十大高中平面几何几何定理汇总及证明

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高中平面几何定理

创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日（高中）平面几何基础知识（基本定理、基赋性质）之答禄夫天创作 1．创作时间：二零二一年六月三十日

2．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方, 即是其他两边之平方和, 减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方即是其他两边的平方和, 加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 3．射影定理（欧几里得定理） 4．中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P, 则有)(22222BPAPACAB；

中线长：222222acbma． 5．垂线定理：2222BDBCADACCDAB．高线长：

CbBcAabccpbpappahasinsinsin))()((2．

6．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC中, AD平分∠BAC, 则ACABDCBD；（外角平分线

定理）．

角平分线长：2cos2)(2Acbbcapbcpcbta（其中p为周长一半）．

7．正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin, （其中R为三角形外接圆半径）． 8．余弦定理：Cabbaccos2222． 9．张角定理：ABDACACBADADBACsinsin sin． 10．斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其

底边上B、C两点间的一点D, 则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD．

11．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等, 即是圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 12．弦切角定理：弦切角即是夹弧所对的圆周角． 13．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）创作时间：二零二一年六月三十日

根据高中数学平面几何定理总结

根据高中数学平面几何定理总结在高中数学中，平面几何是一个重要的分支，它涉及到平面内点、直线、角等基本概念，以及相关的定理和公式。

这些定理和公式帮助我们理解和解决平面几何问题。

以下是一些高中数学平面几何定理的总结：1. 直线的性质和定理1.1 垂直定理垂直定理：如果两条直线互相垂直，则它们的斜率乘积为-1。

即若直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，那么k1 * k2 = -1。

1.2 平行定理平行定理：如果两条直线的斜率相等且不等于无穷大，则它们是平行的。

1.3 夹角定理夹角定理：如果两条直线互相垂直，则它们的夹角为90度。

1.4 同位角定理同位角定理：当两条直线被一条截线相交时，相对应角相等。

即对应角相等。

2. 三角形的性质和定理2.1 内角和定理内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180度。

2.2 直角三角形定理直角三角形定理：一个三角形有一个角是90度的直角，则它是直角三角形。

2.3 相似三角形定理相似三角形定理：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。

2.4 三角形的边长关系三角形的边长关系：在一个三角形中，两边之和大于第三边，任意一边的长度小于其他两边之和。

3. 圆的性质和定理3.1 圆心角定理圆心角定理：一个圆的圆心角是其所对弧的两倍。

3.2 弧长定理弧长定理：一个圆的弧长等于圆心角的度数除以360度再乘以圆的周长。

以上是一些高中数学平面几何的重要定理和性质。

通过掌握这些定理和公式，我们能够更好地理解和解决平面几何问题，提高数学应用能力。

_注意：以上内容是对高中数学平面几何定理的总结，我们根据教材内容进行总结，但请在使用时自行核实教材或教师的讲解。

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【高考数学】：高中数学几何定理大全，不收藏别后悔

【高考数学】：高中数学几何定理大全，不收藏别后悔当你睡在床上，闭上眼睛或看到天花板时，头脑里浮想连篇，如果用好这个时间在美好的回忆中进入梦乡，既能复习知识又能较快进入梦乡，说不定还能做个学习上的好梦，据说爱因斯坦的相对论就是做的一个梦！

高中数学公式几何定理大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2 b^2=c^2 47 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2 b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48 定理四边形的内角和等于360° 49 四边形的外角和等于360° 50 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51 推论任意多边的外角和等于360° 52 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54 推论夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷2 67 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70 正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a b）÷2 s=l×h 83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b d … n≠0),那么 (a c … m)／(b d … n)=a／b 86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas） 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss） 95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109 定理不在同一直线上的三点确定一个圆。 110 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 115 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 119 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个

平面几何基本定理的证明与应用

平面几何基本定理的证明与应用平面几何学是研究二维空间内的图形、形状和属性，其中包含了许多基本定理。

这些基本定理是数学中的重要概念，它们的证明和应用帮助我们理解几何学，解决实际问题，并建立更复杂的几何定理。

本文将重点介绍三条平面几何的基本定理：直角三角形的勾股定理、同位角定理以及平行线与角的性质。

一、直角三角形的勾股定理勾股定理是最为人熟知的几何学定理之一，它关于直角三角形的边长之间的关系。

勾股定理表明，在一个直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。

数学表达方式如下：在直角三角形ABC中，设直角边分别为a、b，斜边为c，则有 a² + b² = c²。

这一定理的证明可以根据几何原理和代数运算，利用形状相似、三角恒等式等方法得到。

例如，可以通过把直角三角形拆分为两个小三角形，利用三角形的面积关系得到证明过程。

勾股定理有广泛的应用，例如可以用于求解直角三角形的边长、判断三角形是否为直角三角形，或者是计算物体的斜边长度等等。

二、同位角定理同位角定理是几何学中关于平行线与角性质的基本定理。

同位角是指两条平行线被一条截线所切所得的对应角。

同位角定理指出，如果两条直线被一条截线所切，那么同位角是相等的。

形式化表达如下：在平行线l₁和l₂被一条截线t所切的情况下，同位角A和B相等，同位角C和D相等。

同位角定理的证明可以使用面积相等、平行线之间的特性等方法进行推导。

通过利用形状的对称性和角度之间的关系，可以得到同位角相等的结论。

同位角定理在几何学中有广泛的应用。

例如，可以用于证明两条直线平行，或者是求解直线与平行线夹角的度数等问题。

三、平行线与角的性质平行线与角的性质是平面几何中重要的定理之一，它建立了平行线与角度之间的联系。

在平面直角坐标系中，如果两条直线互相平行，则它们的斜率相等。

具体地说，设直线l₁的斜率为k₁，直线l₂的斜率为k₂，则有：如果l₁ || l₂，则k₁ = k₂。

平面几何重要的定理

平面几何中重要定理1.中线定理AD 为BC 边上的中线，则有AB 2+AC 2=2(AD 2+BD 2)2.垂线定理AD 为BC 边上的高，则有AB 2-BD 2=AC 2-CD 23.梅涅劳斯定理一条直线与△ABC 三边或其延长线交于P 、Q 、R ，则1QA CQ PC BP RB AR =⋅⋅4.塞瓦定理△ABC 内一点O ，AO 、BO 、CO 交BC 、AC 、AB 于点X 、Y 、Z ，则有1YACY XC BX ZB AZ =⋅⋅5.角平分线定理AD 为∠BAC 的平分线，则有CDBD AC AB =6.斯特瓦尔特定理D 为BC 边上一点，则有AB 2·DC+AC 2·BD-AD 2·BC=BC·DC·BD7.射影定理∠BAC=90°，AD ⊥BC ，则有AD 2=BD·CD ，AB 2=BD·BC ，AC 2=CD·CB8.外森匹克不等式如图，三角形的面积为S ，则S c b a 34222≥++9.西姆松定理过△ABC 外接圆上一点P 作三边或其延长线上的垂线，则有：三个垂直M 、N 、Q 共线10.海伦公式△ABC 三边分别为a 、b 、c ，则有2,))()((S ABC cb a pc p b p a p p ++=---=∆△ABC 中，AD 、BD 、CF 相交于同一点O ，则有CD BD S S AOC AOB =∆∆12.正弦定理ABC 外接圆半径为R ，三个顶点A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有R Cc B b A a 2sin sin sin ===13.余弦定理△ABC 外接圆半径为R ，三个顶点A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有Cab b a c Bac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=14.张角定理D 是△ABC 边BC 上一点，则有ADBAC AB CAD AC BAD ∠=∠+∠sin sin sin四边形ABCD 为圆内接四边形，则有AC·BD=AB·CD=AD·BC(任意凸四边形ABCD ，必有AC·BD AB·CD+AD·BC ，当且仅当ABCD 四点共圆时取等号)16.九点共圆定义：三角形三边的中点，三条高的垂足和各顶点与垂心连线的中点，九点共圆.九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半.九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切(费尔巴哈定理)17.蝴蝶定理M 是弦AB 的中点，任意两条弦CD 、EF 过点M ，DE 、CF 交AB 于P 、Q ，则有PM=QM18.欧拉线定义：三角形的外心O(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、九点圆圆心和垂心H(高的交点)，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，OG=21GH ，OV=HVPA切圆于点A，则有∠PAC=∠B20.圆幂定理相交弦定理PA·PB=PC·PD切割线定理PQ2=PA·PB=PC·PD割线定理21.垂美四边形对角线互相垂直的四边形(ACBD),则有AB2+CD2=AD2+BC2 P为矩形内任意一点，则有PA2+PB2=PC2+PD222.维维亚尼定理P是等边三角形ABC内任意一点，P到三角的距离分别为h1、h2、h3,等边三角形的高为H，则h1+h2+h3=H23.莫得定理△ABC各内角的三等分线的交点，构成的△AEF为等边三角形.24.笛沙格定理△ABC和△A1B1C1中AA1、BB1、CC1,交于一点P，则AB与A1B1的交点D，BC与B1C1的交点E，AC与A1C1的交点F，三点共线。

平面几何(4个定理)

例：已知△ABC中，∠B=2∠C。求证： AC2=AB2+AB·BC。
4.西姆松定理
从三角形ABC外接圆上一点P，作BC，AC，AB的垂线，设垂足一次为L,M,N,则三点在一条直线上。（逆定理也成立）
证明：若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL⊥ BC，PM ⊥ AC， PN ⊥ AB，有B、P、L、N 和M、P、L、C四点共圆，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线。
梅涅劳斯定理充分性证明
方法：同一法
梅涅劳斯定理
作用： 1.证明三点共线 2.导出线段比例
关键： 1.三角形 2.截线
2、塞瓦定理
设Ｄ、E、F分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点，则AD，BE，CF相交于一点O的充要条件是
塞瓦定理必要性证明
法1：梅涅劳斯定理
塞瓦定理必要性证明
方法2：等高三角形线段比=面积比
塞瓦定理充分性证明
塞瓦定理
作用： 1.证明三线共点 2.导出线段比例
关键： 1.三角形 2.共点
例：证明三角形的中线交于一点。
3、托勒密定理
证：作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE. 则△ABE∽△ACD BE/CD=AB/AC, 即BE·AC=AB·CD (1) △ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB, 又∠BAC=∠EAD,△ABC∽△AED. BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD
平面几何
三角பைடு நூலகம்五心
• 重心：中线 2:1 • 外心：垂直平分线 • 垂心：高线 • 内心：角平分线 • 旁心：两外角平分线第三内角平分线

高中数学公式大全几何证明中常用的定理与公式

高中数学公式大全几何证明中常用的定理与公式在高中数学学习中，几何证明是一个重要的内容。

几何证明需要运用到各种定理和公式，下面将介绍一些高中几何证明中常用的定理与公式。

一、三角形的定理与公式1. 三角形的内角和定理三角形的三个内角之和等于180度。

2. 三角形的外角和定理三角形的外角之和等于360度。

3. 三角形的角平分线定理三角形内角的平分线所构成的角相等。

4. 三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且长度等于第三边的一半。

5. 三角形的高定理三角形的高相互垂直。

6. 三角形的面积公式三角形的面积等于底边长乘以高的一半。

7. 三角形的余弦定理对于任意一个三角形ABC，其边长分别为a、b、c，其中角A对应边长a，角B对应边长b，角C对应边长c，则有：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC。

二、四边形的定理与公式1. 平行四边形的性质平行四边形的对边相等并且平行。

2. 矩形的性质矩形的对角线相等，并且互相垂直。

3. 正方形的性质正方形的四条边相等，并且互相垂直。

4. 菱形的性质菱形的对边相等，并且两条对角线互相垂直。

5. 梯形的性质梯形的两底边平行且不相等，并且两个底角和两个顶角互补。

6. 梯形的面积公式梯形的面积等于上底和下底之和乘以高的一半。

三、圆的定理与公式1. 圆的面积公式圆的面积等于π乘以半径的平方。

2. 圆的周长公式圆的周长等于2π乘以半径。

3. 圆的弧长公式圆的弧长等于圆心角度数与圆的半径的乘积。

4. 切线定理切线与半径垂直，并且切线上的点到圆心的距离等于半径的长度。

以上是高中几何证明中常用的一些定理与公式，通过合理运用这些定理与公式，可以帮助我们更好地解决几何证明问题。

在实际的数学学习中，还需要根据不同的几何问题，综合运用这些定理与公式，灵活进行推理与证明，从而得到准确的结论。

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v1.0可编辑可修改高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证SA PAB=(S\ PAM SA PMB)=(SAPAM/SXPMB1) X SAPMB=(AM/BM1) X SXPMB等高底共线，面积比=底长比)同理，SXQAB=(AM/BM1) X SXQMB所以，SXPAB/SXQAB=XPMB/S\QMB=PMQM等高底共线，面积比=底长比)定理得证！特殊情况：当PB// AC时，易知△ PAB与△ QAB的高相等，从而SX PAB=X QAB 反之，SX PAB=X QAB 贝U PB// AQ2.正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即卩a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R (r为外接圆半径，R为直径) 有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q, AB与PQ的连线交于点M则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积=PM QM.证明：A现将△ ABC做其外接圆，设圆心为Q我们考虑/C及其对边AB 设AB长度为c。

若/C为直角，贝U AB就是。

0的直径，即c= 2r。

•••sBC二1 （特殊角正弦函数值）•••盒皿若/C为锐角或钝角，过B作直径BC'交O 0于C'，连接C'A，显然BC'= 2r=R。

若/C为锐角，贝U C'与C落于AB的同侧，此时/ C'= / C （同弧所对的圆周角相等）•••在Rt△ ABC'中有= =若/C为钝角，贝U C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a,此时/ C'= / A,亦可推出sin匸■ - 5inA _。

考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得a b c^A = ^B=^C=2r = R。

3.分角定理在厶ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结则有BD/CD=(sin / BAD/sin / CAD)*(AB/AC)。

证明:SA ABD/SX ACD=BD/CDSX ABD/SX ACD=[(1/2) X ABX ADX sin / BAD]/[(1/2) X ACX ADX sin / CAD] =(sin / BAD/sin / CAD) X (AB/AC)由式和式得BD/CD=(sin / BAD/sin / CAD)X (AB/AC)4.张角定理在厶ABC中, D是BC上的一点，连结AD 那么空二坐证明: 设/ 仁/ BAD / 2=Z CAD由分角定理，SXABD/SXABC=BD/BC=(AD/AC)*(sinZ 1/sin / BAC)—(BD/BC)*(sin / BAC/AD)=sin/ 1/ACSXACD/SXABC=CD/BC=(AD/AB)*(sinZ 2/sin / BAC)—(CD/BC)*(sin / BAC/AD)=sin/ 2/AB式+ 式即得sin / 1/AC+sin / 2/AB=sin / BAC/AD5.帕普斯定理sinZ BACAAs in^CAD oAD直线11上依次有点A,B,C，直线12上依次有点D,E,F，设AE,BD交于G AF,DC交于I , BF,EC交于H,则G,I,H共线。

鮒晋斯定理；去乩c r a F分别是丙务直线上的仪血唤门、站、交于甌疗、衣刊则；G、I、朕锐【打医D田躺连接師巴跤GffTr <$P02）、CD^G^r衣过比倒疋匡得；GT 胡” 52G 沁DH^'cr'SA^'sACDG沁if右沁3甘SA.1DG■如2 汕呵'SACFH * MGPG_Lf_ 8£_ ££=^E'7S'W^=[GT GT"矿er•人丿唾合；$、CD. &砒卢.戈U为一扒CD^^J，.陀言竦GH上菲G、I-貝注Q.EQ6.蝴蝶定理设S为圆内弦AB的中点，过S作弦CF和DE设CF和DE各相交AB于点M和N,则S 是MN的中点。

证明：过O作0」ED OH CF,垂足为L、T,连接ON 0M OS SL, ST,易明△ ESSA CSF••• ES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2 FT=FC/2••• ES/CS=EL/CT又•••/ E=Z C•••△ ESL S A CST•••/ SLNW STM••• S是AB的中点所以OS!AB•••/ OSNMOLN=9O•••O, S , N, L四点共圆，（一中同长）同理,O, T , M, S四点共圆•/ STMM SOM / SLN=/ SON•/ SONNSOM•••OS! AB•MS=NS7.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。

（此线常称为西姆松线）。

证明:若L、M N三点共线，连结BP, CP,则因和P、M C L分别四点共圆，有/ NBP = / NLP = / MLP=Z MCP.故A B P、C四点共圆。

若A P、B C四点共圆，贝U/ NBP= / MCP因PL丄BC, PMLAC, PN! AB有B L、P、N和P、M C、L四点共圆，有/ NBP = / NLP= / MCP=Z MLP.故L、M N三点共线西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

证明：PML AC，PN! AB ,所以A,M,N,P 共圆8.清宫定理设P、0为厶ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC CA AB的对称点分别是U、V、W，且QU QV QW分别交三边BC CA AB或其延长线于D E、F,则D E、F在同一直线上.证明：A、B、P、C四点共圆，因此/ PCE=/ ABP点P和V关于CA对称所以/ PCV=Z PCE又因为P和W关于AB对称，所以/ PBW=2 ABP从这三个式子，有/ PCV2 PBW另一方面，因为/ PCC和/PBC都是弦PQ所对的圆周角，所以/PCQM PBQ两式相加，有/ PCVy PCQM PBW乂PBQ即/ QCVMQBW即厶QCVWA QBWT—个顶角相等，因此S^QCV CVtCQS/.QBW= BiV.BQ但是cV二CF,州二BP,所以S AQCV _CPtCQR卩■內Q同理S&QAVf _HHQ _ BPS^QCU CP^CQ, S AQAV A卩•彳Q于是BD CE AF弘QB* ^AQCV ^AQAW ^QEIT^AQCV気QAW DC EA fB S^QCU S ACAV 5AQBW S^QAV S AQI?W盹QUIT根据梅涅劳斯定理的逆定理，D E、F三点在同一直线上9.密克定理三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点0,而M, N, P分别是C1和C2, C2和C3,C3和C1的另一交点。

设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。

那么B, N, C这三点共线。

逆定理：如果是三角形，M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上，那么△ AMPA BMNA CPN的外接圆交于一点Q完全四线形定理如果ABCDE是完全四线形，那么三角形的外接圆交于一点0,称为密克点四圆定理设C1, C2,C3, C4为四个圆，A1 和B1是C1 和C2的交点,A2和B2是C2和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点,A4和B4是C1和C4的交点。

那么A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4 四点共圆。

证明：在厶ABC的BC,AC,AB边上分别取点W,M,N对AMN^BWN^ACWI分别作其外接圆，则这三个外接圆共点。

该定理的证明很简单，利用“圆内接四边形对角和为180度”及其逆定理。

现在已知U是曲和叱的公共点。

连接UM和UN•••四边形BNUV和四边形CMU分别是斜和畋的内接四边形，•••/ UWB+ UNBM UNB# UNA=18度•••/ UWB# UNA同理/ UWB主UWC= UWC+ UMC=18度•••/ UWB# UMCvZ UMC主UMA=18度•••/ UNAZ UMA=18度，这正说明四边形ANUM!—个圆内接四边形，而该圆必是皿占,U必在皿3上10. 婆罗摩笈多定理圆内接四边形ABCD勺对角线ACL BD,垂足为M EF丄BC且M在EF上。

那么F是A D的中点。

证明：v ACLBD MLBC•••Z CBDZ CMEvZ CBDZ CAD Z CMEZAMF• Z CADZ AMF•AF=MFvZ AMD=9° ,同时Z MADZMDA=9°•Z FMDZ FDM•MF=DF即F是AD中点逆定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，贝「边中点与对角线交点的连线垂直于对边。

证明：v MALMD F是AD中点•AF=MF • Z CADZ AMF vZ CADZ CBD Z AMFZ CME•••/ CBDM CMEvZ CME乂BMEM BMC=9°•••/ CBDZ BME=90 ••• EF± BC11. 托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）•圆内接四边形ABCD求证：AC- BD=AB CD+AD BC证明：过C作CP交BD于P,使/ 1 = Z2,又/ 3=Z4,•••△ ACSA BCP得AC BC=AD BP, AC- BP=AD BC ①。

又/ ACBM DCP / 5=Z 6,•••△ ACB^A DCP 得AC CD=AB DP, AC- DP=AB CD ②。

① + ②得AC(BP+DP)=ABCD+AD BC即AC- BD=AB CD+AD BC12. 梅涅劳斯定理当直线交三边所在直线"，匚左于点—证明：过点C作CP// DF交AB于P,则两式相乘得AF BD CE AF BF PF梅涅劳斯逆定理：若有三点F、D E分别在边三角形的三边AB BC CA或其延长线上，且满足AF/FBX BD/DCXCE/EA=1,贝U F、D E三点共线。

证明：先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。

由梅涅劳斯定理的定理证明(如利用平行线分线段成比例的证明方法)得: (AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。

••• (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。

••• AP/PB=AF/FB ;••• (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ;••• AB/PB=AB/FB ;••• PB=FB;即P与F重合。