数列的概念(教案)

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一．课题：数列的有关概念

二．教学目标：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方

法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解n a 与n S 的关系，培养观察能力和

化归能力．

三．教学重点：数列通项公式的意义及求法，n a 与n S 的关系及应用．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．数列的有关概念；

2．数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法．

3．n a 与n S 的关系：11(1)(2)

n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．

（二）主要方法：

1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归；

2．数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否适合．

（三）例题分析：

例1． 求下面各数列的一个通项：

14916(1),,,,24578101113--⨯⨯⨯⨯；

(2)数列的前n 项的和 221n S n n =++；

(3)数列{}n a 的前n 项和r ra S n n (1+=为不等于0,1的常数) ．

解：（1）2

(1)(31)(31)

n

n n a n n =--+． （2）当1n =时 114a S ==， 当2n ≥时 1n n n a S S -=-=41n -，显然1a 不适合41n a n =- ∴4(1)41(2)

n n a n n =⎧=⎨

-≥⎩．

（3）由n n ra S +=1可得当2≥n 时111--+=n n ra S ，)(11---=-∴n n n n a a r S S ，

∴1n n n a ra ra -=-，∴1(1),n n a r ra --= ∵1,r ≠ ∴1

1-=-r r a a n n ，∵0r ≠， ∴{}n a 是公比为1

-r r 的等比数列． 又当1=n 时，111ra S +=，∴r a -=111，∴11()11

n n r a r r -=--． 说明：本例关键是利用n S 与n a 的关系进行转化．

例2．根据下面各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式：

2

（1）==+11,1n a a )(2*N n n a n ∈+；

（2）==+11,1n a a 1+n n )(*N n a n ∈； （3）==+11,1n a a 12

1+n a )(*N n ∈． 解：（1）n a a n n 21+=+ ，∴12n n a a n +-=， ∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+

+- 121222(1)n =+⨯+⨯+

+⨯- 21(1)1n n n n =+⨯-=-+

（2）11+=+n n a a n n ，∴ 321121n n n a a a a a a a a -=⋅⋅=1211123n n n

-⋅⋅=． 又解：由题意，n n na a n =++1)1(对一切自然数n 成立，

∴11(1)11n n na n a a -=-==⋅=，∴1n a n

=． （3）}2{)2(2

1212111-∴-=-∴+=++n n n n n a a a a a 是首项为121-=-a 公比为21的等比数列，111121(),2()22

n n n n a a --∴-=-⋅∴=-． 说明：（1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；

（2）若数列{}n a 满足n a =1n pa q -+，则数列1n q a p ⎧

⎫-⎨⎬-⎩⎭

是公比为p 的等比数列．

例3．设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对所有自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，

(1)写出数列{}n a 的前三项；(2)求数列{}n a 的通项公式(写出推证过程)；

(3)令11

1()2n n n n n a a b a a ++=+()n N ∈，求123n b b b b n ++++-． 解：（1）由题意：222n n a S +=0n a >，令1n =，11222

a a +=，解得12a = 令2n =，21222()2

a a a +=+， 解得26a = 令3n =，312322()2

a a a a +=++ 解得310a = ∴该数列的前三项为2,6,10.

（2）∵222n

n a S +=，∴21(2)8n n S a =+，由此2111(2)8

n n S a ++=+， ∴221111[(2)(2)]8

n n n n n a S S a a +++=-=+-+，整理得：11()(4)0n n n n a a a a +++--= 由题意：1()0n n a a ++≠，∴140n n a a +--=，即14n n a a +-=，

3 ∴数列{}n a 为等差数列，其中12,a =公差4d =，∴1(1)n a a n d =+-=42n -

（3）14242122

()(11)2424222121n n n b n n n n +-=+=++--+-+1

1

12121n n =+--+ ∴121111113352121n b b b n n n +++=+-+-++--+n -1

121n -+．

（四）巩固练习：

1．已知111

1,1(2)n n a a

n a -==+≥，则5a =8

5

．

2．在数列{}n a 中n a =9n S =，则n =99．