高中数学《双曲线及其标准方程》教案2 苏教版选修1-1
2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线的标准方程学案 苏教版选修1-1
2.3.1 双曲线的标准方程学习目标：1.了解双曲线标准方程的推导过程．(难点) 2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点) 3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]双曲线的标准方程1．判断正误：(1)x 22－y 23＝1表示焦点在y 轴上的双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0，且a ≠b .( )(3)双曲线的标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 【解析】 (1)×.方程x 22－y 23＝1表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)×.当a ＝b 时方程也表示双曲线．(3)×.双曲线的标准方程中a ，b 的大小关系不确定． 【答案】 (1)× (2)× (3)×2．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，c a ＝32，则C 的方程是________.【导学号：95902104】【解析】 右焦点为F (3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1.【答案】x 24－y 25＝1 [合 作 探 究·攻 重 难](1)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上； (3)与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)． [思路探究] 解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a ，b ，c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)的形式，将两点代入，简化运算过程，解答(2)可设双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，也可将方程设为x 2λ－y 26－λ＝1(0＜λ＜6)，把点(－5,2)的坐标代入求解；(3)根据条件设出双曲线的标准方程解方程组可求．【自主解答】 (1)方法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9.(舍去)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二：设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝12569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116n ＝19，所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 方法二：∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.(3)由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵两双曲线有相同焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2. ①又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上．∴4a 2－1b2＝1. ②由①、②联立，得a 2＝b 2＝3. 故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.[规律方法] 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论.设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝a >0，b ，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝m ·n ；寻关系：根据已知条件列出关于a 、b 或m 、n 的方程组；得方程：解方程组，将a 、b 、c 或m 、n 的值代入所设方程即为所求. [跟踪训练]1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22).【导学号：95902105】【解】 (1)由已知得，c ＝5,2a ＝8，即a ＝4.∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9. ∵焦点在x 轴上，∴所求的双曲线标准方程是x 216－y 29＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝124m ＋8n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18n ＝－14，∴双曲线方程为x 28－y 24＝1.已知方程kx 2＋y 2＝k 值分别指出方程所表示的曲线类型．[思路探究] 由方程满足圆、椭圆、双曲线的条件，对k 的值分类讨论，确定曲线类型． 【自主解答】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[规律方法] 将方程化为标准方程的形式，假如方程为x 2m ＋y 2n＝1，(1)当mn <0时，方程表示双曲线.若⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线.(2)当mn >0且m >0，n >0，m ≠n 时表示椭圆. (3)当m ＝n >0时表示圆.[跟踪训练] 2．(1)如果方程x 2m ＋2＋y 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是__________．(2)“ab ＜0”是方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线的__________条件．(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)【解析】 (1)由题意知(m ＋2)(m ＋1)＜0，解得－2＜m ＜－1，故m 的取值范围是(－2，－1)．(2)若ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b＝1表示双曲线，则c 2ab ＜0，这就是说“ab ＜0”是必要条件，然而若ab ＜0，c ＝0时不表示双曲线，即“ab ＜0”不是充分条件．【答案】 (1)(－2，－1) (2)必要不充分[探究问题]1．双曲线的定义是什么？如果把双曲线定义中的动点设为P ，常数设为2a ，你可以用一个数学式来表示双曲线的定义吗？【提示】 平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2 的正数)的点的轨迹叫做双曲线．用数学式可表示为|PF 1－PF 2|＝2a (2a ＜F 1F 2)．2．设∠F 1PF 2＝θ，类比上一节对椭圆中焦点三角形的讨论，能否用双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中的参数来表示三角形PF 1F 2的面积？【提示】 在三角形PF 1F 2中，F 1F 2＝2c .由余弦定理可得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos θ＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos θ)，即4c 2＝4a 2＋2PF 1·PF 2(1－cos θ)，所以PF 1·PF 2＝2b 21－cos θ，所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2sin θ＝b 2sin θ1－cos θ.3．设点F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，则三角形PF 1F 2叫做该双曲线的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？【提示】 要注意充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式．如图231所示，已知双曲线中c ＝2a ，F 1，F 2为左、右焦点，P 是双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°；S △F 1PF 2＝12 3.求双曲线的标准方程.【导学号：95902106】图231[思路探究] 设出双曲线的标准方程，利用双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式构建方程组，解之可得双曲线的标准方程．【自主解答】 由题意可知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由于|PF 1－PF 2|＝2a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝PF 1－PF 22＋2PF 1·PF 2－F 1F 222PF 1·PF 2所以PF 1·PF 2＝4(c 2－a 2)＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2，从而有3b 2＝123，所以b 2＝12，c ＝2a ，结合c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4. 所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.[规律方法]1．在椭圆或双曲线中，凡涉及以两焦点和椭圆或双曲线上一点为顶点的三角形(称为焦点三角形)的问题，一般都可以从圆锥曲线的定义和勾股定理(或正、余弦定理)等知识入手来解决问题．2．在解题过程中，应注意到椭圆与双曲线定义的不同，配方时，一个配成(PF 1＋PF 2)2，另一个配成(PF 1－PF 2)2.[跟踪训练]3．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若PF 1∶PF 2＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得，|PF 1－PF 2|＝2，又PF 1∶PF 2＝3∶2， ∴PF 1＝6，PF 2＝4.又F 1F 2＝2c ＝213. 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0.∴三角形为直角三角形．∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.【答案】 12[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距为________.【导学号：95902107】【解析】 c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8. 【答案】 82．满足条件a ＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________． 【解析】 由a ＝2，c ＝4，得b 2＝c 2－a 2＝12，又一焦点(4,0)在x 轴上， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.【答案】x 24－y 212＝1 3．双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为________.【导学号：95902108】【解析】 ∵a 2＝25，∴a ＝5，由双曲线定义可得|PF 1－PF 2|＝10，由题意知PF 1＝12， ∴PF 1－PF 2＝±10，∴PF 2＝22或2.【答案】 22或24．双曲线x 24－y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上一点，且满足∠F 1PF 2＝π2，则△F 1PF 2的面积等于__________．【解析】 设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，(x ＞y )根据双曲线定义可知x －y ＝4，∵∠F 1PF 2＝π2，∴x 2＋y 2＝20，∴2xy ＝x 2＋y 2－(x －y )2，∴xy ＝2，∴S △PF 1F 2＝1.【答案】 15．如图232所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【导学号：95902109】图232【解】 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3＜10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支， 且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程是x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32.。
苏教版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 第7课时 双曲线的标准方程(2)教学案选修1-1 精选资料
n2 16
Ⅳ.课时小结: Ⅴ.课堂检测 Ⅵ.课后作业
书本 P36 习题 3，4
1.
x2 已知 F1, F2 是双曲线 16
y2 9
1 的焦点，PQ 是过焦点 F1 的弦，且 PQ 的倾斜角为
600，那么
PF2
QF2
PQ
的值为
________
新疆 王新敞
奎屯
2. 求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点 A（-5，2）的双曲线的标准方程
Ⅲ.数学应用
例 1：已知双曲线的焦点在 y 轴上，中心在原点，且点 P1(3,4
9 2) ， P2 ( 4 ,5) ，在此
双
曲线上，求双曲线的标准方程 新疆 王新敞 奎屯
TB: 小初高题库
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练习：点
A
位于双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 上 ，
F1, F2 是 它 的 两 个 焦 点 ， 求
TB: 小初高题库
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高中数学教学案
第二章 圆锥曲线与方程
第 7 课时 双曲线的标准方程（2）
教学目标： 1. 进一步掌握双曲线的标准方程； 2. 能根据已知条件求双曲线的标准方程.
教学重点： 求双曲线的标准方程
教学难点：
求双曲线的标准方程
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
求双曲线的标准方程
sin
B
sin C
1
sin
A
，求点
A
的轨迹 新疆 王新敞
奎屯
2
练习 2：求与圆 (x 3)2
y2
苏教版选修1-1高中数学2.2《双曲线的标准方程》ppt课件1
谁正谁对应 a
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
椭圆
定义 方程 焦点
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
=
1
y2 a2
+
x2 b2
=1
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
作业：
P 34 习题2.3（1） 1、2、3、4
设P(x, y),则| PF1 PF2 | 2a 即：| （x c)2 y2 （x c)2 y2 | 2a 去绝对值符号得：（x c)2 y2 （x c)2 y2 2a
移项得：（x c)2 y2 （x c)2 y2 2a
椭圆的焦点由__x_2_与_y_2_的_系__数__的__大_小__________ 决定，
双曲线的焦点则由___x_2与__y_2的__系__数__的_正__负______ 决定.
在双曲线的标准方程中a、b、c的关系是 _c_2=_a_2_+_b2_ .
方程Ax2 By2 1表示双曲线的充要条件是 _A_B_<_0_ .
m
2
练习4:
1. 方程mx2-my2=n中mn<0，则其表示焦点在 y
双曲线.
轴上的
2、 若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的 双曲线，则k (-1, 1) .
3. 双曲线
x2 k
y2 4
高一数学教案：苏教版高一数学双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教学目标：1、理解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。
2、掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。
教学重点及难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点。
教学过程：复习椭圆的定义，引出双曲线的定义。
1、让学生回答椭圆的定义（略,巩固椭圆的基础知识）2、引出双曲线的定义。
思考：若F 1、F 2是平面内的两个定点，动点P 满足12PF P F -=2a （常数） （2a ＜12F F ），那么P 点的轨迹是什么呢？（动画演示，让学生有直观感知，认识到双曲线形成的过程，双曲线上的点满足的条件）让学生归纳出定义，老师加以补充。
定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫双曲线的焦距。
3、 建立双曲线的方程。
如图，以F 1、F 2所在的直线为x 轴，以F 1F 2的中点为原点，建立如图所坐标系；设P （x ，y ），设这个常数为2a ，12F F =2c 则F 1（-c ，0），F 2（c ，0） 12PF P F -=2a2a =±()()22222222ca x a y a c a --=-∵2c ＞2a 22c a -＞0 令22c a -=2b 其中b ＞0 代入上式得2b 2x -22a y =22a b即：22221x y a b-=（a ＞b ＞0，22a b +=2c 即焦点在x 轴上）， 思考：焦点在y 轴上时方程是什么？22221y x a b-= （a ＞b ＞0，22a b +=2c 焦点在y 轴上）， 思考：如何判断焦点所在的位置？练习：1、下列方程表示什么图形？若是双曲线求出其焦点的坐标。
（1）22142x y -= （2）221y x -=（3）224936y x +=2、若22111x y k k +=+-表示双曲线，则k 的范围是 。
苏教版选修1-1《双曲线》讲学案(有答案)-(高二数学)
2.3双_曲_线2．3.1 双曲线的标准方程在平面直角坐标系中A (－3,0)，B (3,0)，C (0，－3)，D (0，3)．问题1：若动点M 满足|MA －MB |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：x 24－y 25＝1.问题2：若动点M 满足|MC －MD |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：y 24－x 25＝1.双曲线的标准方程1．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x ，y 项的平方差，右边是1. 2．在双曲线中，a >0且b >0，但a 与b 的大小关系不确定．3．在双曲线中a 、b 、c 满足c 2＝a 2＋b 2，与椭圆不同．[对应学生用书P26][例1] 已知双曲线过点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2两点在双曲线上． ∴⎩⎨⎧()－22a2－(－3)2b 2＝1，⎝⎛⎭⎫1532a 2－(2)2b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝1，1b 2＝13，即a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2a 2－(－2)2b 2＝1，(2)2a 2－⎝⎛⎭⎫1532b 2＝1.解得⎩⎨⎧1a 2＝－13，1b 2＝－1，(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.法二：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 因为双曲线过两点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2， 得⎩⎪⎨⎪⎧m (－2)2＋n (－3)2＝1，m ⎝⎛⎭⎫1532＋n (2)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－13， 所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.[一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为： 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝4，c ＝5，焦点在y 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解：(1)由题设知，a ＝4，c ＝5， 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因为双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.[例2] 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 由双曲线的焦点在y 轴上，得关于m 的不等式组，进而解不等式组求m 的范围．[精解详析] 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m <0，m 2－2m －3>0.解得m >5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．[一点通] 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn <0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．3．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充要条件是(9－k )·(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4.因为k ＞9是k ＞9或k ＜4的充分不必要条件．即k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要4．若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：①若表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0|m |－3<0⇒－3<m <2.②若该方程表示双曲线，则 (2－m )(|m |－3)<0. 解得－3<m <2或m >3.答案：(－3,2) (－3,2)∪(3，＋∞)[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F 1PF 2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．[精解详析] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[一点通] 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF 1－PF 2|＝2a ，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF 1、PF 2、F 1F 2的方程，解方程组可求得PF 1、PF 2或PF 1·PF 2，再解决相关问题．5．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN －MO ＝________.解析：如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以MO ＝12PF ′，又FN ＝OF 2－ON 2＝5，由双曲线的定义知PF －PF ′＝8，故MN －MO ＝－12PF ′＋MF －FN ＝12(PF －PF ′)－FN＝12×8－5＝－1.答案：－16．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴F 1(－5,0)，半径r 1＝1；F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3＜F 1F 2＝10.∴动圆圆心M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支， 且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝25－94＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为4x 29－4y 291＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32.1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．[对应课时跟踪训练(十)]1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×PF 2×r ＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45. 答案：453．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3. 答案：－3<k <34．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF ·2MF ＝0，|1MF |·|2MF |＝2，则该双曲线的方程是________．解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF . ∴|1MF |2＋|2MF |2＝40. ∴(|1MF |－|2MF |)2＝|1MF |2－2|1MF |·|2MF |＋|2MF |2 ＝40－2×2＝36.∴||1MF |－|2MF ||＝6＝2a ，a ＝3. 又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝|(5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2|＝|(414)2－ (94)2|＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5，由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120° 即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2 ∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33.8.如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6. ∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．2．3.2 双曲线的几何性质歌曲《悲伤双曲线》的歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线，如果我是反比例函数，你就是那坐标轴，虽然我们有缘，能够坐在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点．问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？ 提示：坐标轴；原点．问题2：过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗？ 提示：有一个交点．双曲线的几何性质观察所给两个双曲线方程． (1)x 24－y 24＝1； (2)x 2－y 2＝9.问题1：两个双曲线方程有何共同特点？提示：所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等． 问题2：两个双曲线的离心率是多少？ 提示： 2.问题3：两双曲线的渐近线方程是什么？ 提示：渐近线方程y ＝±x .实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．1．离心率e 反映了双曲线开口的大小，e 越大，双曲线的开口就越大．2．双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线没有交点．渐近线方程用a ，b 表示时，受焦点所在坐标轴的影响．[对应学生用书P28][例1] 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [思路点拨] 先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a ，b ，c 即可得解，但要注意焦点在哪条坐标轴上．[精解详析] 由9y 2－4x 2＝－36得 x 29－y 24＝1， ∴a 2＝9，b 2＝4. c 2＝a 2＋b 2＝13. ∴c ＝13.∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长为2a ＝6，虚轴长为2b ＝4， 离心率为e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .[一点通] 求解双曲线的几何性质问题时，首先将方程化为标准方程，分清焦点所在的轴，写出a 与b 的值，进而求出c ，即可求得双曲线的性质．1．(湖北高考改编)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1，下列说法正确的个数为________．①实轴长相等；②虚轴长相等；③离心率相等；④焦距相等．解析：双曲线C 1和C 2的实轴长分别是2sin θ和2cos θ，虚轴长分别为2cos θ和2sin θ，则焦距都等于2，相等，离心率不相等，只有④正确．答案：12．(福建高考改编)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．解析：双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y ＝±x ，∴顶点到渐近线的距离为|1－0|2＝22.答案：223．求双曲线16x 2－9y 2＝－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程． 解：把方程化为y 216－x 29＝1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝5.∴实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3， 焦点坐标(0，－5)，(0,5)，离心率e ＝c a ＝54，渐近线方程为y ＝±43x .[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．[思路点拨] 分析双曲线的几何性质，求出a ，b ，c 的值，再确定(讨论)焦点位置，写出双曲线的标准方程．[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴所求双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3，得b ＝92.∴所求双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3，得b ＝2.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入，得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[一点通]由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为： (1)判断：利用条件判断焦点的位置； (2)设：设出双曲线的标准方程；(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程； (4)求：解参数方程，进而得标准方程．4．(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率为32，则C 的方程是________．解析：由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝ c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.答案：x 24－y 25＝15．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是______________．解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，则双曲线的标准方程是x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝16．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M (3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程． 解：①若焦点在x 轴上，则双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵M (3,4)在双曲线上，∴9a 2－16b2＝1.又∵b ＝2a ，∴9×4－16＝4a 2，解得a 2＝5，b 2＝20， ∴双曲线方程为x 25－y 220＝1.②若焦点在y 轴上，则双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.∵M (3,4)在双曲线上，∴16a 2－9b2＝1，又∵b ＝2a ，∴16×4－9＝4a 2，解得a 2＝554，b 2＝55，∴双曲线方程为4y 255－x 255＝1.综上可知，双曲线方程为x 25－y 220＝1或4y 255－x 255＝1.[例3] (1)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路点拨] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a 与c 的关系，求出离心率，对于问题(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有ba≥tan 60°. [精解详析] (1)由题意2c ＝AB ＝BC ， ∴AC ＝2×2c ×sin 60°＝2 3c ， 由双曲线的定义，有2a ＝AC －BC ＝2 3c －2c ⇒a ＝(3－1)c ， ∴e ＝c a ＝13－1＝1＋32.(2)因为双曲线渐近线的斜率为k ＝b a ，直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，故有ba≥ 3，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2， 所以所求离心率的取值范围是e ≥2. [答案] (1)1＋32 (2)e ≥2[一点通](1)求双曲线离心率的常见方法： ①依据条件求出a ，c ，利用e ＝ca ；②利用e ＝1＋(b a)2；③依据条件，建立关于a ，b ，c 的齐次关系式，消去b ，转化为离心率e 的方程求解． (2)求离心率的范围，常结合已知条件构建关于a 、b 、c 的不等关系．7．(湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：如图，由已知可得，PF 1＝2c cos 30°＝3c ，PF 2＝2c sin 30°＝c ，由双曲线的定义，可得3c －c ＝2a ，则e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：3＋18．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：如图，设PF 2＝m ，∠F 1PF 2＝θ(0<θ ≤π)，当P 在右顶点处θ＝π， e ＝2c 2a＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θm 2＝5－4cos θ.∵－1≤cos θ<1，又∵e >1，∴e ∈(1,3]． 答案：(1,3]1．双曲线离心率及其范围的求法．(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法．(2)双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法．在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式Δ>0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性．2．求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)避免焦点的讨论．[对应课时跟踪训练(十一)]1．(陕西高考)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54.则m ＝________.解析：∵a ＝4，b ＝m ，∴c 2＝16＋m ，e ＝ca ＝16＋m 4＝54，∴m ＝9.答案：92．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．解析：根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两条渐近线的夹角为60°，则可知b a ＝3或b a ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以结果为2或233. 答案：2或2333．焦点为(0,6)，且与双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________．解析：由x 22－y 2＝1，得双曲线的渐近线为y ＝±22x .设双曲线方程为：x 22－y 2＝λ(λ<0)，∴x 22λ－y 2λ＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12. 故双曲线方程为y 212－x 224＝1.答案：y 212－x 224＝14．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．解析：∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12，∴y ＝±12x .答案：y ＝±12x5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率e 的取值范围是________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，由此解得|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即c ≤2a ，e＝ca≤2.又e >1，∴离心率e 的取值范围是(1,2]． 答案：(1,2]6．根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)经过点(154，3)，且一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0.(2)P (0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0， ∴可设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)．∵双曲线经过点(154，3)，∴19×15216－3216＝λ.即λ＝1. ∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x 轴上， ∵PF 1⊥PF 2，且OP ＝6， ∴2c ＝F 1F 2＝2OP ＝12，∴c ＝6. 又P 与两顶点连线夹角为π3，∴a ＝|OP |·tan π6＝2 3，∴b 2＝c 2－a 2＝24.故所求双曲线的标准方程为x 212－y 224＝1.7．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .由PF 2＝QF 2，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|， ∴b 2a ＝2c ，∴b 2＝2ac . 由a 2＋b 2＝c 2， 得c 2－2ac －a 2＝0， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×c a －1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵离心率e ＝2，∴设所求双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，知 λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1.(2)若点M (3，m )在双曲线上，则32－m 2＝6，∴m 2＝3. 由双曲线x 2－y 2＝6知，F 1(2 3，0)，F 2(－2 3，0)， ∴1MF ·2MF ＝(2 3－3，－m )·(－2 3－3，－m ) ＝9－(2 3)2＋m 2＝0.∴1MF ⊥2MF ，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)S △F 1MF 2＝12×2c ×|m |＝c |m |＝2 3×3＝6.＝524.。
高中数学第2章圆锥曲线与方程第6课时双曲线的标准方程1教案苏教版选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程第6课时 双曲线的标准方程(1)教学目标：1.建立并掌握双曲线的标准方程；2.能根据已知条件求双曲线的标准方程.教学重点：双曲线的标准方程教学难点：双曲线的标准方程教学过程：Ⅰ.问题情境Ⅱ.建构数学双曲线的标准方程：Ⅲ.数学应用例1：若双曲线的方程为14491622=-y x ,请填空：(1) a =_ _，b =_ _，c =_ _，焦点坐标为___ __，焦距等于_ _.(2)若C 为双曲线上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，并且CF 1=2,则CF 2=_ __. 练习：1.设双曲线方程为：400251622-=-y x ，请填空：a =____，b =____，c =____，焦点坐标为___________，焦距等于__ __.2.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值 ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y 3.已知双曲线的方程为1822=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为_______________. 例2：已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程练习：1.已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．2.写出适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a =4，b =3，焦点在x 轴上； (2) a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上.3.已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P36习题1，22.设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是 .3.双曲线11692522=-y x 的焦点坐标是 . 4.写出适合下列条件的双曲线的标准方程:(1) a =4，b =1，焦点在 x 轴上； (2) a =4，c =1，焦点在坐标轴上.。
高中数学第2章圆锥曲线与方程第8课时双曲线的几何性质(1)教案苏教版选修1_1
第二章 圆锥曲线与方程第8课时 双曲线的几何性质（1）教学目标：1. 熟练掌握双曲线的范围，对称性，顶点等简单几何性质；2. 掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系；3. 了解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法.教学重点：双曲线的几何性质教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质教学过程：Ⅰ.问题情境双曲线曲线的几何意义是什么？双曲线的标准方程中的y x ,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？标准形式的方程所表示的双曲线，其对称性是怎样的？Ⅱ.建构数学双曲线的几何性质：1.范围：2.对称性：3.顶点：4.渐进线：5.离心率：Ⅲ.数学应用例1：求双曲线1422=-y x 的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程， 并作出草图．们的简图：（1）1162522=-y x （2）192522=-xy.例2：根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）焦点在y 轴上,焦距为8,离心率为34；（2）焦点在x 轴上,一条渐近线为x y 43=,实轴长为16.练习：根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）焦点的坐标为(±5，0)、离心率为32；（2）与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A .Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P 41 习题1，2的简图：（1）114416922=-y x （2）11692522-=-y x2. 求与双曲线x y 22916-=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程.3. 双曲线2kx 2-ky 2=1的一焦点是F(0，4)，求k 的值.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
江苏省徐州高级中学苏教版高一数学选修1-1学案：2.2.1双曲线的标准方程(2)
一、预习检查1. 焦点的坐标为（-6，0）、（6，0），且经过点A （-5，2）的双曲线的标准方程为 ．2. 已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为()0,3，则k 的值为 ．3. 椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 ．4.焦点在x 轴上的双曲线过点3)P -，且(0,5)Q 与两焦点的连线互相垂直，则该双曲线的标准方程为 ．二、问题探究例1、已知B A ,两地相距800m ，一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ，设声速为340 m ／s ．(1)爆炸点应在什么样的曲线上？ (2)求这条曲线的方程．例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程 （1）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上；（2）与双曲线221164x y -= 有相同焦点，且经过点()2,23 ．例3、(理)已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，求双曲线方程.三、思维训练1、已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为 ．2、已知双曲线1422=-y x 的两个焦点为分别为21,F F ，点P 在双曲线上且满足=∠21PF F ︒90，则21PF F ∆的面积是 ． 3、判断方程13922=---k y k x 所表示的曲线。
4、已知ABC ∆的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A C B sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹四、知识巩固1、若方程22123x y m m -=-- 表示双曲线，则实数m 的取值范围是 ．2、设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为 ．3、P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是 ．4、求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程 ．5、已知定点B A ,且4=AB ，动点P 满足3=-PB PA ，则PA 的最小值是 ．6、(理)过双曲线12514422=-y x 的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。
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§2．3．1 双曲线及其标准方程（1课时）
一、教学目标
1.了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程。
2．能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题。
二、教学重点、难点
重点：根据已知条件求双曲线的标准方程。
难点：用双曲线的标准方程处理简单的实际问题。
三、教学过程
(一)复习提问
1．椭圆的定义是什么？
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要
强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|．
2．椭圆的标准方程是什么？
3．双曲线的定义是什么？
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲
线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
(二)双曲线的标准方程的推导方程
提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学
生来建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理
的数学活动过程．
类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,abc的关系
有明显的几何意义．
类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程222210,0yxabba．
注意：
1．若常数要等于|F1F2|，则图形是什么？
2．若常数要大于|F1F2|，能画出图形吗？
3．定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？（强调“在平面内”）
4．|MF1|与|MF2|哪个大？（当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲
线左支上时，|MF1|＜|MF2|）
5．点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？
（三）例题讲解
例1 已知双曲线两个焦点分别为15,0F，25,0F，双曲线上一点P到1F，2F距
离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,abc．
思考：已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹
方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
（2）25a，经过点A（2，－5），焦点在y轴上。
练习：书P34 练习1
例3已知A，B两地相距800m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到炮弹爆炸声的时间比
在B处迟2s，设声速为340/ms．
（1）爆炸点在什么曲线上？
（2）求这条曲线的方程。
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A，B两地听到爆炸声的时间
差，即可知A，B两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨
迹方程．
思考：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点
同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s．已知各观察
点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为
340/ms
；相关点均在同一平面内）．
（四）课堂训练：
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；
3．已知双曲线224640xy上一点M到它的一个焦点的距离等于1，求M到另一个焦
点的距离。
4．已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆224936xy有相同的焦点，求双曲线的方程。
思考：在△ABC中，B（－6，0），C（6，0），直线AB，AC的斜率乘积为94，求顶点A的轨
迹。