刚体力学基础剖析
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1.3大学物理(上)刚体力学基础
dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
[例3.1]: 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。 [分析]：取如图坐标，dm=dx
A B
L
X
J A r dm
2
x dx mL / 3
T1 mg sin ma 1 2 T2 R T1 R J mR 2 mg T2 ma
a R
mg
[例3.4]: 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为ω0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度 ω的平方成正比，比例系数为k（k>0）,当ω= ω0/3时，飞 轮的角速度及从开始制动到现在的时间分别是多少？ [分析]: (1)已知 M k 2
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R)
1 2 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 5
dL d ( mv ) dr d (mv ) dr r mv F , v dt dt dt dt dt dL v mv 0, r F M r F v mv dt dL 角动量定理的微分形式 M dt
平均角速度
角速度
t
第5章刚体力学基础
i
mi xi2 yi2
i
o
yi
rimixi
y
x
Jy Jx
例： 圆盘：m,R， 求以直径为轴的转动惯量
J 1 m R2 4
例： 挂钟摆锤的转动惯量
o ml
1
J
1 3
m1l 2
1 2
m2 R2
m2 l
R2
mR 2
l 2
12
将轴移到棒的一端
J
l m x2dx
1
o
ml2
0l
3
x
例 ： 均质圆盘：m ,R 计算它对通过盘心与 盘面垂直的转轴的转动惯量。
解：
dm
m
R2
2rdr
J r 2dm
Rm
0 R2
2r 3dr
dr r oR m
1 m R2 2
二 、平行轴定理
刚体对任一转轴的转动惯量J等于对
通过质心的平行转轴的转动惯量Jc加上刚 体质量m乘以两平行转轴间距离d的平方
相对于定轴的合外力矩
oo
ri mi
i Ri
Fi
y
M z M iz ri Fi sin i
x
o
i
i
即作用在各质元的力矩的z分量之和
二、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕z轴转动,引起转动的
力矩只有 Mz，因此转动动力学方程
Li
Mz
dLz dt
Ri mivi
dL
M
oo
ri dtmi
vi
T2
2m1r 2 J m2 g
m1 m2 r 2 J
结论:
1.由于考虑了滑轮的质量,使得 T1 T2
2. 若m1m2则T1T2
mi xi2 yi2
i
o
yi
rimixi
y
x
Jy Jx
例： 圆盘：m,R， 求以直径为轴的转动惯量
J 1 m R2 4
例： 挂钟摆锤的转动惯量
o ml
1
J
1 3
m1l 2
1 2
m2 R2
m2 l
R2
mR 2
l 2
12
将轴移到棒的一端
J
l m x2dx
1
o
ml2
0l
3
x
例 ： 均质圆盘：m ,R 计算它对通过盘心与 盘面垂直的转轴的转动惯量。
解：
dm
m
R2
2rdr
J r 2dm
Rm
0 R2
2r 3dr
dr r oR m
1 m R2 2
二 、平行轴定理
刚体对任一转轴的转动惯量J等于对
通过质心的平行转轴的转动惯量Jc加上刚 体质量m乘以两平行转轴间距离d的平方
相对于定轴的合外力矩
oo
ri mi
i Ri
Fi
y
M z M iz ri Fi sin i
x
o
i
i
即作用在各质元的力矩的z分量之和
二、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕z轴转动,引起转动的
力矩只有 Mz，因此转动动力学方程
Li
Mz
dLz dt
Ri mivi
dL
M
oo
ri dtmi
vi
T2
2m1r 2 J m2 g
m1 m2 r 2 J
结论:
1.由于考虑了滑轮的质量,使得 T1 T2
2. 若m1m2则T1T2
刚体力学基础
非专业训练，请勿模仿
例 解 由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长 度成反比，竹竿越长越安全。
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
-------------------------------------------------------------------------------
二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
第5章刚体力学基础
m2lv
=
1 3
m1l 2ω
−
m2lv′
ω = 3m2 (v + v′)
m1l
vr
vr′
ω
注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。
只当碰撞在打击中心时，Nx=0，系统的水平动量守恒：
m2v = m1vc − m2v′
=
1 2
m1lω
−
m2v′
(m2
2 3
lv
=
1 3
m1l 2ω
−
m2
2 3
m2u2t 2 )ω
ω0
ω
=
1+
ω0
2m2u 2 m1R2
t2
台转过的角度：
ϕ
=
∫
dϕ
=
∫ t ωdt 0
=
u(
Rω0
2m2 )1/ 2
⎢⎡ ut ( arctan ⎢
⎢
2m2 m1 R
)1/ 2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
m1
⎢⎣
⎥⎦
三、物体系的角动量守恒
若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的 力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：
第 5 章 刚体力学基础
§5.1 刚体运动的描述 §5.2 刚体的定轴转动定理 §5.3 刚体的转动惯量 §5.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律 §5.5 刚体定轴转动的功能原理 §5.6 回转仪 进动 §5.7 刚体的平面运动
§5.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
定轴转动角动量定理： M = d(Jω )
的形成等。
[例5-11] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角 速度ω0，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿
第3章刚体力学基础
将圆盘视为一个系统，破裂后其受合 外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用 三、转动动能 对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚体转动动能的增量。
第三章 刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述 一、刚体（rigid body） 刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生 改变的物体。 说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其 角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。
3-第3章 刚体力学基础
大学物理学（第5版）
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度： a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转
动惯量成反比。
注意：
——刚体定轴转动中的转动定律
（1）M和J均对于同一转轴而言；
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量； hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度： a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转
动惯量成反比。
注意：
——刚体定轴转动中的转动定律
（1）M和J均对于同一转轴而言；
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量； hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4
第3章 刚体力学基础
第i个质元的动能： Eki
1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 n 1 1 n 1 2 2 2 2 刚体的动能： Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2
1 E k J 2 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半。
1
d J d dt
W
2
1
1 1 2 Jd J2 J12 2 2
1 2 Md ( J ) 2
2
1
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动 动能的增量。这就是刚体定轴转动时的动能定理。
-------------------------------------------------------------------------------
当输出功率一定时 ,力矩与角速度成反比。 ------------------------------------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W M d
1 2
Jd
1
2
2
2
-------------------------------------------------------------------------------
L＝rm=mr2
2.定轴转动的角动量守恒 若
M
iz
0
则 L=J = 恒量
外力对某轴的力矩之和为零，则该物 体对同一轴的角动量守恒.
装置反向转动的双旋翼产 生反向角动量而相互抵消
-------------------------------------------------------------------------------
1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 n 1 1 n 1 2 2 2 2 刚体的动能： Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2
1 E k J 2 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半。
1
d J d dt
W
2
1
1 1 2 Jd J2 J12 2 2
1 2 Md ( J ) 2
2
1
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动 动能的增量。这就是刚体定轴转动时的动能定理。
-------------------------------------------------------------------------------
当输出功率一定时 ,力矩与角速度成反比。 ------------------------------------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W M d
1 2
Jd
1
2
2
2
-------------------------------------------------------------------------------
L＝rm=mr2
2.定轴转动的角动量守恒 若
M
iz
0
则 L=J = 恒量
外力对某轴的力矩之和为零，则该物 体对同一轴的角动量守恒.
装置反向转动的双旋翼产 生反向角动量而相互抵消
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的力学性质
刚体的力学性质力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。
刚体力学是力学的一个方面，主要研究刚体在受力作用下的力学性质。
在本文中，我们将探讨刚体的力学性质，包括刚体的定义、运动、平衡、转动、惯性等。
1. 刚体的定义刚体是指其形状和尺寸在外力作用下不会发生变化的物体。
在研究刚体的力学性质时，我们将其简化为理想的物体，即质点的集合，不考虑物体的内部结构。
2. 刚体的运动刚体的运动可以分为平动和转动两种。
平动是指整个刚体沿直线运动，转动是指刚体围绕某个轴进行旋转。
a. 平动：刚体的平动可以分为匀速直线运动和变速直线运动。
刚体的平动是由外力作用引起的，根据牛顿第二定律可以推导出刚体的运动方程。
b. 转动：刚体的转动可以分为绕固定轴的转动和绕自身质心的转动。
刚体的转动是由外力或自重力矩作用引起的，根据牛顿第二定律和角动量定理可以推导出刚体的转动方程。
3. 刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受力作用下不发生平动和转动的状态。
根据力矩平衡条件和合力平衡条件可以推导出刚体平衡的条件。
a. 力矩平衡条件：对于刚体平衡，外力矩和内力矩必须相等。
通过求和刚体上各点的力矩，可以得到刚体平衡的条件。
b. 合力平衡条件：对于刚体平衡，合力必须为零。
通过求和刚体上各点的力，可以得到刚体平衡的条件。
4. 刚体的转动惯量转动惯量是刚体转动惯性的量度，表示刚体转动时其对转动的惯性大小。
刚体的转动惯量与刚体的质量分布以及转动轴的位置有关。
a. 质点的转动惯量：质点的转动惯量等于质点质量乘以距离轴的平方。
b. 刚体的转动惯量：刚体的转动惯量可以通过对质点的转动惯量进行求和得到。
不同形状的刚体，其转动惯量的表达式不同。
5. 刚体的转动惯量定理转动惯量定理表明，在转动惯量不变的情况下，刚体的转动惯量与角加速度成正比。
即转动惯量大的刚体转动相同角度所需要的力矩较大。
6. 刚体的稳定性刚体的稳定性是指刚体保持平衡时的能力。
刚体平衡时，若微小扰动引起的恢复力矩大于微小扰动引起的力矩，刚体即具有稳定性。
刚体力学优质课件
解 根据定义，飞轮的角速度为 d 2π 0t dt
飞轮的角加速度为 b d 20π dt
距转轴r处质点的切向加速度 at rb 2π 0r
法向加速度
an r2 40π20r2t
例 船用螺旋桨的正常转速为120r/min。从静止启动均匀地到
此转速需时40s。当转速为84r/min时运动系统出现振动，
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
解 根据题意，设 b kt2（k为比例常量）
由角加速度的定义，有
b dkt2
dt
分离变量并积分，有
d tkt2dt
➢ 说明
刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线； 刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，
各点的运动轨迹都相同； 刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律； 刚体质心的运动代表平动刚体的运动。
3. 刚体的转动 转动: 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。 转动轴: 刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定的或变化的)。
y
确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。
O
当刚体受到某些限制——自由度减少。
x i = 3+2+1= 6
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
主要内容：
1. 描述刚体定轴转动的物理量 2. 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系 3. 刚体定轴转动运动学的两类问题
3.2.1 描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
任选刚体上的任意点P点为参考点
刚体定轴转动的运动方程
(t)
角位移
若P在t 和t 后的角坐标为1和2，则
角速度
21
平均角速度
t
瞬时角速度 d dt
飞轮的角加速度为 b d 20π dt
距转轴r处质点的切向加速度 at rb 2π 0r
法向加速度
an r2 40π20r2t
例 船用螺旋桨的正常转速为120r/min。从静止启动均匀地到
此转速需时40s。当转速为84r/min时运动系统出现振动，
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
解 根据题意，设 b kt2（k为比例常量）
由角加速度的定义，有
b dkt2
dt
分离变量并积分，有
d tkt2dt
➢ 说明
刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线； 刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，
各点的运动轨迹都相同； 刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律； 刚体质心的运动代表平动刚体的运动。
3. 刚体的转动 转动: 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。 转动轴: 刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定的或变化的)。
y
确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。
O
当刚体受到某些限制——自由度减少。
x i = 3+2+1= 6
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
主要内容：
1. 描述刚体定轴转动的物理量 2. 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系 3. 刚体定轴转动运动学的两类问题
3.2.1 描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
任选刚体上的任意点P点为参考点
刚体定轴转动的运动方程
(t)
角位移
若P在t 和t 后的角坐标为1和2，则
角速度
21
平均角速度
t
瞬时角速度 d dt
刚体力学基础
FN mA FT1 O x PA
FT1
FC
PC F T2
FT2
mB PB y
26
O
解得：
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
6
(rad / s )
2
2.角量与线量的关系
当刚体绕固定轴转动时，若刚体上某质元i到转 轴的距离为ri.则该质元的线速度为
vi ri
切向加速度和法向加速度分别为
ai ri
ain 2ri
刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速 度)相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加 速度)大小与质元到转轴的距离成正比．
dL M dt
13
转动定律 M J
M 讨论 （1） J
d （2） M J J dt
（3）M 0， ω=常量
14
3.转动惯量的计算
J mi ri2
刚体转动惯量的大小与三个因素有关： ①与刚体的总质量有关； ②与刚体质量对轴的分布有关； ③与轴的位置有关。 单个质点 质点系
J mr
1 T2 R T1R M f J mR 2 2
(3)
(4)
m
Mf
R
T2
再从运动学关系上有
a a R
T1
mg
(以“方向”为正)
22
联立四式解得：
a
m2 m1 g
Mf R
1 m1 m2 m 2
m1 M f m 2 m 2 m1 g 2 R T1 m1 g a m m1 m 2 2
FT1
FC
PC F T2
FT2
mB PB y
26
O
解得：
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
6
(rad / s )
2
2.角量与线量的关系
当刚体绕固定轴转动时，若刚体上某质元i到转 轴的距离为ri.则该质元的线速度为
vi ri
切向加速度和法向加速度分别为
ai ri
ain 2ri
刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速 度)相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加 速度)大小与质元到转轴的距离成正比．
dL M dt
13
转动定律 M J
M 讨论 （1） J
d （2） M J J dt
（3）M 0， ω=常量
14
3.转动惯量的计算
J mi ri2
刚体转动惯量的大小与三个因素有关： ①与刚体的总质量有关； ②与刚体质量对轴的分布有关； ③与轴的位置有关。 单个质点 质点系
J mr
1 T2 R T1R M f J mR 2 2
(3)
(4)
m
Mf
R
T2
再从运动学关系上有
a a R
T1
mg
(以“方向”为正)
22
联立四式解得：
a
m2 m1 g
Mf R
1 m1 m2 m 2
m1 M f m 2 m 2 m1 g 2 R T1 m1 g a m m1 m 2 2