在平面上取直线和点自学版(选择性自学)
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册知识点归纳含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！高中数学选择性必修第一册必备知识手册2024一轮复习【空间向量与立体几何】1、O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a r ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数l ，使得OP a l =uuu r r 。
我们把与向量a r 平行的非零向量称为直线l 的方向向量。
这样直线l 上任意一点都可以由直线l 上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。
2、如果表示向量a r 的有向线段OA uuu r 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a r 平行于直线l 。
教学设计 高中数学人教A版选择性必修第一册1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
1.4.1第1课时空间中点、直线和平面的向量表示一、教学目标1. 能用向量语言描述点、直线和平面；2. 理解直线的方向向量和平面的法向量.二、教学重难点1. 教学重点理解直线的方向向量和平面的法向量.2. 教学难点建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.三、教学过程（一）新课导入我们已经学习了空间向量的相关概念及运算，那么空间向量有什么应用呢？本节我们将从空间中点、直线和平面的向量表示入手，研究空间向量在立体几何中的应用.（二）探索新知问题1如何用向量表示空间中的一个点？如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.问题2空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用向量表示直线l？用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点.如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取AB=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得AP t=a，即AP t AB=.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+a，①OP OA t将AB=a代入①式，得OP OA t AB=+.②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.证明上述结论：设l是空间中的任意一条直线，点M为其上一点，点P为其上任意一点，b 为其方向向量，，，OP OM tb bMP t OP OM t∴=∴-=∴=+b，∴直线上任意一点P能用直线上一点M及直线的方向向量b表示，且一个实数t对应直线上唯一一个点P，∴空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.对直线的方向向量的理解：（1）在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备两个条件：①不能为零向量；②表示方向向量的有向线段所在的直线与该直线平行或重合.（2）一条直线的方向向量有无数个.（3）直线的方向向量是空间中直线向量表示的关键量，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定，也就是说，给定空间直线上一点A和直线的方向向量a，就可以确定唯一一条过点A的直线.问题3一个定点和两个定方向能否确定一个平面？一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？（学生以小组为单位讨论探究，每组选出代表回答，教师引导、讲解）平面α可以由α内两条相交直线确定.如下图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y )，使得OP x y =+a b .这样，点O 与向量a ，b 不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点.如下图，取定空间任意一点O ，可以得到，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP OA xAB y AC =++.③我们把③式称为空间平面ABC 的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.给定空间一点A 和一条直线l ，则过点A 且垂直于直线l 的平面是唯一确定的.由此可以利用点A 和直线l 的方向向量来确定平面.如下图，直线l α⊥.取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{|0}P AP =a .（三）例题精析例1 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1432AB BC CC ===，，，M 是AB 的中点.以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求平面11BCC B 的法向量； （2）求平面1MCA 的法向量.解：（1）因为y 轴垂直于平面11BCC B ， 所以1(010)=n ，，是平面11BCC B 的一个法向量. （2）因为1432AB BC CC ===，，，M 是AB 的中点， 所以1M C A ，，的坐标分别为32004()()(3)002，，，，，，，，. 因此1(320)(022)MC MA =-=-，，，，，. 设2()x y z =n ，，是平面1MCA 的法向量，则221MC MA ⊥⊥n n ，. 所以221320220MC x y MA y z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩n n ，所以23x z y z⎧=⎪⎨⎪=⎩.取3z =，则23x y ==，.于是2(233)=n ，，是平面1MCA 的一个法向量. （四）课堂练习1.若点在直线上，则直线一个方向向量为( ) A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，可得直线的一个方向向量.又， 所以向量是直线的一个方向向量.故选A.2.如图，在空间直角坐标系中，为正方体，给出下列结论：①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为，③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为.其中正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个(1,0,1)(1,4,7)A B -，l l (1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(3,2,1)l ()2,4,6AB =11(2,4,6)(1,2,3)22AB ==()1,2,3l 1111ABCD A B C D-1DD (0,0,1)1BC (0,1,1)11ABB A (0,1,0)1B CD (1,1,1)【答案】C【解析】；；直线平面， ；点的坐标为，与平面不垂直，∴④错.故选C. 3.在中，，设是平面内任意一点. （1）求平面的一个法向量； （2）求满足的关系式.解：（1）设平面的一个法向量， ，，，令，则，所以平面的一个法向量为.（2）因为点是平面内任意一点，， ，，故满足的关系式为. （五）小结作业 小结：1. 直线的方向向量及其求法；2. 平面的法向量及其求法. 作业： 四、板书设计 1. 直线的方向向量； 2. 平面的法向量.111//(0,0,1)DD AA AA =，111//(0,1,1)BC AD AD =，AD ⊥11ABB A (0,1,0)AD =1C (1,1,1)1AC 1B CD ABC △()()()1,1,23,3,13,1,3A B C -，，(),,M x y z ABC ABC , , x y z ABC (,,)a b c =n (2,4,1)(2,2,1)AB AC =-=，240220AB a b c AC a b c ⎧=+-=⎪∴⎨=++=⎪⎩n n 32c b a b =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩2b =3,2a c =-=ABC (3,2,2)=-n (,,)M x y z ABC AM ∴⊥n 3(1)2(1)2(2)0x y z ∴--+++-=32210x y z ∴---=,,x y z 32210x y z ---=。
高二下学期数学苏教版选择性必修第二册6.3.1直线的方向向量与平面的法向量课件
即－ －xx22＋ ＋y22z＝2＝00，，
取 x2＝y2＝2，z2＝1，则 m＝(2,2,1)，
所以平面 A1BC 的一个法向量为(2,2,1)．
解析
解析
检测反馈
1. (2020·湖南张家界期末)已知直线 l 的一个方向向量 m＝(2，－1,3)，且直线 l 过
A(0，y,3)和 B(－1,2，z)两点，则 y－z 等于( )
A. 0
B. 1
3
C. 2
D. 3
【解析】 因为 A(0，y,3)和 B(－1,2，z)，所以A→B＝(－1,2－y，z－3)．因为直线 l
直线 l 上的非零向量 e 以及与 e 共线的非零向量叫作直线 l 的方向向量 方向向量 平面的 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α，那么称向量 n 垂 法向量 直于平面 α，记作 n⊥α.此时，我们把向量 n 叫作平面 α 的法向量
(2) 用向量表示直线的位置：
条件
直线 l 上一点 A 直线的方向向量
6．3 空间向量的应用 6．3.1 直线的方向向量与平面的法向量
目 录
Contents
学习目标 活动方案 检测反馈
学习目标
1. 理解直线的方向向量和平面的法向量． 2. 会用待定系数法求平面的法向量．
活动方案
活动一 理解直线的方向向量和平面的法向量的概念 1. 直线的方向向量与平面的法向量 (1) 定义： 直线的
直线的点斜式与斜截式方程 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册 - 副本
横坐标都等于x0
x x0 0 x x0
直线y轴的方程:
x=0
运用规律、解决问题
问题7:直线l经过点P0(－2, 3)，且倾斜角＝45º，
求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
y
解: k tan 450 1
P1 4
P0
3
y3 x2
l
2
1
令y 4得x 1
-2 -1 O
x
1
45°
同桌两人互相给对方设定直线上定点及直 线斜率，写出两个直线的点斜式方程。
：直观想象、数学运算、数形结合
创设情境、引入新课
yP
x
问题1：在建造悬臂吊桥时也用到了直线方程的知识。 根据之前所学习的直线斜率表达式，我们知道，这条直 线上任意一点P的坐标（x,y）与点的 坐P0 标 （x和0,y斜0）率k 之间的关系是完全确定的，那么，这一关系如何表示呢？
创设情境、引入新课
变式训练4：
已知直线l的方程为：y+1=kx-2k-2，则 直线l必过点的坐标为：_________
变练演编、深化提高
（二）直线的斜截式方程
1．(多选题)下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方
程的是( )
A．x＝3
B．y＝－5
C．2y＝x
D．y＝4x－1
BD [根据直线的斜截式方程的特点知，y＝－5，y＝4x－1是
y
P0(x0,y0)
y0
l
x O
直线上任意点 纵坐标都等于y0
l与x轴平行或重合 倾斜角为0° 斜率 k=0
y y0 0 (x x0 ) y y0 0 y y0
直线x轴的方程:
y=0
y
l
直线的一般式方程+教学设计 高二上学期数学湘教版(2019)选择性必修第一册
课题名称：数学选择性必修第1册第2章2.2.3直线的一般式方程教学方法：“一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式.（一体二化三导四学：以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习）教学目标：1.进一步巩固直线方程的几种表示形式；2.了解直线的一般方程及其应用；3.体会数形结合，分类讨论, 特殊到一般等数学思想.教学重点、难点：教学重点： 1.直线的一般方程；教学难点：会根据题目所给条件求直线的两点式方程.教学过程【教学过程与设计】整个教学过程是由问题链驱动的，共分为五个环节：创设情境启迪思维深入探究获得新知课堂实练巩固提高变式训练提炼方法小结反思【教学程序与设计意图】（一）知识回顾——启迪思维问题一：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式等基本形式，这些方程的外在形式共同点?【设计意图】复习引入，既回顾所学的知识，又为新的知识埋下伏笔。
抓住了学生的注意力，把学生的思维引到直线的方程上来，进入第二环节.（二）深入探究——获得新知新知讲解：问题2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗？关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不能同时为0）一定能表示一条直线吗？关于x,y的二元一次方程都表示一条直线，平面内所有的直线都可以用二元一次方程来表示，我们也把形如Ax+By+C=0（A,B不能同时为0）的方程叫做直线的一般式方程，简称一般式.【设计意图】这一环节首先让学生自主思考，然后小组合作交流探究，学生根据已有的知识探究新的知识获得成功的体验感的同时，又培养学生严谨的求学态度。
（三）课堂实练——巩固提高I．直接应用内化新知1.直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（）A. A·B>0,A·C>0B. A·B>0,A·C<0C. A·B<0,A·C>0D. A·B<0,A·C<02.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且│PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是( )A.2y-x-4=0B.2x-y-1=0C.x+y-5=0D.2x+y-7=0【设计意图】在这里，这题比较简单，目的是先让学生熟练掌握一般式方程的理解.II．灵活应用提升能力例1：已知直线l的方程为3x+4y−12=0.(1)求直线l的斜率;(2)求直线l与两条坐标轴所围成的三角形的面积.(3)求过点（3,2）且倾斜角为直线l的倾斜角的一半的直线l’的一般式方程.【设计意图】在这个环节，进一步加强对一般式的理解，用一题多解的方式使学生不仅收获了数学知识和方法，还使学生的逻辑推理能力和解题能力得到一定的提升。
直线的点斜式方程 课件(共15张PPT)2024~2025学年高二数学人教A版选择性必修第一册
(2)若l1 ⊥ l2 ，则k1 k 2 = −1；反之，若k1 k 2 = −1，则l1 ⊥ l2 .
由例3我们得到，对于直线 l1 : y = k1 x + b1 ， l2 ：y = k 2 x + b2 ，
l1 //l2 ⟺ k1 = k 2 ，且b1 ≠ b2 ；
(2)直线的斜截式方程.
作者编号：32101
当堂检测
1.过点(-1，-2)且斜率为3的直线的点斜式方程是 y+2=3(x+1) .
2.与直线y=3x+1垂直，且过点(2，-1)的直线的斜截式方程是( B )
A.y=-3x+3
1 1
B.y=-3x-3
C.y=3x-3
D.y= x+
1
3
1
3
3.直线l1 ：y＝－x＋1与直线l2 ：y＝(m2 －2)x＋2m平行，则满足条件的m
y2 y1
（3）两点间斜率公式： k
( x1 x2 )
x2 x1
二、直线的关系
（1）平行： l1 // l2 k1 k2 或斜率都不存在
（2）垂直： l1 l2 k1 k2 1
或一条斜率不存在，另一条斜率为0
作者编号：32101
新课讲授
问题1：给定一点和一个方向就可以确定一条直线，那么直线上的任意一点
＝
作者编号：32101
±1
.
A.y＝ 3x＋2
B.y＝－ 3x＋2
C.y＝－ 3x－2
D.y＝ 3x－2
分析：∵直线l的倾斜角为60°，
∴k＝tan 60°＝ 3，
【新教材精创】2.1.1 倾斜角与斜率(教学设计)-人教A版高中数学选择性必修第一册
2.1.1 倾斜角与斜率本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习直线倾斜角与斜率。
直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发,引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定,是今后学习直线方程的必备知识。
它不仅在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用,而且通过本节课的学习,能够培养学生观察、分析、猜想、抽象概括等数学基本思维方法,并初步体会坐标法的思想。
1.教学重点:理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系2.教学难点:过两点的直线斜率的计算公式.多媒体一、情境导学交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A 点前进到B 点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB 的值为负实数),则坡度k=上升高度水平距离=DB AD.k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢? 二、探究新知一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定 当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法 α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可点睛:倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 1.下列图中表示直线倾斜角为( )通过生活中的现实情境,提出问题,帮助学生建立倾斜角与斜率的概念,引导学生回顾初中坡脚概念及三角函数知识,为直线倾斜角和斜率作知识上的准备。
学案8：2.1.1 平 面
2.1.1平面【学习目标】掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点线共面问题．学会运用平面的性质证明点共线、线共点以及线共面问题．加强由实际模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力．【自学导引】1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号：____________________________________________________________________. 2．公理2：过不在一条直线上的三点，__________一个平面．3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．符号：__________________________________________________________________.4．用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：________________.(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________________.(3)直线l在面α内也在面β内：________________.(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：________________________________________.【对点讲练】知识点一点、线共面例1已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、l有且只有一个平面．点评证明多线共面的一种方法是先由公理2确定一个平面，再利用公理1依次证明其余各线也在这个平面内．另一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再让这两个面重合．变式训练1两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内．知识点二证明多点共线问题例2已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．点评证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．方法二的思想为点P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．变式训练2如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．知识点三证明线共点问题例3在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．点评证明若干条线共点，一般可先证其中两条相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论．变式训练3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．【课堂小结】1．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据．2．注意事项(1)应用公理2时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．(2)在立体几何中，符号“∈”与“”的用法与读法不要混淆．(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化.【课时作业】一、选择题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个2．点A在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为()A．A∈l，l∈αB．A∈l，lαC．A l，l∈αD．A l，lα3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈βaβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈βα∩β＝MNC．A∈α，A∈βα∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线α、β重合5．平面α∩平面β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β，且C l，AB∩l＝R，过A、B、C三点确定平面γ，则β∩γ等于()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上都不对二、填空题6．下列命题中，正确的是________．(填序号)①若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点；②若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线；③若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于直线l，且A在l上；④两条直线不能确定一个平面．7．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为_______________________________________________；(2)图②可以用符号语言表示为_______________________________________________．8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________(填序号)．①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1四点共面；③A、O、C、M四点共面；④B、B1、O、M四点共面．三、解答题9.如图三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．10．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．【参考答案】【自学导引】1．两点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈αlα2．有且只有3．一个一条P∈α，且P∈βα∩β＝l，且P∈l 4．(1)A∈α，Aβ(2)A∈α，Bα且A∈l，B∈l(3)lα且lβ(4)mα，nα且m∩n＝A【对点讲练】例1证明方法一a，b，l共面．方法二∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.a∩l＝A，直线a，l确定一个平面β.又∵B∈α，B∈β，aα，aβ，∴平面α与β重合．故直线a，b，l共面．变式训练1已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．证明方法一(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l 2α，∴B∈α，同理可证C∈α.，C∈l3，∴l3α.又∵B∈l∴直线l1、l2、l3在同一平面内．方法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l 2，l2α，∴A∈α.∵A∈l 2，l2β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．例2证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC面APR.∵Q∈BC，∴Q∈面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．变式训练2证明∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．例3 证明 因为E ，G 分别为BC ，AB 的中点，所以GE ∥AC .又因为DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，所以FH ∥AC 且HF ＝23AC . 从而FH ∥GE .故E ，F ，H ，G 四点共面．所以四边形EFHG 是一个梯形，GH 和EF 交于一点O .因为O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内，所以O 在这两个平面的交线上．而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条，所以点O 在直线BD 上． 这就证明了GH 和EF 的交点也在BD 上，所以EF ，GH ，BD 交于一点． 变式训练3 证明 连接EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF 12A 1B . 又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面，且EF ＝12D 1C ， ∴D 1F 与CE 相交于点P .又D 1F 平面A 1D 1DA ，CE 平面ABCD .∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点．又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ，根据公理3，可得P ∈DA ，即CE 、D 1F 、DA 相交于一点．【课时作业】1．A 2.B 3.D 4.C 5.C 6.①②③7．(1)α∩β＝l，mα，nβ，l∩n＝P，m∥l(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B8．④9．证明∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴aγ，bγ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵aβ，bα，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点．10．证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰，∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M.又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．。