幂函数练习题
求幂函数解析式的基本方法及练习题
求幂函数解析式的基本方法及练习题
幂函数是数学中的一种基本函数类型，可以表示为y = x^n的形式，其中x是自变量，n是指数。
求幂函数的解析式可以通过以下几种基本方法来进行：
1. 知道两个点的坐标
如果我们知道幂函数通过两个点的坐标，可以使用以下方法来求解解析式：
- 设两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)
- 利用幂函数的解析式y = x^n来代入两个点的坐标
- 解方程组，得到n的值
- 将n的值代入解析式，即得到幂函数的解析式
2. 知道函数的性质
有些幂函数具有特定的性质，我们可以利用这些性质来求解解析式：
- 幂函数y = x^n从x轴正半轴延伸到x轴负半轴，当n为正偶数时，函数图像关于y轴对称，当n为正奇数时，函数图像关于原点对称
- 当n > 0时，随着x的增大，y的值也增大；当n < 0时，随着x的增大，y的值逐渐减小
- 幂函数的图像经过点(1, 1)，可以利用此点来确定函数的基本形式
练题
1. 求通过点(2, 16)的幂函数的解析式
2. 求解析式为y = x^3的幂函数的图像关于y轴的对称点
3. 求解析式为y = x^2的幂函数，使其经过点(2, 12)。
高中数学必修1 必修一幂函数专项练习题
必修一幂函数专项练习题1. 下列命题中正确的是（ ）A. 当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线B. 幂函数的图象都经过（0，0）、（1，1）两点C. 若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则在定义域内y 随x 的增大而增大D. 幂函数的图象不可能在第四象限 2. 幂函数y ＝x 43，y ＝x 31，y ＝x －43的定义域分别是M 、N 、P ，则（ ）A. M ⊂N ⊂PB. N ⊂M ⊂PC. M ⊂P ⊂ND. A 、B 、C 都不对3. （湖南高考，文）函数f （x ）＝x 21-的定义域是（ ） A. （－∞，0］ B. ［0，＋∞） C. （－∞，0） D. （－∞，＋∞）4. （唐山十县联考）函数y ＝（－21+x ）－21的定义域是（ ） A. （－∞，－1） B. （－∞，－1］ C. （1，＋∞） D. ［1，＋∞） 5. （江西高考，理）已知实数a 、b 满足等式（21）a ＝（31）b ，下列五个关系式： ①0<b<a ；②a<b<0；③0<a<b ；④b<a<0；⑤a ＝b ，其中不可能成立的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 下列函数中，是幂函数的为（ ） A. y ＝x x B. y ＝3x 21 C. y ＝x 21＋1 D. y ＝x 2-7. 若T1＝（21）32，T 2＝（51）32，T 3＝（21）31，则下列关系式正确的是（ ） A. T 1<T 2<T 3 B. T 3< T 1< T 2 C. T 2< T 3< T 1 D. T 2< T 1<T 38. （经典回放）对于幂函数f （x ）＝x 54，若0<x 1<x 2，则f （221x x +），x x f x f )()(21+的大小关系是（ ）A. f （221x x +）>x x f x f )()(21+ B. f （221x x +）<x x f x f )()(21+C. f （221x x +）＝x x f x f )()(21+D. 无法确定9. 已知函数f （x ）＝x a ＋m 的图象经过点（1，3），又其反函数图象经过点（10，2），则f （x ）的解析式为_________。
高中数学必修一同步练习题库：幂函数(填空题：容易)
幂函数（填空题：容易）1、若<,则a的取值范围是.2、幂函数的图像经过点，则的值为 .3、幂函数的图像经过点（2,4），则=4、已知幂函数的图象过点，则k＋α＝_______．5、已知幂函数经过点，则_________．6、已知幂函数的图象过点，则__________．7、已知幂函数的图象经过点，则__________.8、若幂函数的图象经过点，则的值是________；9、已知幂函数的图象过点，则__________．10、已知幂函数的图象经过点，则__________．11、与的大小关系是________________12、已知幂函数的图象经过点(2,)，则这个函数的解析式为________13、已知幂函数的图像经过点，则的值为__________．14、幂函数的图像经过点，则的解析式是____________.15、已知幂函数的图像经过点，则的值为__________．16、已知幂函数的图像经过点,则实数___________.17、若幂函数的图象不经过原点，则的值是__________．18、若真函数的图像过点，则________．19、若幂函数在区间上是增函数，则实数的值为_______20、已知幂函数的图象过点，则__________．21、幂函数的图象经过点（4，2），那么的值是22、已知幂函数的图象过点，则它的解析式为．23、已知幂函数的图象过点,则__________．24、已知幂函数的图像过点，则．25、已知幂函数的图像经过点,则实数___________.26、若幂函数的图象经过点，则．27、幂函数过点，则_____________．28、已知幂函数y=f（x）的图象过点= ．29、已知幂函数为奇函数，且在上是减函数，则．30、已知幂函数的图象过，则．31、已知幂函数的图象过点，则为．32、已知幂函数f（x）的图象经过（3，27），则f（2）＝________．33、幂函数的图象经过点，则的值为34、已知幂函数的图象过点,则=35、已知函数f(x)＝，其中a∈R.若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使得f(x2)＝f(x1)成立，则实数k的取值范围是________．36、设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为 .37、幂函数的图像经过点，则的值为 .38、已知幂函数的图象过点，则.39、若幂函数的图象经过点，则的值是 .40、幂函数的图像经过，则= ________．41、已知幂函数的图像经过点，则的值为__________．42、已知幂函数的图象过点 .43、当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．44、已知幂函数的部分对应值如图表：则不等式的解集是45、若幂函数的图像经过点,则它在A点处的切线的斜率为 .46、已知幂函数的图象过点，则= ；47、若幂函数的图象经过点（，），则该函数在（0，上是函数（只填单调性）．48、幂函数满足，则曲线与直线围成的封闭图形的面积为___________．49、幂函数的图象过点，则 .50、已知幂函数过点，则的值为 ;51、幂函数的图像过点，则=_______．52、幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过，则f(x)的解析式是．53、已知幂函数的图像过点，则此幂函数的解析式是_____________.54、幂函数=（m2-m-5)x2m-3 的图象在第一象限内递减，则m的值是。
幂函数与指数函数练习题及解答
幂函数与指数函数练习题及解答1. 解答下列方程：(1) 3^x = 81解析：将81写成3的幂次形式，即81=3^4。
因此，原方程可化为3^x = 3^4，得到x=4。
(2) 2^(3x-1) = 8解析：右侧的8可以写成2的幂次形式，即8 = 2^3。
因此，原方程可化为2^(3x-1) = 2^3，进一步化简为3x-1=3，解得x=2。
2. 求下列幂函数的定义域和值域：(1) f(x) = 2^x解析：对于幂函数，底数不能为负数，并且指数x可以取任意实数。
因此，该函数的定义域为R（实数集）。
而值域是大于0的实数集，即(0,+∞)。
(2) g(x) = (1/3)^x解析：类似地，对于该幂函数，底数不能为0，并且指数x可以取任意实数。
因此，定义域为R（实数集）。
值域是大于0小于1的实数集，即(0,1)。
3. 解答下列指数函数的性质：(1) 若f(x) = 2^x，求f(-3)的值。
解析：将x=-3代入指数函数，得到f(-3) = 2^(-3) = 1/2^3 = 1/8。
(2) 若g(x) = 5^(2x+1)，求g(0)的值。
解析：将x=0代入指数函数，得到g(0) = 5^(2*0+1) = 5^1 = 5。
4. 比较下列函数的增减性：(1) f(x) = 2^x解析：对于幂函数f(x) = 2^x，当x增大时，函数值也增大，即f(x)随着x的增大而增大。
因此，f(x)是递增函数。
(2) g(x) = 3^(-x)解析：对于指数函数g(x) = 3^(-x)，当x增大时，函数值变小，即g(x)随着x的增大而减小。
因此，g(x)是递减函数。
总结：幂函数和指数函数的练习题及解答主要包括方程的求解、定义域和值域的求取，以及函数的增减性的分析。
深入理解幂函数和指数函数的特点和性质，对于解决相关数学问题和题目有着重要的帮助。
希望通过以上练习题和解答，能够进一步巩固和提高对幂函数和指数函数的理解和应用能力。
高中数学必修一同步练习题库：幂函数(填空题：较易)
幂函数（填空题：较易）1、若幂函数的图像不过原点，则实数的值为_______.2、已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，则________．3、幂函数在（0，+）上是增函数，则k＝_________4、若一个幂函数图象过点，则．5、若一个幂函数图象过点，则．6、设，则使幂函数为偶函数，且在是减函数的值是____________．（写出所有符合条件的值）7、幂函数在区间上是增函数，则．8、设函数，则使得成立的的取值范围是_______________.9、若，则满足的取值范围是 .10、若函数是幂函数，且满足，则 __________，函数过定点__________．11、如果幂函数的图象过点，那么__________．12、已知幂函数的图象过点，则________________．13、已知关于的函数是幂函数，则__________．14、若幂函数y =的图象经过点（9,）, 则f(25)的值是_________.15、幂函数经过，则__________．16、已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：则不等式f(|x|)≤2的解集是________．17、函数y＝(m－1)x为幂函数，则该函数为________(填序号)．①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．18、已知幂函数的图象过点，则_________。
19、若幂函数的函数图象经过原点则__________.20、已知幂函数在上是减函数，则实数_______.21、幂函数的图像过点，那么的值为 ________.22、若幂函数为其定义域上的单调递增函数，则实数的值为________．23、幂函数经过点，则此幂函数的解析式为_______.24、幂函数的图像过点，则_________.25、已知幂函数的图像过点，则的值为________．26、函数是幂函数，且当时，是增函数，则__________．27、当时，幂函数为减函数，则实数的值为__________．28、若成立，则的取值范围是___________。
幂函数练习题及答案解析
1．下列幂函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝3xC ．y ＝x 2D ．y ＝x －1 解析：选C.y ＝x 2，定义域为R ，f (－x )＝f (x )＝x 2.2．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a 的大小关系是( )A ．5－a ＜5a ＜0.5aB ．5a ＜0.5a ＜5－aC ．0.5a ＜5－a ＜5aD ．5a ＜5－a ＜0.5a解析：选B.5－a ＝(15)a ，因为a ＜0时y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a .3．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A.在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.4．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－13)n ，则n ＝________.解析：∵－12<－13，且(－12)n >(－13)n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数．又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1或n ＝2. 答案：－1或21．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是() A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4)解析：选A.y ＝(x ＋4)2开口向上，关于x ＝－4对称，在(－∞，－4)递减．2．幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选C.幂函数为y ＝x －2＝1x 2，偶函数图象如图．3．给出四个说法：①当n ＝0时，y ＝x n 的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； ③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y ＝x n 在第一象限为减函数，则n ＜0. 其中正确的说法个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.显然①错误；②中如y ＝x －12的图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.4．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.∵f (x )＝x α为奇函数，∴α＝－1，13，1,3.又∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数， ∴α＝－1.5．使(3－2x －x 2)－34有意义的x 的取值范围是( ) A ．RB ．x ≠1且x ≠3C ．－3＜x ＜1D ．x ＜－3或x ＞1解析：选C.(3－2x －x 2)－34＝14(3－2x －x 2)3，∴要使上式有意义，需3－2x －x 2＞0， 解得－3＜x ＜1.6．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：选A.m 2－m －1＝1，得m ＝－1或m ＝2，再把m ＝－1和m ＝2分别代入m 2－2m －3＜0，经检验得m ＝2.7．关于x 的函数y ＝(x －1)α(其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，12)的图象恒过点________．解析：当x －1＝1，即x ＝2时，无论α取何值，均有1α＝1， ∴函数y ＝(x －1)α恒过点(2,1)． 答案：(2,1)8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y ＝x α在(0，＋∞)为减函数． 答案：α＜09．把(23)－13，(35)12，(25)12，(76)0按从小到大的顺序排列____________________．解析：(76)0＝1，(23)－13＞(23)0＝1，(35)12＜1，(25)12＜1， ∵y ＝x 12为增函数，∴(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23)－13. 答案：(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23)－1310．求函数y ＝(x －1)－23的单调区间．解：y ＝(x －1)－23＝1(x －1)23＝13(x －1)2，定义域为x ≠1.令t ＝x －1，则y ＝t －23，t ≠0为偶函数．因为α＝－23＜0，所以y ＝t －23在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．又t ＝x－1单调递增，故y ＝(x －1)－23在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增．11．已知(m ＋4)－12＜(3－2m )－12，求m 的取值范围． 解：∵y ＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且为减函数． ∴原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4＞03－2m ＞0m ＋4＞3－2m ，解得－13＜m ＜32.∴m 的取值范围是(－13，32)．12．已知幂函数y ＝x m 2＋2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．解：由幂函数的性质可知m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1， 又∵m ∈Z ，∴m ＝－2，－1,0.当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵－3＜0，∴y ＝x －3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，又∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，∴y ＝x －3是奇函数．当m ＝－1时，y ＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (－x )＝(－x )－4＝1(－x )4＝1x4＝x －4＝f (x )， ∴函数y ＝x －4是偶函数．∵－4＜0，∴y ＝x －4在(0，＋∞)上是减函数，又∵y ＝x －4是偶函数，∴y ＝x －4在(－∞，0)上是增函数．1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．2．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：选B.当x ＝2时，22＞212＞2－12＞2－2，即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 12，C 3：y ＝x －12，C 4：y ＝x －2.3．以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( ) A ．一条直线 B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错解析：选C.∵y ＝x 0，可知x ≠0，∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点．4．函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )12的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠01－x ≥0，∴x <1.答案：(－∞，1)1．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12D ．2解析：选C.设f (x )＝x n ，则有2n ＝22，解得n ＝－12，即f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12.2．下列幂函数中，定义域为{x |x ＞0}的是( ) A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13 D ．y ＝x －34解析：选D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x ≥0；C.y ＝x －13＝13x，x ≠0；D.y ＝x－34＝14x 3，x ＞0.3．已知幂函数的图象y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z ，x ≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ．－1或1B ．－1,1或3C ．1或3D ．3解析：选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m ≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B.4．下列结论中，正确的是( ) ①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④解析：选D.y ＝x α，当α＝0时，x ≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．5．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．6．幂函数f (x )＝x α满足x ＞1时f (x )＞1，则α满足条件( ) A ．α＞1 B ．0＜α＜1 C ．α＞0 D ．α＞0且α≠1解析：选A.当x ＞1时f (x )＞1，即f (x )＞f (1)，f (x )＝x α为增函数，且α＞1. 7．幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (x )的解析式是________．解析：设f (x )＝x α，则有3α＝3＝312⇒α＝12.答案：f (x )＝x 128．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈R )的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________． 解析：结合幂函数的图象性质可知p <1. 答案：p <19．如图所示的函数F (x )的图象，由指数函数f (x )＝a x 与幂函数g (x )＝x α“拼接”而成，则a a 、a α、αa 、αα按由小到大的顺序排列为________．解析：依题意得 ⎩⎨⎧a 14＝12(14)α＝12⇒⎩⎨⎧a ＝116，α＝12.所以a a ＝(116)116＝[(12)4]116，a α＝(116)12＝[(12)32]116，αa ＝(12)116，αα＝(12)12＝[(12)8]116，由幂函数单调递增知a α＜αα＜a a ＜αa .答案：a α＜αα＜a a ＜αa10．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1， 解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.11．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？解：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2.12．已知幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意．∴m＝±1或m＝3.当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图(1)．当m＝1时，y＝x－4，其图象如图(2)．本文由52求学网论坛微光整理。
指、对、幂函数例题精选
答案B例3、比较下列各组中两个数的大小：（1）31.55，31.75；（2）0.71.5，0.61.5；（3）－2(－1.2)3，例题精选例1、下列结论中，正确的是()A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限1例2、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则C ．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y ＝x α是增函数答案D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数解析当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．C(A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n<－1.－2(－1.25)3．解析：（1）考查幂函数y ＝3x 5的单调性，在第一象限内函数单调递增，∵1.5＜1.7，∴31.55＜31.75，（2）考查幂函数y ＝3x 2的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，∵－2(－1.2)3＝－21.23，－2(－1.25)3＝－21.253，又－21.23＞ －21.253，∴－2(－1.2)3＞－21.253．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例4（选做）、函数且y a a a a =2x +2x -1(>0≠1)在区间[-1，1]上有最大值14，则a 的值是_______．分析：令t =a x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令t =a x ，则t >0，函数y =a 2x +2a x -1可化为y =(t +1)2-2，其对称轴为t =-1．∴当a >1时，∵x ∈-[1，1]，∴a ≤a x a 1≤，即a 1≤t ≤a ．∴当t =a 时，y max =(a +1)2-2=14．解得a =3或a =-5（舍去）；当<<a 01时，∵，∈-x 11][，∴≤≤a a a x 1，即≤≤aa t 1，∴ =a t 1时，⎝⎭⎪=+-=⎛⎫a y 12141max 2， 解得=a 31或=-a 51（舍去），∴a 的值是3或31．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．例5、求下列函数的定义域：（1）=a y x log 2； （2）=-a y x log (4)； （3）=-a y x 2log (9)． 分析：此题主要利用对数函数=log a y x 的定义域+∞(0,)求解。
幂函数习题带答案
练习：yxyx 2yxyx与(＝的图象关于对称．≥01.在第一象限内，函数)＝2＝互为反函数，∴两函数图象关0，与解析：∵≥＝xy＝于对称．xy＝答案：直线1－2xmxmf)(05)是幂函数，且当(()＝，＋∞－∈2.函数－mfx(的值为．)时，是单调增函数，则解析：根据幂函数的定义得：2mmmm2或，＝－－5＝1，解得＝－32xfxm)上是单调增函数；时，在((0)＝当，＋∞＝33－xxfm上是单调减函数，不)在((0)＝，＋∞当2＝－时，符合要求．m故3.＝3答案：0xxfx的定义域为．))＋(13.函数－(－)＝(1xxx1. ≥0，所以≠0且1－解析：由题意，1－＜1)(－∞，答案： 4.yCyC＝在第一象限内的图分别是函数与如图，曲线＝和21nm0，的大小关系是．与象，则nm，解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故0＜nm mxn0.＜＜2＝，则有2＞2＜0.取，故mn＜0答案：＜mxf为函数．N)＝(5.函数)(∈＋“非奇非偶”)(填“奇”，“偶”，“奇且偶”，2mmmmm 为奇数，＋1＝1(＋解析：∵N∈，∴＋1)＋＋xf)∴(为奇函数．答案：奇xy＝－的图象是．下面6.4个图象都是幂函数的图象，函数yxx≠0，在(0，＋∞解析：∵＝－为偶函数，且)上为减 / 函数，故符合条件的为②.答案：②－1yyxyxy＝.；－；③7.写出下列四个函数：①④＝；②＝＝其中定义域和值域相同的是．(写出所有满足条件的函数的序号) yyxyx＝R；函数－与解析：函数＝＝的定义域和值域都为－1y＝的定义；函数，＋∞)(－∞，0)∪(0的定义域和值域都为域为R，值域为[0，＋∞)．答案：①②③mfx)m＋3－*fxxmff(5)，(3)<已知函数∈(N)＝)(是偶函数，且8.的函数解析式．的值，并确定(求mm＋－－3＋3ff(5)，得3(3)<<5，解：(1)由m＋30－所以()<1＝().x y＝()是减函数，因为mm<3.3>0.所以－解得，＋*mm＝1或2；又因为∈N，所以m＋3－mfxxx为奇函数，＝2时， (＝当)＝m＝2所以舍去．mfxx.，此时)(所以＝m＋3－2mfxxx为偶函数， (＝)当＝＝1时，2＝12fxx＋.()已知函数9.＝fx)的奇偶性；(1)判断(fx)的单调区间和最小值．求((2)22xfxxxfx)，()＋＝解：(1)因为≠0，且＋＝(－－)＝(fx)是偶函数．(所以xxxx，<，＋∞)，且(2)设，∈(02112fxfx)＝＋－－(则( )－21＝(－)＋－＝(－)(1－)．xx，所以－0<<0. <因为21xx<1时，1－<00<又当<，21/。
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简单的幂函数
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．幂函数y＝f(x)经过点(2，2)，则f(9)为( )
A．81 B.13
C.181 D．3
【解析】 设f(x)＝xα，由题意得2＝2α，
∴α＝12.
∴f(x)＝x12，∴f(9)＝912＝3，故选D.
【答案】 D
2．在下列四个图形中，y＝x－12的图像大致是( )
【解析】 函数y＝x－12的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.
【答案】 D
3．定义在R上的偶函数f(x)在x>0上是增函数，则( )
A．f(3)
所以f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．
而3<π<4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(3)
【答案】 C
4．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
【解析】 ∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，
即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，
满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
【答案】 A
5．已知定义域为R的函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，且函数y＝f(x＋2)
为偶函数，则下列结论不成立的是( )
A．f(0)>f(1) B．f(0)>f(2)
C．f(1)>f(2) D．f(1)>f(3)
【解析】 因为函数y＝f(x＋2)为偶函数，
令g(x)＝f(x＋2)，
所以g(－x)＝f(－x＋2)＝g(x)＝f(x＋2)，
所以f(x＋2)＝f(2－x)，
所以函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，
又因为函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，
所以在(－∞，2)上为减少的，利用距对称轴x＝2的远近可知，f(0)>f(1)，
f(0)>f(2)，f(1)>f(2)，f(1)＝f(3)．
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，且关于
原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
【解析】 ∵函数的图像与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
【答案】 f(x)＝x－1
7．函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则a＝________.
【解析】 函数f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a是偶函数，图像关于y
轴对称，所以1－a＝0，即a＝1.
【答案】 1
8．已知f(x)在[a，b]上是奇函数，且f(x)在[a，b]上的最大值为m，则函数
F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为________．
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【解析】 因为奇函数f(x)在[a，b]上的最大值为m，所以它在[a，b]上的
最小值为－m，所以函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为(m
＋3)＋(－m＋3)＝6.
【答案】 6
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x
－5m－
3
，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
【解析】 (1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－45.
此时m2－m－1≠0，故m＝－45.
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－25，此时m2－m－1≠0，
故m＝－25.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
10．比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1)2.334，2.434；
(2)(2)－32，(3)－32；
(3)(－0.31)65，0.3565.
【解析】 (1)∵y＝x34为R上的增函数，
又2.3<2.4，
第4页
∴2.334<2.434.
(2)∵y＝x－32为(0，＋∞)上的减函数，又2<3，
∴(2)－32>(3)－32.
(3)∵y＝x65为R上的偶函数，
∴(－0.31)65＝0.3165.
又函数y＝x65为[0，＋∞)上的增函数，
且0.31<0.35，
∴0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为( )
A．4 B．0
C．2m D．－m＋4
【解析】 由f(－5)＝a(－5)7－b(－5)5＋c(－5)3＋2＝－a·57＋b·55－c·53＋2
＝m，
得a·57－b·55＋c·53＝2－m，
则f(5)＝a·57－b·55＋c·53＋2＝2－m＋2＝4－m.
所以f(5)＋f(－5)＝4－m＋m＝4.故选A.
【答案】 A
12．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的
取值范围是________．
【解析】 ∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)，
又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(|x－1|)>f(2)，
∴|x－1|<2，∴－2
【答案】 (－1,3)
13．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)经过点(2，2)，试确定m的值，
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并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
【解析】 ∵幂函数f(x)经过点(2，2)，
∴2＝2(m2＋m)－1，即212＝2(m2＋m)－1.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
∴f(x)＝x12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)>f(a－1)，
得{ 2－a≥0，a－1≥0，2－a>a－1，解得1≤a<32.
∴a的取值范围为1，32.
14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图像．
【解析】 (1)因为x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，
所以当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝－x(1－x)．
又因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以－f(x)＝－x(1－x)，
所以f(x)＝x(1－x)，
综上f(x)＝
{
x1＋x，x≥0，x1－x，x<0.
(2)f(x)的图像如图所示．