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高三数学(理)小综合训练01

高三数学（理）小综合训练一1．已知全集R U =,集合{|lg(2)1}A x x =-<,{2|20}B x x x =--<，则B C A U = .2．已知函数b a x f x +=)(()10≠>a a 且图象如图所示，则b a +的值是.3．已知函数y=f(x)（x ∈R ）满足f(x+1)=f(x —1)，且x ∈[—1，1]时，f(x)=x 2，则y=f(x)与y=log 5x 的图象的交点个数为 .4．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为 .5.设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是6.若函数)2(x f 的定义域是(,1)-∞，那么函数)(log 2x f y =的定义域是7.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为8.满足sinx>23的x 的集合为 9设函数],[,3)(3t t x x x f -∈+=，若函数的最大值是M ，最小值是m ，则M+m=O 1 2 x y x y y O 1 2 y O 1 2 x O 1 2 x C D O 1 2 x y 题5图10．设函数)0](,[,321)1ln()(2>-∈+-+=t t t x x e x x f x ，若函数的最大值是M ，最小值是m ，则M+m=11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤+<<+=-)1(12)0(1)(2x c c x cxx f c x 满足29()8f c =．（1）求常数c 的值；（2）解不等式()18f x >+．12.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值X 围．。

高三理科数学小综合专题练习函数与导数(最新编写)

23
n＋ 1
结论得证．
方法三：如图，
nx 0x＋
1dx
是由曲线
y＝
x， x＋1
x＝
n
及
x 轴所围成的曲边梯形的面积，
而1＋ 2＋…＋ n 是图中所示各矩形的面积和，
23
n＋ 1
∴ 1＋2＋…＋ 23
n >
n＋ 1
n x dx＝ 0x＋1
1 n 1－x ＋ 1 dx＝ n－ ln(n＋ 1)，
0
结论得证．
2
f ( 1) 0
只须 f (0) 0 …………（ 9 分）
f ( 1) 0 2
1
3
解得：
a
2
4
3 4a 0 即 1 2a 0
3a0 4
12．解：（ 1） f / ( x) 3x2 2ax b 则 f / (1) 3 2a b 2a b 3 ；
f / (2) 12 4a b
ba
3
f ( x) x3 3 x2 3x 1
f′ (x)＝aexln
x＋
aex－ x
xb2ex－
1
＋
bex x
－1
.
由题意可得 f(1) ＝2， f′(1＝) e，故 a＝ 1， b＝ 2.
(2)证明：由 (1)知， f(x)＝ exln x＋ 2xex－1，
从而 f(x)>1 等价于 x ln x>xe－x－ 2. e
设函数 g(x)＝ xln x，则 g′x（)＝ 1＋ ln x，
故知 ln(1 ＋ x)≥ ax 不恒成立． 1＋ x
综上可知， a 的取值范围是 (－∞， 1]．
(3)由题设知
g(1)

高三理科数学小综合专题练习——函数与导数

12015届高三理科数学小综合专题练习——函数与导数资料提供：东莞中学苏传忠老师一选择题1.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z ”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A 真，假，真B 假，假，真C 真，真，假D 假，假，假2.已知命题:p 对任意x R ，总有20x；:"1"q x 是"2"x 的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（）Ap q BpqCp qD p q3.已知0b，5log ,lg ,510db a bc ，则下列等式一定成立的是（）Ad acBa cd Cc ad D d a c7.下列函数中，满足“()()f xy f x f y ”的单调递增函数是（）A12f x xB3f xxC12xf xD3xf x 8.函数212log 4f x x的单调递增区间是（）A0,B,0C2,D,2二填空题1.已知命题p ：0x ">，总有()11xx e +>，则p 为.2.定积分1(2)xx e dx .3.设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x 时，242,10,01x x f xx x ，则3()2f =__.4.已知函数()23f x x x =+，x R ?.若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________. 5.已知2()ln 1f x xx ，则1ln 3ln3f f .三解答题1.已知函数1x a f xax.⑴当函数f x 的定义域为1,12aa 时，求函数f x 的值域；⑵设函数2g xxx a f x ，求函数g x 的最小值.。

高三数学(理)小综合训练02

高三数学（理）小综合训练二1．函数2)(3-+=ax x x f 在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a 的取值X 围是2.已知2{|2,}3A k k Z πααπ==±∈，2{|4,}3B k k Z πββπ==±∈，2{|,}3C k k Z πγγπ==±∈，则这三个集合之间的包含关系为3．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是4．幂函数()f x 的图象过点（4，12），那么(8)f =5.奇函数)(x f 是定义在(2,2)-上的减函数,若(1)(21)0f m f m -+->，m 的X 围是6．集合A 、B 各有2个元素，B A ⋂中有一个元素，若集合C 同时满足①B A C ⋃⊆， ②B A C ⋂⊇，则满足条件的集合C 的个数是____ ____.7．某厂家有下面生产销售的统计：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元满足： G （x ）=2＋x ；销售收入R(x )（万元）满足：20.4 4.20.8(05);()10.2(5).x x x R x x ⎧-+-≤≤=⎨>⎩要使工厂有赢利，产量x 的取值X 围是．8．已知函数)(x f 为定义域为R 的奇函数，当0>x 时，1)(3++=x x x f ，则)(x f =9．过原点作曲线xe y =的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为10已知函数)3||(log )(31+-=x x f 定义域是],[b a ),(z b a ∈，值域是]0,1[-，则满足条件的整数x数对),(b a 有对11.已知定义在区间]32,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称，当]32,6[ππ-∈x 时，函数)22,0,0()sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A xf ，其图象如图所示. （1）求函数)(x f y =在]32,[ππ-的表达式；（2）求方程()2f x =的解.12.已知函数x a x x f ln 21)(2-=)(R a ∈（1）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为b x y +=，求b a ,的值；（2）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值X 围；（3）讨论方程0)(=x f 解的个数，并说明理由。

高三理科数学小题精品综合训练06精编版含详解

7
主视图
侧视图
C. 1
D. 1
6
5
俯视图
6.已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等， A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点 D ，则异面直线 AB 与 CC1 所成角的余弦值为（）.
A. 3
B. 5
C. 7
D. 3
4
4
4
4
7.如果函数 y = 3cos (2x + ϕ ) 的图像关于点 ( 4π ,0)
5.设 a, b, c 是单位向量，且 a ⋅ b = 0 ，则
(a − c) ⋅ (b − c) 的最小值为（）.
A. −2
B. 2 − 2
C. −1 D. 1− 2
10. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分
的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积
的比值为（）．
A. 1
B. 1
8
由余弦定理得 BC = AB2 + AC2 − 2AB ⋅ AC ⋅ cos120 = 2 3 ，
设 R 在△ ABC 外接圆的半径，由正弦定理得 2R = BC = 2 3 = 4 ，故 R = 2 . sin120 3
2
因此球的半径为 OB = 22 +12 = 5 ，所以球的表面积为 4πr2 = 20π .
5. 解析由(a − c) ⋅(b − c) = ab − c ⋅(a + b) + c2 = c2 − c a + b cos a + b,c = 1− 2 cos a + b,c .又
cos a + b,c ∈[−1,1] ，当 cos a + b,c = 1时，

高三数学小综合专题练习函数与导数理试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校2021届高三理科数学小综合专题练习——函数与导数一、选择题1．集合{10},{0,1},{1,2})A B CA B C ===－，，则(=A ．∅B ．{1}C ．{0,1,2}D ．{-1,0,1,2} 2．以下函数中，在R 上单调递增的是A ．13y x= B ．2log y x = C ．y x= D ．0.5x y =3．函数f (x )=x 2+ax －3a －9对任意x ∈R 恒有f (x )≥0，那么f (1)＝ A ．6B ．5C ．4D ．34．2()22x f x x =-，那么在以下区间中，()0f x =有实数解的是A ．〔－3，－2〕B ．〔－1，0〕C ．〔2，3〕D ．〔4，5〕5．设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，假设1x =-为函数()2f x e 的一个极值点，那么以下列图象不可能为()y f x =的图象是二、填空题6．函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是．7．-=⎰.8．函数)(x f 为偶函数，当[)+∞∈,0x 时，1)(-=x x f ，那么()0f x <的解集是． 9．定义运算法那么如下：1112322,lg lg a b ab a b a b-⊕=+⊗=-；假设1824125M=⊕，125N =，那么M ＋N ＝．10．假设函数12)(2+-=x x x f 在区间[]2,+a a 上的最大值为4，那么a 的值为_________.11．二次函数．()2(21)12f x x a x a =+-+-“对于任意的∈aR 〔R 为实数集〕，方程1)(=x f 必有实数根〞的真假，并写出判断过程〔2〕，假设()y f x =在区间)0,1(-及)21,0(内各有一个零点．求实数a 的范围 12．设()f x x ax bx 32=+++1的导数'()f x 满足'(),'()f a f b 1=22=-，其中常数,a b R ∈.〔1〕求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程；(2) 设()'()xg x f x e -=，求函数()g x 的极值. 13．函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0a b ⋅≠.〔1〕假设0a b⋅>，判断函数()f x 的单调性；〔2〕假设0a b ⋅<，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围.14．如图6，长方形物体E 在雨中沿面P 〔面积为S 〕的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈.E 移动时单位时间内的淋雨量包括两局部：〔1〕P 或P 的平行面〔只有一个面淋雨〕的淋雨量，假设其值与v c-×S成正比，比例系数为110；〔2〕其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=32时.〔1〕写出y 的表达式〔2〕设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.15．函数()241(12)ln(21)22x a f x a x x +=-+++.〔1〕设1a =时，求函数()f x 极大值和极小值;〔2〕a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.2021届高三理科数学小综合专题练习——函数与导数参考答案题号 1 2 3 4 5 选项CACBD二、填空题： 6.(1,1)(1,)-+∞； 7. 4π； 8.()1,1-； 9. 5； 10. 1或–1三、解答题：11．解：〔1〕“对于任意的∈a R 〔R 为实数集〕，方程1)(=x f 必有实数根〞依题意：1)(=x f 有实根，即2(2a 1)2a=0x x +--有实根22(21)8(21)0a a a =-+=+≥对于任意的∈a R 〔R 为实数集〕恒成立即2(2a 1)2a=0xx +--必有实根，从而1)(=x f 必有实根〔2〕依题意：要使()y f x =在区间)0,1(-及)21,0(内各有一个零点只须(1)0(0)01()02f f f ⎧⎪->⎪<⎨⎪⎪>⎩…………〔9分〕即340120304a a a ⎧⎪->⎪-<⎨⎪⎪->⎩解得：43a 21<< 12．解：〔1〕/2()32f x x ax b =++那么/(1)3223f a b a b =++=⇒=-；/3(2)1242f a b b a =++=-⇒=-；所以323()312f x x x x =--+，于是有/5(1),(1)32f f ==-故曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程为：6210x y +-=(2)由〔1〕知2/2()(333)()(39)x xg x x x e g x x x e --=--⇒=-+，令/12()00,3g x x x =⇒==；于是函数()g x 在(,0)-∞上递减，(0,3)上递增，(3,)+∞上递减；所以函数()g x 在0x =处取得极小值(0)3g =-，在3x =处取得极大值3(3)15g e -=.13．解：⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，那么121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+-∵ 121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x x b b <>⇒-<， ∴ 12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理函数()f x 在R 上是减函数.⑵(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22x a b >-，那么 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，那么 1.5log ()2ax b <-. 14．解：〔1〕由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202v c -+，故100315(||)(3||10)202y v c v c v v =-+=-+.〔2〕由(1)知，当0v c <≤时，55(310)(3310)15c y c v v v +=-+=-；当10c v <≤时，55(103)(3310)15c y v c v v -=-+=+.故5(310)15,05(103)15,10c v c vy c c v v +⎧-<≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩.①当1003c <≤时，y 是关于v 的减函数.故当10v =时，min 3202cy =-.②当1053c <≤时，在(0,]c 上，y 是关于v 的减函数；在(,10]c 上，y 是关于v 的增函数；故当v c =时，min 50y c =.15．解：〔1〕2511,()3ln(21),222x a f x x x x =∴=-++>-()f x '=x -3+521x +=(21)(3)521x x x +-++=()()21221x x x --+，令()f x '=0，那么x =12或x =2 x〔-12，12〕 12 〔12，2〕2 〔2，+∞〕()f x ' + 0 -0 + ()f x极大极小()1511=()ln 2228f x f =-极大， ()5=(2)ln542f x f =-极小〔2〕()f x '=x -〔1+2a 〕+4121a x ++=(21)(1-2)4121x x a x +-+++=()()21221x x a x --+令()f x '=0，那么x =12或x =2a i 、当2a >12,即a >14时，x 〔-12，12〕 12 〔12，2a 〕 2a 〔2a ，+∞〕()f x ' + 0 -0 + ()f x所以()f x 的增区间为〔-12，12〕和〔2a ，+∞〕，减区间为〔12，2a 〕 ii 、当2a =12,即a =14时，()f x '=()22121x x -+≥0在〔12-，+∞〕上恒成立，所以()f x 的增区间为〔12-，+∞〕 iii 、当-12<2a <12,即-14<a <14时，x〔-12，2a 〕 2a 〔2a ，12〕 12 〔12，+∞〕 ()f x ' + 0 -0 +()f x所以()f x 的增区间为〔-12，2a 〕和〔12，+∞〕，减区间为〔2a ，12〕 iv 、当2a ≤-12,即a ≤-14时， x 〔-12，12〕 12 〔12，+∞〕()f x ' -0 +()f x所以()f x 的增区间为〔12，+∞〕，减区间为〔-12，12〕综上述：a ≤-14时，()f x 的增区间为〔12，+∞〕，减区间为〔-12，12〕 -14<a <14时，()f x 的增区间为〔-12，2a 〕和〔12，+∞〕，减区间为〔2a ，12〕a =14时，()f x 的增区间为〔12-，+∞〕 a >14时，()f x 的增区间为〔-12，12〕和〔2a ，+∞〕，减区间为〔12，2a 〕.。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--方程的根问题(含答案)

《导数的综合应用—方程的根问题》考查内容：主要涉及到利用导数解决方程的根（或函数零点）问题注意：复杂的复合函数求导一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数()x f x e x a =--，若函数()y f x =有零点，则实数a 的取值范围是（） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞2．若关于x 的方程ln 0kx x -=有两个实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．(,)e -∞B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,)e3．若函数3269y x x x =-+的图象与直线y a =有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（） A ．(),0-∞B ．()0,4C ．()4,+∞D ．()1,34．若关于x 的方程0x e ax a +-=有实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．(2,0e ⎤-⎦ B ．)20,e⎡⎣C ．(],0e -D ．2,](0,)e -∞-⋃+∞（5．若关于x 的方程有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．6．已知函数()x xf x e=，关于x 的方程1()()f x m f x -=有三个不等实根，则实数m 的取值范围是（） A ．1(,)e e-+∞B ．1(,)e e-+∞C ．1(,)e e-∞-D ．1(,)e e-∞-7．已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m 有4个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（）A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭e C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．若函数()32ln f x x x x x ax =-+-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,∞+B ．(]0,1C ．[)1,0-D ．(),0-∞9．已知()2,0,0x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩，若()2f x a =⎡⎤⎣⎦恰有两个根12,x x ，则12x x +的取值范围是（） A ．(1,)-+∞ B ．(,22ln 2)-∞-C ．(1,2ln 22)--D ．(),2ln 22-∞-10．已知函数()3ln f x x x =-与()3g x x ax =-的图像上存在关于x 轴的对称点,则实数a 的取值范围为( ) A ．()e -∞，B ．1e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．(]e -∞， D ．1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，11．方程2ln ln 10x x m x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭有三个不同的解，则m 的取值范围是（） A ．1,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．1,e e⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭12．已知函数21()(,f x x ax x e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()x g x e =的图像上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（） A ．1[1,]e e+ B ．1[1,]e e-C ．11[,]e e e e-+D ．1[,]e e e-二．填空题13．关于x 的方程3230x x a --=只有一个实数解，则实数a 的取值范围是___ 14．已知关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是___15．若函数2()2ln f x x a x =-++在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.16．已知函数()ln ,012,0x x x f x x x x >⎧⎪=⎨++<⎪⎩，若方程()()22104f x af x e ++=⎡⎤⎣⎦有八个不等的实数根，则实数a 的取值范围是_____．三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．设函数329()62f x x x x a =-+-. （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围.18．已知函数32()23 3.f x x x =-+（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.19．已知函数(),()2ln .mf x mxg x x x=-= （1）当m =2时，求曲线()y f x =在点（1，f (1)）处的切线方程；（2）当m =1时，求证：方程()()f x g x =有且仅有一个实数根；（3）若(1,]x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围.20．已知函数()ln 1xf x ae x =--，a R ∈（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围21．已知函数()()22ln f x x a x a x =-++.（1）当2a <且0a ≠时，求函数()f x 的单调区间；（2）若4a =，关于x 的方程()0f x m -=有三个不同的实根，求m 的取值范围.22．已知函数2()ln 23f x x x =-+，()()4ln (0)g x f x x a x a '=++≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的方程()g x a =有实数根，求实数a 的取值范围.《导数的综合应用—方程的根问题》解析1.【解析】函数()y f x =有零点等价于方程x e x a -=有解，令()xg x e x =-，()1x g x e '=-，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0x <时，()0g x '<,函数()g x 单调递减，又(0)1g =，所以1a ≥.故选B2.【解析】由题意得ln x k x =，设ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=. 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数,且()0f x >. 所以()f x 有最大值1()f e e=，简图如下，由图可知，1k e<<0时符合题意.故选：C. 3.【解析】函数()3269f x x x x =-+的导数为：()23129f x x x '=-+，()0f x '>解得3x >或1x <，函数递增；()0f x '<解得13x <<，函数递减；即()1f 取得极大值4，()3f 取得极小值0；作出()f x 的图像，作出直线y a =，由图像可得当04a <<时，直线与()f x 的图像有3个不同的交点.故选：B 4.【解析】0(1)xxe ax a e a x +-=⇒=--，当1x =时，0x e =无实数解，不符合题意，故1x ≠.于是有1xe a x =--，令()1x ef x x =--，显然当1x >时，()0f x <；当1x <时，()0f x >.'2(2)()(1)x e x f x x -=--，当2x >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当1,12x x <<<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，因此当1x >时，2max ()(2)f x f e ==-，函数()f x 的图象一致如下图所示：因此要想0x e ax a +-=有实数根，只需方程组：1x e y x y a ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩有交点，如上图，则有实数a 的取值范围是(2,(0,)e ⎤-∞-⋃+∞⎦.故选：D5.【解析】对函数求导，2()330f x x -'==，∴1x =±，当1x <-时，()f x 单调递增，当11x -<<时，函数()f x 单调递减，当1x >时，函数()f x 单调递增，要有三个不等实根，则(1)130f a -=-+->，且(1)130f a =--<，解得22a -<<． 6.【解析】()1'x xf x e-=，当1x <时，()'0f x >，()f x 在()0,e 上为增函数；当1x >时，()'0f x <，()f x 在(),e +∞上为减函数；所以()f x 的图像如图所示又0x >时，()0f x >，又()f x 的值域为1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，所以当0t ≤或1t e=时，方程()t f x =有一个解，当10t e <<时，方程()t f x =有两个不同的解，所以方程1t m t-=即210t mt --=有两个不同的解()12110,,,0t t e e ⎛⎫⎧⎫∈∈-∞⋃⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，令()21g t t mt =--，故()0010g g e ⎧<⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1m e e <-，故选：D 7.【解析】令()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m ，即()()210f x m f x -⋅+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得()2f x m =或()1f x =-，则直线2y m =和直线1y =-与函数()y f x =的图象共有4个交点. 当1x ≥时，()ln x f x x =，()21ln x f x x-'=，令()0f x '=，得x e =. 当1x e ≤<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当x e >时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减. 函数()y f x =的极大值为()1f e e =，且当1x >时，()ln 0x f x x=>，如下图所示：由于关于x 的方程()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m 有4个不同的实数解，由图象可知，直线1y =-与函数()y f x =的图象只有一个交点，所以，直线2y m =与函数()y f x =的图象有3个交点，所以102m e<<，解得102m e <<.因此，实数m 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D. 8.【解析】由题意，函数的定义域为{}0x x >，又由()32ln 0f x x x x x ax =-+-=，得2ln a x x x =-+，则等价为方程2ln a x x x =-+，在()0,∞+上有两个不同的根，设()2ln h x x x x =-+，()212121x x h x x x x-++'=-+=，由()0h x '>得2210x x -++>得2210x x --<，得112x -<<，此时01x <<，函数()h x 为增函数，()0h x '<得2210x x -++<得2210x x -->，得21x <-或1x >，此时1x >，函数()h x 为减函数，即当1x =时，函数()h x 取得极大值，极大值为()1ln1110h =-+=，要使2ln a x x x =-+，有两个根，则0a <即可，故实数a 的取值范围是(),0-∞，故选D ．9.【解析】当0x ≤时，20x ≥；当0x >时，e 1x >，()f x ∴值域为[)0,+∞，()2f x a ∴=⎡⎤⎣⎦等价于()f x =()y f x =与y =在平面直角坐标下中作出()f x 图象如下图所示：1>，即1a >，120x x <<，21x ∴=2x e =()1t t =>，1x ∴=2ln x t =，12ln x x t ∴+=令())ln 1g t t t =>，则()122g t t t'==， ∴当()1,4t ∈时，()0g t '>；当()4t ,∈+∞时，()0g t '<，()g t ∴在()1,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，()()42ln 22g t g ∴≤=-，即()12,2ln 22x x +∈-∞-.故选：D .10.【解析】函数f （x ）＝lnx ﹣x 3与g （x ）＝x 3﹣ax 的图象上存在关于x 轴的对称点， ∴f （x ）＝﹣g （x ）有解，∴lnx ﹣x 3＝﹣x 3+ax ，∴lnx ＝ax ，即lnx a x =在（0，+∞）有解，令()lnx h x x =，则()1'lnxh x x-=. 当()()()0,,0x e h x h x '∈>，单调递增；()(),0,x e h x +∞'∈<， ()h x 单调递减.()()1max h x h e e ==，且()0,x h x →→-∞，所以1a e ≤.故选B.11.【解析】令ln x t x =，2ln 1ln ,x xy y x x -'==，当()0,0f x x e '><<，当()0,f x x e '<>， ()f x 递增区间是(0,)e ，递减区间是(,)e +∞，,()x e f x =取得极大值为1e，也为最大值，0,(),,()0x f x x f x →→-∞→+∞→，1,()0x f x >>，当0t ≤或1t e =时，方程ln x t x =有一个解，当10t e <<时，方程ln xt x =有两个解，当1t e >时，方程ln x t x=没有实数解，方程2ln ln 10x x m x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭有三个不同的解，则210t mt --=要有两个实数解，设为12,t t ，121t t =-，必有一个根小于0，只需另一根在1(0,)e，设2211()1,(0)1,()10m g t t mt g g e e e=--=-∴=-->，解得1m e e<-.故选:B.12.【解析】设()f x 的图像上与()g x 的图像上关于y x =对称的点为(),x m ，故2mm x ax x e⎧=-⎨=⎩，消去m 得到2x ax x e -=，两边取对数有：2ln x x ax =-，因为1x e e ≤≤，故2ln x x a x -=，令()2ln x x h x x-=，1x e e ≤≤，则()22ln 1x x h x x+-'=，1x e e ≤≤.令()2ln 1s x x x =+-. 因为()s x 为1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数，且当1x =时，()10s =,故当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0s x <，当(]1,x e ∈时，()0s x >；所以当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，()h x 为减函数；当(]1,x e ∈时，()0h x '>，()h x 为增函数；因为()11h =，()111,h e e h e ee e ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，所以()h x 的值域为11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，故11,a e e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦.故选:A.13.【解析】令()323f x x x a =--，则()236f x x x '=-由()0f x '>得2x >或0x <，由()0f x '<得02x <<所以()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减所以()f x 的极大值为()0f a =-，极小值为()24f a =-- 由方程3230x x a --=只有一个实数解可得函数()f x 只有一个零点所以()00f <或()20f >，解得0a >或4a故答案为：()(),40,-∞-⋃+∞14.【解析】由题意，关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，即函数y k =与函数2xy e x =-的图象有两个不同的交点，设()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，令()20xf x e '=-=，解得ln 2x =，所以函数的减区间为(,ln 2)-∞，增区间为(ln 2,)+∞，所以函数()f x 的最小值为(ln 2)22ln 2f =-，且当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞时，()f x →+∞，要使得2x e x k -=有2个不相等的实数根，所以22ln2k >-．即实数k 的取值范围是(22ln 2,)-+∞. 15.【解析】令()0f x =可得22ln a x x =-，令2()2ln g x x x =-，则2222()2x g x x x x-'=-=，因为当211x e 时，()0g x '，当1x e <时，()0g x '>，所以()g x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以当1x =时()g x 取得最小值(1)1g =，又224114,()2g g e e e e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以21()g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为()ag x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，所以4114a e <+.16.【解析】当0x >时()'1ln f x x ，=+令()'1ln =0f x x =+，得1=x e ，可知函数()f x 在10e ，⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 11=f x f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当0x <时，()12f x x x=++，可知函数()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，所以()()max =10f x f -=；由此作出函数()0120xlnx x f x x x x >⎧⎪=⎨++<⎪⎩，，的草图，如下图：有图像可知当()10f x e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，有四个不同的x 与f （x ）对应，令()t f x =，又方程()()22104f x af x e ⎡⎤++=⎣⎦有八个不等的实数根，所以22104t at e ++=在10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内有两个不等的实数根12,t t ，令()2214g t t at e =++，可得()222221114102101004a g e e e e ae a e g e ⎧⎛⎫-=++> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎪⎨⎪∆=->⎪⎪⎪=>⎪⎩，得154a e e <<. 故答案为15,4e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭17.【解析】（1）由题意2()3963(1)(2)f x x x x x '=-+=--，因为(,)x ∈-∞+∞，()f x m '≥，即239(6)0x x m -+-≥恒成立，所以8112(6)0m ∆=--≤，可得34m ≤-，所以m 的最大值为34-；（2）因为当1x <或2x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当12x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以当1x =时，()f x 取极大值5(1)2f a =-；当2x =时，()f x 取极小值(2)2f a =-；所以当(2)0f >或(1)0f <时，方程()0f x =仅有一个实根. 所以20a ->或502a -<即2a <或52a >，故a 的取值范围为()5,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. 18.【解析】（1）当x ＝2时，f （2）＝7，故切点坐标为（2，7），又∵f ′（x ）＝6x 2﹣6x ．∴f ′（2）＝12，即切线的斜率k ＝12，故曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ﹣7＝12（x ﹣2），即12x ﹣y ﹣17＝0，（2）令f ′（x ）＝6x 2﹣6x ＝0，解得x ＝0或x ＝1 当x ＜0，或x ＞1时，f ′（x ）＞0，此时函数为增函数，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，此时函数为减函数，故当x ＝0时，函数f （x ）取极大值3，当x ＝1时，函数f （x ）取极小值2，若关于x 的方程f （x ）+m ＝0有三个不同的实根，则2＜﹣m ＜3，即﹣3＜m ＜﹣2 故实数m 的取值范围为（﹣3，﹣2） 19.【解析】（1）m =2时，322()2,'()2,'(1)4,f x x f x f x x=-=+= 切点坐标为（1，0），∴切线方程为44440y x x y =-⇒--=；（2）m =1时，令1()()()2ln h x f x g x x x x=-=--, 则22212(1)'()10x h x x x x-=+-=≥，∴()h x 在（0，+∞）上是增函数又211().()(2)0,()h e h e h x e e=--+<∴在1(,)e e上有且只有一个零点 ∴方程()()f x g x =有且仅有一个实数根；（或说明(1)0h =也可以）（3）由题意知，2ln 2mmx x x--<恒成立，即2(1)22ln m x x x x -<+恒成立，`210x ->则当(1,]x e ∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立，令222ln ()1x x x G x x +=-，当(1,]x e ∈时，()()22221ln 4()01x x G x x'-+⋅-=<- 则()G x 在(1,]x e ∈时递减，∴()G x 在(1,]x e ∈时的最小值为24()1eG e e =-，则m 的取值范围是24,1e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭. 20.【解析】（1）当1a =时，()ln 1xf x e x =--，()1xf x e x'=-，()11f e =-，()11f e '=-．切线方程为()()()111y e e x --=--，化简得()e 1y x =-．曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()e 1y x =-．（2）()ln 1xf x ae x =--，定义域为()0,∞+，函数()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，即方程ln 10x ae x --=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个正根，即y a =与()ln 1x x g x e +=的图象在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，()1ln 1xx x g x e --'=，令()1ln 1x x x ϕ=--，()2110x x xϕ'=--<，所以()x ϕ在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()10ϕ=．所以当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，中()0x ϕ>，即()0g x '>，()g x 单调递增；当(]1,x e ∈时，()0x ϕ<，即()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()max 11g x g e ==．又知10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2e g e e=．结合y a =与()ln 1x x g x e +=图象可知，若有两个交点只需21e a e e≤<．综上可知满足题意的a 范围为21,ee e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 21.【解析】（1）函数()()22ln f x x a x a x =-++的定义域是()0,∞+，()()()()22122222a x x x a x a a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭'=-++==. ①当0a <时，()0f x '<在(0,1)上恒成立，()0f x '>在()1,+∞上恒成立，()f x 的增区间为[)1,+∞，()f x 的减区间为(]0,1.②当02a <<时，012a<<， ()0f x '>在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和(1,)+∞上恒成立，()0f x '<在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.∴02a <<时，()f x 的增区间为0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)1,+∞，()f x 的减区间为,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.综上所述，当0a <时()f x 的单调递增区间为[)1,+∞，单调递减区间为(]0,1；当02a <<时，()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)1,+∞，单调递减区间为,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）若4a =，()264ln f x x x x =-+，关于x 的方程()0f x m -=有三个不同的实根，等价于()y f x =的图象与直线y m =有三个交点.()()()2221426426x x x x f x x x x x---+'=-+==， ()0f x '>，由()0f x '>解得01x <<或2x <,由()0f x '<，解得12x <<.∴在(]0,1上()f x 单调递增，在[]1,2上()f x 单调递减，在[)2,+∞上()f x 单调递增，∴()24ln 28f =-，()15f =-，又∵当x 趋近于+∞时()f x 趋近于+∞，当x 在定义域()0,∞+内趋近于0时，lnx 趋近于-∞，∴()f x 趋近于-∞， ∴()y f x =的图象与直线y m =有三个交点时m 的取值范围是()4ln 28,5--.22.【解析】（1）依题意，得()()()21212114'4x x x f x x x x x +--=-==，()0,x ∈+∞.令()'0f x >，即120x ->，解得102x <<；令()'0f x <，即120x -<，解得12x >，故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由题得，()()'4g x f x x alnx =++ 1alnx x=+. 依题意，方程10alnx a x +-=有实数根，即函数()1h x alnx a x =+-存在零点，又()2211'a ax h x x x x -=-+=，令()'0h x =，得1x a=. 当0a <时，()'0h x <，即函数()h x 在区间()0,+∞上单调递减，而()110h a =->，1111111a a h e a a a e --⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111110ae e -=-<-<，所以函数()h x 存在零点；当0a >时，()'h x ，()h x 随x 的变化情况如表：所以11h a aln a alna a a ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭为函数()h x 的极小值，也是最小值. 当10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即01a <<时，函数()h x 没有零点；当10h a ⎛⎫≤⎪⎝⎭，即1a ≥时，注意到()110h a =-≤，()110h e a a e e =+-=>，所以函数()h x 存在零点.综上所述，当()[),01,a ∈-∞⋃+∞时，方程()g x a =有实数根.。

高三数学综合练习二.doc

高三数学综合练习二一、选择题（每小题5分，共50分） 1．函数)23(log 21-=x y 的定义域是（D ）A ．),1[+∞B ．),32(+∞C ．]1,32[D ．]1,32(2．设集合}2|{},0|{A 2<=<-=x x B a x x ，若A B A = ，则实数a 的取值范围是（B ） A ．4<a B ．4≤a C ．40≤<a D ．40<<a 3．对于函数)0(sin 1sin )(π<<+=x xx x f ，下列结论正确的是（B ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值4．已知映射B A f →:，其中集合}4,3,2,1,1,2,3{---=A ，集合B 中元素都是A 中元素在映射f 下的像，且对任意的A a ∈，在B 中与它对应的元素是||a ，则集合B 是（） A ．}4,3,2,1,1,2,3{--- B ．}3,2,1{ C ．}4,3,2,1{ D ．}1,2,3{--- 5．在下列函数中，定义域和值域不同的函数是（D ） A ．31y x = B ．21y -=xC ．35y x =D ．32y x =6．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值、最小值分别是（C ） A ．1,1- B ．17,1- C ．17,3- D ．19,9- 7．函数))((R x x f ∈的图象如右图所示，则当10<<a 时，函数)()(x f a x g =的单调减区间是（A ）A ．]21,0[B ．),21[)0,(+∞-∞和 C ．]1,[a D ．]1,[+a a8．二次函数满足)2()2(x f x f -=+，又3)0(,1)2(==f f ，若在],0[m 有最小值1，最大值3，则m 的取值范围是（D ）A ．20≤<mB ．2≥mC ．0>mD ．42≤≤m112xy9．函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切，则a 等于（B ） A ．81 B ．41 C ．21D ．1 10．设数集}31|{},43|{M n x n x N m x m x ≤≤-=+≤≤=，且M 、N 都是集合}10|{≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合}|{b x a x ≤≤的“长度”，那么N M 的“长度”的最小值是（C ） A ．31 B ．32 C ．121 D ．125二、填空题（每小题5分，共20分）11．函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的值域是。

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尚择优选 1 20KK届高三理科数学小综合专题练习——应用问题东莞中学松山湖学校温冬生老师提供一、选择题 1．某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．用纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是

2．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z A．4650元 B．4700元 C．4900元 D．5000元 3．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天

的维修保养费为4910n元（n∈NK），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少）为止，一共使用了w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A． 600天 B．800天 C．1000天 D．1200天 4．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 A．20KK米 B．1990米 C．1900米 D．1800米 5．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时

间t（单位：年）满足函数关系：3002tMtM，其中0M为0t时铯137的含量，已知30t时，铯137的含量的变化率是10ln2（太贝克/年），则60M A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克 C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克二、填空题 6．在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若75CAB，60CBA，则A、C两点之间的距离是千米． 7．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心

A B C D

Otd0d0tOtd0d0tOtd0d0tOt

0t尚择优选

2 的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为． 8．里氏震级M的计算公式为：0lglgMAA，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍． 9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升． 10．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机地选择了50位老人进行调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：序号（i）分组睡眠时间组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi） 1 [4，5） 4.5 6 0.12 2 [5，6） 5.5 10 0.20 3 [6，7） 6.5 20 0.40 4 [7，8） 7.5 10 0.20 5 [8，9] 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是．三、解答题 11．如图，A地到火车站共有两条路径1L和2L，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60

1L的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2

2L的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用P表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求P的分布列和数学期望． 12．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x 尚择优选 3 (单位：元/千克)满足关系式21063ayxx，其中36x，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求a的值； (2) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 13．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0200x时，求函数vx的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）fxxvx可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 14．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且2lr．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为3cc．设该容器的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r． 15．如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，

其中1tan3，在距离O地5a（a为正数）公里北偏东

角的N处住有一位医学专家，其中3sin5，现有110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时.

（1）求S关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时. 16．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜尚择优选 4 边的两个端点，设AE=FB=Pcm.．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问P应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问P应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 17．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（1）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？ 18．某城市20KK年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少万辆? 20KK届高三理科数学小综合专题练习——应用问题参考答案一、选择题 1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 二、填空题

6．6 7．1316 8．6，10000 9．6766 10．6. 42 三、解答题 11．解（1）1,2iAi表示事件“甲选择路径1,2iLi时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径1,2iLi时，50分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概率可得： 10.10.20.30.6PA，20.10.40.5PA.

∵12PAPA, ∴甲应选择1L． 10.10.20.30.20.8PB，20.10.40.40.9PB.

∵12PBPB, ∴乙应选择2L．（2）X的取值为：0,1，2． A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）

EFAB

y5,0B

AO

5,0C

P 尚择优选

5 知0.6PA，0.9PB，又由题意知A，B独立． 00.40.10.04PXPABPAPB

10.40.90.60.10.42PXPABABPAPBPAPB

20.60.90.54PXPABPAPB

∴ X的分布列为： P 0 1 2

P 0．04 0．42 0．54

00.0410.4220.541.5.EX

12．解：(1)因为5x时11y，所以10112a ∴2a；

(2)由(1)知该商品每日的销售量221063yxx，所以商场每日销售该商品所获得的利润： 222310621036,363fxxxxxxx

；

22/1062363046fxxxxxx

．令/0fx得4x．

当34x时，/0fx，当46x时，/0fx 函数fx在3,4上递增，在4,6上递减，所以当4x时函数fx取得最大值442f

答：当销售价格4x时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42． 13．解：（1）由题意：当020x时，60vx；当20200x时，设vxaxb，显然vxaxb在

20,200是减函数，由已知得20002060abab，解得132003ab．故



60, 0201200, 202003xvxxx







．