初中数学竞赛公式定理大全
2021年初中数学竞赛公式及定理精简版
普通定理及公式1、多边形内角和定理 n边形内角和等于（n-2）×180°2、推论任意多边外角和等于360°3、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上两个角相等4、等腰梯形两条对角线相等5、等腰梯形鉴定定理在同一底上两个角相等梯形是等腰梯形6、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和一半 L=（a+b）÷2 S=L×h7、比例基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d8、合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d9、等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a10、任意锐角正弦值等于它余角余弦值，任意锐角余弦值等于它余角正弦值11、任意锐角正切值等于它余角余切值，任意锐角余切值等于它余角正切值12、相交弦定理圆内两条相交弦，被交点提成两条线段长积相等13、如果弦与直径垂直相交，那么弦一半是它分直径所成两条线段比例中项14、切割线定理：从圆外一点引圆切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点两条线段长比例中项15、从圆外一点引圆两条割线，这一点到每条割线与圆交点两条线段长积相等16、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上17、①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)18、相交两圆连心线垂直平分两圆公共弦19、定理正n边形半径和边心距把正n边形提成2n个全等直角三角形20、正三角形面积√3a／4 ，a表达边长21、弧长计算公式：L=nπR／18022、扇形面积公式：S扇形=nπR2／360=LR／223、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)三角函数定理及公式两角和公式sin(A+B)=sin A·cos B+cos A·sin B sin(A-B)=sin A·cos B-sin B·cos A cos(A+B)=cos A·cos B-sin A·sin B cos(A-B)=cos A·cos B+sin A·sin B tan(A+B)=(tan A+tan B)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tan A-tan B)/(1+tan A·tan B)cot(A+B)=(cot A·cotB-1)/(cot B+cot A) cot(A-B)=(cot A·cot B+1)/(cot B-cot A)倍角公式tan 2A=2·tan A/(1-tan 2A) cot 2A=(cot 2A-1)/2·cotAcos 2a=cos 2a-sin 2a=2·cos 2a-1=1-2·sin 2a半角公式sin(A/2)=√((1-cos A)/2) sin(A/2)=-√((1-cos A)/2)cos(A/2)=√((1+cos A)/2) cos(A/2)=-√((1+cos A)/2) tan(A/2)=√(((1-cos A)/(1+cos A)) tan(A/2)=-√((1-cos A)/(1+cos A))cot(A/2)=√((1+cos A)/((1-cos A)) cot(A/2)=-√((1+cos A)/((1-cos A))和差化积2sin A·cos B=sin(A+B)+sin(A-B) 2cos A·sin B=sin(A+B)-sin(A-B)2cos A·cos B=cos(A+B)-sin(A-B) -2sin A·sin B=cos(A+B)-cos(A-B)sin A+sin B=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cos A+cos B=2cos((A+B)/2)·sin((A-B)/2) tan A+tan B=sin(A+B)/cos A·cos B tan A-tan B=sin(A-B)/cos A·cos B cot A+cot B·sin(A+B)/sin A·sin B -cot A+cot B·sin(A+B)/sin A·sin B某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3某些平面几何知名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形三条中线交于一点，并且，各中线被这个点提成2：1两某些4、四边形两边中心连线两条对角线中心连线交于一点5、间隔连接六边形边中心所作出两个三角形重心是重叠。
初中数学竞赛中常用重要定理
3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
初中数学竞赛常用公式(总6页)
初中数学竞赛常用公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初中数学常用公式1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理：三角形两边的和大于第三边 16 推论：三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 18 推论1：直角三角形的两个锐角互余19 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形48定理：四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理：n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论：任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等54推论：夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2：矩形的对角线相等62矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1：菱形的四条边都相等65菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1：关于中心对称的两个图形是全等的72定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83 比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例85 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边86 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例87 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似88 相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似（ASA）89 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似90 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）91 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似（SSS）92 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似93 性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比94 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比95 性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方96 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，sinA=cos(90-A)任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，cosA=sin(90-A)97任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，tanA=cot(90-A)任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 cotA=tan(90-A)98圆是定点的距离等于定长的点的集合99圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合100圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合101同圆或等圆的半径相等102到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆103和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线104到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线105到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线106定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
初中数学竞赛中常用重要定理
初中数学竞赛中常用重要定理1、 梅涅劳斯定理：假如在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、 E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF EA CE DC BD ••=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：假如在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上 有点D 、E 、F ，且满足FB AF EA CE DC BD ••=1，则D 、E 、F 三点共线。
3、 塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、 M ，则1=••PACP NC BN MB AM4、 塞瓦定理的逆定理：设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且满足1=••PA CP NC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点。
5、 广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。
推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+ 6、 三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：假如∠1=∠2，则有AC AB DC BD =外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ， 则有ACAB DC BD =7、 托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD8、 三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P9、 正弦定理、在△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径） 余弦定理：a 、b 、c 为△ABC 的边，则有：a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA; b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;10、西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ， PF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线。
初中数学竞赛定理大全
欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线;且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
九点圆：夕卜心重心重心垂心200厘米43厘米任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点: 已知P 为锐角△ ABC 内一点，当/ APB=Z BPC=Z CPA= 120°时,PA + PB + PC 的值最小，这个点P 称为△ ABC 的费尔马点。
EE = 3.45 厘米CE = 33塵米 片丘=306曇半 EP = 4.93 CP = 3.AP - 2.33屋亲海伦（Heron ）公式：海伦(H F /W ?)公式第1泌ABC 中F 边BQ. CA.的长分别为瓠b. s 若p=- (a-l-b+c),则 A A EG 的面积 S=./p (p-a)(p~b) (p~c)£0 = 6. g 屋米7 CA = & QO 瘗厳— (AB + BC^CA) = 73 層米p = 7.54^^BPC = 1202 ^2PA = 120^ XAPB= 120^B9.94密格尔(Miquel)点：塞瓦(Cevs)定理：在厶ABC中，过△ ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC CA AB与点D、E、F,则(BD/DC) - (CE/EA)・ (AF/FB)= 1;其逆亦真若AE、AF、ED FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点,构成四个三角形，它们是△ ABF、△ AED △ BCE △ DCF,葛尔刚（Gergonne）点:△ ABC的内切圆分别切边AB、BC CA于点D、E、F, 则AE、BF CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。
西摩松（Sims on）线：已知P ABC外接圆周上任意一点，PD丄BC, PEL ACP吐AB, D、E、F为垂足,则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线P （托动）黄金分割: 把一条线段（AB ）分成两条线段，使其中较大的线段（AC 是原线段（AB ） 与较小线段（BC ）的比例中项，这样的分割称为 黄金分割。
(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用
(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用初中数学竞赛勾股定理与应用勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系:a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．早在3000年前,我国已有“勾广三,股修四,径阳五”的说法．关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．证法1 如图2—16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK,ACFG，它们的面积分别是c2,a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG,所以△ACE≌△AGB（SAS）．而所以 S AEML=b2．①同理可证 S BLMD=a2．②①+②得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．证法2 如图2—17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA,CB 分别延长到D，F,使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF（它的边长为a+b），又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c,∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°,因此,AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF 的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB）的面积和，即化简得 a2+b2=c2．证法3 如图2—18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D 作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S,一方面S=S ABDE+2S△ABC，①另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC．②由①，②所以 c2=a2+b2．关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边（或其延长线）上的射影的乘积的2倍．(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广）．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，（1）若c2=a2+b2,则∠C=90°；（2)若c2＜a2+b2,则∠C＜90°；(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形（及多边形）的问题中有着广泛的应用．例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC 的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．分析注意到正方形的特性∠CAB=45°,所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB,这启发我们去证明△ABE≌△AFE．说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF ⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡"到AF,使AF(即AB）与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2）．推论△ABC的中线长公式：说明三角形的中线将三角形分为两个三角形,其中一个是锐角三角形,另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项,获得中线公式．①′，②′，③′中的m a，m b，m c分别表示a，b，c边上的中线长．例3 如图2-23所示．求证:任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．分析如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ 的中线，利用例2的结论，不难证明本题．说明本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．例4 如图2-24所示．已知△ABC中,∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用例5 如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证:4(AM2+BN2）=5AB2．分析由于AM，BN,AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点,那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．练习十一1．用下面各图验证勾股定理（虚线代表辅助线)：(1）赵君卿图(图2-27);（2)项名达图（2—28）；（3）杨作枚图(图2-29)．2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2．（提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外,均有这个结论．）3．由△ABC内任意一点O向三边BC,CA，AB分别作垂线,垂足分别是D,E，F．求证:AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．5．如图2—31所示．从锐角三角形ABC的顶点B,C分别向对边作垂线BE,CF．求证：BC2=AB·BF+AC·CE．。
初中数学竞赛定理大全
欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点：已知P为锐角△ABC一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。
海伦（Heron）公式：塞瓦（Ceva）定理：在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。
密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
尔刚（Gergonne）点:△ABC的切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为尔刚点。
西摩松（Simson）线：已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。
黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。
帕普斯（Pappus）定理：已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于点Z，则X、Y、Z三点共线。
笛沙格（Desargues）定理：已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真摩莱（Morley）三角形：在已知△ABC三角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则△DEF是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。
初中竞赛数学公式定理
初中竞赛数学公式定理好嘞，以下是为您生成的文章：在咱们初中的竞赛数学世界里呀，那公式定理就像是一把把神奇的钥匙，能帮咱们打开一道道难题的大门。
先来说说勾股定理吧。
这可是个超级经典的定理！直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个定理，有个调皮的小家伙居然说：“老师，这勾股定理不就是告诉咱们直角三角形的三条边在玩‘比大小’的游戏嘛！”大家哄堂大笑，不过这倒也让大家一下就记住了勾股定理的本质。
还有完全平方公式，(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a - b)² = a² - 2ab + b²。
这俩公式在解题的时候可太有用啦！有一回，一道竞赛题要求计算一个复杂式子的值，好多同学都抓耳挠腮的。
我就提醒他们：“你们想想完全平方公式呀！”结果呢，有个聪明的同学马上反应过来，巧妙地变形，一下子就把答案给算出来了，那叫一个得意！再说说韦达定理。
在一元二次方程 ax² + bx + c = 0 中，两根 x₁，x₂有 x₁ + x₂ = -b/a ，x₁x₂ = c/a 。
我曾经遇到过一个学生，他总是记不住韦达定理。
我就给他举了个例子，说假如你有两个口袋，一个口袋里有 x₁个糖果，另一个口袋里有 x₂个糖果，那么把两个口袋里的糖果加起来就相当于 -b/a ，两个口袋里糖果相乘就相当于 c/a 。
嘿，这招还真管用，他后来再也没忘过。
还有三角函数的那些定理，像正弦定理、余弦定理。
正弦定理a/sinA = b/sinB = c/sinC ，余弦定理 a² = b² + c² - 2bc cosA 。
有一次在做一道几何题的时候，怎么都找不到解题的突破口，后来我灵机一动，想到了余弦定理，一下子就把角度和边长的关系给搞清楚了，那感觉就像是在黑暗中突然找到了明灯。
平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²，也是个不能忽视的好宝贝。
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1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9.同位角相等，两直线平行10.内错角相等，两直线平行11.同旁内角互补，两直线平行12.两直线平行，同位角相等13.两直线平行，内错角相等14.两直线平行，同旁内角互补15.定理三角形两边的和大于第三边16.推论三角形两边的差小于第三边17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18.推论1 直角三角形的两个锐角互余19.推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20.推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21.全等三角形的对应边、对应角相等22.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23.角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25.边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26.斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27.定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28.定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31.推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33.推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35.推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36.推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42.定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43.定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44.定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45.逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48.定理四边形的内角和等于360°49.四边形的外角和等于360°50.多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51.推论任意多边的外角和等于360°52.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53.平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54.推论夹在两条平行线间的平行线段相等55.平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56.平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57.平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58.平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59.平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60.矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61.矩形性质定理2 矩形的对角线相等62.矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63.矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65.菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66.菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267.菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68.菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69.正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70.正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71.定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72.定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73.逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74.等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75.等腰梯形的两条对角线相等76.等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77.对角线相等的梯形是等腰梯形78.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79.推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80.推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83.(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a:b=c:d84.(2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85.(3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87.推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88.定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90.定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91.相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93.判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94.判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95.定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96.性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97.性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98.性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101.圆是定点的距离等于定长的点的集合102.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104.同圆或等圆的半径相等105.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106.和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107.到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108.到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109.定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
110.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111.推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧①平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112.推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117.推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118.推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径119.推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120.定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121.①直线L和①O相交d＜r①直线L和①O相切d=r①直线L和①O相离d＞r122.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127.圆的外切四边形的两组对边的和相等128.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129.推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131.推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133.推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135.①两圆外离d＞R+r ①两圆外切d=R+r①两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)①两圆内切d=R-r(R＞r) ①两圆内含d＜R-r(R＞r)136.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137.定理把圆分成n(n≥3):(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139.正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n140.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141.正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长142.正三角形面积√3a／4 a表示边长143.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4144.弧长计算公式：L=n兀R／180145.扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2146.内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)。