浅谈中学数学不等式的证明方法

本科生毕业论文

学院数学与计算机科学学院

专业数学与应用数学

届别 2015 届

题目浅谈中学数学不等式的证明方法学生姓名徐亚娟

学号 2

指导教师吴万勤

教务处制

云南民族大学毕业论文(设计)原创性声明

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日期：年月日

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指导教师签名：论文(设计)作者签名：

日期：年月日

目录

摘要 (4)

引言 (6)

1、预备知识 (6)

1.1不等式的概念 (6)

1.2不等式的性质 (6)

1.3基本不等式 (7)

1.4几个重要不等式 (7)

1.4.1柯西不等式 (7)

1.4.2伯努利不等式 (7)

2、证明不等式的常用方法 (7)

2.1比较法 (8)

2.1.1求差法 (8)

2.1.2求商法 (8)

2.1.3过度比较法 (8)

2.2分析法 (9)

2.3综合法 (9)

2.4缩放法 (10)

2.4.1放缩法的常见技巧 (10)

2.5反推法 (10)

2.6数学归纳法 (11)

2.7反证法 (11)

2.7.1反证法的基本思路 (11)

2.7.2反证法的步骤 (11)

2.8判别式法 (12)

2.9等式法 (12)

2.10中值定理法 (12)

2.11排序法 (12)

2.12分解法 (13)

2.13函数极值法 (13)

3 .利用构造法证明不等式 (13)

3.1构造函数模型 (13)

3.1.1构造一次函数模型 (14)

3.1.2构造二次函数模型 (14)

3.1.3构造单调函数证明不等式 (14)

3.2构造复数模型 (14)

3.3构造方程法 (15)

4.换元法证明不等式 (15)

4.1.三角换元法 (15)

4.2均值换元 (16)

4.3几何换元法 (16)

4.4增量换元法 (17)

5.利用著名不等式证明 (17)

5.1利用均值不等式 (17)

5.2柯西不等式证明法 (18)

5.3利用契比雪夫不等式 (18)

5.4利用绝对值不等式 (18)

5.5利用重要不等式 (19)

总结 (19)

参考文献： (20)

致谢 (21)

浅谈中学数学不等式的证明方法

徐亚娟

云南民族大学数学与计算机科学学院摘要

在中学数学中不等式是十分重要的内容，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法。在初等数学不等式的证明中常用到的方法是：比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、换元法、换缩法、判别式法、函数法、几何法等等。在高等数学不等式的证明中经常利用中值不等式、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些证明不等式，如：均值不等式、柯西不等式、伯努利不等式等，从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明，通过学习这些方法，可以为我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。【1】

【关键词】中学数学；不等式；证明方法；函数

Abstract

In the middle school inequalities are very important content, penetration in the middle school mathematics branches, has a very wide range of applications. So the inequality reflects the comprehensive application, certain flexibility and diversity, mastery of mathematics knowledge of each part, played a very good role in promoting. In solving the problem, according to the questions set structure characteristics, and conclusion inner relation, selection of the appropriate solution, finally go to solve or proof of inequality. But the inequality proof method, flexible, and a lot of content combination, so the concrete analysis of concrete problems is the essence of the proof of inequality. Embodiment of proving inequalities are also all kinds of method of thinking, so difficult. The way to solve this problem is to master the nature of inequality and some basic inequalities, flexibility in the use of commonly used methods of proof. In this paper, I summarized some mathematical inequality proof methods. Methods in the elementary mathematical proof inequality to the commonly used are: the comparative method, for commercial, analysis, synthesis method, mathematical induction method, reduction to absurdity, change element method, change the shrinkage method, the discriminant method, function method, geometric method and so on .In equality in higher mathematics proof is usually used in the mean value inequality, Taylor formula, Lagrange function, as well as some proof of inequality, such as: mean inequality, Cauchy inequality, Bernoulli inequality, thus making the method to prove inequality more perfect, is favorable for us to further explore and research proof of inequality, through the study of these methods, we can to solve some practical problems, develop logical reasoning ability and abstract thinking ability and develop diligent in thinking, good at thinking of good learning habits.

Keywords: Middle school mathematics；Inequality；The proof method；Function

引言

众所周知，在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系是基本的数学关系，在数学研究和数学应用中起着重要的作用。因此，研究不等式的证明方法显得尤为重要，许多前辈在此领域取得了非常好的成绩，得出了许多证明不等式的方法，在他们的成绩基础上，本文对各种方法进行了归纳与总结。

证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强。所以我们在证明不等式时要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，两者为沟通、联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。【2】通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，使数学知识间相互融合，得到全面透彻的理解，从而提高分析问题解决问题的能力。在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意。

1、预备知识

1.1不等式的概念

用不等号(如“≥ ”、“≤ ”、“＞”、“＜”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式.其中用“＞”

或“＜”连接的式子叫严格不等式；用“≤ ”或“≥ ”连接的不等式叫做非严格不等式。[3]

1.2不等式的性质

性质1:如果a>b,b>c,那么a>c.(不等式的传递性).

性质2：如果x>y,那么yy;

性质3:如果a>b,而c为任意实数或整数，那么a+c>b+c(不等式的可加性).

性质4:如果a>b,c>0,那么ac>bc;

性质5：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.

性质6:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

性质7:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么a n>b n.

性质8：1/a < 1/b(倒数原则)

性质9：含绝对值不等式的性质：

(1)∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣

(2)∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣

(3) ∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣

1.3基本不等式

(1)若a,b∈R,a2+b2 ≥ 2ab,且a=b等号成立.

推广到n个正数x1,x2,x3,x4,…x n,(x1+x2+x3+...+x n )/n

当且仅当x1=x2=x3=x4…=x n时，等号成立。

1.4几个重要不等式

1.4.1柯西不等式

(1)二维形式

若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立。

(3)柯西不等式的一般形式：设a1,a2,a3,…a n,b1,b2,b3…b n是实数，则

(a12+a22+a32+…+a n2) (b12+b22+b32+…b n2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n)2,

当且仅当b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k使得a i=kb i(i=1,2,…,n)时，等号成立。

1.4.2伯努利不等式

对任意整数n≥0任意实数x>-1,有(1+x)n≥1+nx成立；如果n≥0是偶数，则不等式对任意实数x都成立。可以看到在n=0,1或x=0时等号成立，而对任意正整数n≥2和任意实数x≥-1，x≠0，有严格不等式：(1+x)n>1+nx.

伯努利不等式的一般式为:(1+x1+x2+x3+…+x n)≤(1+x1)(1+x2)(1+x3)…(1+x n)当且仅当n=1时等号成立。[4]

2、证明不等式的常用方法

不等式的证明没有固定的程序，证法因题而异，灵活多样，技巧性强，其基本的手法是应用定义及其基本性质，并通过代数变换予以论证。[5]

2.1比较法

比较两个式子的大小,求差法、求商法与过度比较法都是最基本最常用的方法。

2.1.1求差法

理论依据是不等式的基本性质：“若a-b≥0,则a≥b；若a-b≤0,则a≤b”.

其一般步骤为：

①作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；

②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式

的乘积，或变形为一个或几个平方的和，其中变形是求差法的关键，配方和因式

分解是经常使用的变形手段。

③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定

所求证不等式成立的结论。

应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时。

例1求证：x2+3>3x

证：∵(x2+3)-3x= x2-3x+(3/2)2-(3/2)2 +3=(x-2/3)2 +3/4>0

∴x2+3>3x

2.1.2求商法

理论依据：“若a,b R+,a/b≥1,则a≥b；若a/b≤1，则a≤b”.

一般步骤为：①作商：将左右两端作商；

②变形：化简商式到最简形式；

③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.

应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时。

例2若a>2,求证㏒(a-1)a>㏒a(a+1)

证：∵a>2

∴㏒a(a-1)>0 ㏒a(a+1)>0

∴㏒(a-1)a/㏒a(a+1)=1/㏒a(a-1)/ ㏒a(a+1)=1/[㏒a(a-1)×㏒a(a+1)]

∵[㏒a(a-1)]×[ ㏒a(a+1)]≤{[ ㏒a(a-1)+ ㏒a(a+1)]/2}2=[㏒a(a2-1)]2/4

< (㏒a a2)2/4=1

∴㏒(a-1)a/㏒a(a+1)>1

故命题得证。

说明：观察不等式的特点，a充当了真数和底，联想到㏒a n=1/㏒n a,进而用了作商法，作商比较法的变形主要是利用某些运算性质和性质，如函数的单调性等。

2.1.3过度比较法

若要比较的几个数能与某已知数相比较，则可利用这个已知数作媒介进行比较。

例3 比较㏒0.60.5与㏒0.50.6的大小

分析：㏒0.60.5的底数大于0而小于1，真数也是大于0而小于1，那么㏒0.60.5>0;

㏒0.50.6也是一个大于0的数。针对这类体型我们选取的媒介往往是0或1，而这

题我们选取介数1就可以进行比较了。

解：∵㏒0.60.5 > ㏒0.60.6=1

㏒0.50.6 < ㏒0.50.5=1

∴㏒0.50.6 < ㏒0.60.5

2.2分析法

1 .证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否成立的问题。如果能够肯定这些条件都已成立，那么就可以断定原不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。

B2B3B n A

2. 用分析法证明不等式的逻辑关系是：B B

3. 分析法的思想：执果索因

4. 分析法的书写格式：

要证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有…

这只需要证明命题B2为真，从而又有…

…

这只需要证明命题A为真。

而已知命题A为真，故命题B必为真。

例4 3+7<5

2

证：因为3+7和5都是正数

所以为了证明5

+

3<

2

7

只需证明(3+7)2<(25)2即可

展开得10+221< 20,即221<10, 21<25

因为21<25成立，所以(3+7)2<(25)2成立，即证明了5

+.

3<

7

2

2.3综合法

1. 综合法是利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不

等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。

B2B3 B B n B

2. 用综合法证明不等式的逻辑关系：A B

3. 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

例5已知a,b,c都是正数，且a,b,c成等比数列，求证a2+b2+c2 > (a-b+c)2

证：左- 右= 2(ab+bc-ac)

∵a,b,c成等比数列

∴b2 = ac

∵a,b,c都是正数，所以b>0 ，且b = ac≤ (a+c)/2 < a+c

∴a+c>b

∴2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2) = 2b(a+c-b) > 0

∴a2+b2+c2 > (a-b+c)2

说明：此题在证明过程中应用了比较法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点。

2.4缩放法

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。

2.4.1放缩法的常见技巧

（1）舍掉（或加进）一些项。

（2）在分式中放大或缩小分子或分母。

（3）应用基本不等式放缩。

（4）应用函数的单调性进行放缩。

（5）根据题目条件进行放缩。

例6求证：1/12+1/22+1/32+1/42+…+1/n2<2

证：∵1/n2<1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n

∴1/12+1/22+1/32+1/42+…+1/n2<1+1-1/2+1/2-1/3+1/3+…+1/(n-1) - 1/n=2-1/n<2

2.5反推法

前面讲的方法，属于不等式的直接证法。也就是说，有题设出发，经一系列的逻辑推理，得到要证的结果。但对于一些复杂的不等式，有时就难于直接入手得证，可以用间接的方法。常用的方法有反推法与反证法。所谓反推法就是先假定要证的结果。假设要证的不等式是成立的，然后由它出发推出一系列与之等价的不等式（即要求推理过程的每一步可逆），直到得到一个较容易证明的不等式或者一个明显成立的不等式。由于等价性，从最后的不等式成立，得知原不等式成立。这就是通常所说的分析法。其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

例7 已知a,b是不相等的正实数，且a3-b3=a2-b2,求证：1

证：由题设a>0,b>0, a≠b,且a3-b3=a2-b2

即(a-b)(a2+ab+b2)=(a+b)(a-b)

a2+ab+b2=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b

a+b>1

3(a+b)<4

3(a+b)2<4(a+b)

3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2)

a2-2ab+b2>0

(a-b)2>0

而(a-b)>0一定成立，故a+b<3/4

综上所述1

2.6数学归纳法

数学归纳法证明不等式的典型类型有两类，一类是与数列或数列求和有关的问题，另一类是函数迭代问题。凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n) < g(n)(n€N*)的形式或近似于上述形式.

例8 求证：当x> -1时，不等式(1+x)n≥1+nx(n为自然数)成立，当且仅当x=0,式中取等号。

证：当n=1时，(1+x)1 =1+x,

当n=2时, (1+x)2 =1+2x+x2≥1+2x,

设当n=k时，不等式成立，即有(1+x) k≥1+kx,

那么当n=1+k时，∵1+x>0

∴(1+x)1+k =(1+x)×(1+x)k

≥（1+x）×(1+kx)=1+(1+k)x + kx2

≥1+(1+k)x

∴(1+x)n ≥1+nx.

显然在n>1时，当且仅当x= 0时取等号。

2.7反证法

反证法的证题模式可以简要的概括为“否定否定”。即从否定结论开始，

经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定。

2.7.1反证法的基本思路

否定之否定

2.7.2反证法的步骤

推导出矛盾结论成立.

具体步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；

（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推导出矛盾；

（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

例9 设a3+b3 = 2,求证a+b ≤ 2。

证：若a+b >2,则有a > 2-b

∴a3 > 8-12b+6b2-b3

∴ a3+b3 > 6b2-12b+8 = 6(b-1)2+2

∵6(b-1)2+2 ≥ 2,从而a3+b3 > 2,这与题设条件a3+b3 = 2矛盾。

∴原命题得证。

2.8判别式法

判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证明的不等式的方法。

例10设x,y∈R,且x2+y2=1,求证：︱y-ax∣≤()a2

1+

证明：设m=y-ax,则y=ax + m

代入x2+y2=1中得x2+(ax+m)2=1,即(1+a2)x2+2amx+(m2-1)=0

∵x,y∈R,1+a2≠0

≥0,即(2am)2-4(1+a2)(m2-1)≥0

解得∣m∣≤()a2

1+

故∣y-ax∣≤()a2

1+

2.9等式法

应用一系列的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的性质。[6]

例11 a,b,c为的三边长，求证：2a2b2+2a2c2+2b2c2>a4+b4+c4

证明：由海伦公式S ABC =()()()c

p-

-

-,其中p=1/2(a+b+c)

p

a

p

b

p

两边平方，移项整理得16(S ABC)2=2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4

而> 0,所以2a2b2+2a2c2+2b2c2 > a4+b4+c4

2.10中值定理法

利用中值定理：f(x)是在区间[a,b]上有定义的连续函数，且可导，则存在§，a<§

例12.求证：∣sinx-siny∣≤∣x-y∣

证明：设f(x)=sinx,则sinx-siny=(x-y)sin,§=(x-y)cos§

故∣sinx-siny∣=∣(x-y)cos§∣≤∣x-y∣.

2.11排序法

排序不等式：设a1 ≤ a1 ≤ a3…≤ a n,b1 ≤ b2 ≤ b3 …≤ b n,则有

a1b n+a2b n-1+a3b n-2+…+a n b 1≤ a1b i1+a2b i2+a3b i3+…+a n b in ≤ a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n

其中i1,i2,…,i n是1,2，…,n的一个排列。当且仅当a1=a2=…=a n或b1=b2=…=b n时取等

号。

简记作：反序和 ≤ 乱序和 ≤ 同序和

例13．求证：a 2+b 2+c 2+d 2 ≤ ab+bc+cd+da

证明：∵a,b,c,d ∈R 有序

∴根据排序不等式同序和最大，即a 2+b 2+c 2+d 2 ≤ ab+bc+cd+da

2.12分解法

按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。

例14 n≥2,且n ∈N,求证：1+1/2+1/3+…+1/n > n(n 1n +-1)

证明：∵1+1/2+1/3+…+1/n = (1+1)+(1/2+1)+(1/3+1)+…+(1/n+1) -n

= 2+3/2+4/3+…+(n+1)/n - n > n×n n

1n 34232+???? -n = n×n 1n +- n ∴1+1/2+1/3+…+1/n > n(n 1n +-1)

2.13函数极值法

通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。

例15 设x ∈R,求证：-4 ≤ cos2x+3sinx ≤ 17/8

证明：f(x) = cos2x+3sinx = 1-2sin 2x+3sin x= -2(sinx-3/4)2+17/8

当sinx = 3/4时，f(x)取最大值17/8；

当sinx = -1时，f(x)取最小值-4；

故-4 ≤ cos2x+3sinx ≤ 17/8.

3 .利用构造法证明不等式

构造法是通过一定的数学模型来完成解题的一种方法。倘若充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形结合起来，并恰当地构造数学模型，就可以得到富有新意的独特解法。利用构造法解题，不仅构思精巧，形式优美，过程简单，而且极富思维的灵活性和创造性。[7]

3.1构造函数模型

函数是贯穿中学数学的一条主线，一些本身无明显函数关系的问题，通过类化、联想、转化，合理构造一个函数，使原不等式的左右两边是这个函数在其中一个单调区间上的两个值，就可以利用函数的单调性证明不等式或构造一个函数，再利用函数的奇偶性证明不等式。

例1若0

证：令f(a)=a-a2,又0

∴b

<(k-1)/(k2-1)=1/(k+1)

3.1.1构造一次函数模型

例2 设0

证明：令f(x)= x(1-y)+y(1-z)+z(1-x),整理得

f(x)= (1－y－z)x＋(y＋z－y z ), 其中 0

∵0

(1)当0<1-y-z<1时，f(x)在（0,1）上是增函数

于是f(x)

(2)当-1<1-y-z<0时，f(x)在(0,1)上是减函数

于是f(x)

(3)当1-y-z=0,即y+z=1时，f(x)=y+z-yz=1-yz<1

综上所述，原不等式成立。

3.1.2构造二次函数模型

例3 已知a、b、c、d、e是满足a＋b＋c＋d＋e =8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2=16的实数，求证：0≤e ≤16/5．

证明：构造一元二次函数

f(x)= 4x2＋2(a＋b＋c＋d)＋a2＋b2＋c2＋d2=(x＋a)2＋(x+b)2＋(x+c)2+(x+d)2 >0

又∵二次项系数为正数，

∴△= 4 (a＋b＋c＋d)2－16 (a2＋b2＋c2＋d2) = 4 (8－e)2－16 (16－e2)≤0，

解之得0≤e ≤16/5．

故不等式成立.

3.1.3构造单调函数证明不等式

例4 已知a>0,b>0,求证：a/(1+a)+b/(1+b) > (a+b)/(1+a+b)

证明：令f(x)=x/(1+x)

易证f(x)=x/(1+x)=1-1/(1+x) 当x>0时单调递增

∵a+b+ab > a+b>0

∴f(a+b+ab) > f(a+b)

故a/(1+a)+b/(1+b)=(a+b+2ab)/[(1+a)(1+b)] > (a+b+ab)/(1+a+b+ab)= f(a+b+ab)

> f(a+b)=（a+b）/(1+a+b).

3.2构造复数模型

若证明的结论为几个根式相加的和与一个常数比较大小，每个根式中的自变量都一样且

为和的形式，这时我们可以用构造复数或在坐标轴中构造图形的方法来证明。

例5 已知：x2+y2≤1,a2+b2≤2 , b (x2-y2)+2axy ≤2

证：（构造复数法）依题设，构造复数z1=x+yi,z2=a+bi,则z1≤1,z2≤2

∴z12×z2=(x+yi)2(a+bi)=[a(x2-y2)-2bxy]+[b(x2-y2)+2axy]i

b(x2-y2)+2axy∣ =∣Im(z12×z2)∣ ≤∣ z1 2×z2∣≤2

故b(x2-y2)+2axy ≤2

3.3构造方程法

根据所给不等式的特征，由根和系数的关系构造出一元二次方程，再由判别式或根的特点证明不等式。

例6已知实数a,b,c,满足a+b+c=0和abc=2,求证a,b,c中至少有一个不小于2.

证：由题设显然a,b,c中必有一个正数

不妨设a>0,则b+c= -a 即b,c是二次方程x+ax+2/a=0的两个实根。

bc=2/a

2 - 8/a≥0 ∴a ≥ 2

4.换元法证明不等式

换元法是指对结构比较复杂、量与量之间关系不太直观的命题，通过恰当引入新的变量，来代换原命题中的部分式子，通过代换达到减元的目的，以达到简化结构、便于研究的形式。解不等式题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法在不等式的证明中应用广泛，常采用的方法有：三角换元法、均值换元法、几何换元法及增量换元法。[8]

4.1. 三角换元法

把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决。

例1 已知a,b∈R，且a2+b2≤1，求证：∣a2+2ab-b2∣≤2

证明：设a=rcosθ,b=rsinθ，其中∣r∣≤1,θ∈[0,2)

则∣a2+2ab-b2∣=∣r2cos2θ+2r2cosθsinθ-r2sinθ∣

=∣r2cos2θ+r2sin2θ∣

=∣2r2sin(2θ+/4)∣≤2

∴∣a2+2ab-b2∣≤2

∴原不等式得证。

4.2 均值换元

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。

例2 已知a,b ∈R,且a+b=1，求证：(a+2)2+(b+2)2≥25/2

证明：因为a,b ∈R,且a+b=1

所以设a=1/2+t,b=1/2-t(t ∈R)

则：(a+2)2+(b+2)2=(1/2+t+2)2+(1/2-t+2)2

=(5/2+t)2 +(5/2-t)2

=25/2+t 2≥25/2

即(a+2)2+(b+2)2≥25/2

∴原不等式得证。

4.3 几何换元法

在△ABC 中，AB=c ，BC=a,CA=b 内切圆交AB 、BC 、CA 分别于D 、E 、F ，如图，则可设a=x+y,b=y+z,c=z+x ，其中x>0，y>0,z>0。几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。[9]

例3 设a ，b ，c 为三角形三边，求证：a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c)≥3

证明：设a=x+y,b=y+z,c=x+z ，其中x,y,z>0

则a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c)

=x+y/2z+(y+z)/2x+(x+z)/2y

=1/2[(x/z+z/x)+(y/z+z/y)+(y/x+x/y)]

≥()()()()()()()x /y y /x 2y /z z /y 2x /z z /x 22/1?+?+??=3 ∴ 原不等式得证。

4.4 增量换元法

若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一个变量。

例4 已知a>2,b>2，求证：a+b

证明：设a=2+m,b=2+n

显然m>0,n>0

则a+b-ab=2+m+2+n-(2+m)(2+n)

=4+m+n-4-2n-2m-mn

=-m-n-mn<0

故a+b

5.利用著名不等式证明

5.1利用均值不等式

均值不等式：设a 1,a 2,a 3,…,a n 是n 个正实数，记

H n = n/(1/a 1+1/a 2+…+1/a n ) G n =

a a a a n 321 A n =(a 1+a 2+…+a n )/n Q nn =()n /a a a a 2n 23222

1++++

它们分别称为n 个正数的调和平均数,几何平均数，算数平均数，平方平均数，有如下关系：H n ≤G n ≤A n ≤Q n ,等号成立的条件是a 1=a 2=a 3=…=a n .[10]

例1设a,b,c,d 为正实数，且满足ac+bc+cd+da=1，

求证：a 3/(b+c+d)+b 3/(a+c+d)+c 3/(b+a+d)+d 3/(a+b+c) ≥1/3

证明：由均值不等式得：

a 3/(b+c+d)+(b+c+d)/18+1/12 ≥ 33)12/1(]18/)d c

b [()]d

c b /(a [?++?++=a/2

从而 a 3/(b+c+d)≥a/2-(b+c+d)/18-1/12

同理 b 3/(a+c+d)≥b/2-(a+c+d)/18-1/12

c 3/(b+a+d)≥c/2-(a+b+d)/18-1/12

d 3/(a+b+c)≥d/2-(a+b+c)/18-1/12

各式相加得：a 3/(b+c+d)+b 3/(a+c+d)+c 3/(b+a+d)+d 3/(a+b+c) ≥ (a+b+c+d-1)/3

又由题设ac+bc+cd+da=(a+c)(b+d)=1得

a+b+c+d=a+c+1/(a+c) ≥2代入上式得

a 3/(b+c+d)+

b 3/(a+c+d)+

c 3/(b+a+d)+

d 3/(a+b+c) ≥ (a+b+c+d-1)/3

≥ (2-1)/3=1/3

故原命题得证。

5.2柯西不等式证明法

柯西不等式是求某些函数最值和证明某些不等式时经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。Cauchy不等式的形式化写法就是：(∑a i b i)2≤(∑a i2)(∑b i2)[11]例2 设a、b、c 为正数且各不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)

分析：∵a 、b 、c 均为正数

∴为证结论正确只需证：2×(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)(1+1+1)

证明：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]

≥ (1+1+1)(1+1+1)=9

又a、b 、c 各不相等，故等号不能成立

∴原不等式成立

5.3利用契比雪夫不等式

设a1, a2, a3,… a n,b1,b2,b3,…,b n∈R, 且a1≤ a2≤ …≤ a n ,b1≤ b2≤ b3≤ … ≤ b n,

则∑a i∑b i≤n∑(a i b i)

例3 已知0≤a≤b≤c≤d≤e,a+b+c+d+e=1,求证：ad+cd+cb+be+ea≤1/5.

证明：注意到2(ad+cd+cb+be+ea)=a(d+e)+b(c+e)+c(b+d)+d(a+c)+e(a+b)

∵a≤b≤c≤d≤e

∴d+e≥c+e≥b+d≥a+c≥a+b

由契比雪夫不等式得：

a(d+e)+b(c+e)+c(b+d)+d(a+c)+e(a+b)

≤1/5[(a+b+c+d+e)(d+e+c+e+b+d+a+c+a+b)]

＝2/5[(a+b+c+d+e)2]=2/5

故ad+cd+cb+be+ea≤1/5

5.4利用绝对值不等式

例4 函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0)=f(1).当x1,x2∈[0,1],x1≠x2时都有f(x1)-f(x2)<∣x1-x2∣,求证：∣f(x1)-f(x2)∣<1/2.

证明：不妨设0≤x1

若x2-x1<1/2,则∣f(x2)-f(x1)∣<∣x2-x1∣≤1/2

∴∣f(x1)-f(x2)∣<1/2,

若x2-x1>1/2,

又∵f(0)=f(1)

则∣f(x2)-f(x1)∣=∣f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)∣

≤∣f(1)-f(x2)∣+∣f(x1)-f(0)∣

≤ (1-x2)+(x1-0) =1-(x2-x1) <1-1/2 =1/2

综上所述∣f(x1)-f(x2)∣<1/2.

思路：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法。

5.5利用重要不等式

例5 已知a,b,c∈R+,求证：(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc.

分析：因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解。结合a,b,c∈R+的条件，运用重要不等式，采用综合法进行证明。

证明：ab+a+b+1=(a+1)(b+1)

ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)

∵a,b,c∈R+

∴a+1≥2a>0,b+1≥2b>0,a+c≥2ac>0,b+c≥2bc>0

∴(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2) = (a+1)(b+1)(a+c)(b+c)

≥2×a×2b×2×ac×2bc=16abc

即得证。

思路：用重要不等式证明不等式，一要注意重要不等式适用的条件，二要为运用重要不等式创造条件。另外，同向不等式相加或相乘，在综合法中常用到。[12]

总结

以上归纳的几种证明不等式的方法，在中学不等式的证明当中灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。我们要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。在实际证明中，以上方法往往相互结合，相互包含，证题时，可能需要同时运用几种方法，结合起来证明。

通过例题讲解的形式，让人们理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义，通过训练积累经验，能够总结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小；复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题。让人们在推广过程中深切感受到数学的和谐美,奇异美。激发他们对数学的好奇心和求知欲,让他们能主动去学习、去研究,并培养他们的发散思维能力和创造思维能力。数学的美无处不在。一题多解的广阔美、一题多变的扩散美、数学趣题的娱乐美,数学的美犹如浩瀚的大海广阔而且深遂。作为数学教师应该善于从数学中挖掘美、发现美,将这些内容适当穿插于教学过程中,有意识地培养学生健康、高尚的审美情趣,提高学生的审美水准。只有这样,才能激发学生求知的愿望与热情,有助于增强他们的创造发明的能力。