2021年新高考数学衡水金卷模拟十(含参考答案详解)

2021年新高考数学衡水金卷模拟（十）

（本卷满分：150分考试时间：120分钟）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．已知集合{|19},A x x =∈≤≤N {|05},B x x =<<则A ∩B =（） A ．{2,3,4}

B ．{1,2,3,4}

C ．{|15}x x ≤≤

D ．{|15}x x ≤<

2．已知复数z 满足2(1)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z = ( ) A ．11

i -

+ B ．1122

i -

- C ．

1122

i + D ．

1122

i - 3．“04x <<”是“2log 1x <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．如图，ABC 中，,AB a AC b ==，4BC BD =，用,a b 表示AD ，正确的是( )

A ．13

44AD a b =+ B ．51

44AD a b =

+ C ．31

AD a b =+

D ．51

AD a b =-

5．函数lg 1

()x x f x x

-=的函数图象是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D 为BE 中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

413

7．设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点是F ，左?右顶点分别是12,A A ，过F 作x 轴的垂线与双曲线交于,B C

两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为（）

A ．2

B ．23

C ．

D ．5

8．已知函数()32

132x mx y m n x =++++的两个极值点分别为1x ，2x ，且()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，记分别以m ，

n 为横、纵坐标的点()P m n ,表示的平面区域为D ，若函数()()log 41a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，

则实数a 的取值范围为( ) A ．(]1,3 B ．()1,3

C ．()3,+∞

D ．[

)3,+∞

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（多选题）下列说法中，正确的命题是（）

A ．已知随机变量ξ服从正态分布(

2,N δ

，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=．

B ．以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，

则c ，k 的值分别是4e 和0.3．

C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =．

D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16． 10．已知函数()2

2sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个选项，正确的有（）.

A ．函数()f x 的最小正周期是π

B ．函数()f x 在区间5,88ππ??

???

上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于点,08π??

- ???

对称

D ．函数()f x

的图象可由函数2y x =

的图象向右平移

个单位，再向下平移1个单位得到. 11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()()22f x f x f -=+成立，当[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠时，都有

()()1212

0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( )

A ．()()()()12320190f f f f +++???+=

B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴

C ．函数()y f x =在[]7,7-上有5个零点

D ．函数()y f x =在[]7,5--上为减函数

12．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2

f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在

()()()220111122x x f x x f x x ?

?∈-≥---????

，且0x 为函数(

)x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)

的一个零点，则实数a 的取值可能是（） A ．1

．

C ．

e D

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知函数()'

cos sin 4f x f x x π??

???

，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程是________． 14．函数4

cos(

)45

x π

-=-，那么sin 2x =________ 15．关于x 的方程(2017)(1999)2016x x -+=恰有两个根为1x 、2x ，且1x 、2x 分别满足1133x

a x =-和

3322log (1)3x a x -=-，则12x x a ++=________

16．菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=，将BCD ?沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于__________．

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在ABC ?中，三个内角分别为、、A B C ，已知sin 2cos 6A A π?

+= ??

. （1）求角A 的值；

（2）若0,3B π??

∈ ??

，且()4

cos 5

A B -=

，求sin B .

18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()233n n S a n N +=-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记41

n n

n b a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n T .

19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为四边形，ABD ?是边长为2的正三角形，BC CD ⊥，BC CD =，

PD AB ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD .

（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；

（2）若二面角C PB D --的平面角的余弦值为

，求PD 的长.

20．某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间()t ，结果如下：类别铁观音龙井金骏眉大红袍顾客数（人）

时间t （分钟/人） 2 3 4 6

注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率. （1）求服务员恰好在第6分种开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；

（2）用X 表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X 的分布列及数学期望.

21．已知椭圆E ：()22221?0,?0x y a b a b +=>>的离心率3

e =

13,)2P （1）求椭圆E 的方程；

（2）问是否存在直线y=-x+m ，使直线与椭圆交于A ，B 两点，满足12

OA OB ?=，若存在求m 值，若不存在说明理由．

22．已知函数()(sin 1)x f x ax x e =--?()a ∈R ，()f x '是其导函数．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；

（Ⅱ）若1a ≥，证明：()f x '在区间()0,π内至多有1个零点．

2021年新高考数学衡水金卷模拟（十）

参考答案详解

1．已知集合{|19},A x x =∈≤≤N {|05},B x x =<<则A ∩B=（） A ．{2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{|15}x x ≤≤ D ．{|15}x x ≤< 【答案】B 【解析】【分析】

根据集合的交集运算即可求解. 【详解】

由{}{|19}1,2,3,4,5,6,7,8,9A x x =∈≤≤=N ，{|05}B x x =<<，所以{1,2,3,4}A B ?=，故选：B 【点睛】

本题考查了集合的基本运算，需熟记N 表示为自然数集，属于基础题. 2．已知复数z 满足2

(1)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z = ( ) A ．1122i -

+ B ．1122i -- C ．1122i + D ．11

i - 【答案】B 【解析】【分析】

先计算出z ，再利用共轭复数及概念计算出z .

【详解】

由于2

(1)1z i i -=+，因此2111(1)22i i i z i i ++-+=

==--，因此

z 22

i =--，故选B. 【点睛】

本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的相关概念，难度不大. 3．“04x <<”是“2log 1x <”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】

解不等式2log 1x <，利用集合的包含关系可对两条件之间的关系进行判断. 【详解】

由2log 1x <得02x <<，故“04x <<”是“2log 1x <”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】

本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系，同时也可以逻辑关系来进行判断，考查推理能力，属于基础题.

4．如图，ABC 中，,AB a AC b ==，4BC BD =，用,a b 表示AD ，正确的是( )

A ．13

44AD a b =+ B ．51

44AD a b =+ C ．31

AD a b =+ D ．5144

AD a b =

- 【答案】C

【解析】

【分析】

由平面向量基本定理和三角形法则求解即可【详解】

由BC4BD

=，可得

()

AC AB4AD AB

-=-，则

AD AB AC

=+，即

AD a b

=+.

故选C.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理和三角形法则,熟记定理和性质是解题关键,是基础题

5．函数

lg1

()

x x

f x

=的函数图象是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

【分析】

首先去绝对值化得函数为

()

lg11

()lg101

lg10

x x

f x x x

x x

?->

=-<<

?--<

，结合对数型复合函数的单调性即可得出选项.

【详解】

去绝对值可得

()

lg11

lg1

()lg101

lg10

x x

f x x x

x x

?->

==-<<

?--<

，

当1

x>时，()

lg1

y x

=-单调递增，

当01

<<时，()

lg1

y x

=-单调递减，且0

y<，

当0

x<时，()

lg1

y x

=--单点递增，且0

y<，

综上只有A符合，

故选：A

【点睛】

本题主要考查函数的性质与图像，需熟记对数型函数的性质，属于中档题.

6．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的

一个大等边三角形，设D为BE中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据几何概型的概率计算公式，求出中间小三角形的面积与大三角形的面积的比值即可

【详解】

设DE x

=，因为D为BE中点，

且图形是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形

所以2

BE x

=，CE x

=，120

CEB

∠=?

所以由余弦定理得：2222cos

BC BE CE BE CE CEB

=+-??∠

222

4227

x x x x x

=+-???-=

即7

BC x

=，设DEF的面积为1S，ABC的面积为2S

因为DEF与ABC相似

所以2

121

S DE P S BC ??=== ???

故选：A 【点睛】

1.本题考查的是几何概型中的面积型，较简单

2.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.

7．设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点是F ，左?右顶点分别是12,A A ，过F 作x 轴的垂线与双曲线交于

,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为（）

．C

【答案】A 【解析】【分析】

先求出,B C 的坐标，再求出12,A B A C 的斜率，最后根据12A B A C ⊥得到,,a b c 满足的等式关系，可从该关系

式求得双曲线的离心率. 【详解】

设双曲线的半焦距为c ，

令x c =，则2

y a =±，不妨设22,,,b b C c B c a a ????- ? ????

?，

故()()1222

200,A B

A C b b

b b a a k

k a c a a c a c a a c +

-==-==-

--+--，因为12A B A C ⊥，故()()221b b a a c a a c ??

-?-=-??+-??

，

整理得到a b =

，故离心率e ==故选：A. 【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，可根据题设条件构建,,a b c 的等量关系即可求出离心率，本题属于基础题.

8．已知函数()32

132x mx y m n x =++++的两个极值点分别为1x ，2x ，且()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，记分别以m ，

n 为横、纵坐标的点()P m n ,表示的平面区域为D ，若函数()()log 41a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，

则实数a 的取值范围为( ) A ．(]1,3 B ．()1,3

C ．()3,+∞

D ．[

)3,+∞

【答案】B 【解析】【分析】

根据题意得到()'00f m n =+>，()'1120f m n =++<，画出可行域，根据题意得到()log 141a y =-+>，解得答案. 【详解】

()()32132

x mx y f x m n x ==++++，则()()2

'f x x mx m n =+++，

根据题意知：()'00f m n =+>，()'1120f m n =++<. 如图所示：点()P m n ,表示的平面区域为D ，则()1,1A -，()log 141a y =-+>，故13a <<. 故选：B .

【点睛】

本题考查了根据函数的极值点求参数范围，线性规划，意在考查学生的综合应用能力，画出函数图像是解题的关键.

二、多选题

9．（多选题）下列说法中，正确的命题是（） A ．已知随机变量ξ服从正态分布(

2,N δ

，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=．

B ．以模型kx

y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，

则c ，k 的值分别是4e 和0.3．

C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =．

D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16．【答案】BC 【解析】【分析】

根据正态分布性质求()24P ξ<<即可判断A;根据方程变形即可确定c ，k 的值，再判断B; 根据回归直线方程过样本中心，即可判断C;根据数据变化与方差变化关系判断D.

【详解】

因为随机变量ξ服从正态分布(

2,N δ

，()40.84P ξ<=，

所以()()2440.50.840.50.340.16P P ξξ<<=<-=-=≠，即A 错；

ln ln()ln ln kx kx y ce y ce y kx c =∴=∴=+，0.34ln 0.34z x y x =+∴=+，从而

40.3,ln 40.3,k c k c e ==∴==，即B 正确；

y a bx =+过(,)x y ， 321a b b a =+=∴=，即C 正确；

因为样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，所以数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为222=8?，即D 错误；故选：BC 【点睛】

本题考查正态分布、方差性质以及线性回归方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．已知函数()2

2sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个选项，正确的有（）.

A ．函数()f x 的最小正周期是π

B ．函数()f x 在区间5,88ππ??

?上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于点,08π??

???

对称 D ．函数()f x 的图象可由函数22y x =的图象向右平移

个单位，再向下平移1个单位得到. 【答案】AB 【解析】【分析】

利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数sin()y A x ω?=+的图象变换规律，得出结论．【详解】

∵()2

2sin cos 2sin 11sin 2cos 212)14

f x x x x x x x π

=-+-=+-=

对A ，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论正确．

对B ，当5[

,]88

x ππ

∈时，32[,]422

x π

ππ+

∈，则()f x 在5[,]88ππ

上是减函数，结论正确．

对C ，因为()18f π

-=-，得到函数()f x 图象的一个对称中心为(,1)8

--，结论不正确．

对D ，函数()f x 的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移8

个单位再向下平移1个单位得到，结论不正

确．

故正确结论有A ，B ，故选：AB ．【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数sin()y A x ω?=+的图象变换规律，属于基础题．

11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()()22f x f x f -=+成立，当[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠时，都有

()()1212

0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( )

A ．()()()()12320190f f f f +++???+=

B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴

C ．函数()y f x =在[]7,7-上有5个零点

D ．函数()y f x =在[]7,5--上为减函数【答案】ABD 【解析】【分析】

先由题意判断函数()f x 的单调性、奇偶性、对称性、周期性，进而作出函数的草图，结合图象逐一判断各选项是否正确. 【详解】

由奇函数可得(0)0f =.

由(2)()(2)f x f x f -=+令2x =可得(2)0f =，则()(2)f x f x =-,()f x 的图象关于直线1x =对称.

()(2)(2)[(22)](4)f x f x f x f x f x =-=--=----=-，

所以()f x 是周期为4的周期函数. 当[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠时，都有()()1212

0f x f x x x ->-，

所以()f x 在区间[]0,1上单调递增.

根据以上信息可画出函数()f x 的草图如图所示.

选项A,易得(1)(3)(2017)(2019)0f f f f +==+=，(2)(4)(2018)0f f f ====，

所以()()()()12320190f f f f +++???+=，A 正确.

选项B ，直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确. 选项C ，函数()y f x =在[]7,7-上有7个零点，C 不正确. 选项D ，函数()y f x =在[]7,5--上为减函数，D 正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题综合考查函数的单调性、奇偶性、周期性等性质.

12．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2

f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在

()()()220111122x x f x x f x x ??∈-≥---????

，且0x 为函数()x

g x e ex a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一

个零点，则实数a 的取值可能是（） A ．

B e

C ．

e D e

【答案】BCD

【解析】【分析】

先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．

【详解】解：

令函数2

1()()2

T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，

22211

()()()()()()()022

T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，

()T x ∴为奇函数，

当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．

存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，

∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即0

x ，

()x g x e a =-；1()2

， 0x 为函数()y g x =的一个零点；

当1

时，()0x g x e '=， ∴函数()g x 在1

x 时单调递减，

由选项知0a >

，取1

x =，

又0g e

e ?-=> ?，

∴要使()g x

在1

时有一个零点，只需使102g a ??

= ???

，解得

， a ∴的取值范围为??+∞??

???

，故选：BCD ．【点睛】

本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题．

三、填空题

13．已知函数()'

cos sin 4f x f x x π??

???

，则曲线()y f x =在点(

)()0,0f 处的切线方程是________．【答案】1y x = 【解析】【分析】先求出'

4f π?? ???

的值，再求出()0f 以及()'

0f ，即可求出切线方程．【详解】

函数()'

cos sin 4f x f x x π??=+

???

，''()sin cos 4f x f x x π??∴=-+ ?

??，将4x π

=与0x =

分别代入，得''442

2f f ππ????=-?+

? ?????''(0)014f f π?

?=-?+ ???，解得'14f π??= ???，(0)1f '=，由题意得(0)4f f

π??'=

???，(0)14f f π??'∴== ???

，故切线方程是()()()'

00y f f x -=-

，化简得

1y x =+．

故答案为：1y x =+

【点睛】

本题考查了函数在点处的切线方程问题，考查导数的应用，属于基础题． 14．函数4

cos()45

x π

-=-，那么sin 2x =________ 【答案】

725

【解析】【分析】

利用余弦的差角公式化简4

cos()45

x π

-=-再平方求解即可. 【详解】因为4cos(

)45x π

-=-,故)4

cos sin 25

x x +=-,即cos sin 5x x +=-,平方得

32712sin cos sin 22525

x x x +=

?=. 故答案为：725

【点睛】

本题主要考查了余弦的差角公式与正弦的二倍角公式,属于基础题.

15．关于x 的方程(2017)(1999)2016x x -+=恰有两个根为1x 、2x ，且1x 、2x 分别满足1133x

a x =-和

3322log (1)3x a x -=-，则12x x a ++=________

【答案】69 【解析】【分析】

根据韦达定理求解12x x +,再构造方程根据反函数的性质求解a 即可. 【详解】

因为(2017)(1999)2016x x -+=,展开化简得2182017199920160x x -++?-=, 故1218x x +=.

又1

133x a x =-,3

322log (1)3x a x -=-.故11

133x a x -=-,322log (1)3

x x -=-. 即()1113

113x a x -=---,()322log (1)113

x x -=---. 故111t x =-与221t x =-分别是函数3t

y =与3log y t =和3

y a t =

--的两交点的横坐标.

故121113a x x -+-=

-,即121183

x x +=+=,故51a =. 所以12185169x x a ++=+=. 故答案为：69

【点睛】

本题主要考查了韦达定理的应用与数形结合分析函数零点的关系等问题.需要根据题中所给的对数与指数形式化简构造,属于中档题.

16．菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=，将BCD ?沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于__________．

【答案】84π 【解析】

如图，点12,O O 分别为,BAD CBD ??外接圆的圆心，点O 为球心，因为菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=，所以113163,3tan 6033O G OO ====，13

623AO ==，222221121,484R OA AO OO S R ππ∴==+===，故答案为84π.

四、解答题

17．在ABC ?中，三个内角分别为、、A B C ，已知sin 2cos 6A A π??

+= ??

. （1）求角A 的值；（2）若0,

3B π??

∈ ??

，且()4

cos 5

A B -=

，求sin B . 【答案】（1）3

A π

=;（2 433

-. 【解析】

试题分析：（1）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得tan 3A =

（2）由已知及（1）可求0,33A B B π

π??

-∈ ???

，利用同角三角函数基本关系式可求()sin A B -的值，利用(B A A B =--，根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．

试题解析：（1）因为sin 2cos 6A A π??

= ?

?，得31sin cos 2cos 2

A A A +=，即sin 3cos A A =，因为()0,A π∈，且cos 0A ≠，所以tan 3A =，所以3

A π

（2 ）因为0,

3B π?

∈ ??

，所以0,33A B B π

π??

-∈ ???

，因为()()22sin cos 1A B A B -+-=，所以()3sin 5A B -=

，所以()()()()433

sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B -=--=---=

. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()233n n S a n N +=-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记41

n n

n b a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n T .

【答案】（1）3n

n a =（2）711(47)223n

n T n ??=-+ ???

【解析】【分析】

（1）2n ≥时，11233,233n n n n S a S a --=-=-，两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）由题得

(41)()3

n n b n =+，利用错位相减法求n T .

【详解】

（1）当1n =时，111123323S a a a =-=?=；当2n ≥时，11233,233n n n n S a S a --=-=-，

∴当2n ≥时，()112232n n n n n S S a a a ---=-=，整理得13n n a a -=. ∴数列{}n a 是以3为首项，公比为3的等比数列.

∴数列{}n a 的通项公式为3n

n a =.

（2）∵411

(41)()3

n n n n b n a +=

=+ ∴12

123111159(43)(41)3333n n

n n T b b b b n n -????

=+++

+=?+?+

+-++ ? ? ?

?????

，①

∴2

1111159(43)(41)33333n

n n T n n +????????=?+?+?+-++ ? ? ? ?????????

，②

由①-②得

211111111154(41)4(41)3333333333n n

n x

n T n n ++??????

????

??=?+++-+=+++

+-+???? ? ? ? ? ? ? ?

????

??????????

11111334(41)13313

n n n +??

?- ?????=+?-+ ?

??- 1

11121(41)333n n n +????=+--+ ? ?????.

∴127(47)3n

n T n ??=-+ ???，

∴711(47)223n n T n ??=-+ ???

. 【点睛】

本题主要考查数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为四边形，ABD ?是边长为2的正三角形，BC CD ⊥，BC CD =，

PD AB ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD .

（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；

（2）若二面角C PB D --的平面角的余弦值为6

，求PD 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）1 【解析】【分析】

（1）如图所示，E 为BD 中点，连接AE ，证明AE PD ⊥，PD AB ⊥得到证明.

（2）如图所示，过E 作EF PB ⊥于F ，连接CF ，证明EFC ∠为二面角C PB D --的平面角，计算得到答案. 【详解】

（1）如图所示：E 为BD 中点，连接AE ，ABD ?是正三角形，则AE BD ⊥. 平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD

平面ABCD BD =，故AE ⊥平面PBD .

PD ?平面PBD ，故AE PD ⊥.

PD AB ⊥，AE

AB A =，故PD ⊥平面ABCD .

（2）如图所示：过E 作EF PB ⊥于F ，连接CF .

BC CD ⊥，BC CD =，E 为BD 中点，故EC BD ⊥，故EC ⊥平面PBD . EF PB ⊥，故EFC ∠为二面角C PB D --的平面角.

cos 6

EFC ∠=

，故tan 5EFC ∠=，1EC =，故55EF =. 51

sin ,tan 2

EF PBD PBD EB ∠=

=∠=，即

12PD BD =，1PD =.

【点睛】

本题考查了线面垂直，根据二面角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

20．某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间()t ，结果如下：类别铁观音龙井金骏眉大红袍顾客数（人） 20 30 40 10 时间t （分钟/人） 2

注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率. （1）求服务员恰好在第6分种开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；

（2）用X 表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）325；（2）分布列见解析，47

EX =

【解析】【分析】

（1）计算铁观音，龙井，金骏眉，大红袍的概率分别为12341321

,,,510510

p p p p ====. 则122p p p =，计算得到答案.

（2）X 有0，1，2三种情况，分别计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

【详解】

（1）铁观音，龙井，金骏眉，大红袍的概率分别为12341321,,,510510

p p p p ====. 则123225

p p p ==

. （2）X 有0，1，2三种情况.

()41010p X p ===

；()()3422431150p X p p p p ==++?-=；()2

11225

p X p ===

. 故分布列为：

数学期望143

147

01210502550

EX =?

+?+?=. 【点睛】

本题考查了概率，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

21．已知椭圆E ：()22221?0,?0x y a b a b +=>>的离心率 e =

2P （1）求椭圆E 的方程；

（2）问是否存在直线y=-x+m ，使直线与椭圆交于A ，B 两点，满足12

OA OB ?=，若存在求m 值，若不存在

说明理由．

【答案】（1）2

214

x y +=；

（2）2m =±．【解析】

试题分析：（1）由已知条件推导出c e a =

=2231

14a b +＝，由此能求出椭圆E 的方程．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由125OA OB ?=得，121212

x x y y +=，联立方程组利用根与系数的关系求解即可得出m 的值．

试题解析：解（1）由题意：c e a =

且223114a b +=，又222c a b =- 解得：2

4,1a b ==，即：椭圆E 的方程为2

214

x y +=（1）

（2）设1122(,),(,)A x y B x y

222221{4()40584404x y x m x x mx m y x m

+=?+--=?-+-==-+（*）所以21212844

,55

m m x x x x -+==

212121212844()()()55m y y m x m x m m x x x x m m -=--=-++=-+24

m -=

由125

OA OB ?=

，

得2211221212121244412

(,)(,),,,255555

m m x y x y x x y y m --?=+=+==±

又方程（*）要有两个不等实根，22(8)45(44)0,m m m ?=--?-><<所以2m =±．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

22．已知函数()(sin 1)x f x ax x e =--?()a ∈R ，()f x '是其导函数．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；

（Ⅱ）若1a ≥，证明：()f x '在区间()0,π内至多有1个零点．【答案】（Ⅰ）10x y ++=；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】

【分析】

（Ⅰ）求出函数的导函数，计算出()0f '与(0)f 利用点斜式求出直线方程；

（Ⅱ）由()(sin cos 1)x

f x ax x x a e '=--+-?，设()sin cos 1

g x ax x x a =--+-，则()0f x '=，即()0g x =，

对()g x 求导，研究其单调性及零点情况，即可得证. 【详解】

解：（Ⅰ）当1a =时，()(sin cos )x f x x x x e '=--?，则()01f '=-，又(0)1f =-，

则()f x 在0x =处的切线方程为：1y x +=-，即10x y ++=．（Ⅱ）

()(sin cos 1)x f x ax x x a e '=--+-?，

又0x e >，设()sin cos 1g x ax x x a =--+-，

()0f x '∴=，()0g x ∴=

()cos sin 4g x a x x x a π?

?'=-+=-+ ??

?，

因(0,)x π∈(4x π?

∈- ??

，又1a ≥，故()0g x '≥对(0,)x π∈恒成立，即()g x 在区间()0,π单调递增；又(0)2g a =-，()(1)0g a ππ=+>；

故当12a ≤≤时，(0)20g a =-≤，此时()f x '在区间()0,π内恰好有1个零点．当2a >时，(0)20g a =->，此时()f x '在区间()0,π内没有零点；综上结论得证．【点睛】

本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、零点，属于中档题.