(江苏版)2019年高考数学一轮复习专题7.4 基本不等式及其应用(练)

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高考数学(文)一轮复习讲练测：专题7.4 基本不等式及其应用(讲)答案解析

【课前小测摸底细】1.【课本典型习题，必修五P113练习第2题】已知直角三角形的面积等于50,两条直角边各为多少时？两条直角边的和最小，最小值为多少？【答案】10a b ==，20【解析】设两条直角边长分别,,0,0a b a b >>，因为直接三角形面积为50，即1502ab =，所以20a b +≥=，当且仅当10a b ==时取等号． 2. （2016上海理10）设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是．【答案】()2,+∞3. 【名校学术联盟﹒2015-2016学年度高考押题卷一】若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为,m n ，且()10,0ma nb a b +=>>，则11a b+的最小值为（）A ．6+B ．4+C ．9+D ．20 【答案】D【解析】由题意得15,(9119)54m n ==+++=，所以111155()(55)101020a b a b a b a b b a +=++=++≥+=，当且仅当a b =时取等号，选D.4.【基础经典试题】已知0,0x y >>，且131x y+=，则2x y +的最小值为（）A ．7+B ．C ．7+D ．14【答案】A【解析】因为0,0x y >>，且131x y+=，所以13232(2)()777y x x y x y x y x y +=++=++≥+=+ A. 5.【改编自2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】设实数0,0,0x y z <<<满足22340x xy y z -++=,则当z xy取得最小值时，zy x 212-+的最小值为（） A.0 B. -1 C.49D. 3 【答案】B【考点深度剖析】基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．【经典例题精析】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号）即()()()8a b b c c a abc +++≥.【1-2】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.综合点评：1. 在运用ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形.2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．【课本回眸】如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）如果0a >，0b >,则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 【方法规律技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【新题变式探究】【变式一】求证:47(3)3a a a +≥>-【解析】证明:443333a a a a +=+-+--由基本不等式和3a >得4433333a a a a +=+-+≥+--=237= 当且仅当433a a =--即5a =时取等号. 考点2 利用基本不等式求最值【2-1】【2017江西模拟】下列函数中，最小值是2的是（）A ．1y xx =+ B ．y =C ．y =D ．3log log 3(0,1)x y x x x =+>≠【答案】B【2-2】【2016云南玉溪模拟】若正数,x y 满足35x y xy +=，则43x y +取最小值时y 的值为（）A ．1B ．3C ．4D ．5 【答案】A【解析】∵正数,x y 满足35x y xy +=，∴3311555x y xy y x+=+=，∴()31434355x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1312313555555x y y x x =++≥+=，当且仅当12355x y y x=即12x =且1y =时取等号，∴43x y +取最小值时y 的值为1，故选A ．【2-3】【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【课本回眸】常见结论： 1、如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥3、20,0)112a b a b a b+≤≤≤>>+ 【方法规律技巧】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【新题变式探究】【变式一】【2016广西南宁模拟】已知0,0,2x y x y >>++=，则x y +的最小值是（） A ．23 B ．1 C ．43 D ．32【答案】C 【解析】试题分析：由题知,2x y +=,又0,0,x y >>知2x y +<,又22x y x y x y +++≥+=得43x y +≥,故本题答案选C. 【变式二】【2016湖北七市模拟】已知0,0a b >>且21a b +=，若不等式21m a b+≥恒成立，则m 的最大值等于（） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 【答案】B考点3 基本不等式的实际应用【3-1】【2014高考福建卷第13题】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）. 【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为x ,4x. 则该容器的最低总造价是808020160y x x=++≥.当且仅当2x =的时区到最小值. 【3-2】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（）A.6B.C.4D. 【答案】C【3-3】 (2015·大理模拟)某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【解析】(1)作GH ⊥EF ，垂足为H .∵DN ＝x ，∴NH ＝40－x ，NA ＝60－x ，∵NH HG ＝NAAM ，∴40－x 10＝60－x AM ，∴AM ＝600－10x 40－x. S 五边形MBCDN ＝S 矩形ABCD －S △AMN ＝40×60－12·AM ·AN ＝2 400－5（60－x ）240－x .∵N 与F 重合时，AM ＝AF ＝30适合条件，∴x ∈(0，30]．综合点评：对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题．【课本回眸】利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【方法规律技巧】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【新题变式探究】【变式一】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()35kC x x =+(010x ≤≤，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求出最小值．【解析】（1）当0=x 时，8=c ，40=∴k ，5340)(+=∴x x C )100(5380065340206)(≤≤++=+⨯+=∴x x x x x x f（2）1053800)53(2)(-+++=x x x f ，设]35,5[,53∈=+t t x ，701080022108002=-⋅≥-+=∴tt t t y . 当且仅当时等号成立。

7-4基本(均值)不等式及其应用

基础分层导学
[双基夯实]
真题演练集训
(1)[教材习题改编]现有一段长为 18 m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长 2 倍的长方体形状的框架，当长方体体积最
题型重点研讨
大时，底面的较短边长是( A ) A．1 m C．0.75 m B．1.5 m D．0.5 m
必考部分第七章 §7.4
第10页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
基础分层导学
(3)[教材习题改编]建造一个容积为 8 立方米，深为 2 米的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米 120 元，池壁的造价为每平
真题演练集训
1 760 元．方米 80 元，则这个水池的最低造价为________
2 2 a＋b a ＋ b 2 (3) 2 ≤ 2 (a，b∈R)；
真题演练集训
题型重点研讨
b a (4) ＋ ≥2(a，b 同号)． a b 以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
课时跟踪检测
必考部分第七章 §7.4
第 8页
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真题演练集训
课时跟踪检测
必考部分第七章 §7.4
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基础分层导学
[必备知识] 考点 1 重要不等式 a2＋b2≥
2ab
(a，b∈R)(当且仅当
a＝b 时，等号成立)．
题型重点研讨
a＋b 考点 2 基本不等式 ab≤ 2 1．基本不等式成立的条件： 2．等号成立的条件：当且仅当 a＋b 3．其中 2 叫做正数 a，b 的数 a，b 的

高考数学一轮复习第七章不等式7.4.2基本不等式的综合应用课件理

2．把一段长 16 米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的
A．4
B．8
C．16
D．32
解析设截成的两段铁丝的长分别为 x，16－x，16>x>0，则围成的两个正方形
164－x2≥4x＋1264－x2＝8，当且仅当4x＝164－x，即 x＝8 时，等号成立．故两个正方形 8，故选 B.
[正解] 由 x＋3y＝5xy 可得51y＋53x＝1，所以 3x＋4y＝(3x＋4y)51y＋53x ＝95＋45＋35xy＋152xy≥153＋2 53yx·152xy＝153＋152＝5，当且仅当 x＝1，y＝12时取等号是 5.
[心得体会]
命题法基本不等式在实际问题中的应用典例某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米造价 45 元，屋顶每平方米造价 20 元， (1)仓库面积 S 的最大允许值是多少； (2)为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长． [解] (1)设正面的长度为 x 米，侧面长为 y 米．由题意，知 40x＋2y×45＋20xy＝3200. 因为 40x＋90y≥2 40x·90y＝120 xy(当且仅当 40x＝90y 时，取等号成立)，所以 3200≥120 xy＋20xy，即( xy－10)( xy＋16)≤0.所以 0< xy≤10. 所以 S＝xy≤100，即仓库面积 S 的最大允许值是 100 平方米． (2)由(1)知，当 40x＝90y 时，S 取最大值，又 xy＝100，所以 x＝15，y＝230，所以此时正面铁栅应设计为 15 米．
C．5
D．6
[错解]

2019届高考数学大一轮复习讲义：第七章不等式 7.4

§7.4　基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.1．基本不等式：≤ab a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)＋≥2(a ，b 同号)．b a a b (3)ab ≤2(a ，b ∈R )．(a ＋b2)(4)≥2(a ，b ∈R )．a 2＋b 22(a ＋b2)以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个a ＋b2ab 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2.(简记：积定和最小)p(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值.(简记：和定积最大)p 24知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )0且y >0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)x y yx (4)若a >0，则a 3＋的最小值为2.(　×　)1a 2a (5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与≥有相同的成立条件．(　×　)a ＋b2ab (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　√　)题组二　教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80 B ．77 C ．81 D ．82答案　C解析　∵x >0，y >0，∴≥，x ＋y2xy即xy ≤2＝81，(x ＋y2)当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.答案　25解析　设矩形的一边为x m ，则另一边为×(20－2x )＝(10－x )m ，12∴y ＝x (10－x )≤2＝25，[x ＋(10－x )2]当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三　易错自纠4．“x >0”是“x ＋≥2成立”的( )1x A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案　C解析　当x >0时，x ＋≥2＝2.1x x ·1x 因为x ，同号，所以若x ＋≥2，则x >0，>0，所以“x >0”是“x ＋≥2成立”的充要条1x 1x 1x 1x 件，故选C.5．设x >0，则函数y ＝x ＋－的最小值为( )22x ＋132A ．0 B.12C ．1 D.32答案　A解析　y ＝x ＋－＝＋－222x ＋132(x ＋12)1x ＋12≥2－2＝0，当且仅当x ＋＝，即x ＝时等号成立．(x ＋12)·1x ＋12121x ＋1212∴函数的最小值为0.故选A.6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( )A ．2 B ．3C ．4 D ．5答案　D解析　由3x ＋y ＝5xy ，得＝＋＝5，3x ＋y xy 3y 1x 所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋3y x ＋12xy )≥(4＋9＋2)＝5，1536当且仅当＝，即y ＝2x 时，“＝”成立，3yx 12xy 故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.题型一　利用基本不等式求最值命题点1　通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案　23解析　x (4－3x )＝·(3x )(4－3x )≤·2＝，1313[3x ＋(4－3x )2]43当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝时，取等号．23(2)函数y ＝(x >1)的最小值为________．x 2＋2x －1答案　2＋23解析　y ＝＝x 2＋2x －1(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋＋2≥2＋2.3x －13当且仅当x －1＝，即x ＝＋1时，等号成立．3x －13命题点2　通过常数代换法利用基本不等式典例 (2017·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8 B ．6C ．4 D ．2答案　C解析　由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有＋＝1，所以1a 1b a ＋b ＝(a ＋b )＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b(1a ＋1b )b a ab b a ·a b 的最小值为4，故选C.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练 (1)若对任意x ≥1，不等式x ＋－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是1x ＋1__________．答案　(－∞，12]解析　因为函数f (x )＝x ＋－1在[1，＋∞)上是增加的，所以函数g (x )＝x ＋1＋－2在1x 1x ＋1[0，＋∞)上是增加的，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝，因此对任意12x ≥1，不等式x ＋－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )min ＝，故实数a 的取值范围是.1x ＋112(－∞，12](2)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则＋的最小值为________．y x 1y答案　23＋23解析　＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x ＝y 时y x 1y yx x ＋2y 3y yx x3y 23yx×x3y 2323＋23yx x3y 3等号成立，所以＋的最小值为.y x 1y 23＋23题型二　基本不等式的实际应用典例 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，13C (x )＝51x ＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的10 000x商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解　(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－－250(13x 2＋10x )＝－x 2＋40x －250；13当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－－250(51x ＋10 000x－1 450)＝1 200－.(x ＋10 000x )∴L (x )＝Error!(2)当0<x <80时，L (x )＝－(x －60)2＋950.13对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2＝1 000(万元)，10 000当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1 000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．跟踪训练 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案　30解析　一年的总运费为6×＝(万元)．600x 3 600x 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为万元．(3 600x＋4x)因为＋4x ≥2＝240，3 600x 3 600x ·4x当且仅当＝4x ，即x ＝30时取得等号，3 600x 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三　基本不等式的综合应用命题点1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)(2018届山东、湖北重点中学调研)已知函数f (x )＝lg x ，若a >b >0，有|f (a )|＝|f (b )|，则(i 是虚数单位)的取值范围为( )a 2＋(b i )2a －b A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案　C解析　因为f (x )＝lg x ，由|f (a )|＝|f (b )|，可得a >1>b >0，所以lg a ＝－lg b ，得ab ＝1，所以＝＝a ＋b ＝a ＋>2，故选C.a 2＋(b i )2a －b a 2－b 2a －b 1a (2)已知圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则＋的最小值为( )1a 21b 2A ．2 B ．4 C ．8 D ．9答案　D解析　由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为(x ＋2a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b )，半径分别为2和1，故有＝1，∴4a 2＋b 2＝1，∴＋＝(4a 2＋b 2)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且4a 2＋b 21a 21b 2(1a 2＋1b 2)b 2a 24a 2b 2仅当＝时，等号成立，∴＋的最小值为9.b 2a 24a 2b 21a 21b 2命题点2　求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式＋≥恒成立，则m 的最大值为( )3a 1b ma ＋3b A ．9 B ．12 C ．18 D ．24答案　B解析　由＋≥，3a 1b ma ＋3b 得m ≤(a ＋3b )＝＋＋6.(3a ＋1b )9b a ab 又＋＋6≥2＋6＝129ba ab 9，(当且仅当9ba ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立)∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)已知函数f (x )＝(a ∈R )，若对于任意的x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，则a 的取值x 2＋ax ＋11x ＋1范围是________．答案　[－83，＋∞)解析　对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a ≥－＋3.x 2＋ax ＋11x ＋1(x ＋8x )设g (x )＝x ＋，x ∈N ＋，则g (2)＝6，g (3)＝.8x 173∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝，173∴－＋3≤－，(x ＋8x )83∴a ≥－，故a 的取值范围是.83[－83，＋∞)思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)(2018届辽宁名校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，c ＝3ab ，则ab 的最小值为________．答案　13解析　在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，可知sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，化简得－2sin B cos C ＝sin B ，∵sin B >0，∴cos C ＝－，12∵c ＝3ab ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．∴ab ≥，则ab 的最小值为.1313(2)(2018届江西新余第一中学模拟)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则＋的最小值为________．1m 1n 答案　4解析　∵函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，∴A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上(m ，n >0)，∴m ＋n ＝1(m ，n >0)，∴＋＝(m ＋n )＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当1m 1n (1m ＋1n )n m mn n m ·m n m ＝n ＝时取等号，∴＋的最小值为4.121m 1n利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且＋＝1，则x ＋y 的最小值是________．1x 2y (2)函数y ＝1－2x －(x <0)的值域为________．3x错解展示(1)∵x >0，y >0，∴1＝＋≥2，1x 2y 2xy ∴≥2，∴x ＋y ≥2＝4，xy 2xy 2∴x ＋y 的最小值为4.2(2)∵2x ＋≥2，∴y ＝1－2x －≤1－2.3x 63x 6∴函数y ＝1－2x －(x <0)的值域为(－∞，1－2]．3x 6错误答案　(1)4　(2)(－∞，1－2]26现场纠错解析　(1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x＋2y )＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y ＝x 时取等号)，y x 2xy 22∴当x ＝＋1，y ＝2＋时，(x ＋y )min ＝3＋2.222(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －＝1＋(－2x )＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当x ＝－3x (－3x )(－2x )·3－x 6时取等号，故函数y ＝1－2x －(x <0)的值域为[1＋2，＋∞)．623x 6答案　(1)3＋2　(2)[1＋2，＋∞)26纠错心得　利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1．(2017·孝感调研)“a >b >0”是“ab <”的( )a 2＋b 22A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案　A解析　由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，a 2＋b 22故必要性不成立，故选A.2．下列不等式一定成立的是( )A ．lg>lg x (x >0)(x 2＋14)B ．sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )1sin x C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.>1(x ∈R )1x 2＋1答案　C解析　当x >0时，x 2＋≥2·x ·＝x ，1412所以lg≥lg x (x >0)，当且仅当x ＝时，等号成立，故选项A 不正确；(x 2＋14)12运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有＝1，故选项D 不正确．1x 2＋13．(2018·青岛质检)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝＋的最小值是( )1a 4b A. B ．4 C. D ．57292答案　C解析　依题意，得＋＝·(a ＋b )1a 4b 12(1a ＋4b )＝≥＝，12[5＋(b a ＋4ab )]12(5＋2b a ·4a b )92当且仅当Error!即a ＝，b ＝时取等号，2343即＋的最小值是.1a 4b 924．(2017·安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝＋，则＋的最小值为( )1a 1b 1a 2b A ．4 B ．2 C ．8 D ．162答案　B解析　由a >0，b >0，a ＋b ＝＋＝，得ab ＝1，则＋≥2＝2.当且仅当＝，1a 1b a ＋bab 1a 2b 1a ·2b 21a 2b 即a ＝，b ＝时等号成立．故选B.2225．若实数a ，b 满足＋＝，则ab 的最小值为( )1a 2b ab A. B ．2 C ．2 D ．422答案　C解析　由＋＝知，a >0，b >0，所以＝＋≥2，即ab ≥2，当且仅当Error!1a 2b ab ab 1a 2b 2ab 2即a ＝，b ＝2时取“＝”，所以ab 的最小值为2.424226．(2018·平顶山一模)若对任意x >0，≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )xx 2＋3x ＋1A ．a ≥B ．a >1515C ．a <D ．a ≤1515答案　A解析　因为对任意x >0，≤a 恒成立，xx 2＋3x ＋1所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥max ，(xx 2＋3x ＋1)而对任意x ∈(0，＋∞)，＝≤＝，xx 2＋3x ＋11x ＋1x ＋312x ·1x ＋315当且仅当x ＝，即x ＝1时等号成立，∴a ≥.1x 157．已知2a ＋4b ＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为_______________．答案　0解析　2a ＋4b ＝2a ＋22b ＝2≥2，2a ＋2b ≤1＝20，a ＋2b ≤0，当a ＝2b 时等号成立，2a ＋2b 所以a ＋2b 的最大值为0.8．(2017·襄阳一调)已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则＋的最小值为________．1x ＋12y 答案　92解析　∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2，∴＋＝[(x ＋1)＋2y ]1x ＋12y 12(1x ＋1＋2y )＝＋5212[2y x ＋1＋2(x ＋1)y ]≥＋×2＝，52122y x ＋1·2(x ＋1)y 92当且仅当Error!即Error!时取等号，故＋的最小值为.1x ＋12y 929．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案　[4,12]解析　∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤，x 2＋4y 22∴6－(x 2＋4y 2)≤，x 2＋4y 22∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.10．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．答案　2　20解析　设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝(k 2≠0)，k 2x ∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，(5x ＋20x )∵5x ＋≥2＝20，当且仅当5x ＝，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20x 5x ×20x 20x 20万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求＋的最小值．1x 1y 解　(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥2.10xy ∵2x ＋5y ＝20，∴2≤20，xy ≤10，10xy 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有Error!解得Error!此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴＋＝·1x 1y (1x ＋1y )2x ＋5y20＝≥＝，120(7＋5yx ＋2x y )120(7＋25y x ·2x y )7＋21020当且仅当＝时，等号成立．5yx 2xy 由Error!解得Error!∴＋的最小值为.1x 1y 7＋2102012．某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2.(1)求f (x )的解析式，并写出其定义域；(2)当x 等于多少时，f (x )取得最小值？解　(1)因为t 1＝，9 000x t 2＝＝，3 0003(100－x ) 1 000100－x 所以f (x )＝t 1＋t 2＝＋，9 000x 1 000100－x 定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N ＋}．(2)f (x )＝＋9 000x 1 000100－x＝10[x ＋(100－x )](9x＋1100－x)＝10，[10＋9(100－x )x ＋x 100－x ]因为1≤x ≤99，x ∈N ＋，所以>0，>0，9(100－x )x x100－x 所以＋9(100－x )xx 100－x ≥2＝6，9(100－x )x·x 100－x 当且仅当＝，即当x ＝75时取等号．9(100－x )xx100－x 即当x ＝75时，f (x )取得最小值．13．(2017·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足＋＝1，则＋的最小值为( )1a 1b 1a －19b －1A ．16 B ．9 C ．6 D ．1答案　C解析　∵正数a ，b 满足＋＝1，1a 1b ∴a ＋b ＝ab ，＝1－>0，＝1－>0，1a 1b 1b 1a ∴b >1，a >1，则＋≥21a －19b －19(a －1)(b －1)＝2＝6(当且仅当a ＝，b ＝4时等号成立)，∴＋的最小值为6，9ab －(a ＋b )＋1431a －19b －1故选C.14．(2017·东莞调研)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则＋的最小值为________．1m 2n 答案　8解析　y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，可得－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∴＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8(当且仅当＝，即m ＝，n ＝时等1m 2n 2m ＋n m2(2m ＋n )nnm 4mn 4nm 4mn 1412号成立)．15．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值xyz 2x 1y 2z 是( )A ．0B ．1 C. D ．394答案　B解析　＝＝≤＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时xyz xyx 2－3xy ＋4y 21xy＋4yx －314－3z ＝2y 2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大2x 1y 2z 1y 22y (1y －1)值为1.16．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________．答案　27解析　因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝.4a －1a －1又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋＋1＝6(a －1)＋＋15.因为a －1>0，所以6a －16a －16(a －1)＋＋156a －1≥2＋15＝27，6(a －1)×6a －1当且仅当6(a －1)＝(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.6a －1。

2019届江苏专用高考数学一轮复习第七章不等式7

故cos C的最小值为 1 .
2
疑难突破利用切化弦将已知等式等价转化,最终转化为三角形三角正弦之间的关系,从而结合正弦定理得出三角形三边之间的关系.
三年模拟
A组 2015—2017年高考模拟·基础题组
(时间：45分钟分值：50分)
一、填空题(每题5分,共25分)
1.(2017江苏南通、扬州、泰州第三次模拟考试,11)若正实数x,y满足x+y=1,则
14
3.(2017扬州上学期期中,11)若a>0,b>2,且a+b=3,则使得 4 + 1 取得最小值的实数a=
.
a b2
答案 2
3
解析因为a+b=3,所以a+b-2=1,又a>0,b>2,
所以 4 + 1 = 4(a b 2) + a b 2 =4+ 4(b 2) + a +1≥9,
x 1
7.(2015江苏连云港二模,13)设x,y,z均为大于1的实数,且z为x和y的等比中项,则 lg z + lg z 的最小
4lg x lg y
值为
.
答案 9
8
解析
由题意得z2=xy,lg
x>0,lg
y>0,∴
lg z 4lg x
+
lg lg
z y
=
1 2
(lg
x
lg
y)
+
1 2
(lg
x
lg
又x、y、z为正实数,∴ x + 4 y ≥4,
yx
当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2.
∴
2 x

高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题7.4 基本不等式及其应用(练)答案解析

1. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】设实数,x y满足2214x y -=，则232x xy -的最小值是 ▲ ．【答案】6+2. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】已知正数a ，b ，c 满足3a －b ＋2c ＝0的最大值为 ▲ ．【解析】=≤=，当且仅当322b a c ==的最3. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则222522x yx xy y --+的最大值为 ▲ ．【解析】由题意得(2)()1x y x y -+=，令12,x y t x y t -=+=，则1112(t ),y (t ),33x t t=+=-+因此22222212||152222t x y m m t x xy y m m t t --==≤≤-++++，其中1=m t t-，当且仅当|m 时取等号，故222522x y x xy y --+4. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】已知对满足42x y xy ++=的任意正实数,x y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为 . 【答案】17(,]4-∞ 【解析】5. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】如图，矩形ABCD 的边AB 在x轴上，顶点,C D 在函数()10y x x x =+>的图像上.记,AB m BC n ==，则2mn的最大值为.【答案】14【解析】设1122(,),(,)C x yD x y ，则由12y y =得121211x x x x +=+，因为12x x ≠，所以121x x =，因此22122222222211.1144()()x x x x m t n t x x x x --===≤=+++其中2210,t x x =->当且仅当2t =时取等号 6.已知正数y x ,满足111=+y x ，则1914-+-y yx x 的最小值为．【答案】25 【解析】()49494911499494132511111111x y y xx y x y x y x y x y x y y x⎛⎫+=+=+=+=++=++≥ ⎪--⎝⎭--7.已知两个正实数y x ,满足4=+y x ，则使不等式x1+y4≥m 恒成立的实数m 的取值范围是．【答案】]49,(-∞【解析】()(141141419554444y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 8.已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则213x y x y++-的最小值为________.【答案】9.若0,0>>y x ，且2421=+++yx y x ，则y x 57+的最小值为__________．【答案】627+【解析】令20,0x y m x y n +=>+=>,即142m n+=, ()()()1147522323232x y x y x y m n m n m n ⎛⎫+=+++=+=++ ⎪⎝⎭183********m n n m ⎛⎛⎫=++≥+=+ ⎪ ⎝⎭⎝,当且仅当83m nn m =时取等号． 10.已知()222log log log x y x y +=+，则11x y+= ．【答案】1【解析】()()2222log log log log x y x y xy x y xy +=+=∴+=111x y x y xy+∴+== 11.（1）已知x<54，求函数y ＝4x －2＋145x -的最大值；（2）已知x>0，y>0且19x y＋＝1，求x ＋y 的最小值．【答案】（1）1；（2）1612.已知函数()f x =xax x ++22，[)1,x ∈+∞．（１）当a =21时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【答案】（1）27)1(=f ；（2）3->a ．【解析】（1）当a ＝21时，221)(++=x x x f ，因为)(x f 在区间[)+∞,1上为增函数，所以)(x f 在区间[)+∞,1的最小值为27)1(=f ．（2）在区间[)+∞,1上，02)(2>++=xax x x f 恒成立⇔022>++a x x 恒成立．设[)+∞∈++=,1,22x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 在[)+∞,1递增，∴当1=x 时，a y +=3min ，于是当且仅当03min >+=a y 时，函数)(x f 恒成立，故3->a ．13.已知直线2y =-上有一个动点Q ，过点Q 作直线1l 垂直于x 轴，动点P 在1l 上，且满足OP OQ ⊥（O 为坐标原点），记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若直线2l 是曲线C 的一条切线，当点()0,2到直线2l 的距离最短时，求直线2l 的方程．【答案】（1）22x y =；（210y --=10y ++=.（2）解法1:∵ 直线2l 与曲线C 相切, ∴直线2l 的斜率存在.设直线2l 的方程为y kx b =+, 5分由2,2,y kx b x y =+⎧⎨=⎩ 得2220x kx b --=. ∵ 直线2l 与曲线C 相切, 则 2480k b ∆=+=,即22k b =-.∴ 直线2l 的方程为2220kx y k --= 6分∴ 点()0,2到直线2l的距离d 2121k +7分12= 8分 213121k ≥⨯+9分=10分点()0,2到直线2l 的距离d 12121x +7分 12= 8分 213121x ≥⨯+9分=10分=1x =.12分∴直线2l10y --=10y ++=. 14分解法3：由22x y =，得'y x =， 5分14.在三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a b c 、、且222b c bc a +=+ （1）求∠A ；（2）若a =22b c +的取值范围. 【答案】（1）3A π=;（2）2239b c <+≤.【解析】（1）由余弦定理有2221cos 22b c a A bc +-== 0A π<<，3A π∴=（2）方法一：3a =且222b c bc a +=+，223b c bc ∴+=+2202b c bc +<≤ ，226b c ∴+≤，（当且仅当b c ==2239b c ∴<+≤方法二、由正弦定理2sin sin sin b c a B C A ==== 2sin ,2sin b B c C ==2224sin sin 34sin sin()32sin cos 33b c B C B B B B B π∴+=+=++=++2cos 242sin(2)46B B B π-+=-+因为203B π<<，所以72666B πππ-<-< 所以1sin(2)126B π-<-≤即2239b c ∴<+≤.。

2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第七章不等式7-4 含答案精品

§7.4 基本不等式及其应用考情考向分析理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档．1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二教材改编2．[P101练习T3]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．[P101练习T4]若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的________条件．答案充要解析当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件．5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．∴函数的最小值为0.6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是________．答案 5解析由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.题型一利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．命题点2 通过常数代换法利用基本不等式典例若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________．答案 4解析由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )min ＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. (2)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．答案 8解析由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8，当且仅当x ＝2y 时等号成立．题型二基本不等式的实际应用典例某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250 ＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－210 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1 000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．跟踪训练 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________．答案 9解析圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为 x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当4c b ＝bc 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即当b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9.(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是________．答案 92解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92.命题点2 求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为________．答案 12解析由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab＋6≥29＋6＝12 ⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立，∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173， ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是________．答案 1解析由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．答案 32解析由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)．因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝32. 当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立，又m ＋n ＝6，解得m ＝2，n ＝4，符合题意．故1m ＋4n 的最小值为32.利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为________．现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)．答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的________条件．答案充分不必要解析由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立．2．下列不等式一定成立的是________．(填序号) ①lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)； ②sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )；③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )； ④1x 2＋1>1(x ∈R )．答案 ③解析当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，当且仅当x ＝12时，等号成立；故①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确． 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________．答案 92解析依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b ) ＝12⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2b a ·4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 4．(2017·苏北四市期末)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为__________．答案 8解析方法一因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x－3(y ＞3)，所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8. 方法二因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x－6＞0，所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8. 5．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．答案 2 2解析由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧ 1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.6．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析因为对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝⎛⎭⎫x x 2＋3x ＋1max ，而对任意x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，∴a ≥15. 7．已知a >b >0，且ab ＝1，那么a 2＋b 2a －b取最小值时，b ＝________. 答案 6－22解析 a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b ≥22，当且仅当a －b ＝2时取等号，所以1b －b ＝2，解得b ＝6－22⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－6－22. 8．已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y的最小值为________．答案 92解析 ∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2， ∴1x ＋1＋2y ＝12[(x ＋1)＋2y ]⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋2y ＝52＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y x ＋1＋2(x ＋1)y ≥52＋12×22y x ＋1·2(x ＋1)y ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2y x ＋1＝2(x ＋1)y ，x ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧ x ＝－13，y ＝23时取等号，故1x ＋1＋2y 的最小值为92. 9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.10．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．答案 2 20解析设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)， ∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？解 (1)由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3,所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y (x >3，y >3)．(2)方法一 S ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1 800x＝45，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值．方法二设S ＝f (x )＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x (x >3)，则f ′(x )＝4 800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝40，当0<x <40时，f ′(x )>0；当x >40时，f ′(x )<0.所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45.13．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为________．答案 6解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a>0， ∴b >1，a >1，则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝2 9ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6. 14．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________．答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，可得－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝n m ＋4m n＋4≥24＋4＝8 ⎝⎛⎭⎫当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立.15．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值是________．答案 1解析 xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 16．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________．答案 27解析因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1. 又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15. 因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15 ≥2 6(a －1)×6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.。

近年高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式练习理(2021年整理)

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§7。

4 基本不等式考纲解读分析解读1。

掌握利用基本不等式求最值的方法，熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧，同时注意“一正、二定、三相等"的原则。

2。

利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点。

本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分。

五年高考考点利用基本不等式求最值1.(2015陕西,9,5分)设f(x)=ln x，0〈a<b,若p=f（),q=f,r=（f（a)+f（b))，则下列关系式中正确的是（)A。

q=r〈p B。

q=r〉pC.p=r<q D。

p=r>q答案C2.（2017天津，12,5分）若a，b∈R,ab>0，则的最小值为。

答案43.（2017江苏，10，5分)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是。

答案304.（2016江苏，14，5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C 的最小值是.答案8教师用书专用（5—8)5.(2013山东，12,5分)设正实数x,y，z满足x2-3xy+4y2—z=0。

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（江苏版）2019年高考数学一轮复习专题7.4 基本不等式及其应用（练）
一、填空题
1．下列不等式：

①lgx2＋14>lg x(x>0)；

②sin x＋1sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)；
③x2＋1≥2|x|(x∈R)；
④1x2＋1＜1(x∈R)．
其中一定成立的是________(填序号)．
【答案】③

2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是________．
【答案】(－∞，－2]

【解析】22x＋y≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤14，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.

3．(2017·镇江期末)若a，b都是正数，则1＋ba·1＋4ab的最小值为________．
【答案】9
【解析】∵a，b都是正数，∴1＋ba1＋4ab＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当b＝2a>0时取等
号．
4．(2015·湖南卷改编)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为________．
【答案】22
【解析】依题意知a＞0，b＞0，则1a＋2b≥22ab＝22ab，当且仅当1a＝2b，即b＝2a时，“＝”成立．因

为1a＋2b＝ab，所以ab≥22ab，即ab≥22，所以ab的最小值为22.
5．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若实数x，y满足xy>0，则xx＋y＋2yx＋2y的最大值为________．
【答案】4－22
6．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是________．
【答案】2
【解析】由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12
xy
＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.

7．(2017·苏州调研)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则1m＋1n的最大值为________．
【答案】－4
【解析】∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，

∴1m＋1n＝－(m＋n)1m＋1n＝－2＋nm＋mn≤－2－2nm·mn＝－4，当且仅当m＝n＝－12时，1m＋1n取得最大
值－4.
8．若对于任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则实数a的取值范围是________．

【答案】15，＋∞
【解析】xx2＋3x＋1＝13＋x＋1x，

因为x＞0，所以x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
则13＋x＋1x≤13＋2＝15，

即xx2＋3x＋1的最大值为15，故a≥15.
二、解答题
9．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；

(2)求1x＋1y的最小值．
10．(2017·苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米，观察者
从距离墙x(x>1)米，离地面高a(1≤a≤2)米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ.
(1)若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？

(2)若tan θ＝12，当a变化时，求x的取值范围．

解 (1)当a＝1.5时，过点C作AB的垂线，垂足为点D，
则BD＝0.5，且θ＝∠ACD－∠BCD，
由已知知观察者离墙x米，且x>1，
【能力提升】

11．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为________．
【答案】1
【解析】由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)
则xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以2x＋

1y－2z＝1y＋1y－1
y
2
＝－1y－12＋1≤1.

12．(2017·衡水中学调研)设x，y满足约束条件 3x－y－2≤0，x－y≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋2by(a>0，
b
>0)的最大值为1，则1a2＋14b2的最小值为________．

【答案】8

13．(2017·盐城中学月考)a是1＋2b与1－2b的等比中项，则2ab|a|＋2|b|的最大值为________．
【答案】24
【解析】依题意，a2＝1－4b2，故a2＋4b2＝1≥4ab，故ab≤14，2ab|a|＋2|b|≤2ab22ab≤24，当且仅当

 a＝22，b＝24或




a
＝－22，

b
＝－

时，等号成立．

14．(2017·南京模拟)一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产
蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连接AE，EF，FA，使得
∠EAF＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划
为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜
交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？
解设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.
则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，所以只要求S的最小值即可得T的最小值．
设∠EAB＝α(0°<α<45°)，在△ABE中，因为AB＝1，∠B＝90°，所以BE＝tan α，