2019中考数学高分二轮复习 第二部分 热点专题解读 专题八 动点型几何探究问题 题型2 动点与线段之间的数量
2019中考数学高分二轮复习 第二部分 热点专题解读 专题九 二次函数的综合探究 题型4 探究二次函数与图形的
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• (2)确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角 形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角 进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种 角对应来分类讨论；
• (3)建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式 中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整 理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通 过计算得出相应的点的坐标．
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• ☞ 思路点拨
• 第一步：①作辅助线，构建直角△DEF斜边上的高FM，利用直角三角形 的面积相等和勾股定理可表示点F的坐标；
• 第二步：根据点F在抛物线上，列方程求出m的值； • 第三步：②点F和点G坐标已知，可以求出直线FG的方程，可以求出FG
和x轴的交点坐标(设为Q)； • 第四步：点C坐标已知，直线CG的方程也可以求出，那么点H坐标可以
【解答】存在．如答图 2，作 MH⊥x 轴于点 H，AC＝ 5－12＋－3－12＝4 2，
OA＝ 2，
设 M(x，－25x2＋75x)(x＞0)，
∵∠OHM＝∠OAC，∴当OOHA＝MACH时，△OHM∽△OAC，
即 x2＝|－254x2＋2 75x|.
答图2
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当－25x2＋75x＝4x 时，解得 x1＝0(舍去)，x2＝－123(舍去);
【解答】①如答图，过点 F 作 FM⊥y 轴，交 DE 于点 M，交 y 轴于点 N，
由题意可知 AC＝4，BC＝3，则 AB＝5，FM＝152， ∵Rt△ABC 沿 x 轴向右平移 m 个单位，使点 B 移 到点 E， ∴E(－4＋m,0)，OE＝MN＝4－m，FN＝152－(4－m)＝m－85.
2019中考数学高分二轮复习 第二部分 热点专题解读 专题九 二次函数的综合探究 题型3 探究二次函数与最值问
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问题
作法
将点 A 向右平移 a 个单
位到点 A′，作点 A′
关于直线 l 的对称点
在直线 l 上求两点 M ， A″，连接 A″B，A″B
N(点 M 在点 N 左侧)，使 与直线 l 交点即为点 N，
得 MN ＝a，并使 AM ＋ 将点 N 向左平移 a 个单
MN＋NB 最小
位即为点 M
直线 l 的交点即为点 在直线 l 上求点 P，使 P |AP－BP|最大
图形
原理
PQ＋PM ＋M N ＋ NQ ＝ PQ ＋ P′Q′，两点 之间，线段最 短
|AP － BP| ＝ AB，三角形任 意两边之差小 于第三边
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问题
作法
作点 B 关于直线 l
的对称点 B′，作
在直线 l 上求点 P，使 直线 AB′与直线 l
图形
原理
AM ＋ MN ＋ NB ＝ a ＋ A″B，两点之 间，线段最短
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类型1 线段最值问题
例3 如图，抛物线 y＝ax2－5ax＋c 与坐标轴分别交于点 A，C，E 三点，其中 A(－3,0)，C(0,4)，点 B 在 x 轴上，AC＝BC，过点 B 作 BD⊥x 轴交抛物线于点 D， 点 M，N 分别是线段 CO，BC 上的动点，且 CM＝BN，连接 MN，AM，AN.
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(1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标；
【解答】 把点 A(－3,0)，C(0,4)代入 y＝ax2－5ax＋c，得 9a＋15a＋c＝0， c＝4， 解得a＝－16，
c＝4， ∴抛物线的解析式为 y＝－16x2＋56x＋4.
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2019年中考数学《动点构成的相似问题》专题复习(含答案)
动点构成的相似问题:1、如图正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，线段MN 的两端点分别在CB 、CD 上滑动，且MN=1，当CM 为何值时△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？E NM CB DA2、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF⊥AE 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长。
3、如图，△ABC 中，AB=6 cm ，AC=12 cm ，动点D 从点A 出发到点B 止．动点E 从点C出发到点A 止．点D 运动的速度为1 cm ／s ，点E 运动的速度为2 cm ／s ．如果两点同时运动，那么以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时．运动的时间是多少？4、如图，△ABC 中，∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P 从点B 出发以2cm/s 的速度向点C 移动，动点Q 从C 出发以1cm/s 的速度向点A 移动，如果动点P 、Q 同时出发，要使△CPQ 与△CBA 相似，所需要的时间是多少秒？5、已知：Rt△OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P(3，4)为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt△O AB 分割成两部分．问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB 相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．6、如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR//BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR∽△PRQ？7、如图，直线n x y +-=2(n ＞0)与轴轴、y x 分别交于点B A 、,16=∆OAB S ，抛物线)0(2≠+=a bx ax y 经过点A ，顶点M 在直线n x y +-=2上．（1）求n 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）如果抛物线的对称轴与x 轴交于点N ，那么在对称轴上找一点P ，使得OPN ∆和AMN ∆相似，求点P 的坐标．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，AB ∥ED ，CD=BF ，若△ABC ≌△EDF ，则还需要补充的条件可以是（ ）A.AC=EFB.BC=DFC.AB=DED.∠B=∠E2．在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，且BC ＝m•BD，过D 点作直线AB ，AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB ＝n•AC．则DE DF＝（ ） A ．1(1)n m + B ．1m(1n)- C ．1(1)n m - D ．1(1)n m - 3．已知点()1,3x ，()2,2x 是直线 2 1y x =-+上两点，则下列正确的是( )A.120x x ->B.120x x -<C.12x x =D.120x x +> 4．已知二次函数y=ax 2+bx+c ，且a ＜0，a-b+c ＞0，则一定有（ ）A.2b 4ac 0->B.2b 4ac 0-=C.2b 4ac 0-<D.2b 4ac 0-≤ 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、在函数的图象上，轴.若且BC ∥x 轴，点、的横坐标分别为、，的面积为，则的值为（ ）A. B. C. D. 6．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018＝0的两个实数根，则m 2+3m+n ＝（ ）A ．2015B ．2016C ．2017D ．20187．如图，CD 是⊙O 的弦，∠ADC=35°，则∠CBA 的度数为（ ）A ．35B ．45C ．55D ．658．如果数m 使关于x 的不等式组12260x x m ＜⎧⎪⎨⎪-≥⎩有且只有四个整数解，且关于x 的分式方程311x m x x -=--有整数解，那么符合条件的所有整数m 的和是（ ）A ．8B ．9C ．﹣8D ．﹣99．如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),下列结论错误的是( )A ．该班总人数为50B ．步行人数为30C ．乘车人数是骑车人数的2.5倍D ．骑车人数占20%10．八年级6班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件：如图所示，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，____，求证：四边形AECF 是平行四边形. 你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗？条件分别是：①BE ＝DF ；②∠B ＝∠D ；③BAE ＝∠DCF ；④四边形ABCD 是平行四边形．其中A 、B 、C 、D 四位同学所填条件符合题目要求的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①④D ．④11．在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，P 是BD 上一动点，过P 作EF ∥AC ，分别交正方形的两条边于点E ，F ．设BP=x ，△BEF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间关系的图象为( )A ．B ．C ．D ．12．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠BAD ＝90°，BO ＝DO ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BCD ＝90°C ．AB ＝CD D ．AB ∥CD二、填空题132(1)0n +=，则m －n 的值为_____．14．如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线3y x =-上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 1的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线3y x =-上，依次进行下去…若点B 的坐标是（0，1），则点O 12的纵坐标为________________________．15．如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的点，EC=2，∠AEP=90°，且EP 交正方形外角的平分线CP 于点P ，则PC 的长为_____．16．﹣95的绝对值是_____．17．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为_____．18．已知单位体积的空气质量为1.34×10﹣3克/厘米3，将1.34×10﹣3用小数表示为_____．三、解答题19．解方程：1112x xx x-+-=．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿CB 方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t秒．（1）设点Q到边AC的距离为h，直接用含t的代数式表示h；（2）当点E落在AC边上时，求t的值；（3）当点Q在边AB上时，设▱PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；（4）连接CD，直接写出CD将▱PEQD分成的两部分图形面积相等时t的值．21．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处若∠AGE＝32°，则∠GHC 等于多少度？22．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4,0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．(1)求一次函数、反比例函数的解析式；(2)求证：点C为线段AP的中点．23．有三张正面分别写有数字-1,2,3的卡片，它们背面完全相同.（1）将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，则抽到的卡片正面写有正数的卡片的概率为_______.(2)小王将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为平面直角坐标系內点P的横坐标，然后将此卡片放回、洗匀，再由小李从三张卡片中随机抽取一张，以其正面数字作为平面直角坐标系內点P的纵坐标，请用树状图或表格列出点P所有可能的坐标，并求出点P在第二象限的概率。
2019年中考数学《动点构成的相似问题》专题复习(含答案)
动点构成的相似问题:1、如图正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，线段MN 的两端点分别在CB 、CD 上滑动，且MN=1，当CM 为何值时△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ENMCBDA2、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF⊥AE 于F. (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由. (2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长。
3、如图，△ABC 中，AB=6 cm ，AC=12 cm ，动点D 从点A 出发到点B 止．动点E 从点C 出发到点A 止．点D 运动的速度为1 cm ／s ，点E 运动的速度为2 cm ／s ．如果两点同时运 动，那么以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时．运动的时间是多少？4、如图，△ABC 中，∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P 从点B 出发以2cm/s 的速度向点C 移动，动点Q 从C 出发以1cm/s 的速度向点A 移动，如果动点P 、Q 同时出发，要使△CPQ 与△CBA 相似，所需要的时间是多少秒？5、已知：Rt△OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P(3，4)为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt△O AB 分割成两部分．问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB 相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．6、如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR//BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR∽△PRQ？7、如图，直线n x y +-=2(n ＞0)与轴轴、y x 分别交于点B A 、,16=∆OAB S ，抛物线)0(2≠+=a bx ax y 经过点A ，顶点M 在直线n x y +-=2上．（1）求n 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）如果抛物线的对称轴与x 轴交于点N ，那么在对称轴上找一点P ，使得OPN ∆和AMN ∆相似，求点P 的坐标．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在△ABC 中，点D 为AB 上一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，过点E 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点K ，则下列说法正确的是( )A ．DE ADBC EF = B ．FK BFKE FC = C ．DE AEFC EC= D ．BD BFAD FC= 2．某种速冻水饺的储藏温度是－18℃±2℃，四个冷藏室的温度如下，则不适合储藏此种水饺的是( )A ．－17℃B ．－22℃C ．－18℃D ．－19℃3．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第10个图案由( )个▲组成．A ．30B ．31C ．32D ．334．如图，A ，B 是半径为1的O 上两点，且60AOB ∠=︒.点P 从A 出发，在O 上以每秒3π个单位长度的速度匀速运动，回到点A 运动结束.设运动时间为x ，弦BP 的长度为y ，则下面图象中可能．．表示y 与x 的函数关系的是（ ）A.①或②B.②或③C.③或④D.①或④5．某校九年级四班数学兴趣小组有5名成员，身高（单位：cm ）分别为165、172、168、170、175．增加1名身高为170cm 的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相比（ ）A ．平均数变小，方差不变B ．平均数不变，方差不变C ．平均数不变，方差变大D ．平均数不变，方差变小6．不等式组10480x x +>⎧⎨-⎩…的解集在数轴上表示，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．一个塑料袋丢弃在地上的面积约占0.023m 2，如果100万个旅客每人丢一个塑料袋，那么会污染的最大面积用科学记数法表示是（ ） A ．2.3×104m 2B ．2.3×106m 2C ．2.3×103m 2D ．2.3×10﹣2m 28．下列因式分解正确的是( ) A ．()2211x x +=+B ．()22211x x x +-=-C ．()()22x 22x 1x 1=-+-D ．()2212x x x x -+=-+9．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第n 个图案中有白色六边形地面砖（ ）块．A.6+4（n+1）B.6+4nC.4n ﹣2D.4n+210．下列计算正确的是（ ） A.a 2⋅a 3＝a 6B.a 6÷a 3＝a 2C.（ab ）2＝ab 2D.（﹣a 2）3＝﹣a 611．如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6m 的位置，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53︒，若测角仪的高度是1.5m ，则旗杆AB 的高度约为（精确到0.1m ，参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈）（ ）A ．8.5米B ．9米C ．9.5米D ．10米12．1纳米=10－9米，将50纳米用科学记数法表示为（ ） A ．50×10－9 米 B ．5×10－9 米C ．0.5×10－9 米D ．5×10－8米二、填空题13．将直线y ＝2x+4沿y 轴向下平移3个单位，则得到的新直线所对应的函数表达式为_____． 14．已知方程x 2－mx －3m ＝0的两根是x 1、x 2，若x 1＋x 2＝1，则 x 1x 2＝_______．15．（填“＞”、“＝”、“＜”）16．如图，在△ABC 中，∠ACB=120°，按顺时针方向旋转，使得点E 在AC 上，得到新的三角形记为△DCE ．则①旋转中心为点__；②旋转角度为__．17．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑、白两种除颜色外完全相同的小球，在看不到球的前提下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回去，不断重复．下表是由试验得到的一组统计数据：从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率为_____．（结果精确到0.1） 18．已知扇形的弧长为4π，半径为8，则此扇形的面积为_____． 三、解答题19．一张圆形纸片如图，请你至少设计出两种方法找出它的圆心（不必写作法，但要有作图痕迹）．20．为了深入培养学生交通安全意识，加强实践活动，新华中学八年级（1）班和交警队联合举行了“我当一日小交警”活动，利用星期天到交通路口值勤，协助交通警察对行人、车辆及非机动车辆进行纠章．在这次实践活动中，若每一个路口安排5名学生，那么还剩下4人；若每个路口安排6人，那么最后一个路口不足3人，但不少于1人．（1）求新华中学八年级（1）班有多少名学生？（2）在值勤过程中，学生发现每辆汽车驶出路口后有三种方式前行：左转、直行、右转，而且每种前行方式的可能性相同．请通过画树形图或列表的方法，求连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率． 21．192728x x --= 22．化简：23a 31a a -⎛⎫-÷⎪⎝⎭ 23．如图，AB ，CD 是圆O 的直径，AE 是圆O 的弦，且AE ∥CD ，过点C 的圆O 切线与EA 的延长线交于点P ，连接AC ．（1）求证：AC 平分∠BAP ； （2）求证：PC 2=PA•PE；（3）若AE-AP=PC=4，求圆O 的半径．24．在如图所示的5×5的方格中，我们把各顶点都在方格格点上的三角形称为格点三角形．如图1是内部只含有1个格点的格点三角形．设每个小正方形的边长为1，完成下列问题：（1）在图甲中画一个格点三角形，使它内部只含有2个格点，并写出它的面积．（2）在图乙中画一个面积最大的格点三角形，使它的内部只含有A，B，C这3个格点（图乙中已标出），并写出它的面积．25．为了解学生对博鳌论坛会的了解情况，某中学随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果记作“A 非常了解，B了解，C了解较少，D不了解．”四类分别统计，并绘制了下列两幅统计图(不完整)．请根据图中信息，解答下列问题：(1)此次共调查了______名学生；扇形统计图中D所在的扇形的圆心角度数为______；(2)将条形统计图补充完整；(3)若该校共有1600名学生，请你估计对博鳌论坛会的了解情况为“非常了解”的学生约有多少人？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．y=2x+114．－315．＞16．C 240°17．7018．16π三、解答题19．见解析【解析】【分析】方法一：作两个顶点在圆上的直角，连接两个直角与圆的交点，两条连线的交点即是所求的圆心.方法二：作弦AB，BC，再作出线段AB，BC的垂直平分线相交于点O，则O点即为所求．【详解】方法一：利用直角作出圆的两条直角AB，CD，AB与CD的交点O即为圆心．方法二：在圆上取A，B，C三点，作线段AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为圆心．【点睛】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知垂径定理和圆周角定理是解答此题的关键．90°的圆周角所对的弦是直径；弦的垂直平分线经过圆心.20．（1）新华中学八年级（1）班有44或49名学；（2）1 3【解析】【分析】（1）设有x个交通路口，则八年级（1）班人数为（5x+4）名，根据题意列不等式组求解可得；（2）由树状图求得所有等可能的结果与两辆汽车前行路线相同的情况，继而利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）设有x个交通路口，则八年级（1）班人数为（5x+4）名，根据题意得546(1)1 546(1)3 x xx x+--≥⎧⎨+--⎩＜，解得：7＜x≤9，∵x为正整数，∴x＝8或9，所以5x+4＝44或49．答：新华中学八年级（1）班有44或49名学； （2）列表可得：由上表可知，所有可能发生的结果共有9种，并且它们发生的可能性都相等，连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的有3种，分别为（左转，左转），（直行，直行），（右转，右转），∴连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率为31=93， 答：连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率是13．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．545x =- 【解析】 【分析】根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答. 【详解】192728x x --= 去分母得：45692x x -=- 移项、合并同类项得：554x -= 系数化为1得：545x =- 【点睛】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解题步骤是关键.注意：单个的数字或字母去分母时不要漏乘. 22．a 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题． 【详解】23a 31a a-⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭ =2a 3a a a 3-⋅- =a ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5. 【解析】 【分析】（1）OA=OC ，则∠OCA=∠OAC ，CD ∥AP ，则∠OCA=∠PAC ，即可求解； （2）证明△PAC ∽△PCE ，即可求解；（3）利用△PAC ∽△CAB 、PC 2=AC 2-PA 2，AC 2=AB 2-BC 2，即可求解． 【详解】解：（1）∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC ， ∵CD ∥AP ， ∴∠OCA=∠PAC ， ∴∠OAC=∠PAC ， ∴AC 平分∠BAP ； （2）连接AD ，∵CD 为圆的直径， ∴∠CAD=90°， ∴∠DCA+∠D=90°， ∵CD ∥PA ， ∴∠DCA=∠PAC ， 又∠PAC+∠PCA=90°， ∴∠PAC=∠D=∠E ， ∴△PAC ∽△PCE ， ∴PA PCPC PE=， ∴PC 2=PA•PE； （3）AE=AP+PC=AP+4，由（2）得16=PA（PA+PA+4），PA2+2PA-8=0，解得，PA=2，连接BC，∵CP是切线，则∠PCA=∠CBA，Rt△PAC∽Rt△CAB，AP AC PC==，而PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，AC AB BC其中PA=2，解得：AB=10，则圆O的半径为5．【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了三角形相似、勾股定理运用的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．24．（1）见解析，S△ABC＝3；（2）见解析，最大面积为8【解析】【分析】（1）根据要求画出三角形即可（大不唯一）．（2）根据要求画出图形即可解决问题．【详解】解：（1）如图（甲）中，△ABC即为所求．S△ABC＝×2×3＝3．（2）如图（乙）中，△DEF即为所求，最大面积为8【点睛】此题考查了作图-位似变换，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．25．（1）120；54°；（2）补图见解析；(3) 400人．【解析】【分析】（1）由B类别人数及其所占百分比可得；用总人数乘以D类别人数占总人数的比例即可得；（2）先用总人数乘以C类别的百分比求得其人数，再根据各类别百分比之和等于总人数求得A的人数即可补全图形；（3）用总人数乘以样本中A类别的人数所占比例即可得．【详解】（1）本次调查的总人数为48÷40%＝120（名），扇形统计图中D所在的扇形的圆心角为360°×18120＝54°，故答案为：120；54°；（2）C类别人数为120×20%＝24（人），则A类别人数为120﹣（48+24+18）＝30（人），补全条形图如下：（3）估计对文明城市的了解情况为“非常了解”的学生的人数为1600×30120＝400（人）．答：该校对博鳌论坛会的了解情况为“非常了解”的学生约有400人．【点睛】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．b 2•b 3＝b 6B ．（﹣a 2）3＝a 6C ．（ab ）2＝ab 2D ．（﹣a ）6÷（﹣a ）3＝﹣a 32．方程组的解是( )A. B.C. D. 3．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a+b ＝0；③4a+2b+c＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.44．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22k y x =的图象交于(4,2)A --，(4,2)B 两点，当12y y >时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．4x >B ．40x -<<C ．4x <-或04x <<D ．40x -<<或4x >5．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则列方程组为（ ）A ．15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．15022503y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．15022503x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D ．15022503y y x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 6．如图，已知A ，B 是反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ．设三角形OMP 的面积为S ，P 点运动时间为r ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）A． B． C ． D ．7．如图，直线y ＝mx+n 与两坐标轴分别交于点B ，C ，且与反比例函致y ＝2x（x ＞0）图象交于点A ，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，连接DC ，若△BOC 的面积是6，则△DOC 的面积是（ ）A ．5﹣B ．C ．6 D ．﹣8．如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（8，6），以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC 、AO 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧两弧交于点Q ，作射线AQ 交y 轴于点D ，则点D 的坐标为（ ）A ．()0,1B ．80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,29．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有.问甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱为，乙带钱为，根据题意，可列方程组为（ ）A. B. C. D.10．若点()1A 1,y -，()2B 1,y ，()3C 3,y 在反比例函数6y x=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y << 11．如图,在△ABC 中,点D 、E 分别为AB 、AC 边上的点,连接DE,且DE ∥BC,点F 为BC 边上一点,连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．BD AG AD FG =B ．AG AE GF BD =C ．BD AB CE AC = D ．FG CE AE AG= 12．如图，AB 是半圆O 的直径，且AB=12，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π二、填空题 13．已知抛物线2=2(1)3y x -+-与直线2y kx m =+相交于A （-2，3）、B （3，-1）两点，则12y y ≥时x 的取值范围是___________.14．如图，已知△ACF ≌△DBE ，∠E=∠F ，AD=9cm ，BC=5cm ，AB 的长为_____cm ．15．若一组数据1，2，x ，4的众数是1，则这组数据的方差为_____．16．如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且DE 2CE =，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ，连接OF ，则下列结论正确的是______．BE BCF =①∽BEC OF 5=，③17．用一组a ，b 的值说明命题“若a b＞1，则a ＞b”是错误的，这组值可以是a ＝_____，b ＝_____． 18．分解因式：2ax a - =____三、解答题19．计算：112cos302)2︒-++- 20．已知两个函数：y 1＝ax+4，y 2＝a （x ﹣12）（x ﹣4）（a≠0）． （1）求证：y 1的图象经过点M （0，4）； （2）当a ＞0，﹣2≤x≤2时，若y ＝y 2﹣y 1的最大值为4，求a 的值；（3）当a ＞0，x ＜2时，比较函数值y 1与y 2的大小．21．如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BC ＝2OC ，E 为AB 边上一点.（1）若CE ＝6，∠ACE ＝15°，求BC 的长；（2）若F 为BO 上一点，且BF ＝EF ，G 为CE 中点，连接FG ，AG ，求证：AG =22．（1）计算：()10012cos3020192π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭ （2）解方程：4501x x -=- 23．任大叔决定在承包的荒山上种樱桃树,第一次用1000元购进了一批树苗,第二次又用1000元购进该种树苗,但这次每棵树苗的进价是第一次进价的2倍,购进数量比第次少了100棵；(1)求第一次每棵树苗的进价是多少元?(2)一年后,树苗的成活率为85%,每棵樱桃树平均产樱桃30斤,任大叔将两批樱桃树所产樱桃按同一价格全部销售完毕后，获利不低于89800元,求每斤樱桃的售价至少是多少元?24．如图，五边形ABCDE 内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE 的顶点,,,,A B C D E 的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）：内部有1个点内部有2个点内部有3个点（1）填写下表：（2）原五边形能否被分割成2019个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部有多少个点？若不能，请说明理由.25．在如图所示的5×5的方格中，我们把各顶点都在方格格点上的三角形称为格点三角形．如图1是内部只含有1个格点的格点三角形．设每个小正方形的边长为1，完成下列问题：（1）在图甲中画一个格点三角形，使它内部只含有2个格点，并写出它的面积．（2）在图乙中画一个面积最大的格点三角形，使它的内部只含有A，B，C这3个格点（图乙中已标出），并写出它的面积．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．x≤-2或x≥314．215．516．①②17．-2 -118．a（x+1）（x-1）三、解答题19．3 2 -【解析】【分析】利用实数混合运算的法则即可计算．【详解】（﹣2+1 221 2＝﹣3 2【点评】此题主要考查实数的运算，要熟记一些简单的三角函数的值，比如：cos60°＝sin30°＝12，sin60°＝20．（1）证明见解析；（2）817a=;(3)见解析.【解析】【分析】（1）只需要把M的坐标带入到1y即可（2）把1y,2y代入到等式化简取y最大值时，即可解答（3）由（2）可知当a＞0，x＜2时，随x的增大而减小，然后再根二次函数的增减性可解此题【详解】解：（1）证明：当x＝0时，y1＝0+4＝4，∴点M（0，4）在y1的图象上，即y1的图象经过点M（0，4）；（2）∵y1＝ax+4，y2＝a（x﹣12）（x﹣4）（a≠0）．∴y＝y2﹣y1＝a（x﹣12）（x﹣4）﹣（ax+4），即y＝21124 2ax ax a-+-，∵a＞0，对称轴为x＝114＞2，∴当﹣2≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x＝﹣2时，y取最大值为4a+11a+2a﹣4＝17a﹣4，∵y＝y2﹣y1的最大值为4，∴17a ﹣4＝4，解得，a ＝817； （3）由（2）知y ＝y 2﹣y 1＝211242ax ax a -+-， 当a ＞0，x ＜2时，随x 的增大而减小，当x ＝2时，y ＝y 2﹣y 1＝4a ﹣11a+2a ﹣4＝﹣5﹣4＜0，又当y ＝0时，211242ax ax a -+-＝0，即2ax 2﹣11ax+4a ﹣8＝0，x ＝114a a， ∵△＝121a 2﹣32a 2+64a ＝89a 2+64a ＞0，∴1124a a， 根据二次函数的增减性可得，当x >2时，y 2﹣y 1＜0，即y 2＜y 1；当x 2时，y 2﹣y 1＝0，即y 2＝y 1；当x ＜1124a a-时，y 2﹣y 1＞0，即y 2＞y 1． 【点睛】此题主要考察函数解析式的求解及常用方法，需要把已知的点，带入到函数解析式里面进行求解21．（1）BC=；（2）见解析；【解析】【分析】（1）过点E 作EM ⊥BC 于点M ，由菱形的性质和已知条件可得AB=BC=AC ，进一步利用锐角三角函数解RT △CEM 和RT △BEM,求出BM 和CM 的值，相加即可得到BC 的长；（2）延长FG 至点H ，使GH ＝FG ，连接CH ，AH ．先证△EFG ≌△CHG 得到CH ＝BF ，CH ∥EF ，再延长EF 交BC 于点K ，证△AFB ≌△AHC ，进一步证得∠AFH=60°，最后由三角函数可得出A G =.【详解】（1）过点E 作EM ⊥BC 于点M,∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O∴AB=BC,AC=2CO∵BC=2CO∴AB=BC=AC∴∠ACB=∠ABC=60°∵∠ACE=15°∴∠ECB=∠ACB —∠ACE=45°∴CM=EM=2CE=∴∴BC= CM+BM=（2）证明：延长FG 至点H ，使GH ＝FG ，连接CH ，AH ．∵G 为CE 中点，∴EG ＝GC ，在△EFG 与△CHG 中，FG GH EGF CGH,EG GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△EFG ≌△CHG （SAS ），∴EF ＝CH ，∠CHG ＝∠EFG ，∴CH ＝BF ，CH ∥EF ，延长EF 交BC 于点K∵菱形ABCD 中，BD 平分∠ABC ∴∠ABF=12∠ABC=30° ∵BF=EF ∴∠BEF=∠ABF =30°又∵∠ABC=60°∴∠EKB ＝90°∵CH//EF ∴∠HCB ＝∠EKB ＝90° ∴∠ACH ＝∠HCB —∠ACB ＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABF ＝∠ACH∵BF=EF,EF=CH∴BF=CH在△AFB 与△AHC 中，AB AC ABF ACH BF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△AFB ≌△AHC （SAS ），∴AF ＝AH ，∠BAF ＝∠CAH∵FG ＝GH ，∴AG ⊥FG∵∠BAC ＝∠BAF+∠FAC ＝60°，∴∠CAH+∠FAC ＝60°，即∠FAH ＝60°，∴∠AFH=60°∴【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练运用特殊的直角三角形的性质是解题的关键．22．（11；（2）5x =.【解析】【分析】（1）根据整数指数幂的运算以及特殊三角函数值计算即可；（2）根据解分式方程的步骤解即可，注意要验根.【详解】（1）()10012cos3020192π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭=21+22⨯-，1+；（2）4501x x-=- ， 去分母得：4x-5(x-1)=0去括号得，4x-5x+5=0移项得，4x-5x=-5，合并，得：-x=-5，系数化为1，得：x=5.经检验，x=5是原分式方程的解.【点睛】本题主要考查了实数的运算以及解分式方程，计算时一定要细心，分式方程要检验.23．（1）第一次每棵树苗进价为5元；(2）每斤樱桃的售价至少为12元.【解析】【分析】(1)首先设第一次每棵树苗的进价是元,则第二次每棵树苗的进价是2X 元,依题意得等量关系:第一购进树苗的棵数-第二次购进树苗的棵树=100,由等量关系列出方程即(2)设每斤苹果的售价是a 元,依题意得等量关系两次购进树苗的总棵树x 成活率为85%×每棵果树平均产苹果30斤-两次购进树苗的成本289800元,根据不等关系代入相应的数值,列出不等式【详解】（1）解：设第一次每棵树苗进价为x 元.根据题意 得100010001002x x-= 解得5x =检验：经检验5x =是原方程的解答：第一次每棵树苗进价为5元.(2）解:设每斤樱桃的售价为m 元. 根据题意 得1000100085%301000100089800510m +⨯⨯--≥（） 解得12m ≥ 答：每斤樱桃的售价至少为12元.【点睛】此题考查一元一次不等式的应用和分式方程的应用，解题关键在于列出方程24．（1）详见解析；（2）1008【解析】【分析】（1）查出题干图形中三角形的个数，并观察发现，每多一个点，三角形的个数增加2，然后据此规律填表即可；（2）根据（1）中规律，列式求解，如果n是整数，则能分割，如果不是整数，则不能分割．【详解】（1）有1个点时，内部分割成5个三角形；有2个点时，内部分割成5+2=7个三角形；有3个点时，内部分割成5+2×2=9个三角形；有4个点时，内部分割成6+2×3=11个三角形；…以此类推，有n个点时，内部分割成5+2×（n-1）=（2n+3）个三角形；故可填表为：（2）可以，n=.令232019n+=，解得1008∴此时正方形ABCD内部有1008个点．【点睛】本题是对图形变化问题的考查，根据数据的变化规律，结合图形，总结出每增加一个点，三角形的个数增加2的规律是解题的关键．25．（1）见解析，S△ABC＝3；（2）见解析，最大面积为8【解析】【分析】（1）根据要求画出三角形即可（大不唯一）．（2）根据要求画出图形即可解决问题．【详解】解：（1）如图（甲）中，△ABC即为所求．S△ABC＝×2×3＝3．（2）如图（乙）中，△DEF即为所求，最大面积为8【点睛】此题考查了作图-位似变换，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．。
2024陕西中考数学二轮专题训练 题型八 几何测量问题 (含答案)
2024陕西中考数学二轮专题训练题型八几何测量问题类型一与锐角三角函数有关的几何测量【类型解答】与锐角三角函数有关的几何测量应用题近10年解答题中考查3次，分值为6分或7分．考查特点：设问均为底部不可及的测量问题，且都是通过在两个直角三角形中解决问题．1.西安奥体中心体育馆是第十四届全运会的主场馆之一，其顶部有16个角舒展绽放，像盛开的花瓣．某日，家住附近的小华和小明想测量其中一个角顶部距离地面的高度AB，由于施工，点B周围设有20米宽的禁行区域MN.如图所示，小明先在距离点M60米远的D处用测倾器CD测得顶部A的仰角为30°，然后小华在距离点N30米远的F处用测倾器EF测得顶部A的仰角为45°，已知测倾器的高CD＝EF＝1.5米，点D、M、B、N、F在同一条直线上，CD、EF均垂直于DF，求角顶部距离地面的高度A B.(结果用根号表示)第1题图2.某广场的平面示意图大致如图所示，小明和小凯想用测量知识测量广场的南北长度．首先，他们在广场最北边选取一点A，测得建筑物最西端M位于点A南偏东37°方向，然后沿着广场边缘向东行走10m，到达点B，测得该建筑物最东端N位于点B南偏东45°方向．已知建筑物东西长度MN为60m，且点M、N在广场的最南端边上，求该广场的南北长度．(结果精确到1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41)第2题图3.[真实问题情境]如图①，是一个手动饸饹机的实物图，图②是其示意图，已知手柄的长度AB＝36cm，BD＝4cm，支架的高度EF＝33cm.抬至最高时与水平方向的夹角∠ABC约为52°，A、C、E、F四点共线．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)(1)求饸饹机手柄上的点A到水平面GF的距离；(2)李师傅压制饸饹时，某一时刻AB与水平方向的夹角为30°，则手柄AB上点A的高度降低了多少？第3题图类型二与相似三角形有关的几何测量【类型解读】与相似三角形有关的几何测量应用题近10年解答题考查6次．考查特点：以利用“标杆”测高、中心投影、平行投影、镜面反射或固定视角等问题为背景，设问多为测量高度.1.大约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测量出了金字塔的高度．如图①，他首先测量了金字塔正方形底座的边长为230米，然后他站立在沙地上的点B′处，请人不断测量他的影子B′C′，当他的影子B′C′和身高A′B′相等时，立刻测量出该金字塔塔尖P的影子A与相应底棱中点B的距离约为22.2米，此时点A与点B的连线恰好与相应的底棱垂直，即正方形底座中心O与A和B在一条直线上，聪明的小明根据老师的讲述，迅速画出图②所示的测量金字塔高度的平面图形，请你根据这个平面图形计算出该金字塔的高度．第1题图2.小唯想利用所学的知识测量学校旗杆的高度，一天下午，她和学习小组来到旗杆前，由于旗杆下面有旗杆台，到旗杆底部的距离无法测量到，于是她们先在旗杆周围的空地上选择一点E并放置小平面镜，小唯沿着BE方向移动到点D处，她恰好在小平面镜内看到旗杆顶端A的像，此时测得DE＝0.8m，然后小唯拿着自制的直角三角板FMN在BE方向移动，在点G处用眼睛观察到斜边FM与点A在同一条直线上，测得DG＝7.4m．已知直角三角板的直角边MN＝9cm，FN＝12cm，小唯的眼睛与地面的距离CD＝FG＝1.6m，AB、CD、FG、MN均垂直于BG，求旗杆的高度A B.(平面镜大小忽略不计)第2题图3.如图，河岸旁种植了两排平行的树，且每排每两棵树之间的距离为3m，为测量这两排树之间的距离PQ，小明先在中间两棵树QP的延长线上选取一点A，恰好发现点A、树B、树C在一条直线上，然后小明后退10m到达点D处，发现点D、树E、树F在一条直线上．已知PQ所在的直线垂直于两岸的树，且两排树均用图中的黑点表示，求河岸旁两排树之间的距离PQ.第3题图类型三与全等三角形有关的几何测量1.如图所示，物体从一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度OM和物体在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN.第1题图2.(北师九下P22活动二改编)如图所示，小明与小华计划测量学校春晖楼的高度A B.小明先站在点E处，用测倾器EF测得求实楼CD的顶端D的仰角为α，然后走到点C处，用测倾器CG测得春晖楼AB的顶端B的仰角为β，发现α＋β＝90°.已知AB、EF、CD均垂直于AC，EF＝CG＝1.6m，CE＝25.2m，求实楼的高CD＝31.6m，两栋楼之间的距离AC＝30m，求春晖楼的高度A B.第2题图类型四与勾股定理有关的几何测量1.[数学文化](北师八上P15习题1.4T5改编)《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B′(如图).水深和芦苇长各多少尺？第1题图2.一天，小明带着弟弟去图书大厦买书，已知该图书大厦装有一个自动感应门，当人体进入感应范围内，感应门会自动打开，小明发现门打开时，自己和弟弟距离门的位置不相同，于是小明利用所学的知识计划测量该感应门的最大感应范围．小明先站在D处，门恰好自动打开，然后小明后退，让弟弟去打开门，发现当弟弟站在点F处时，门恰好自动打开，且小明发现自己与弟弟所站的位置中间相隔2个地砖．已知小明的身高CD＝1.6m，弟弟的身高EF＝1.3m，感应器距离地面的高度AB＝2.5m，每个地砖的宽度为15cm，AB、CD、EF 均垂直于BD，求该感应门的最大感应距离AC(或AE)．第2题图参考答案类型一与锐角三角函数有关的几何测量1.解：如解图，连接CE 交AB 于点G ，由题知，CD 、EF 均垂直于DF ，且CD ＝EF ，第1题解图∴四边形CDFE 为矩形，∴CE ＝DF ＝60＋20＋30＝110.在Rt △AGE 中，∵∠AEG ＝45°，∴AG ＝EG .设AG ＝EG ＝x ，∵在Rt △ACG 中，∠ACG ＝30°，∴CG ＝AG tan30°＝3x ，∴3x ＋x ＝110，解得x ＝553－55，∵CD ＝EF ＝1.5，∴BG ＝1.5，∴AB ＝AG ＋BG ＝553－55＋1.5＝(553－53.5)米．答：该角顶部距离地面的高度AB 为(553－53.5)米．2.解：如解图，过点A 作AE ⊥MN 于点E ，过点B 作BF ⊥MN 于点F ，则四边形ABFE 是矩形，由题意可知∠EAM ＝37°，∠FBN ＝45°，设FM ＝x ，则EM ＝10＋x ，FN ＝60＋x ，在Rt △BFN 中，∵∠FBN ＝45°，∴BF ＝FN ＝60＋x .∴AE ＝BF ＝60＋x .在Rt △AEM 中，∵∠EAM ＝37°，∴tan ∠EAM ＝EM AE ＝10＋x 60＋x≈0.75，解得x ＝140，∴AE ＝60＋140＝200m ，答：该广场的南北长度约为200m.第2题解图3.(1)解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝52°，AB ＝36cm ，∴AC ＝AB ·sin52°≈36×0.79＝28.44cm.∵BD ⊥DE ，BD ⊥BC ，BC ⊥AF ，∴四边形BDEC 是矩形．∴CE ＝BD ＝4cm.又∵EF ＝33cm ，∴AF ＝AC ＋CE ＋EF ＝28.44＋4＋33＝65.44≈65.4cm.答：饸饹机手柄上的点A 到水平面GF 的距离约为65.4cm ；(2)由(1)知，AC ＝28.44cm ，当∠ABC ＝30°时，AC ＝AB ·sin ∠ABC ＝36×12＝18cm ，∴手柄AB 上点A 的高度降低了28.44－18≈10.4cm.类型二与相似三角形有关的几何测量1.解：由题意可知，△POA ∽△A ′B ′C ′，∴PO OA ＝A ′B ′B ′C ′.∵A ′B ′＝B ′C ′，∴OP ＝OA.∵金字塔正方形底座的边长为230，点O 为正方形的对称中心，点B 为正方形边上的中点，∴OB ＝115，∴OA ＝OB ＋AB ＝115＋22.2＝137.2，∴OP ＝137.2.答：金字塔的高度约为137.2米．2.解：如解图，延长FN 交AB 于点H ，则FH ⊥AB ，∴四边形FGBH 是矩形，由题意可知△ABE ∽△CDE ，△MFN ∽△AFH ，∴AB CD ＝BE DE ，AH FH ＝MN FN ＝912＝34.设AB ＝x ，则AH ＝x －1.6，则x 1.6＝BE 0.8，∴BE ＝0.5x ，∴FH ＝BG ＝GD ＋DE ＋BE ＝7.4＋0.8＋0.5x ＝8.2＋0.5x ，∴x －1.68.2＋0.5x ＝34，解得x ＝12.4，答：旗杆的高度AB 为12.4m.第2题解图3.解：设AP ＝x ，由题意可知，BP ＝3，PE ＝6，CQ ＝6，FQ ＝9，EP ∥FQ ，∴△APB ∽△AQC ，△DPE ∽△DQF ，∴AP AQ ＝BP CQ ＝36＝12，∴AQ ＝2AP ＝2x ，∴DP ＝x ＋10，DQ ＝2x ＋10，∴DP DQ ＝PE FQ ，即x ＋102x ＋10＝69＝23，解得x ＝10，∴PQ ＝10，答：河岸旁两排树之间的距离PQ 为10m.类型三与全等三角形有关的几何测量1.解：如解图，过点A作AE⊥OM于点E，过点B作BF⊥OM于点F，∵∠AOE＋∠BOF＝∠BOF＋∠OBF＝90°，∴∠AOE＝∠OBF.在△AOE和△OBF中，OEA＝∠BFOAOE＝∠OBF，＝OB∴△AOE≌△OBF(AAS)，∴OE＝BF，AE＝OF，∴OE＋OF＝AE＋BF＝CD＝17，∴2EO＋EF＝17.∵EF＝EM－FM＝AC－BD＝10－3＝7，∴EO＝5，∴AE＝12，∴在Rt△AOE中，OA＝OE2＋AE2＝13.∵OM＝OE＋EM＝15，∴MN＝15－13＝2.答：旗杆的高度OM为15米，物体在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．第1题解图2.解：如解图，延长GF交AB于点H，∵AB⊥AC，EF⊥AC，CD⊥AC，EF＝CG，∴四边形AEFH、四边形EFGC、四边形ACGH均为矩形．∴HG＝AC，∠BHG＝∠FGD＝90°.∴α＋∠FDG＝90°.∵α＋β＝90°，∴∠FDG＝β.即∠D＝∠BGH.又∵EF＝CG＝1.6m，CD＝31.6m，AC＝30m，∴HG＝30m，GD＝CD－CG＝30m，在△BHG和△FGD中，BHG＝∠FGD，＝GDBGH＝∠D∴△BHG≌△FGD(ASA)．∴BH＝FG＝CE＝25.2m.∴AB＝BH＋AH＝BH＋EF＝26.8m.答：春晖楼的高度AB为26.8m.第2题解图类型四与勾股定理有关的几何测量1.解：设水深x尺，则芦苇长(x＋1)尺．由题意得x2＋52＝(x＋1)2.解得x＝12.∴x＋1＝13.答：水深12尺，芦苇长13尺．2.解：如解图，过点C作CG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，则四边形EFBH和四边形CDBG是矩形，由题意可知DF＝30cm＝0.3m，GH＝CD－EF＝0.3m，AC＝AE，设BF＝x，则BD＝CG＝0.3＋x，在Rt△AEH中，∵AH＝2.5－1.3＝1.2m，∴AE2＝x2＋1.22，在Rt△ACG中，∵AG＝2.5－1.6＝0.9m，∴AC2＝(0.3＋x)2＋0.92.∵AC＝AE，∴(0.3＋x)2＋0.92＝x2＋1.22，∴AC＝1.5m，答：该感应门的最大感应距离AC(或AE)为1.5m.第2题解图。
2019年中考数学二轮练习考点解密-探索性问题
2019年中考数学二轮练习考点解密-探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：明的题型、探索性问题一般有三种类型：〔1〕条件探索型问题；〔2〕结论探索型问题；〔3〕探索存在型问题、条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目、探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识、经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法〔图象及其性质〕、直角三角形的性质、四边形〔特殊〕的性质、相似三角形、解直角三角形等、其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径、因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力、Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图2－6－1，抛物线的顶点为A （O ，1），矩形CDEF 的顶点C 、F在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交Y 轴于点B （0，2），且其面积为8、（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2－6－2，假设P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R 、①求证：PB ＝PS ；②判断△SBR 的形状；③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，假设存在，请找出M 点的位置；假设不存在，请说明理由、⑴解：方法一：∵B 点坐标为（0，2），∴OB ＝2，∵矩形CDEF 面积为8，∴CF ＝4.∴C 点坐标为（一2，2）、F 点坐标为（2，2）。
设抛物线的解析式为2y ax bx c =++、 其过三点A （0，1），C （－2、2），F （2，2）。
中考数学第二轮复习资料
中考数学第二轮复习资料目录专题一选择题解题方法一、中考专题诠释选择题是各地中考必考题型之一，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性.选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.二、解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略.具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.三、中考考点精讲1．(莱芜)如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A 出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2＝y，则y关于x的函数图象大致为A．B．C．D．2．(自贡)如图，已知A、B是反比例函数y＝kx(k＞0，x＞0)上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P 作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是A．B．C．D．3．(鄂州)一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子(质量非常轻的空心小圆球)后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是A．B．C．D．4．(巴中)在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是A．B．C．D．5.(宁波)下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是A．B．C．D．6．(菏泽)如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°7．(邵阳)下列四个图形中，不是轴对称图形的是A．B．C．D．8．(南宁)小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是A．三角形B．线段C．矩形D．正方形9．(长沙)在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是A．B．C．D．10．(达州)下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③11．(陕西)如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是A ．B ．C ．D ．12．(黑龙江)如图，爸爸从家(点O )出发，沿着扇形AOB 上OA →弧AB →BO 的路径去匀速散步，设爸爸距家(点O )的距离为S ，散步的时间为t ，则下列图形中能大致刻画S 与t 之间函数关系的图象是A ．B ．C ．D ．13．(盐城)如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种14．(咸宁)如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB ，GHMN 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为A ．1732B ．12C ．1736D ．173815．(雅安)如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ，则sin ∠E 的值为A ．12B ．32C ．22D ．3316．(衢州)如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，沿A →D →C →B →A 的路径匀速移动，设P 点经过的路径长为x ，△APD 的面积是y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是A ．B ．C ．D ．17．(柳州)如图，点P (a ，a )是反比例函数y ＝16x在第一象限内的图象上的一个点，以点P 为顶点作等边△P AB ，使A 、B 落在x 轴上，则△POA 的面积是A ．3B ．4C ．123− D ．33824− 18.(莱芜)下列说法错误的是A ．若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心B ．22C ．若a ＞|b |，则a ＞bD ．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半19．(无锡)已知点A (0，0)，B (0，4)，C (3，t ＋4)，D (3，t )．记N (t )为□ABCD 内部(不含边界)整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N (t )所有可能的值为A ．6、7B ．7、8C ．6、7、8D ．6、8、920．(钦州)如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A 地到B 地的路线图(箭头表示行进的方向)．其中E 为AB 的中点，AH ＞HB ，判断三人行进路线长度的大小关系为A ．甲＜乙＜丙B ．乙＜丙＜甲C ．丙＜乙＜甲D ．甲＝乙＝丙21．(邗江区一模)一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：(1)将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图(2)所示；(2)将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图(3)所示；(3)将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图(4)所示；(4)连结AE、AF，如图(5)所示．经过以上操作小芳得到了以下结论：①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF：S圆＝4π以上结论正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个专题二 新定义型问题一、中考专题诠释 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考考点精讲1.(湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin 30°＝12，cos 30°sin 230°＋cos 230°＝ ； ①sin 45°，cos 45°，则sin 245°＋cos 245°＝ ；②sin 60°＝2，cos 60°＝12，则sin 260°＋cos 260°＝ ； ③ …… 观察上述等式，猜想：对任意锐角A ，都有sin 2A ＋cos 2A ＝ ．④(1)如图，在锐角三角形ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的猜想； (2)已知：∠A 为锐角(cosA ＞0)且sinA ＝35，求cosA ． 2.(河北)定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b ＝a (a －b )＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1=＝－5．(1)求(－2)⊕3的值；(2)若3⊕x 的值小于13，求x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．3．(十堰)定义：对于实数a ，符号[a ]表示不大于a 的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[－π]＝－4．(1)如果[a ]＝－2，那么a 的取值范围是 ．(2)如果[12x+]＝3，求满足条件的所有正整数x．4.(钦州)定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是A．2 B．3 C．4 D．55.(宁波)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．(1)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；(2)如图2，在12×16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；(3)四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．6.(舟山)对于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义一种运算：A⊕B＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)．例如，A(－5，4)，B(2，－3)，A⊕B＝(－5＋2)＋(4－3)＝－2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D＝D⊕E ＝E⊕F＝F⊕D，则C，D，E，F四点A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点7．(常德)连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图(扇形、菱形、直角梯形、红十字图标)中“直径”最小的是A．B．C．D．8．(上海)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．9．(宜宾)如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是 ．10．(淄博)在△ABC 中，P 是AB 上的动点(P 异于A ，B )，过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC的相似线．如图，∠A ＝36°，AB ＝AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有 条．11．(乐山)对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为(x )．即当n 为非负整数时，若n －12≤x ＜n ＋12，则(x )＝n ．如(0.46)＝0，(3.67)＝4． 给出下列关于(x )的结论：①(1.493)＝1；②(2x )＝2(x )；③若(12x －1)＝4，则实数x 的取值范围是9≤x ＜11； ④当x ≥0，m 为非负整数时，有(m ＋2013x )＝m ＋(2013x )；⑤(x ＋y )＝(x )＋(y )；其中，正确的结论有 (填写所有正确的序号)．12．(莆田)定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC 2＝BC •AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．(1)求证：点D 是线段AC 的黄金分割点；(2)求出线段AD 的长．13．(大庆)对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin (180°－α)，cosα＝－cos (180°－α)(1)求sin 120°，cos 120°，sin 150°的值；(2)若一个三角形的三个内角的比是1:1:4，A ，B 是这个三角形的两个顶点，sinA ，cosB 是方程4x 2－mx －1＝0的两个不相等的实数根，求m 的值及∠A 和∠B 的大小．14．(安徽)我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”．其中∠B ＝∠C ．(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)；(2)如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中∠B ＝∠C ．E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证： AB BE DC EC=； (3)在由不平行于BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E ．若EB ＝EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时(即图3所示情形)，四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论．(不必说明理由)15．(北京)对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下的定义：若⊙C 上存在两个点A 、B ，使得∠APB ＝60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D (12，12)，E (0，－2)，F 0)．(1)当⊙O 的半径为1时，①在点D 、E 、F 中，⊙O 的关联点是 ；②过点F 作直线l 交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO ＝30°，若直线l 上的点P (m ，n )是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；(2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．专题三开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等．三、中考考点精讲1.(盐城)写出一个过点(0，3)，且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系，使得另一边EF过原矩形的(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积(2)写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．6．(荆州)如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．7.(徐州)请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：．8．(钦州)请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式．9．(连云港)若正比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可以10使△ABC≌△DEF．第11题第12题第13题12．(绥化)如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD．13．(义乌市)如图，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是．14．(齐齐哈尔)如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是____________(填一个即可)15．(邵阳)如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是．第14题第15题第16题第17题16．(吉林)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA＝5cm，OC＝3cm，则AP的长度可能是cm(写出一个符合条件的数值即可) 17．(昭通)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝4cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜16)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为．(填出一个正确的即可)18．(杭州)(1)先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已19．(盐城)市交警支队对某校学生进行交通安全知识宣传，事先以无记名的方式随机调查了该校部分学生闯红灯的情况，并绘制成如图所示的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：(1)本次共调查了多少名学生？(2)如果该校共有1500名学生，请你估计该校经常闯红灯的学生大约有多少人；(3)针对图中反映的信息谈谈你的认识．(不超过30个字)专题四探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法(反证法)，即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法，当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法，即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲1.(襄阳)如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连结BE，CD，求证：BE＝CD；(2)如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．AE上；②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．2．(新疆)如图，□ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．(1)求证：△AOE≌△COF；(2)请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．3.(牡丹江)已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图(1)．易证BD(1)当MN绕A旋转到如图(2)和图(3)两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图(2)给予证明．(2)MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD CD＝，CB＝．4．(河南)如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E ＝30°．(1)操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图4)．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．8．(陕西)问题探究：(1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；(2)如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．问题解决：(3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，点P是AD的中点，如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．9．(西城区一模)在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A(1，0)处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；…依此规律进行，点A6的坐标为；若点A n的坐标为(2013，2012)，则n＝．10．(湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…是．11．(绍兴)如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是．12．(茂名)如图，在□ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．(1)求证：△ADE≌△BFE；(2)若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．13．(白银)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．(1)BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．14．(无锡)如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．(命题请写成“如果…，那么…．”的形式)15．(宁波)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．16．(凉山州)先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式(平移后抛物线的形状不变)．解：在抛物线y＝－x2＋2x＋3图象上任取两点A(0，3)、B(1，4)，由题意知：点A向左平移1个单位得到A′(－1，3)，再向下平移2个单位得到A″(－1，1)；点B向左平移1个单位得到B′(0，4)，再向下平移2个单位得到B″(0，2)．设平移后的抛物线的解析式为y＝－x2＋bx＋c．则点A″(－1，1)，B″(0，2)在抛物线上．可得：112b c c −−+=⎧⎨=⎩，解得：02b c =⎧⎨=⎩．所以平移后的抛物线的解析式为:y ＝－x 2＋2． 根据以上信息解答下列问题：将直线y ＝2x －3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．17．(湖州)一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，BO ⊥AC ，于点O ，点P 、D 分别在AO 和BC 上，PB ＝PD ，DE ⊥AC 于点E ，求证：△BPO ≌△PDE ．(1)理清思路，完成解答(2)本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．(2)特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO ，其余条件不变．求证：AP ＝CD ．(3)知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P ′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D ′，请直接写出CD ′与AP ′的数量关系．(不必写解答过程)18．(淄博)分别以□ABCD (∠CDA ≠90°)的三边AB 、CD 、DA 为斜边作等腰直角三角形△ABE 、△CDG 、△ADF ．(1)如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF ，EF ．请判断GF 与EF 的关系(只写结论，不需证明)；(2)如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF ，EF ，(1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．19．(张家界)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．20．(衡阳)如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD＝4．(1)试说明AE2＋CF2的值是一个常数；(2)过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．21．(宁夏)在□ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A＝60°；(1)若BC＝8，AB＝6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．(2)试探究当△CPE≌△CPB时，□ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？22．(南平)在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、(1)证明：△BGF是等腰三角形；(2)当k为何值时，△BGF是等边三角形？(3)我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围．23．(德阳)如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．24．(泉州)如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A(－6，0)，过点E(－2，0)作EF∥AB，交BO于F；25．(梅州)用如图①，②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P．(1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；(2)当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠P AB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF 的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．返回专题五数学思想方法(一)(整体思想、转化思想、分类讨论思想)一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略．数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分．数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三．三、中考考点精讲1.(吉林)若a－2b＝3，则2a－4b－5＝．2．(福州)已知实数a，b满足a＋b＝2，a－b＝5，则(a＋b)3•(a－b)3的值是．3.(东营)如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m(容器厚度忽略不计)．4．(宁德质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．5.(山西)某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示：(1)填空：甲种收费的函数关系式是．乙种收费的函数关系式是．(2)该校某年级每次需印制100～450(含100和450)份学案，选择哪种印刷方式较合算？。