福建师范大学高等数学上试题及答案

高等数学（上）试题及答案

一、 填空题（每小题3分，本题共15分）

1、.______)31(lim 2

0=+→x x x 。

2、当k 时，

⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00e )(2x k x x x f x 在0=x 处连续． 3、设x x y ln +=,则______=dy

dx 4、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是

5、若⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。

二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、若函数x x

x f =)(，则=→)(lim 0x f x （ ）

A 、0

B 、1-

C 、1

D 、不存在

2、下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(cosx →x D. )2(4

22→--x x x 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）

． A ．极大值点 B ．极小值点 C ．驻点 D ．间断点

4、下列无穷积分收敛的是（ ）

A 、⎰+∞0sin xdx

B 、dx e x ⎰+∞-02

C 、dx x ⎰+∞01

D 、dx x

⎰+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。则AMB ∠=

A 、3π

B 、4π

C 、2

π D 、π 三、 计算题（每小题7分，本题共56分）

1、求极限 x

x x 2sin 24lim 0-+→ 。

2、求极限 )1

11(lim 0--→x x e x 3、求极限 2cos 102lim x dt

e x

t x ⎰-→

4、设)1ln(25x x e y +++=，求y '

5、设)(x y f =由已知⎩

⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2，求22dx y d 6、求不定积分 dx x x ⎰+)32sin(12

7、求不定积分 x x e x d cos ⎰

8、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=011

011)(x x x e x f x ， 求 ⎰-20d )1(x x f

四、 应用题（本题7分）

求曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。

五、 证明题（本题7分）

若)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且0)1()0(==f f ，1)2

1(=f ，证明： 在(0,1)内至少有一点ξ，使

1)(='ξf 。

参考答案

一。填空题（每小题3分，本题共15分）

1、6e

2、k =1 ．

3、x

x +1 4、1=y 5、x x f 2cos 2)(= 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、D

2、B

3、C

4、B

5、A

三．计算题（本题共56分，每小题7分）

1.解：x x x 2sin 24lim 0-+→8

1)24(2sin 2lim 21)24(2sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 7分 2.解 ：2

1lim 11lim )1(1lim )111(lim 0000=++=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x xe e e e xe e e e x x e e x 7分 3、解： 2

cos 1

02

lim x dt e x t x ⎰-→e x xe x x 212sin lim 2cos 0-=-=-→ 7分 4、解： )11

1(1122x x

x y ++++='……………………… …...4分 211x += ……………………………………… …...7分

5、解：t

t t t dx dy 211211

2

2=++= （4分） 22

2232112()241d y t d dy dx t dt t dt dx dx t t -+===-+ （7分）

6、解：

C x

d x dx x x ++=++-=+⎰⎰)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12 （7分） 7、 解： ⎰

⎰=x x e x x x e d cos d cos ⎰+=sinxdx e cos x x e x …………………… …….2分

⎰+=x de sin cos x x e x ..………………… ……….3分

dx cos sin cos x e x e x e x x x ⎰-+= ……… ……5分

C x x e x ++=)cos (sin ……………… ……… …7分

8、解：⎰⎰⎰⎰--+==-011

01120d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f … …2分 ⎰⎰

+++=-100

11d 1d x x e x x ……… ………3分

100

1)1ln(d )11(x x e e x x +++-=⎰-…… ……5分 2ln )1ln(10

1++-=-x e ……………… …6分

)1ln()1ln(11e e +=++=-………… ……7分

四． 应用题（本题7分）

解：曲线2x y =与2y x =的交点为（1，1）， 1分 于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为 31

]3132[)(1021

0232=-=-=⎰x x dx x x A 4

分 A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为： ()πππ10

352)(1

0521042=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰y y dy y y V 7

分 五、证明题（本题7分）

证明： 设x x f x F -=)()(， ……………………….……… ……2分 显然)(x F 在]1,21

[上连续，在)1,21

(内可导，

且 021

)21

(>=F ，01)1(<-=F . 由零点定理知存在]1,21

[1∈x ，使0)(1=x F . …….…

…………4分 由0)0(=F ，在],0[1x 上应用罗尔定理知，至少存在一点

)1,0(),0(1⊂∈x ξ，使01)()(=-'='ξξf F ，即1)(='ξf …

…7分