极限的概念和几何意义
第二节函数的极限
1 | 0 | . x 1 从而 lim 0. x x 1 由此可知直线y 0是曲线y 的水平渐近线. x
例2
x2 用定义验证 lim 2 1. x x 1
x2 1 1 | 2 1 | 2 2 , x 1 x 1 x
只需x ，即 | x |
使得当 0 | x x0 | 时，有
f(x)>B (f(x)<B).
lim g ( x) B，且A B， 定理2.7 若 lim f ( x) A，
x x0 x x0
则存在正数，当0 | x x0 | 时，有 f ( x) g ( x).
推论1 若 lim f ( x) A ，且A>B(A<B)，则存在 0,
x x0
x x0
| f ( x) A |
成立，则称f(x)在 x0 处的右极限为A，记为
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x0 ) A.
在上面的定义中将函数f(x)改为在 x0 的左侧附近 有定义(即在 (a, x0 ) 内有定义)，即将 0 x x0 改 为 x x0 0 就得到了f(x)在 x0 处的左极限为A的 定义.相应地记作
x x0
证 任给 0，欲使 | x x0 | ,
只需取 ，当0 | x x0 | 时，恒有 | x x0 | ,
从而 lim x x0 .
x x0
在 lim f ( x) A 的定义中，x可以以任意方式趋向 于x0.有时，为了讨论问题的需要，可以只考虑x从x0的 某一侧(从小于x0的一侧或从大于x0 的一侧)趋向于 x0时 f(x)的变化趋势，这就引出了左极限和右极限的概念. 定义 设函数f(x)在 ( x0 , b) 内有定义，A为常数.若对任 意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当0 x x0 时有
高等数学中极限的含义
高等数学中极限的含义函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
限为例，f(x) 在点以a为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数a就叫做函数f(x)当x→x时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：音速四则运算法则的条件就是充份而非必要的，因此，利用音速四则运算法则求函数音速时，必须对Rewa的函数逐一展开检验它与否满足用户音速四则运算法则条件，满足用户条件者。
方能够利用音速四则运算法则展开谋之。
不满足用户条件者，无法轻易利用音速四则运算法则谋之。
但是，井非不满足用户音速四则运算法则条件的函数就没音速，而是须要将函数展开并集变形，并使其符合条件后，再利用音速四则运算法则谋之。
而对函数展开并集变形时，通常运用一些技巧例如拆毁项、分子分母同时约回去零因子、分子分母存有化学、通在分后、变量替代等等。
基准 1求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(l hopital)法则就是在一定条件下通过分子分母分别微分Ploudalm音速去确认未定式值的方法.直观谈就是，在谋一个不含分式的函数的音速时，分别对分子和分母微分，在谋音速，和原函数的音速就是一样的。
通常用在微分后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设立函数f(x)和f(x)满足用户以下条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim f(x)=0;（2）在点a的某回去心邻域内f(x)与f(x)都可微,且f(x)的导数不等同于0;（3）x→a时,lim(f(x)/f(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/f(x))=lim(f(x)/f(x))例1：xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时微分（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个关键音速：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即为音速为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。
高数上册第一章第三节 函数的极限
x
③ x→+∞及x→-∞情形 lim f ( x ) A 0, X 0,当x X时, 有 | f ( x ) A | .
x x
lim f ( x ) A 0, X 0,当x X时, 有 | f ( x ) A | .
【证】 函数在点x=1处没有定义.但不影响考察该点 极限的存在性
x 1 f ( x) A 2 x 1 任给 0, x 1 要使 f ( x ) A , 只要取 ,
2
2 x 当0 x 1 时, 就有 1 2 , x 1
x x0
② “ε δ”定义
0, 0, 使当0 x x0 时,恒有 f ( x ) A .
【注意】 a . 0 x x0 意味着 x x0
即函数极限与f ( x )在点x0是否有定义无关;
b. 与任意给定的正数 有关 ( ( ) ).
【数列极限】
n 时， xn a
的一般概念。
xn f ( n) —— 整标函数
若将n 的特殊性撇开，这样可 以引出函数极限
【函数的极限】
y f ( x) 有
x x x0
两大类情形
1
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sin x 当 x 时的变化趋势. 1.【引例】 观察函数 x
5.【水平渐近线】
如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数 y f ( x )
x
的图形的水平渐近线 .
6
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1.【引例】 ① 函数 f ( x ) x 1 在 x 1
数列的极限
n 2 2n 2. lim 2 n 2n - n 3
n
n n - n 1 3. lim n n
4 3 4
6. lim 2
n
n 2 1
4. lim( n2 n 1 - n)
n
19
当 n , 此数列的极限为 0 . 由于 -1
n 1
1 1 -0 n n
1 要使 多么小, 只需 n 增大到一定程度即可. n 1 1 n 1 1 10 如要使 - 1 只需 n - 0 0.1 0 .1 n n 1 1 n 1 1 要使 - 1 - 0 0.01 只需 n 0.01 100 n n
1.3 数列的极限
一、数列的概念
数列、 数列的几何意义
二、数列的极限
极限的定义、 数列极限的几何意义
三、收敛数列的性质
极限的唯一性、有界性、有序性和保号性 收敛数列与其子数列间的关系
四、计算数列的极限
1
一、数列的概念
一个实际问题 用渐近的方法求圆的面积：
用圆内接正多边形的面积近似（逼近）圆的面积：
n n n
16
讨论：
1 ．对某一正 e 0 ， 如果存在正整数N ， 使当 n>N 时，有 |xn- a|< e0． 是否有 lim xn a
n
?
2．如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界．发散的数 列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
3．数列的子数列如果发散， 原数列是否发散 数列的两
个子数列收敛，但其极限不同， 原数列的收敛性如何 发散的 数列的子数列都发散吗？ 4．如何判断数列 1，-1，1，-1， … ，(-1)n+1， … 是发散的？
极限的概念与性质
y
y f (x)
x0 x0 x
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推论 2 . 若在
的某去心邻域内 f ( x) 0 , 且
( f ( x) 0)
则 A 0.
( A 0)
(反证法, 证明略)
思考: 若定理 2 中的条件改为 f ( x) 0, 是否必有 A 0 ? 不能! 如
x 4
x 4
x 0
lim f ( x) lim e x 1
x 0
x 0
lim f ( x) lim 2 x 1 1.
x 0
因为 lim f ( x) lim f ( x) 1,
x 0 x 0
所以 lim f ( x) 1.
x 0
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x x0
当
时的极限, 记作
lim f ( x) A 或
当
即
时, 有
几何解释:A A AO源自yy f (x)
(
x0
)
x
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例1. 证明 证: f ( x) A 故 0 , 取 , 当
(注意x =1无定义)
时, 必有
x 1 2 x 1
n
lim q n1 0
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a1 a2 an 例4. 若 lim an A, 则 lim A. n n n
证明：由于 lim an A, 故 0, 正整数 N1 , n
当 n N1 时，an A
3、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
051-11极限概念
-0.05
-0.1
23
例11 当 x 0 观察 f ( x ) (1 x ) 的变化趋势.
lim(1 x )
x 0 1 x
1 x
e
(1 x )
1 x
2.71828
2.718 281 828 459 045 235
24
定义1.2 (自变量 x x0 时函数的极限)
U ( x0 , ) 即： { x 0 x x0 },
(or ) { x 0 x x0 } { x x x0 0}
25
lim f ( x ) A 的几何意义 x x
0
y A
A
x0
x0
26
x0
2
y x2
2
( x 1)( x 2) x 1
1
x2
-2
-1
1
22
例10
lim f ( x ) 设 f ( x ) x 0
0.1
1 x sin , x 0 x 0, x0
0.05
-0.1
-0.05
0.05
1 lim x sin 0 x 0 x
10
lim e
x
x
sin10 x 0 的几何解释.
A0
y 0
y 0
X
xX
11
x2 1 1. 例5 用定义验证: xlim 2 x 1
证 分析. 要说明 只要
x2 1 1 2 x 1
可以任意小,
2 x2 1 x2 1 x2 1 1 2 , 2 2 x 1 x 1 x 1
函数极限说课
A−ε < y < A+ ε
必存在x 必存在 0的去心邻域
0 < x − x0 < δ ,
y
A+ε
y = f ( x)
A A−ε
O
x 0 − δ x 0 x0 + δ
对于此邻域内的 x,
x
对应的函数图形位于这一带形区域内. 对应的函数图形位于这一带形区域内
注 (1) 定义中的 0 < x − x0 表示 x ≠ x0 , 有没有极限与f 在点 在点x 所以 x → x 0时 , f (x)有没有极限与 (x)在点 0 有没有极限与 是否有定义并无关系. 是否有定义并无关系 有关. 一般地说, 越小, 也将越小. 有关 一般地说 ε 越小 δ 也将越小 (2) 定义中 δ 标志 接近 0的程度 它与 ε 标志x接近 的程度, 接近x
− x从左侧无限趋近 x0 , 记作x → x0 − 0 或x0 从左侧无限趋近 + x从右侧无限趋近 x0 , 记作x → x0 + 0 或x0 从右侧无限趋近
x0 − δ
x0
x0 + δ
左极限 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得 x0 − δ < x < x0时,
恒有 f ( x ) − A < ε.
0 < x − x0 < δ 表示x → x0的过程 .
δ
O
δ
x0
U ( x0 , δ )
x0 + δ
x
o
x0 − δ
点x 0的去心δ邻域, δ体现x接近x0程度.
定义 设函数 f ( x )在点 x0 的某去心邻域内有定义 的某去心邻域内有定义.
经典-高数第1章：函数、极限与连续
重要结论：
基本初等函数在 其定义域上 都是连续的
函数的复合
复合函数的定义 y f x
y f u
是由u x
和 x
注意： 域内
复合而成的函数
的值域应落在f(x)的定义
理解：可以理解为换元法的过程
反三角函数 f(x)=arcsinx
初等函数
注意：高中阶段对反三角函数介绍较少，
等价无穷小（注意：不是等阶）
等价无穷小的转移定理
注意：表达 方法
无穷小量
等价无穷小转移定理的应用
经典题型
比较无穷小量的高低阶 证明无穷小(大) 求特殊的极限 计算极限中的系数值
应用
函数的连续
函数连续的定义
函数在x0连续的三个条件
函数在x0及其左右有定义 函数在x0的极限存在 函数在x0的极限值等于该点的函数值，即
经典题型：怎么判断一个表达式是不是函 数？
最主要的判断方法：一个x是对应了几个y值
定义域
自变量x的取值范围 经典题型：求定义域关注哪些要点？
①分母不能为零； ②偶次根号下非负； ③对数的真数大于零； ④正切符号下的式子不等于kπ +π /2；
值域
因变量y的值的集合
经典题型
与定义域或∞有关的极限计算
0/0型
解法：通常分子分母可以化简、消项
∞/ ∞型 解法：分子、分母同时除以最高项
极限
带有开方型 解法：有理化分子（注意：是有理化 分子）
换元法
无穷小量
无穷小量定义
注意：一定要讲函数 是在趋于某个值x0时 的无穷小，否则，趋 于另外一个值时，有 可能就不是无穷小了
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极限的概念和几何意义
在数学中，极限是一种重要的概念，它描述了一系列数值序列、函数序列或空间序列的趋势或接近某个数值或者形状的过程。
数列极限的概念：对于一列有限或无限个数的有序排列，我们可以定义它的极限。
如果一个数列具有极限，那么这个数列中的元素会随着数列项数的增加而逐渐趋近于该极限值。
在数学符号中，这个极限可以用类似于“lim(n→∞)an=a”的形式来表示，其中an是数列的第n项，a是极限值。
函数极限的概念：函数极限是用来描述函数在某一点上的趋近过程的概念。
在这里，极限值是给定函数在无限趋于某点时对应的函数值。
在数学符号中，这个极限可以用类似于“lim(x→a)f(x)=L”的形式来表示，其中f(x)是函数，a是给定的点，L是极限值。
几何意义：极限的几何意义可以表示一组点向某个固定点靠近的过程。
例如，在一个平面直角坐标系中，我们可以画出一个点P(x,y)和一个坐标原点O(0,0)。
我们可以构造一系列点Q1、Q2、Q3等，这些点坐标的横纵坐标都与点P(x,y)很接近，并且这些点在平面上的位置趋近于原点O(0,0)。
当这些点无限趋近于原点O时，我们可以说这些点的极限是原点O。
在这个过程中，我们可以看出极限的概念是描述一组点在平面上向某个点靠近的过程。
总的来说，极限是数学中非常重要的概念，它可以描述数列、函数序列或空间序列的趋势或接近某个数值或形状的过程，并且具有广泛的应用，例如在微积分、数学分析、物理学、工程学和经济学中等。