∂xn∂x2 P
0
P 0 2 ∂ f ⋯ ∂x2∂xn P 0 ⋱ ⋮ ∂2 f ⋯ 2 ∂xn P 0 ∂2 f ⋯ ∂x1∂xn
1.最小二乘原则 1.最小二乘原则
由于矛盾方程组的精确解不存在， 由于矛盾方程组的精确解不存在，我们转而 寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。 寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。 n 令 δi = ∑aij xj −bi (i =1,2,⋯, N) 偏差。 称 δi 为偏差。 工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组， 工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组， 实际中需要寻求矛盾方程组的一组解， 实际中需要寻求矛盾方程组的一组解，以使得偏差的 N 尽可能地小。 绝对值之和 ∑δi 尽可能地小。为了便于分析
第六章 最小二乘法与曲线拟合
第六章 最小二乘法与曲线拟合
从给定的一组实验数据( xi , yi ) (i 1,2,, n) 出发，寻求一 个逼近函数 y ( x) ，使得逼近函数从总体上来说产生的偏 差按照某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的实验数 据点 ( xi , yi ) ，这就是曲线拟合法。最常用的曲线拟合法就是 本章所要介绍的最小二乘曲线拟合法。 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。曲线拟合问题 的特点在于，被确定的曲线原则上并不要求通过给定的数据 点，而只是要求尽可能从给定点附近通过。插值法确定的曲 线要求通过所有给定数据点，对于含有观测误差的数据来说 ，不通过给定数据点的原则显然更为合适。因为这样的处理 ，可以部分地抵消数据中含有的观测误差，从总体上与实际 函数曲线更为符合。
y a bx
上面5组数据大致满足如下方程组：
a 2b 2.01 a 4b 2.98 a 5b 3.50 a 8b 5.02 a 9b 5.47
式中 a , b 为待定参数。
§1 用最小二乘法求解矛盾方程组
确定a , b 的最简单方法是选点法，即在给定的5个点中， 任选两个构造直线。也就是从上述5个等式中任选2个联立即 可解出 a , b。例如选择前两个点可得
m Q aij x j bi i 1 i 1 j 1
n 2 i n
j 1
如果 x j ( j 1,2,, m) 的取值使上式的值达到最小，则称这组 值是矛盾方程组的最优近似解。
§1 用最小二乘法求解矛盾方程组
最优近似解的求解：
偏差平方和最小的必要条件：